Model Ramsey’a-Cass’a-Koopmans’a

Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Plan wykładu

• Wprowadzenie do modelu

• Rozwiązanie modelu

• Wnioski

• Uwaga – na slajdach znajdują się wyłącznie główne elementy; część szczegółowych wyjaśnień jest omawianych podczas wykładu, natomiast nie ma ich na slajdach

Wprowadzenie do modelu

• Jest to właściwie wersja modelu Solowa, ale….

• …w modelu Solowa stopa oszczędności była dana, co jest pewną wadą modelu (pomimo, że w długim okresie okazuje się całkiem rozsądnym założeniem)

• Model RCK zakłada, że stopa oszczędności jest zmienną wybieraną przez gospodarstwa domowe w procesie optymalizacji (czy stopa oszczędności zmienia się wraz z dochodem?)

• Model ten jest punktem wyjścia do wielu współczesnych modeli wzrostu (i innych modeli makroekonomicznych)

Założenia

• Gospodarka jest nadal zamknięta • Dla ułatwienia załóżmy, że brak jest postępu technicznego, czyli A jest

stałe • Załóżmy też stałe, egzogeniczne tempo wzrostu liczby ludności,

równe n

• Gdy nie będzie to budziło wątpliwości, będziemy pomijać subskrypty czasowe, czyli zamiast xt będziemy pisać x. Czas nadal w ujęciu ciągłym

nt

oteLL

Gospodarstwa domowe

• Gospodarstwa domowe dostarczają na rynek pracę (podaż pracy g.d. jest równa 1) w zamian za płacę (którą traktują jako daną), konsumują oraz oszczędzają

• Horyzont gospodarstwa domowego jest nieskończony

• Gospodarstwo domowe maksymalizuje użyteczność, gdzie c to konsumpcja na głowę:

0)(lim)(lim

0)(0)(

0

})({

0

0

cucu

cucu

n

dteetcuU

cc

ntt

Gospodarstwo domowe

• G.D. oszczędza i gromadzi aktywa A (ograniczenie budżetowe),gdzie r oznacza stopę procentowa, zaś w to płaca

• ..i w ujęciu na głowę (na głowę)

• Gra Ponziego (piramida finansowa) jest wykluczona

nacrawa

CwLrAA

Metody matematyczne

• Napotykamy tu na problem dynamicznej optymalizacji w czasie ciągłym – metodą do wykorzystania jest Hamiltonian

• Musimy określić zmienne kontroli (które „wybieramy” lub też „kontrolujemy”) i stanu (które zależą od naszego wyboru, ale my ich bezpośrednio nie „wybieramy”)

• Musimy zmaksymalizować pewną funkcję, która zależy od obu tych zmiennych, biorąc pod uwagę „zachowanie” zmiennej stanu

• Dokładniej…

Metody matematyczne

• Przy warunkach :

,),(max0

)(dtckv t

T

ttc

0

0

),(

0

rT

Tt

t

tt

ek

k

ckgk

Hamiltonian - procedura

• Krok pierwszy – konstruujemy Hamiltonian

• Krok drugi –liczymy pochodną po zmiennej kontrolnej, którą przyrównujemy do zera

• Krok trzeci liczymy pochodną po zmiennej stanu i przyrównujemy ją do minus pochodnej mnożnika po czasie

• Krok czwarty – warunek transwersalności

),(*),(ttttt

ckgckvH

0dc

dH

dk

dH

t

tt k 0lim

Powróćmy do gospodarstwa domowego

• Krok pierwszy – konstruujemy Hamiltonian:

• Krok drugi –liczymy pochodną po zmiennej kontrolnej, którą to pochodną przyrównujemy do zera

• Krok trzeci liczymy pochodną po zmiennej stanu i przyrównujemy ją do minus pochodnej mnożnika po czasie

• Krok czwarty – warunek transwersalności

))(()( )( canrwecuH tn

0)( )( tnecudc

dH

)( nrda

dH

t

tt a 0lim

Funkcja użyteczności gospodarstwa domowego

• Załóżmy, ze funkcja użyteczności gospodarstwa domowego ma konkretną postać:

• Z czego wynika, że Hamiltonian to:

• Policzmy, co trzeba

1;01

1)(

1

t

t

ccu

))((1

1 )(1

canrwec

H tnt

ce

cec

edc

dH

tn

tntn

)(

)(

2

)(

)1(

0)1(

)1()1(

nr

nrda

dH

)(

Obliczenia

c

cn

przezpodzielmy

ccecence t

tn

t

tn

tt

tn

)(

)1()2(

)())(2()1(1)()()(

r

c

c

c

cnnr

r

c

c

• Podstawiamy:

Gospodarstwa domowe

• Gospodarstwa domowe maksymalizują użyteczność, gdy stopa wzrostu konsumpcji jest wyznaczona przez iloraz obliczony na poprzednim slajdzie

• Stopa wzrostu będzie tym większa, im większa jest różnica pomiędzy stopą procentową a stopą dyskontową

• Intuicyjnie – stopa procentowa to „nagroda” za odłożenie konsumpcji w czasie (redukcja bieżącej konsumpcji); stopa dyskontowa zmniejsza „wartość” przyszłej konsumpcji

• Mianownik – jak bardzo chcemy wygładzać konsumpcję w czasie

• Co wyznacza stopę procentową? Krańcowa produktywność kapitału. Tu musimy popatrzeć na zachowanie firm

Firmy • Funkcja produkcji jest neoklasyczna

• Firmy maksymalizują zysk

• Wiemy, że to oznacza, że:

• Zwróćmy uwagę, że krańcowy produkt kapitału (R) musi być równy sumie „r” oraz „d”, czyli kosztowi „pożyczenia” kapitału od gospodarstw domowych plus stracie wartości kapitału spowodowanej deprecjacją.

• Równość ta wynika na przykład z neoklasycznej teorii inwestycji

),( LKFY

}),({0

RKwLLKFet

rt

drR

oraz

wMPNdN

dFRMPK

dK

dF

Wielkości per capita

• Krańcowy produkt pracy i kapitału można wyrazić w ujęciu per capita:

kkfkfL

KkfLkf

dL

dY

kfL

kfLdK

dY

L

KLfkLfY

)()()()(

)(1

)(

)()(

2

Mamy więc rozwiązanie

kndckfk

orazdkfdRc

c

)()(

)(11

Kapitał i aktywa

• Wiemy, że akumulacja kapitału dana jest wzorem:

• W gospodarce zamkniętej: k=a

• Równanie akumulacji kapitału jest tym samym, co równanie akumulacji aktywów.

cnkwrkcnkwdkRkk

ckndkkfkfkkfk

kndckfk

)(

)(*)()(*)(

)()(

Diagram fazowy – dwa równania

• Określmy, kiedy c oraz k nie rosną i spróbujmy narysować..

kndyckndcyk

rc

c

)()(0

0

Diagram fazowy

Rysunek zaczerpnięty z wykładów dr hab. Marcina Kolasy http://web.sgh.waw.pl/~mkolas/EARF/Ramsey.pdf

0

c

0

k

Diagram fazowy – dynamika

kG

Diagram fazowy

n

żewiemy

ndkfdk

dc

kndkfc

gdyk

dkf

czyli

dR

gdyc

,

)(0

)()(

0

)(

0

• Skąd wiemy, że linia „stabilnej konsumpcji” przetnie dzwon „stabilnego kapitału” na lewo od szczytu? Z rachunków….

…czyli wielkość kapitału, wyznaczająca linię „stabilnej konsumpcji” musi być mniejsza niż kapitał, który wyznacza maksymalną konsumpcję, gdy kapitał jest stabilny, czyli kG

Wnioski

• Kraj osiągnie stan ustalony

• Kiedy kraj zmierza do stanu ustalonego, to stopa oszczędności będzie się zmieniać, co wyznacza kształt ścieżki siodłowej, który z kolei zależy od ϴ

• Wielkość ρ (dyskonto przyszłości) wyznacza poziom kapitału na głowę w stanie ustalonym, czyli wyznacza też wielkość oszczędności

Wnioski

• Niskie ϴ – nie zależy nam na wygładzaniu konsumpcji w czasie – kapitał rośnie szybko, gospodarka szybko zmierza do stanu ustalonego

• Wysokie ϴ – zależy nam na wygładzaniu konsumpcji w czasie – konsumujemy stosunkowo dużo, kapitał rośnie wolno, gospodarka wolno zmierza do stanu ustalonego

Cierpliwość jako determinanta rozwoju gospodarczego?

• Stopa dyskontowa (bądź cierpliwość) określają naszą skłonność do oszczędzania.

• Ile wynosi stopa dyskontowa?

• Ogromna ilość badan na ten temat - zob np. http://www.nyu.edu/econ/user/bisina/FredLoew.pdf

• Badania dotyczą też determinant stopy dyskontowej

• Wskazuje się na

– czynniki kulturowe (indywidualizm stopę dyskontową )

– religia (wiara w reinkarnację stopę dyskontową)

– dochód (zmniejsza stopę dyskontową)

– Część wynalazków (na przykład druk)

Oszacowania stopy dyskontowej

Badania dotyczące cierpliwości (Wang, Rieger, Hens, 2016)

Which offer would you prefer?

A. a payment of $3400 this month

B. a payment of $3800 next month

Cierpliwość i rozwój

• „Patience, or the inverse of the time preference rate, is a central variable in theoretical models of economic growth. In the Ramsey–Cass–Koopmans growth model with exogenous technical progress and an endogenous saving rate, more patient countries have a higher steady state capital stock and higher output per worker.”

• Hubner & Vannoorenberghe2015; http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165176515004139

Cierpliwość endogeniczna?

• Potrzeba instrumentu!

• Takim instrumentem jest język – gramatyczne formy związane z czasem.

• Wyniki podobne.

Podsumowanie intuicyjne

• Funkcja produkcji jest neoklasyczna , czyli na przykład

• Dla ułatwienia zakładamy brak postępu technicznego

• Wnioski są bardzo podobne do tych wynikających z modelu Solowa:

– Gospodarka osiągnie stan ustalony, w którym kapitał na głowę i produkcja na głowę są stałe

N

Kk

N

Yy

ky

AANKY

gdzie

1)( 1

Podsumowanie intuicyjne

• Chcemy się przekonać, jak będą się kształtowały oszczędności i konsumpcja gospodarstw domowych

• Gospodarstwa domowe maksymalizują użyteczność, wtedy, gdy

• ..konsumpcja będzie rosła czyli kiedy „wynagrodzenie” za oszczędzanie jest wyższe niż stopa dyskontowa

• ..obecnie ograniczamy konsumpcję (oszczędzamy), za to w przyszłości konsumujemy więcej

r

c

c

Podsumowanie intuicyjne

• Gospodarstwa domowe oszczędzają; fundusze te są wykorzystane przez przedsiębiorstwa na inwestycje

• Przedsiębiorstwa inwestują, gdyż chcą osiągnąć optymalną wielkość kapitału , obliczoną dzięki :

• Obie strony traktują stopę procentową r jako daną; jest ona jednak kształtowana w wyniku równowagi pomiędzy popytem na fundusze (przedsiębiorstwa), a ich podażą (gospodarstwa domowe)

drRdk

dy

dK

dY

Podsumowanie intuicyjne

• W rezultacie stopa procentowa r równa jest krańcowemu produktowi kapitału plus deprecjacji , a więc

dkfr

c

c )('

• To równanie jest uniwersalne – będziemy go wielokrotnie używać

Podsumowanie intuicyjne

• W przypadku modelu RCK widzimy, że ponieważ f’(k) jest coraz mniejszy, kiedy rośnie kapitał, to istnieje taka wielkość kapitału, dla której tempo wzrostu konsumpcji na głowę będzie równe zero.

• Jednocześnie, dla każdej wielkości kapitału, istnieje określona wielkość konsumpcji (i odpowiadającym jej oszczędnościom), która sprawi, że kapitał na głowę będzie stabilny (nie będzie ani przyrastał, ani spadał)

• Ponieważ wszelkie inne rozwiązania są nieoptymalne, to maksymalizujące użyteczność gospodarstwa domowe długim okresie wybiorą właśnie tę stabilną wielkość konsumpcji i kapitału (stan ustalony)

Krytyka

• Nadal jest to model neoklasyczny, w którym tempo wzrostu produkcji w długim okresie jest niewytłumaczone

• Kraje, gdzie kapitał per capita jest niski, powinny charakteryzować się wysokimi stopami procentowymi, kraje o wysokim kapitale – niskimi stopami

• Paradoks Lukasa – dlaczego kapitał nie przepływa z krajów bogatych do biednych?