ELEKTRYKA 2011

Zeszyt 2 (218) Rok LVII

Andrzej CIOSKA, Zbigniew PILCH

Katedra Mechatroniki, Politechnika Śląska w Gliwicach

MODEL MATEMATYCZNY ORAZ WYNIKI SYMULACJI RUCHU

2-CZŁONOWEGO MANIPULATORA PŁASKIEGO

Streszczenie. W artykule przedstawiono model dwuczłonowego manipulatora ruchu.

Dla parametrów geometrycznych i masowych modelu wyprowadzono dynamiczne

równania ruchu uwzględniając rozłożenie mas, straty mechaniczne oraz ich wzajemne

oddziaływanie. Do opisu ruchu zastosowano notację Denavita-Hartenberga. Dla

wyznaczenia prędkości liniowych i kątowych układu 2-członowego wykorzystano

wyznaczone Jakobiany. Dynamiczne równania ruchu zaimplementowano w środowisku

Matlab-Simulink. Dla porównania uzyskanych wyników symulacji zbudowano model w

programie Inventor 2010. W ostatniej części artykułu przedstawiono wyniki symulacji

oraz porównano uzyskane wyniki z programu Matlab-Simulink i programu Inventor

MATHEMATICAL MODEL AND SIMULATION RESULTS FOR

MOVEMENT 2-ELEMENTS FLAT MANIPULATOR

Abstract. In the article the 2-elements model of the manipulator was described. For

geometrical and mass parameters of the model the move dynamic equations were derived

(taking into account mass decomposition and mechanical losses). The mutual influences

were taken into consideration at those equations. To the description of the manipulator

move the Denavit-Hartenberg notation was applied. For determination of linear and

angular velocity at the 2-elements arrangement were used appointed Jacobians. The

dynamic equations of the move were implemented into Matlab-Simulink. In software

Inventor 2010 was built alternative model. In the last part of article authors presented the

results of investigation. The results of simulation from Matlab-Simulink and Inventor

were compared.

1. RÓWNANIA KINEMATYKI I DYNAMIKI RUCHU MANIPULATORA

2-CZŁONOWEGO

Na rysunku 1 przedstawiono schemat kinematyczny 2-członowego manipulatora

płaskiego o rozłożonych masach ,( 1m ),2m momentach bezwładności ,( 1cI )2cI względem

środków mas ,( 1co .)2co

48 A. Cioska, Z. Pilch

Do poszczególnych członów manipulatora przyporządkowano układy współrzędnych

,(0 0000 zyx ,0 1111 zyx )0 2222 zyx , stosując notację Denavita-Hartenberga [2, 3]. Parametry

kinematyczne: ,ia ,i id i i dla ,2,1i ,)2( n umieszczono w tabeli 1.

y 0z 0

x 0

00

x 1

x 2

z 1

z 2

01

02

y 1.

.

.

y 2

a1

a2

lc1

lc2

o c1

o c2

m2 , I c2

człon "1"

człon "2"

m1 , I c1

Rys. 1. Schemat kinematyczny 2-członowego manipulatora płaskiego o rozłożonych masach

Fig. 1. The kinematic scheme of the 2-element flat manipulator about spread mass

Tabela 1

Parametry kinematyczne

Człon ai m

αi rad

di m

θi rad Przegub

1 2 3 4 5 6

1 1a 0 0 11 q R

2 2a 0 0 22 q R

Przekształcenia jednorodne iA dla 2,1i )( 2n obliczone według [2,3] wynoszą:

Model matematyczny oraz wyniki… 49

1

10000100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(10

101111

1111

10

dRA

a

a-

, (1a)

1

10000100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(21

212222

2222

2 0

dRA

a

a-

, (1b)

natomiast przekształcenia typu i0T dla 2,1i :)( 2n

1

10000100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(10

101111

1111

110

0

dRAT

a

a-

, (2a)

1

10000100

)sin()sin(0)cos()sin(

)cos()cos(0)sin()cos(20

20112122121

112122121

212

00

dRAAT

aa

aa-

. (2b)

Z przekształceń (2a) i (2b) wynikają orientacje osi ,1z 2z oraz położenia środków ,1o 2o

układów współrzędnych ,11110 zyx 22220 zyx wyrażone w układzie :00000 zyx

100

101 kRz , 1

202

100

zkRz

, (3a, 3b)

0

)sin(

)cos(

11

11101

a

a

do ,

0

)sin()sin(

)cos()cos(

11212

11212202

aa

aa

do . (4a, 4b)

Jakobian T][ JJJ v manipulatora 2-członowego, wiążący wektor T20

20 ][ ωvX

prędkości liniowej 20v i kątowej 2

0ω końcówki roboczej z wektorem prędkości przegubowych

,T21 ][ qq q wylicza się z relacji:

10 zz

oozooz

J

JJ

)()( 121020 --v

. (5)

Natomiast istotne w dalszych obliczeniach jakobiany 1cJ i 2cJ względem środków mas

)( 1co i )( 2co odpowiednio dla członów „1” i „2”, oblicza się z relacji:

0

0

0z

ooz

J

JJ

)( 010

1

11

-c

c

cvc

, (6)

10 zz

oozooz

J

JJ

)()( 121020

2

22

-- cc

c

cvc

, (7)

50 A. Cioska, Z. Pilch

przy czym 1vcJ oraz 1cJ z równania (6) wiążą odpowiednio wektory prędkości stycznej 1cv

oraz kątowej 1cω środka masy )( 1co członu „1” z wektorem prędkości przegubowych

,T21 ][ qq q czyli

qJv 11 vcc , qJω

11 cc , (8a, 8b)

zaś 2vcJ oraz 2cJ z równania (7) wiążą odpowiednio wektory prędkości stycznej 2cv oraz

kątowej 2cω środka masy )( 2co członu „2” z wektorem prędkości przegubowych T21 ][ qq q

qJv 22 cvc , qJω

22 cc . (9a, 9b)

Energia kinetyczna kE przesunięciowa i obrotowa dwóch członów manipulatora :)( 2n

22T211

T12

T221

T11

2

1

T2

1

T

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1cccccccccc

i

ciicci

i

ciciik mmmE ωIωωIωvvvvωIωvv

, (10)

gdzie przez 1cI i 2cI oznaczono tensory masowych momentów bezwładności członu „1” i „2”.

Kładąc relacje (8) oraz (9) do relacji (10) przy uwzględnieniu ruchu płaskiego członów

manipulatora (o równoległych osiach obrotowych ),12 zz otrzymuje się:

qDqqJJJJJJJJq T2

T221

T112

T221

T11

T

2

1

2

1 ccccccvcvcvcvck IImmE , (11)

gdzie przez D oznaczono macierz bezwładności manipulatora 2-członowego:

2T

221T

112T

221T

11 ccccccvcvcvcvc IImm JJJJJJJJD . (12)

Z zależności (6) wynika, że 1cvJ i 1cJ jakobianu 1cJ są odpowiednio równe:

0)( 0101 oozJ -ccv , 001 zJ c , (13a, 13b)

gdzie: ,T0 ]100[z ,T0 ]000[o zaś ;101 cc - ooo natomiast środek masy )( 1co członu „1”

z rysunku 1, wyrażony w układzie ,00000 zyx na podstawie relacji (4a) wynosi:

0

)sin(

)cos(

11

11

1

c

c

c l

l

o . (14)

Iloczyn wektorowy )( 010 ooz -c pierwszej kolumny macierzy z relacji (13a), wynosi:

0

)cos(

)sin(

)( 11

11

10010

c

c

cc l

l-

- ozooz . (15)

Uwzględniając powyższe w zależnościach (13), otrzymuje się relacje na 1cvJ i 1cJ jakobianu

1cJ w postaci:

Model matematyczny oraz wyniki… 51

00

0)cos(

0)sin(

11

11

1

c

c

cv l

l-

J ,

01

00

00

1cJ . (16a, 16b)

Występujące w relacjach (11) i (12) iloczyny 1T1 vcvc JJ i ,1

T1 cc JJ po uwzględnieniu relacji (16)

i odpowiednim wyliczeniu są równe:

00

021

1T1

cvcvc

lJJ ,

0001

1T

1 cc JJ . (17a, 17b)

Z równania (7) wynika, że 2cvJ i 2cJ jakobianu 2cJ są równe:

)()( 1210202 oozoozJ -- cccv , 102 zzJ c , (18a, 18b)

gdzie: ,T0 ]100[z ,T0 ]000[o zaś ;202 cc - ooo natomiast środek masy )( 2co członu „2”

z rysunku 1, wyrażony w układzie ,00000 zyx na podstawie relacji (4b) wynosi:

0

)sin()sin(

)cos()cos(

11212

11212

2

al

al

c

c

co , (19)

zaś różnica 12 oo -c występująca w drugiej kolumnie relacji (18a), po uwzględnieniu relacji (4a)

jest równa:

0

)sin(

)cos(

212

212

12

c

c

c l

l

-oo . (20)

Iloczyny wektorowe: 20020 )( cc - ozooz i )( 121 ooz -c pierwszej i drugiej kolumny macierzy

z relacji (18a), wynoszą:

0

)cos()cos(

)sin()sin(

)( 11212

11212

020

al

a-l-

- c

c

c ooz ,

0

)cos(

)sin(

)( 212

212

121

c

c

c l

l-

-ooz . (21a, 21b)

Uwzględniając powyższe w relacjach (18), otrzymuje się relacje na 2cvJ i 2cJ jakobianu 2cJ

w postaci:

00

)cos()cos()cos(

)sin()sin()sin(

21211212

21211212

2

cc

cc

cv lal

l-a-l-

J ,

11

00

00

2cJ . (22a, 22b)

Występujące w relacjach (11) i (12) iloczyny 2T

2 vcvc JJ i ,2T

2 cc JJ po uwzględnieniu relacji

(22) i odpowiednim wyliczeniu są równe:

222122

212221221

22

2T2

)cos(

)cos()cos(2

ccc

ccccvcvc

lall

allalal

JJ ,

1111

2T

2 cc JJ . (23a, 23b)

Kładąc relacje (17) oraz (23) do relacji (12), otrzymuje się macierz bezwładności )(qD

w postaci:

52 A. Cioska, Z. Pilch

2221

121122

22122

212221221

22

21

21

1 1111

)cos(

)cos()cos(2

0001

00

0dd

ddI

lall

allalalmI

lm c

ccc

ccccc

c

D ,

(24)

gdzie poszczególne elementy kjd macierzy bezwładności )(qD są określone relacjami:

221221

2221

21111 ][ )cos(2 ccccc IalalmIlmd , (25)

221222212 ][ )cos( ccc Iallmd , (26)

1221 dd , (27)

222222 cc Ilmd . (28)

Symbole Christoffela ijkc oblicza się według relacji [2,3,6]:

k

ji

j

ki

i

kjijk

q

d

q

d

q

dc

2

1, 2,1,, kji 2n , (29)

różniczkując elementy kjd macierzy bezwładności )(qD z relacji (25)–(28), otrzymując:

02

1

1

11111

q

dc , )sin(

2

12122

2

11211 alm

q

dc c

, (30a, 30b)

211

2

11121

2

1c

q

dc

, 2112122

1

22

2

12221 )sin(

2

1calm

q

d

q

dc c

, (31a, 31b)

2112122

2

11

1

21112 )sin(

2

1calm

q

d

q

dc c

, 0

2

1

1

22212

q

dc , (32a, 32b)

02

1212

1

22122

c

q

dc , 0

2

1

2

22222

q

dc . (33a, 33b)

Elementy kjc macierzy ),( qqC oblicza się według relacji:

2212222111111

2

1

1111 )sin( qalmqcqcqcc c

i

ii

, (34)

21212222211121

2

1

2112 )sin( qqalmqcqcqcc c

i

ii

, (35)

1212222121112

2

1

1221 )sin( qalmqcqcqcc c

i

ii

, (36)

022221122

2

1

2222

qcqcqcc

i

ii , (37)

otrzymując macierz uogólnionych sił odśrodkowych i Coriolisa ),( qqC w postaci:

2221

1211),(cc

ccqqC . (38)

Model matematyczny oraz wyniki… 53

Energia potencjalna V manipulatora 2-członowego:

ii

i

i hgmVV

2

1

, (39)

gdzie przyrost wysokości w polu grawitacji:

cicicixcii llh oiTo , ]001[Ti . (40)

Z zależności (40) wynikają poszczególne przyrosty wysokości 1h i 2h dwóch członów:

)cos(1 1111T

11 cccx lllh cco oi1 , (41a)

)cos(1)cos(1 1121221T

2122 allalah cccxc 2co oi , (41b)

gdzie uwzględniono (wyrażone w układzie współrzędnych )00000 zyx położenie środków mas:

)( 1co członu „1” i )( 2co członu „2” określone odpowiednio równaniami (14) i (19).

Kładąc relacje (41a) i (41b) do relacji (39), otrzymuje się energię potencjalną:

)cos(1)cos(1)( 212211211

2

1

cc

i

i lmamlmgVV , (42)

z której oblicza się elementy kΦ wektora Φ według zależności:

k

kq

VΦ

dla 2,1k , (43)

otrzymując kolejno:

)sin()sin()( 212211211

1

1

cc lmgamlmg

q

VΦ , (44a)

)sin( 2122

2

2

clmg

q

VΦ , (44b)

przy czym wektor Φ dany jest relacją:

T21 ΦΦΦ . (45)

Funkcja dyssypacji energii Rayleigha F manipulatora 2-członowego [1,4]:

2222

2111

2

12

1

2

1qbqbFF

i

i

, (46)

gdzie 11b i 22b są współczynnikami tłumienia wskutek występowania tarcia.

Elementy k wektora τ uogólnionych sił występujących strat mechanicznych oblicza

się według relacji:

k

kq

F

dla 2,1k , (47)

różniczkując funkcję dyssypacji energii Rayleigha F z relacji (46), otrzymuje się:

54 A. Cioska, Z. Pilch

111

1

1 qbq

F

, 222

2

2 qbq

F

. (48a, 48b)

Wektor τ na podstawie relacji (48) dany jest zależnością:

qBτ T

21 , (49)

gdzie diagonalna macierz B oporów mechanicznych dana jest relacją:

22

11

0

0

b

bB . (50)

Równanie Eulera-Lagrange’a manipulatora 2-członowego [2,3] uwzględniające straty

mechaniczne oraz wzajemne oddziaływanie poszczególnych członów:

qBqΦqqqCqqD τ - )(),()( , (51)

gdzie wektor τ jest wektorem uogólnionym sił wymuszających 2 członów manipulatora:

T21 τ . (52)

Równanie (51) rozpisuje się do postaci:

2

1

22

11

2

1

2

1

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

0

0

q

q

b

b

Φ

Φ

q

q

cc

cc

q

q

dd

dd

, (53)

gdzie uogólnione zmienne przegubowe 1q i 2q są kątami przemieszczeń obrotowych 2

członów manipulatora (rys.1):

11 q , 22 q . (54a, 54b)

Z równania (53) wynikają równania ruchu poszczególnych członów:

11111212111212111 qbΦqcqcqdqd , (55)

22222222121222121 qbΦqcqcqdqd . (56)

Kładąc do równań (55) i (56) elementy kjd macierzy bezwładności )(qD określone

zależnościami (25)–(28) i elementy kjc macierzy ),( qqC z zależności (34)–(37) oraz

eksperymentalnie wyznaczone współczynniki tłumienia kkb , otrzymuje się:

2221222212212

21

22211

211 ][][][ )()( )cos()cos(2 qIallmqIalalmqIlm cccccccc

222122212122 )sin()sin(2 qalmqqalm cc

1111212211211 )sin()sin()( qblmgamlmg cc , (57)

21212222

22212212

222 )sin()cos( ][][ )( qalmqIlmqIallm cccccc

22222122 )sin( qblmg c . (58)

Równania (55) i (56) przekształca się do następującej postaci kanonicznej:

Model matematyczny oraz wyniki… 55

21212221222222212112212211112121222122211

1 )()(1

ΦdΦdqdbcdcqdcdbcddddd

q

,

(59)

2111122112222121211121121111211112

2211212

2 )()(1

ΦdΦdqdbcdcqdcdbcddddd

q

.

(60)

Równania ruchu z relacji (59) i (60) zaimplementowano do obliczeń w środowisku

Matlab-Simulink. Schemat modelu obliczeń przedstawiono na rysunku 2.

Rys. 2. Model obliczeniowy w środowisku Matlab-Simulink

Fig. 2. The simulation model in Matlab-Simulink

2. WYNIKI SYMULACJI W ŚRODOWISKACH MATLAB I INVENTOR

Obliczenia symulacyjne przykładowego 2-członowego manipulatora przeprowadzono

w środowisku Matlab-Simulink (rys. 2) oraz w „Module symulacji dynamicznej” programu

Inventor 2010 [5], przy przyjęciu następujących parametrów, tj. przy:

zerowych wymuszeniach momentem: τ1=0 Nm, τ2=0 Nm,

zerowych współczynnikach tłumienia: b11=0 Nms/rad, b22=0 Nms/rad,

kątach początkowych: oq 3011 , oq 3022 (rys.3a),

przyjętych wartościach: mas, masowych momentów bezwładności, wielkościach

geometrycznych równych: m1=0,019kg, m2=0,01kg, Ic1=17,489∙10-6kgm2, Ic2=2,491∙10-6kgm2,

a1=0,1m, a2=0,05m, lc1=0,05m, lc2=0,025m, g=9,80665m/s2.

56 A. Cioska, Z. Pilch

Konfigurację położenia początkowego dwóch członów manipulatora przedstawiono na

rysunku 3a, natomiast na rysunku 3b przedstawiono trajektorię ruchu końcówki członu „2”

oraz chwilowe położenie dwóch członów w czasie .5stk

Na rysunku 4a przedstawiono przebiegi czasowe odległości )(20 tfl d końcówki

członu „2” (odległości środka 2o układu współrzędnych 22220 zyx z rysunku 1) od środka

bazowego układu )( 00000 zyx otrzymane z obliczeń symulacyjnych w programie Matlab-

Simulink, natomiast na rysunku 4b wyniki odpowiadającej symulacji w Inventorze.

Dodatkowo przeprowadzono serie obliczeń w środowisku Matlab-Simulink dla różnych

wartości wybranych wielkości geometrycznych; przy czym na końcu członu „2” zawieszono

kulę o zmienianym promieniu Rk (masie mk), której środek ciężkości pokrywa się ze środkiem

układu współrzędnych 22220 zyx członu „2” (rys.1). Do obliczeń przyjęto następujące

parametrycznie zmieniane wielkości geometryczne manipulatora:

długość a2 zmieniano w zakresie od 0,02 m do 0,0 5m z krokiem równym 0,001 m,

promień Rk kuli zmieniano w zakresie od 0 do 0,02 m z krokiem równym 0,0005 m.

a) b)

Rys. 3. a) Konfiguracja położenia początkowego 2-członowego manipulatora płaskiego; b) trajektoria

ruchu końcówki członu drugiego oraz chwilowe położenie członów w czasie stk 5

Fig. 3. a) The initial configuration of 2-elements flat manipulator; b) the trajectory of the move end of

the second element and momentary putting elements in the time stk 5

Model matematyczny oraz wyniki… 57

a) b)

Rys. 4. Przebiegi czasowe odległości )(tfl końcówki członu „2” od początku układu bazowego

otrzymane z obliczeń w Matlabie (a) i Inventorze (b)

Fig. 4. Temporal relation distance )(tfl of end the element „2” from the beginning of base coordinate

system – results from Matlab (a) and from Inventor (b)

Na rysunku 5 przedstawiono charakterystyki ),( 211

xam0 aRf kω chwilowych

maksymalnych prędkości kątowych członu „1” manipulatora dla różnych wartości długości a2

członu „2” i promienia Rk zawieszonej kuli.

Na rysunku 6 przedstawiono charakterystyki ),( 222

xam1 aRf kω chwilowych

maksymalnych prędkości kątowych członu „2” manipulatora względem członu „1”.

Rys. 5. Zależność ),( 21 aRf k maksymalnej prędkości kątowej członu „1”

Fig. 5. Relation ),( 21 aRf k of the maximum angle speed of the element „1”

58 A. Cioska, Z. Pilch

Rys. 6. Zależność ),( 22 aRf k maksymalnej prędkości kątowej członu „2”

Fig. 6. Relation ),( 22 aRf k of the maximum angle speed of the element „2”

Na rysunku 7 przedstawiono charakterystyki ),( 2max2 aRf k chwilowych maksymalnych

przemieszczeń kątowych członu „2” manipulatora dla różnych wartości długości a2 członu „2”

i promienia Rk kuli.

Ze zbiorów otrzymanych zależności ),( 211

xam0 aRf kω i ,),( 222

xam1 aRf kω

graficznie przestawionych na rysunku 5 i 6, wyznaczono supremum oraz infimum dla

prędkości kątowych, czyli: rad/s582,7sup1 oraz rad/s002,5inf1 dla członu „1”

i rad/s31,26sup2 oraz rad/s464,6inf2 dla członu „2”. Następnie, dla tak wyznaczonych

wartości ekstremalnych, znaleziono odpowiadające pary dla wartości a2 i Rk wprowadzanych

parametrów geometrycznych przy symulacyjnych obliczeniach w środowisku Matlab-

Simulink, takich że zależności ),( 211

xam0 aRf kω i ),( 222

xam1 aRf kω nie przekraczają

wyznaczonych wcześniej supremum sup1 oraz sup2 i infimum inf1 oraz .inf2

Rys. 7. Zależność ),( 2max2 aRf k maksymalnego kąta wychylenia członu „2”

Fig. 7. Relation ),( 2max2 aRf k of the maximum angle displacement of the element „2”

Model matematyczny oraz wyniki… 59

Wybrane wartości a2 i Rk parametrów geometrycznych zestawiono w tabeli 2; przy czym

pierwszy wiersz tabeli 2 odnosi się do członu „1”, zaś drugi wiersz do członu „2”

manipulatora. W kolumnach 2 i 3 tabeli 2 umieszczono wartości parametrów geometrycznych

a2 (50,0 mm, 20,0 mm) i Rk (18,8 mm, 20,0 mm) dla uzyskania nieprzekroczenia wyznaczonego

supremum prędkości kątowych (kolumna 4): rad/s582,7sup1 dla członu „1” (wiersz 1)

i sup2 rad/s31,26 dla członu „2” (wiersz 2). Natomiast w kolumnach 5 i 6 tabeli 2

przedstawiono wartości parametrów geometrycznych a2 (20,0 mm, 50,0 mm) i Rk (18,4 mm,

0,0 mm) dla uzyskania nieprzekroczenia wyznaczonego infimum prędkości kątowych

(kolumna 7): inf1 rad/s002,5 dla członu „1” (wiersz 1) i rad/s464,6inf2 dla członu

„2” (wiersz 2).

Tabela 2

Zestawienie wybranych wartości a2 i Rk

Człon

Dla nieprzekroczenia supremum

prędkości

Dla nieprzekroczenia infimum prędkości

a2

mm

Rk

mm

ωi sup

rad/s

a2

mm

Rk

mm

ωi inf

rad/s

1 2 3 4 5 6 7

„1” 50,0 18,8 7,582 20,0 18,4 5,002

„2” 20,0 19,5 26,310 50,0 0,0 6,464

Dla znalezionych wartości par a2 i Rk parametrów geometrycznych przedstawionych

w tabeli 2, przeprowadzono obliczenia symulacyjne przez czas s10Δ t wyznaczając

zależności prędkości kątowych: )( 111 f dla członu „1” dla rad/s582,7sup1 i

rad/s002,5inf1 oraz )( 222 f dla członu „2” dla rad/s31,26sup2 i rad/s464,6inf2 . Na

rysunku 8a przedstawiono zależności )( 111 f dla członu „1” dla otrzymania

rad/s582,7sup11 (1) i 1 rad/s002,5inf1 (2), natomiast na rysunku 8b zależności

)( 222 f dla członu „2” dla otrzymania rad/s31,26sup22 (3) i rad/s464,6inf22 (4).

Na rysunkach 8c i 8d przedstawiono wyodrębnione zależności z rysunków 8a i 8b uzyskane w

pierwszej sekundzie symulacji, czyli w czasie s1Δ t .

60 A. Cioska, Z. Pilch

a) b)

c) d)

Rys. 8. Zależności: (a) )( 11 f dla członu „1” dla rad/s582,7sup11 (1) i rad/s002,5inf11 (2) oraz

(b) )( 22 f dla członu „2” dla rad/s31,26sup22 (3) i rad/s464,6inf22 (4) dla symulacji

przez czas ;s10Δ t (c) i (d) – zależności (a) i (b) dla symulacji przez czas s1Δ t

Fig. 8. Relations )( 11 f for element „1” for rad/s582,7sup11 (1) and rad/s002,5inf11 (2) and (b)

)( 22 f for element „2” for rad/s31,26sup22 (3) and rad/s464,6inf22 (4) for the

simulation through the time ;s10Δ t (c) i (d) – relations (a) and (b) for the simulation through

the time s1Δ t

3. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

W artykule przedstawiono opracowany i numerycznie zweryfikowano model dynamiczny

ruchu manipulatora 2-członowego planarnego, uwzględniający wzajemne oddziaływania

członów oraz straty mechaniczne tarcia w węzłach łożyskowych. Przeprowadzono obliczenia

symulacyjne porównawcze w środowisku Matlab-Simulink oraz w Inventor 2010.

Na rysunku 3b przedstawiono trajektorię ruchu końcówki członu „2”. Na rysunkach 4a

i 4b przedstawiono przebiegi czasowe zmieniającej się odległości końcówki członu „2” od

środka układu bazowego obliczone odpowiednio w Matlabie-Simulinku i Inventorze.

Dokonano serii obliczeń w środowisku Matlab-Simulink dla różnych wybranych

wielkości geometrycznych przy zmienianej masie mk kuli zawieszonej na końcu członu „2”

Model matematyczny oraz wyniki… 61

(środek układu )22220 zyx oraz przy zmienianej długości a2. Wyznaczono chwilowe

maksymalne prędkości kątowe członu „1” (rys. 5) oraz członu „2” (rys. 6) przy różnych a2

i mk (Rk) oraz chwilowe maksymalne przemieszczenia kątowe członu „2” (rys. 7).

Z charakterystyk z rysunków 5 i 6 wyznaczono supremum oraz infimum prędkości kątowych

członu „1” i członu „2”. Dla takich ekstremalnych wartości znaleziono odpowiadające pary a2

i Rk parametrów geometrycznych nieprzekraczających wyznaczone supremum i infimum, co

przedstawiono w tabeli 2. Dla tak znalezionych par a2 i Rk przeprowadzono obliczenia

symulacyjne wyznaczając zależności prędkości kątowych w funkcji kątów dla członu „1”

(rys. 8a) i członu „2” (rys. 8b).

Wyznaczone zależności a2 i Rk posłużą problematyce doboru prawidłowej konfiguracji

położenia członu „2” względem członu „1” istotnej przy doborze optymalnej mocy napędów

układów dwumasowych ze wzajemnym oddziaływaniem.

BIBLIOGRAFIA

1. Meisel J.: Principles of Electromechanical Energy Conversion. McGraw-Hill Company,

New York 1966.

2. Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów. WNT, Warszawa 1997.

3. Skalmierski B.: Mechanika. PWN, Warszawa 1998.

4. Puchała A.: Dynamika maszyn i układów elektromechanicznych. PWN, Warszawa 1977.

5. Tutorial for Autodesk Inventor 2010.

6. De Luca A., Book W.: Robots with Flexible Elements. Springer Handbook of Robotics,

2008.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Krzysztof Latawiec

Wpłynęło do Redakcji dnia 8 sierpnia 2011 r.

Abstract

In the article they presented drawn up and numerically a dynamic model of the movement

of the 2-elements manipulator was verified planar taking into account mutual influences of

elements and mechanical losses of rubbing in bearing knots. Simulation calculations were

conducted comparative in the environment Matlab-Simulink and in Inventor 2010.

In picture 3b was described trajectory of the move of the end of the element „2”. On

pictures 4 and 4b was described temporal courses of the changing distance of the end of the

element „2” from means of the base arrangement calculated appropriately in Matlab-Simulink

and Inventor.

Pictures from 5 to 8 presents reports associated with angle speeds element „1” and „2” for

different values of geometrical greatnesses of the manipulator.