Modelowanie Ryzyka Finansowego z R - prace trwajaweb.sgh.waw.pl/~mrubas/MRFzR/pdf/MRFR prezentacja...

Modelowanie Ryzyka Finansowego z R

Blok 2 : Backtesting oraz stress testing

Zakład Modelowania Rynków Finansowych

Instytut Ekonometrii

Marek Kwas

[email protected]

Michał Rubaszek

[email protected]

1

Marek Kwas i Michał Rubaszek, Modelowanie Ryzyka Finansowego z R

Blok 1

1. Zapoznanie z charakterystykami finansowych szeregów czasowych

2. Omówienie modeli finansowych szeregów czasowych

3. Prezentacja metod liczenia VaR

Blok 2

1. Liczenie VaR dla dalszych horyzontów

2. Testy warunków skrajnych (stress tests)

3. Backtesting modeli

Dodatkowo

1. Programowanie w pakiecie R

2. Umiejętność przygotowania i prezentacji raportu

2

Zakres / cele spotkań


3

Literatura

Podstawowe materiały:

- Prezentacje

- Kody R

Dostępne na stronie przedmiotu, czyli:

web.sgh.waw.pl/~mrubas

Książki – pogłębienie wiedzy:

Danielsson J. 2011. Financial Risk Forecasting, Wiley

Dowd K., 2005. Measuring Market Risk, Wiley

Alexander C., 2009. Market Risk Analysis, Wiley

Jorion P., 2007. Value at risk. McGraw-Hill

Materiały z Internetu:

RiskMetrics – technical document: link


Blok 1

i. Wprowadzenie, podstawy R

ii. Szeregi czasowe w R (zoo, Quandl, apply, ggplot2)

iii. Własności szeregów czasowych, rozkłady parametryczne i empiryczne, qq-plot,...

iv. VaR i ES: rozkłady parametrycznych, symulacja historyczna, Cornisch-Fisher

v. VaR i ES: grupowanie wariancji, model EWMA

vi. VaR i ES: grupowanie wariancji, model GARCH

vii. PREZENTACJE

Blok 2

i. Liczenie VaR/ES dla dalszych horyzontów

ii. Testy warunków skrajnych

iii. Backtesting

iv. PREZENTACJE

4

Plan spotkań


W trakcie zajęć można uzbierać:

20 punktów za 2 prezentacje po 10 punktów

10 punktów za egzamin tradycyjny

2 punkty za aktywną obecność (każda nieobecność to minus 0.5 pkt)

10 punktów za prezentację składa się z:

6 punktów za przeprowadzone obliczenia

3 punkty za styl (max strona tytułowa + 6 slajdów).

1 punkt za sposób prezentacji (limit 8 minut)

Wydrukowana prezentacja powinna być dostarczona do prowadzącego zajęcia.

5

Zasady zaliczenia

punkty do 15 do 18 do 21 do 24 do 27 od 27

ocena ndst dst dst+ db db+ bdb

Blok 2. Temat 5: Wartości VaR/ES dla dalszych horyzontów

6


Dotychczas poznaliśmy metody liczenia VaR i ES dla najkrótszego możliwego horyzontu czasowego, tj. jednego okresu

W wielu przypadkach przy podejmowaniu decyzji potrzebujemy informacji na temat ryzyka inwestycji w dłuższym horyzoncie (tydzień, miesiąc, rok, 5 lat). W takim przypadku należy obliczyć VaR/ES dla zmiennej �� ∑ ��

��

W obliczeniach stosuje się następujące metody:

1. Analityczne (np, square root of time)

2. Numeryczne (Monte Carlo, bootstraping)

Dla dalekich horyzontów (>1 miesiąc) warto uzupełnić analizy VaR analizami scenariuszowymi (kolejny temat)

7

Wartości VaR/ES dla dalszych horyzontów


Załóżmy, że wartość oczekiwana i wariancja dla stopy zwrotu � wynosi:

Wartość oczekiwana: � � ��

Wariancja: ��

Odchylenie standardowe: � � ��

Jeżeli �� są IID (Independent and identically distributed) to wartości dla skumulowanej stopy zwrotu �� ∑ ��

�� są następujące:

Wartość oczekiwana: � � �

Wariancja: ��

Odchylenie standardowe: ��

8

A. Metody analityczneWartość oczekiwana i wariancja dla dla dalszych horyzontów


Jeżeli � ∼ � , �� to dla jednookresowego horyzontu:

�� Φ�� oraz �� ! "�

"

gdzie Φ i # to dystrybuanta oraz f. gęstości rozkładu � 0,1 .

Ponieważ �� ∑ �� ∼ � �,�� to:

�� Φ�� oraz �� ! "�

"

Zakładając, że � 0uzyskujemy:

�� oraz ��

W takim przypadku mówimy o metodzie square root of time

9

A. Metody analityczneRozkład normalny: metoda square root of time


10

A. Metody analityczneMetoda SRT w Basel II

Quantitative standards Basel II

a. 99th percentile VaR must be computed on a daily basis

b. In calculating VaR the minimum “holding period” will be 10 trading days. Banks may use VaR numbers calculated according to shorter holding periods scaled up to ten days by the square root of time

c. The choice of sample period for calculating VaR is constrained to a minimum length of one year.

d. banks will be free to use models based, for example, on variance-covariance matrices, historical simulations, or Monte Carlo simulations

e. The multiplication factor will be set by individual supervisory authorities on the basisof their assessment of the quality of the bank’s risk management system, subject toan absolute minimum of 3. Banks will be required to add to this factor a “plus”directly related to the ex-post performance of the model, thereby introducing a builtin positive incentive to maintain the predictive quality of the model. The plus willrange from 0 to 1 based on the outcome of so-called “backtesting.”

Źródło: Basle Committee on Banking Supervision, 1996. AMENDMENT TO THE CAPITAL ACCORD TO INCORPORATE MARKET RISKS (link, s. 44)


Wartość oczekiwana: � � ��

Wariancja: ��

Skośność: � � M(/�( gdzie M( � � � �

(�

Kurtoza: * �+,

-,� 3 gdzie M/ � � � �

/�

Jeżeli �� są IID (Independent and identically distributed) to momenty dla zmiennej �� ∑ ��

�� są następujące:

Wartość oczekiwana: � � �

Wariancja: ��

Skośność: �� / �

Kurtoza: *� � */�

11

A. Metody analityczneSkośność i kurtoza dla dalszych horyzontów


Wzór Cornisha-Fishera dla 0 � 1:

�� 2" �2"� � 1

6� �

2"( � 32"

24* �

22"( � 52"

36��

gdzie 2" � Φ��

Wzór Cornisha-Fishera dla dowolnego 0:

�� 2" �2"� � 1

6

�

��2"( � 32"

24

*

��22"

( � 52"

36

��

�

Wzór Cornisha-Fishera w Rozporządzeniu Komisji Europejskiej: Regulatory Technical Standards (RTS) for packaged retail and insurance-based investment products (PRIIPs) - link

12

A. Metody analityczneMetoda Cornisha-Fischera dla dalszych horyzontów


13

A. Metody analityczne. Wyniki dla WIG


Załóżmy, ze znamy model opisujący DGP.

Etapy MC wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego �:

1. Generujemy ścieżkę stóp zwrotu ��, ��, … , �� do horyzontu �

2. Liczymy skumulowaną ścieżkę �� ∑ ��

3. Powtarzamy kroki (1)-(2) „�” razy i zapisujemy ��8

dla 9 � 1,2, … , �

4. Porządkujemy skumulowane stopy od najmniejszej do największej �:��;

�:��;…

5. Wyznaczamy < � =>? ��

6. Liczymy :

�� :�+

oraz ��

+∑ �:�

@+�

14

B. Metody numeryczneSymulacje Monte Carlo


Zakładamy, że � ∼ � , ��


1. Losujemy � wartości ��, ��, … , �� z rokładu � , ��

2. Liczymy ścieżkę �� ∑ ��


4. Porządkujemy skumulowane stopy �:��; �:�

�;…


6. liczymy :

�� :�+

oraz ��

+∑ �:�

@+�

15

B. Metody numeryczneSymulacje Monte Carlo dla rozkładu normalnego


Zakładamy, że � ma rozkład t-Studenta o Astopniach swobody


1. Obliczamy średnią i odchylenie standardowe �

2. Losujemy � wartości B�, B�, … , B� z rozkładu B A

3. Wyznaczamy ��, ��, … , �� według wzoru �� B�C��

C�




�;…


8. Liczymy :

�� :�+

oraz ��

+∑ �:�

@+�

16

B. Metody numeryczneSymulacje Monte Carlo dla rozkładu t-Studenta


Zakładamy, że DGP dla � jest modelem GARCH


1. Szacujemy parametry modelu GARCH

2. Dokonujemy symulacji ścieżki ��, ��, … , �� warunkowo względem ostatniej obserwacji w próbie




�;…


7. Liczymy :

�� :�+

oraz ��

+∑ �:�

@+�

17

B. Metody numeryczneSymulacje Monte Carlo dla modelu GARCH


18

A. Metody numeryczne

Symulacje Monte Carlo


Jeżeli założymy, że stopy są IID, to możemy zastosować symulację historyczną

Etapy bootstrapu wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego �:

1. Losujemy z powtarzaniem � st. zwrotu ��, ��, … , �� z historycznej próby ��:E

2. Liczymy skumulowaną ścieżkę �� ∑ ��


dla 9 � 1,2, … , �

4. Porządkujemy skumulowane stopy od najmniejszej do największej �:��;

�:��;…


6. Liczymy :

�� :�+

oraz ��

+∑ �:�

@+�

19

C. Metody numeryczneBootstrap – czyli symulacja historyczna przy założeniu IID


1. Można założyć jaki jest model opisujące DGP (np. GARCH, ARMA)

2. Można przeprowadzić obliczenia dla stóp � �okresowych (ale mamy wtedy mniej obserwacji)

PH <- P[seq(T,1,-H)] # obserwacje co H sesji

yH <- diff(log(PH)) # H-okresowe stopy zwrotu

Dalsze obliczenia jak dla VaR ma jeden okres

20

A co jeżeli stopy są zautokorelowane


21

Porównanie modeli

��F ��F

rozk. norm. -0,0323 -0,0419

Cornish-Fischer -0,0335

rozk. norm. MC -0,0330 -0,0435

rozklad t MC -0,0312 -0,0458

GARCH MC -0,0312 -0,0403

HS, bootstrap -0,0318 -0,0439

rozkl. norm. (H-okresowe stopy) -0,0327 -0,0410


Zadanie 1. Dla logarytmiczne stopy zwrotu dla pewnego aktywa mają rozkład normalny o parametrach � 1; 2��. Oblicz VaR oraz ES dla � � 1, � � 5 oraz � � 10 oraz dla poziomu tolerancji � � 1% oraz � � 5% jeżeli wiadomo, że dla rozkładu � 0,1� wartości VaR i ES są następujące

Zadanie 2. Oblicz VaR dla � � 5 za pomocą wzoru Cornisha-Fischera dla aktywa, którego stopy zwrotu mają następujące charakterystyki: � 0.5%, � � 5%, � � �1, * � 7. Przyjmij poziom tolerancji � � 0.05 oraz 0.025. [Φ�� 0.05 � �1.645 oraz Φ�� 0.025 � �1.960 ]

22

Blok 2, Temat 5: Zadania


Zadanie 3. Dla szeregów czasowych opisujących wycenę wybranego funduszu inwestycyjnego, oblicz wartości VaR i ES dla � � 10 na podstawie 6 omawianych metod (norm, CF, t, GARCH, boot, norm 5 �okresowe) dla poziomu tolerancji 5%. Czy wyniki się różnią? Powtórz obliczenia dla poziomu tolerancji 1%.

Zadanie 4. Stwórz kody w programie R, pozwalające na liczenie VaR i ES z modelu EWMA z rozkładem normalnym dla dowolnego horyzontu �. Oblicz VaR i ES dla � � 10 i porównaj z wynikami z modelu GARCH (Zadanie 3)

Zadanie 5. Stwórz kody w programie R, pozwalające na liczenie VaR i ES z modelu EWMA z rozkładem historycznym dla dowolnego horyzontu �. Oblicz VaR i ES dla � � 10 i porównaj z wynikami z modelu GARCH (Zadanie 3) oraz EWMA-norm (Zadanie 4)

23


Blok 2. Temat 6: Testy warunków skrajnych – stress tests

24


Testy warunków skrajnych polegają na ocenie wpływu na wartość portfela (funkcjonowanie firmy, systemu finansowego) wydarzeń o niskiej szansie zmaterializowania się (wydarzeń nadzwyczajnych), ale o potencjalnie dużych negatywnych skutkach

Przykłady:

krach na giełdzie

dewaluacja waluty

utrata płynności

bankructwo dłużnika

utrata ważnego klienta

Na poziomie indywidualnym odpowiednikiem są np. crash testy samochodów

25

Test warunków skrajnych: stress tests


Wartość zagrożona / oczekiwana strata:

normalne uwarunkowania rynkowe

krótki horyzont czasowy

podejście probabilistyczne

Testy warunków skrajnych:

nietypowe/kryzysowe uwarunkowania rynkowe

dłuższy horyzont czasowy

podejście scenariuszowe

Ważne: Wartość zagrożona i testy warunków skrajnych są komplementarnymi miarami ryzyka

26

Test warunków skrajnych: stress tests


Etap 1. Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)

reakcja portfela na zmiany czynników ryzyka (risk factors), m.in.: wartości indeksów giełdowych,

położenie krzywej dochodowości,

kursy walutowe,

ceny surowców.

Etap 2. Analizy scenariuszowe (scenario analysis)

ocena jak zmieni się wartość portfela przy różnych uwarunkowaniach, np. : credit crunch,

ogłoszenie niewypłacalności przez głównego klienta,

nasilenie się ataków terrorystycznych.

Etap 3. Testy warunków skrajnych

warunek skrajny = najgorszy możliwy scenariusz27

Testy warunków skrajnych:

schemat dla pełnego modelu


1. Scenariusze historyczne, przykładowo:

Wielki kryzys z lat 30-tych

Kryzys ERM z 1992 r.

Kryzys azjatycki z 1997 r.

Kryzys finansowy z lat 2007-2009

Wartość WIG:

9 lipca 2007: 67 772,91

18 lutego 2009: 20 370,29

spadek o 70% w półtorej roku

Kurs EUR/PLN:

31 lipca 2008: 3,20 PLN/EUR

18 lutego 2009: 4,90 PLN/EUR

deprecjacja o 35% w pół roku

28

Testy warunków skrajnych: jakie scenariusze?


2. Scenariusze hipotetyczne, tj. zdarzenia, które niekoniecznie miały miejsce w przeszłości, ale mogą się wydarzyć w przyszłości

gwałtowne zmiany klimatyczne

ogłoszenie niewypłacalności przez rząd

wprowadzenie nowych regulacji

Brexit / Polexit

Epidemia

Atak Korei Północnej na K. Południową

29



2. „Standardowe” scenariusze hipotetyczne

przykładowo zaproponowane przez Derivatives Policy Group (1995):

parallel yield curve shifts of 100 basis points up and down

steepening and flattening of the yield curves (2's to 10's) by 25 basis points;

increase and decrease in equity index values by 10 percent

increase and decrease in the exchange value of foreign currencies by 6 percent (major currencies) and 20 percent (other currencies)

increase and decrease in swap spreads by 20 basis points.

30



Przykładowy skład portfela:

A1, 40%: krajowe obligacje rządowe, średni czas trwania (duracja) 5 lat

A2, 10%: krajowe obligacje korporacyjne, średni czas trwania (duracja) 3 lata

A3, 30%: akcje krajowe

A4, 20%: akcje zagraniczne

Etap 1. Analiza wrażliwości:

31

Test warunków skrajnych: przykład

A1 A2 A3 A4 Portfel

Z1: 1% zmiana wartości indeksów giełdowych (w kraju i zagranicą) 0% 0% 1% 1% 0,5%

Z2: wzrost krzywej dochodowości na całej długości o 100 pb. -5% -3% 0% 0% -2,3%

Z3: deprecjacja kursu o 1% 0% 0% 0% 1% 0,2%

Z4: wzrost spreadu na obligacjach korporacyjnych o 100 pb. 0% -3% 0% 0% -0,3%

Z5: wzrost cen surowców o 1% 0% 0% 0% 0% 0,0%


Analiza wrażliwości

Analiza scenariuszowa

Wartość portfela dla najgorszego scenariusza, czyli:spadek indeksów, wzrost st. proc., aprecjacja kursu i wzrost spreadu

∆ ln M � �5% � 2,3% � 4,0% � 0,3% � �11,6%

32

Test warunków skrajnych : przykład

Portfel

Z1: 1% zmiana wartości indeksów giełdowych (w kraju i zagranicą) 0,5%

Z2: wzrost krzywej dochodowości na całej długości o 100 pb. -2,3%

Z3: deprecjacja kursu o 1% 0,2%

Z4: wzrost spreadu na obligacjach korporacyjnych o 100 pb. -0,3%

Z5: wzrost cen surowców o 1% 0,0%

Portfel

S1: Spadek/wzrost indeksów giełdowych (w kraju i zagranicą) o 10% ±5,0%

S2: Spadek/wzrost krzywej dochodowości na całej długości o 100 pb. ±2,3%

S3: Aprecjacja/deprecjacja kursu złotego o 20% ±4,0%

S4: Spadek/ wzrost spreadu na obligacjach korporacyjnych o 100 pb. ±0,3%


Scenariuszem może być także zmiana rozkładu dla stóp zwrotu

(średnia, odchylenie standardowe, korelacje).

Przykładowo, wśród „standardowych” scenariuszy hipotetycznych zaproponowanych przez Derivatives Policy Group (1995) znajdziemy:

increase and decrease in all 3-month yield volatilities by 20 percent,

increase and decrease in equity index volatilities by 20 percent,

increase and decrease in foreign exchange rate volatilities by 20 percent.

W przypadku scenariuszy historycznych, wyszukujemy okresów o podwyższonej zmienności, wysokich korelacjach czy dużych spadkach

33



Wartość zagrożona w sytuacji skrajnej obliczana jest z zastosowaniem podobnej metodologii, jak w przypadku zwykłej miary wartości zagrożonej. Różnica polega na tym,

że S-VaR jest liczony przy bardziej konserwatywnych założeniach dotyczących rozkładu stóp zwrotu (niższa oczekiwana stopa zwrotu, podwyższona zmienność, itp.)

Przykładem może być metodologia liczenia scenariusza skrajnego w dokumencie: rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) nr 1286/2014 w sprawie dokumentów zawierających kluczowe informacje (KID) dla detalicznych

produktów zbiorowego inwestowania i ubezpieczeniowych produktów inwestycyjnych (PRIIP) przez ustanowienie regulacyjnych standardów technicznych

(RTS) – załącznik V (link)

W którym zastosowano wzór Cornisha-Fischera i przyjęto, że:

- wartość oczekiwana jest wynosi � 0

- O to 99 percentyl rolowanego odch. std. dla okna 21-dniowego

- OP to 1 percentyl rozkładu normalnego

34

Wartość zagrożona w sytuacji skrajnej:

stressed VaR, S-VAR


Przykładem może być metodologia liczenia scenariusza skrajnego w dokumencie: rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) nr 1286/2014 w sprawie dokumentów zawierających kluczowe informacje (KID) dla detalicznych

produktów zbiorowego inwestowania i ubezpieczeniowych produktów inwestycyjnych (PRIIP) przez ustanowienie regulacyjnych standardów technicznych

(RTS) – załącznik V (link)

gdzie dla horyzontu krótszego niż rok:

- to 99 percentyl rolowanego odch. std. dla okna 21-dniowego

- OP to 1 percentyl rozkładu normalnego

Porównując do wzoru Cornisha-Fishera dla VaR o horyzoncie �:

�� 2" �2"� � 1

6

�

��2"( � 32"

24

*

��22"

( � 52"

36

��

�

można zauważyć, że w scenariuszu skrajnym nastąpiła zmiana odchylenia std. oraz przyjęto, że oczekiwana stopa zwrotu wynosi � 0.

35

Wartość zagrożona w sytuacji skrajnej:

stressed VaR, S-VAR


Zadanie 1. Dla wybranego przez siebie funduszu określ (jakościowo), jaki byłby wynik testów skrajnych dla standardowych scenariuszy

przesunięcie krzywej dochodowości o 100 pb

zmiana cen akcji o 10%

deprecjacja złotego o 20%

zmiana ryzyka kredytowego o 100 pb.

Zadanie 2. Na podstawie danych dla wybranego przez siebie funduszu określ, zidentyfikuj scenariusz historyczny pozwalający określić, jakiej największej straty można się spodziewać w horyzoncie najbliższego roku.

36



Zadanie 3. Dla szeregów czasowych opisujących wycenę wybranego funduszu inwestycyjnego, oblicz wartości VaR o horyzoncie 1 rok (250 dni) z modelu normalnego oraz poziomu tolerancji Q � 1%(metoda Root Square of Time). W scenariuszu skrajnym przyjmij, że ∗ jest minimalną, zaś �∗ jest maksymalną wartością rolowanej średniej / odchylenia standardowego w okienku o szerokości 3 miesiące. Oblicz wartość S-VaR przy powyższych założeniach.

Zadanie 4. Dla szeregów czasowych opisujących wycenę wybranego funduszu inwestycyjnego, oblicz wartości VaR o horyzoncie 1 rok (250 dni) z modelu Cornisha-Fishera dla poziomu tolerancji Q � 1%. Przyjmij, że w scenariuszu skrajnym ∗ � 0, zaś �∗ jest 99 percentylem rolowanego odchylenia standardowego w okienku 21 dni. Oblicz wartość S-VaR przy powyższych założeniach.

37


Blok 2. Temat 7: Backtesting

38


39

Co to jest backtesting


40

Procedura backtestingu


41

Przekroczenia VaR


42

Bazylea II: sygnalizacja świtlna


43

Backtesting: co weryfikujemy


44

Backtesting jako regresja


45

Test Kupca: pokrycie


46

Test Christoffersena: niezależność


47

Test Christoffersena: niezależność + pokrycie


48

Zastosowanie: symulacja historyczna


49

MA20 z rozkł. normalnym / t-Studenta


50

MA200 z rozkł. normalnym / t-Studenta


51

EWMA kalibrowany z rozkładem normalnym


52

EWMA estymowany z rozkładem t-Studenta


53

GARCH z rozkładem normalnym I


54

GARCH z rozkładem normalnym II


55

GARCH z rozkładem t-Studenta


56

Test McNeila i Freya dla ES


57

Symulacja historyczna


58

MA250 z r. normalnym / t-Studenta


59

EWMA kalibrowany, r. normalny


60

EWMA estymowany, r. t-Studenta


61

GARCH, r. normalny


62

GARCH, r. t-Studenta


63

Backtesting dla całego rozkładu


64

Test Berkowitza’01


65

Test Berkowitza - wyniki


66

Blok 2, Temat 7, Zadania


W trakcie zajęć można uzbierać:

20 punktów za 2 prezentacje po 10 punktów

10 punktów za egzamin tradycyjny

2 punkty za aktywną obecność (każda nieobecność to minus 0.5 pkt)

10 punktów za prezentację składa się z:

6 punktów za przeprowadzone obliczenia

3 punkty za styl (max strona tytułowa + 6 slajdów).

1 punkt za sposób prezentacji (limit 8 minut)

Wydrukowana prezentacja powinna być dostarczona do prowadzącego zajęcia.

67

Zasady zaliczenia

punkty do 15 do 18 do 21 do 24 do 27 od 27

ocena ndst dst dst+ db db+ bdb


68

Zakres informacji na prezentacji z Bloku 2

1. Informacje na temat funduszu

2. Wykres danych historycznych za ostatnie 5 lat

3. Wartość VaR dla horyzontu 10 dni roboczych uzyskanych za pomocą:

modelu normalnego i metody root square of time

symulacji MC z modelu GARCH

4. Zmianę ceny portfela w scenariuszu nasilenia napięć geopolitycznych na Bliskim Wschodzie, przekładającego się na:

wzroście cen surowców energetycznych o 100% i nieenergetycznych o 50%

wzroście krzywej dochodowości na całej długości o 150 pb (na całym świecie)

spadku cen akcji na rynkach rozwiniętych o 10%, zaś na rynkach rozwijających się o 15%

odpływie kapitału z rynków wschodzących i deprecjacji ich kursów o 15%

5. Wybrana na postawie backtestingu (testy Kupca i Christoffersena) najlepsza metoda wyznaczania 5% VaR wraz z możliwie wąskim oknem estymacji:

backtesting na możliwie najdłuższych danych (ale max 10 lat)

porównanie wyników testów (statystyki) z metodami alternatywnymi

porównanie 1-okresowego 1% i 5% VaR wyznaczonego za pomocą wybranej metody z wynikami z pierwszej prezentacji

Modelowanie Ryzyka Finansowego z R - prace trwajaweb.sgh.waw.pl/~mrubas/MRFzR/pdf/MRFR prezentacja...

Documents

Transcript of Modelowanie Ryzyka Finansowego z R - prace trwajaweb.sgh.waw.pl/~mrubas/MRFzR/pdf/MRFR prezentacja...