Analiza równowagi cząstkowej podaży. Przegląd pojęć mikroekonomicznych

• Koszty stałe a zmienne (stałe – niemożliwe do zmiany w krótkim okresie czasu)

• Pojęcie "długiego okresu" – wszystkie koszty mogą ulec zmianie

• Równowaga krótkookresowa przedsiębiorstwa: MR=MC (dla przedsiębiorstwa na rynku konkurencyjnym: MR=p)

• Jeżeli w równowadze krótkookresowej p>AC, to przedsiębiorstwo osiąga zysk ekonomiczny; jeżeli AVC<p<AC, to przedsiębiorstwo ponosi stratę, ale powinno kontynuować produkcję aż do końca krótkiego kresu; jeżeli p<AVC, to przedsiębiorstwo powinno opuścić rynek natychmiast

• Krótkookresowa funkcja podaży na rynku konkurencyjnym składa się z sumy krótkookresowych funkcji podaży poszczególnych przedsiębiorstw

• Długookresową krzywą podaży przedsiębiorstwa konkurencyjnego jest część krzywej MC położona powyżej krzywej AC

• Długookresowa krzywa podaży na rynku składającym się z n identycznych przedsiębiorstw zdefiniowanych przez p=p*=c(y*)/y*=const, gdzie c – długookresowa krzywa kosztów pojedynczego przedsiębiorstwa, zaś y*– poziom produkcji minimalizujący koszt przeciętny (tj. przy którym MC=AC)

• Dla danej krzywej popytu, na rynku konkurencyjnym krzywe kosztów przedsiębiorstw determinują liczbę przedsiębiorstw, które na tym rynku są aktywne w równowadze

• Ustanowienie podatku na rynku konkurencyjnym: w krótkim okresie czasu rozkład obciążeń podatkowych (tax incidence) dotknie zarówno kupujących, jak i sprzedających; w długim okresie czasu dotknie wyłącznie kupujących

• Czynnik produkcji, którego podaż jest nieelastyczna (z jakiejkolwiek przyczyny – naturalnej bądź prawnej) jest nabywany – nawet w długim okresie czasu – po tzw. cenie wynajmu (rental price) wyższej aniżeli cena graniczna (reservation price) wymaganej przez swego właściciela; różnica stanowi rentę (rent); renta nie determinuje ceny (istnieje zależność odwrotna)

• Na rynku konkurencyjnym zyski znikają

• Pogoń za rentą (rent seeking) prowadzi do bezowocnej utraty (deadweight loss) dobrobytu, ponieważ nie tworzy wartości, natomiast zatrudnia czynniki produkcji, aby wpłynąć tylko na jej podział

• Nałożenie podatku na dobro produkowane za pomocą czynnika, którego podaż jest nieelastyczna powoduje zazwyczaj obniżkę renty

Równowaga ogólna

Równowaga cząstkowa: zrównanie popytu i podaży na pojedynczym rynku

Równowaga ogólna: jednoczesne zrównanie popytu i podaży na wszystkich rynkach Notacja:

k – liczba konsumentów n – liczba rynków (produktów); jednym z towarów może być praca – czyli zasób posiadany przez każdego konsumenta m – liczba przedsiębiorstw Numerowanie konsumentów: i=1,...,k Numerowanie rynków (produktów): j=1,...,n Numerowanie przedsiębiorstw: h=1,...,m

Gospodarka czystej wymiany (bez produkcji)

Wyposażenie (alokacja początkowa) i-tego konsumenta: ωi1, ωi2,..., ωin

Całkowite wyposażenie w j-ty towar: ωj = ω1j+ω2j+...+ωnj

Popyt brutto (alokacja końcowa) i-tego konsumenta: xi1,xi2,...,xin

Całkowity popyt na j-ty towar: xj = x1j+x2j+...+xnj

Popyt nadwyżkowy i-tego konsumenta: xi1−ωi1,xi2−ωi2,...,xin−ωin

Przypadek ogólny: z produkcją:

yhj – podaż netto j-tego towaru z h-tego przedsiębiorstwa

Uwaga: Jeśli yhj<0, to h-te przedsiębiorstwo zużywa więcej j-tego towaru,

aniżeli produkuje. Liczba −yhj=|yhj| stanowi wtedy wartość (wtórnego) popytu h-tego przedsiębiorstwa na j-ty towar

Wykonalność produkcji

Plan produkcyjny h-tego przedsiębiorstwa musi być wykonalny, tj.

(yh1,...,yhn)∈Yh, gdzie Yh jest zbiorem możliwości produkcyjnych tegoż przedsiębiorstwa

Definicje całkowitej podaży rynkowej i popytu:

yj = y1j+...+ymj – całkowita podaż netto j-tego towaru

zj = xj−ωj−yj – całkowity popyt nadwyżkowy na j-ty towar

Zysk h-tego przedsiębiorstwa: πh = p1yh1+...+pnyhn

Udział i-tego konsumenta w zysku h-tego przedsiębiorstwa: θih

Dla każdego przedsiębiorstwa h: θ1h+...+θkh = 1 Wykonalna alokacja – następujący układ jest spełniony:

x11+x21+...+xk1 = ω11+ω21+...+ωk1+y1, x12+x22+...+xk2 = ω12+ω22+...+ωk2+y2, ... x1n+x2n+...+xkn = ω1n+ω2n+...+ωkn+yn,

Uzupełniająca notacja: x = [x1,...,xn]' – wektor popytu (kolumnowy) p = [p1,...,pn] – wektor cen (wierszowy) Uwaga:

Liczby ωij oraz θih są parametrami modelu równowagi ogólnej. Liczby xij, yhj, a zatem również zj są funkcjami cen p

Definicja równowagi Walras Każda para (p*,x*) taka że dla każdego towaru j zachodzi:

xj*:= x1j(p*)+...+xkj(p*) ≤ ω1j+...+ωkj+y1j+...+yhj,

tj. zj(p*)≤0 Definicja ograniczenia budżetowego (budget line, BL) i-tego konsumenta:

p1xi1+...+pnxin = p1ωi1+...+pnωin+θi1∑j pjy1j+...+θim∑j pjymj Twierdzenie (Prawo Walras)

Jeśli wszyscy konsumenci spełniają ograniczenia budżetowe, to

wartość popytu nadwyżkowego wynosi zero, tj. ∑j pjzj = 0

Dowód Prawa Walras:

∑j pj zj

1= ∑j pj (xj−ωj−yj) =

2= ∑j pj (∑i xij−∑i ωij−∑h yhj) =

3= ∑j pj (∑i xij−∑i ωij−∑h (∑i θih)yhj) =

4= ∑j ∑i(pjxij−pjωij−∑h θihpjyhj) =

5= ∑j ∑i(pjxij−∑j pjωij−∑h θih ∑j pjyhj) =

6= ∑j 0 = 0.

Wyjaśnienie kroków:

1 z definicji popytu nadwyżkowego 2 podstawienie definicji xj, ωj oraz yj

3 czynnik θ1h+...+θkh=1 został wstawiony dla każdego h 4 wykonano mnożenie przez pi 5 zmieniono kolejność sumowania 6 wyrażenie, które należy zsumować jest różnicą pomiędzy lewą i

prawą stroną ograniczenia budżetowego

Uwaga Prawo Walras zachodzi dla każdego systemu cen p, nie tylko dla cen równowagi

Wnioski z Prawa Walras

(1) Jeśli wartość popytu nadwyżkowego na n−1 rynkach wynosi zero, to również wartość popytu nadwyżkowego na pozostałym n-tym rynku wynosi zero

(2) W celu znalezienia równowagi Walras wystarczy rozwiązać układ

n−1 cen równowagi na odpowiadającym im n−1 rynkach (3) Dobrem wolnym (free good) nazywa się każde dobro, na które

popyt nadwyżkowy jest ujemny. W równowadze cena takiego dobra wynosi zero

(4) Dobrem pożądanym (desired good) nazywa się każde dobro, na które popyt nadwyżkowy przy zerowej cenie jest dodatni. Jeśli wszystkie dobra 1,...,n są pożądane, to w równowadze popyt nadwyżkowy na każdym rynku wynosi 0

Ekonomia dobrobytu

Definicja optimum Pareto Taka kombinacja wiązek {xij} należących do wykonalnej alokacji, że żaden z konsumentów nie może poprawić swego położenia inaczej jak tylko przez pogorszenie położenia innemu konsumentowi

Dwa fundamentalne twierdzenia ekonomii dobrobytu Wiążą optymalność Pareto z równowagą rynkową

Pierwsze Twierdzenie Ekonomii Dobrobytu Jeśli (p*,x*) jest równowagą Walras na rynku, którego wszyscy uczestnicy są cenobiorcami oddziałującymi na siebie wyłącznie w drodze dobrowolnych transakcji, to x* stanowi optimum Pareto

Drugie Twierdzenie Ekonomii Dobrobytu Załóżmy, że • wszystkie podmioty są cenobiorcami, • wszystkie przedsiębiorstwa mają wypukłe zbiory możliwości

produkcyjnych, • wszyscy konsumenci mają wypukłe krzywe (powierzchnie)

obojętności. Wtedy dla każdego optimum Pareto x* istnieje wektor cen p* oraz alokacja początkowa wyposażeń, taka że x* może zostać osiągnięty jako równowaga rynkowa (p*,x*)

• Dowód Pierwszego Twierdzenia Ekonomii Dobrobytu dla gospodarki czystej wymiany. Załóżmy, że (p*1,...,p*n,x*1,...,x*n) stanowi równowagę Walras i załóżmy, że nie jest to optimum Pareto, a więc istnieje alokacja x'=(x'1,...,x'n) spełniająca te same ograniczenia oraz preferowana względem x*=(x*1,...,x*n). Ale gdyby x' był preferowany względem x*, przy czym x* został wyznaczony jako punkt równowagi przy cenach p*, to znaczyłoby to, że x' musiał być nie możliwy do nabycia (za drogi). Innymi słowy,

p*1(x'11+...+x'k1) +...+ p*n(x'1n+...+x'kn) > p*1(x*11+...+x*k1) +...+ p*n(x*1n+...+x*kn).

Jednak w modelu czystej wymiany:

x'11+...+x'k1 = x*11+...+x*k1 = ω1, ... ,

x'1n+...+x'kn = x*1n+...+x*kn = ωn.

Stąd p*1ω1 +...+ p*nωn > p*1ω1 +...+ p*nωn, co stanowi sprzeczność.

• Prostokąt Edgewortha może być wykorzystany w celu graficznego dowodu Drugiego Twierdzenia Ekonomii Dobrobytu w szczególnym przypadku gospodarki czystej wymiany z dwoma dobrami i dwoma konsumentami

Prostokąt Edgewortha Analiza graficzna wykonalnych alokacji w modelu czystej wymiany, gdy k=n=2 (nałożenie na siebie dwóch układów współrzędnych używanych dla analizy wyboru konsumenckiego: szerokość prostokąta = ω11+ω21, wysokość prostokąta = ω12+ω22; drugi układ jest obrócony o 180o)

Twierdzenie

Na rynku doskonale konkurencyjnym z dwoma konsumentami charakteryzującymi się wypukłymi krzywymi obojętności, równowaga w prostokącie Edgewortha zostanie osiągnięta w punktach, w których krzywe obojętności tych konsumentów są do siebie styczne. Współczynnik kierunkowy stycznej równa się (co do wartości bezwzględnej) stosunkowi cen p*

1/p*2.

33

99

OOAA

OOBB

Fig. 1

1100

55

88

22

IIBB((66))

IIBB((1122))

IIAA((2277)) IIAA((1166))

XX00

OOAA

OOBB

Fig. 2

1100

55

88

22

IIBB((88))

66

IIAA((1188))

XX**

XX00

33

Obrazek 1 ilustruje następującą sytuację: krzywe obojętności

konsumenta A, IA(α) są dane wzorem x2A=α/x1A, zaś krzywe obojętności

konsumenta B, IB(β) – wzorem x2B=β/x1B (α,β>0 – parametry); dodatkowo zakładamy, że całkowita ilość pierwszego dobra wynosi 10, zaś drugiego – 5. Ponadto diagram odpowiada alokacji początkowej pierwszego dobra 8:2, zaś drugiego – 2:3 (punkt X0). Są dwie krzywe

obojętności zawierające ten punkt: x2A=16/x1A (α=16) oraz x2B=6/x1B

(β=6). A wolałby znaleźć się na wyższej krzywej obojętności, powiedzmy

w punkcie (9,3), czyli na krzywej x2A=27/x1A (α=27). Tymczasem B wolałby mieć więcej wszystkiego, czyli znaleźć się, powiedzmy w (3,4), a

więc na krzywej x2B=12/x1B (β=12). Niemożliwe jest jednoczesne zaspokojenie tych oczekiwań. Przykładowym rozwiązaniem, które mogłoby umieścić obydwa podmioty w punkcie preferowanym przez obydwu (należałoby w tym celu rozwiązać pewien układ równań) jest:

x1A*=6, x2A*=3, x1B*=4, x2B*=2, α=18, β=8, p= p1/p2 =0,5 (zob. obrazek 2). Podmioty A i B znajdują się odpowiednio na IA(18) oraz IB(8) i są w lepszym położeniu niż w X0. Widać z rysunku, że nie mogliby jednocześnie jeszcze bardziej poprawić swych położeń. Istnieje wiele cen równowagi, które pasują do tego rozwiązania, np. p1=1, p2=2, albo p1=7, p2=14, albo p1=0,5, p2=1 itd., byleby tylko p1/p2=p=0,5.

Definicja W prostokącie Edgewortha, krzywą kontraktową (albo zbiorem Pareto set) nazywamy zbiór wszystkich alokacji, które są optymalne w sensie Pareto

Ekonomia dobrobytu a monopol

• Równowaga Walras na rynku monopolistycznym może nie być optymalna w sensie Pareto

• Monopolista różnicujący ceny nie spełnia założeń modelu równowagi ogólnej

Funkcje dobrobytu Optimum Pareto można formalnie zdefiniować jako rozwiązanie następującego problemu:

Zmaksymalizować {u1(x11,...,x1n):

u2(x21,...,x2n) ≥ u'2, ..., uk(xk1,...,xkn) ≥ u'k,

x11+...+xk1 ≤ ω1+y1, ..., x1n+...+xkn ≤ ωn+yn, f(y1,...,yn) = 0}, gdzie u'2, ..., u'k – parametry, f – funkcja produkcji zapewniająca, że plany produkcyjne przedsiębiorstw (y11,...,y1n), ..., (ym1,...,ymn) są zgodne z ich zbiorami możliwości produkcyjnych Y1, ..., Ym.

Uwaga Zakładając, że funkcje u1,...,uk są różniczkowalne, tzw. warunki pierwszego rzędu (first order conditions, FOC), czyli warunki konieczne dla istnienia rozwiązania, mogą być wyprowadzone z Twierdzenia Kuhna-Tuckera, przy użyciu odpowiedniej funkcji Lagrange'a:

L(x11,...,x1n, ..., xk1,...,xkn, y1,...,yn; λ2,..., λk, ρ1,..., ρn, φ) =

= u1(x11,...,x1n) + λ2(u2(x21,...,x2n) −u'2)+...+ λk(uk(xk1,...,xkn) −u'k)

− ρ1(x11+...+xk1−ω1−y1) −...− ρn(x1n+...+xkn−ωn−yn) − φf(y1,...,yn). Są to:

∂L/∂xij = 0, ∂L/∂yj = 0, ∂L/∂λj = 0, ∂L/∂ρj = 0 oraz ∂L/∂φ = 0, czyli:

λi∂ui/∂xij − ρj = 0 dla i=1,...,k (po zdefiniowaniu λ1=1) oraz j=1,...,n,

ρj − φ∂f/∂yj = 0 dla j=1,...,n,

ui(x11,...,x1n) − u'i = 0 dla i=2,...,k,

x1j+...+xkj−ωj−yj = 0 dla j=1,...,n oraz f(y1,...,yn) = 0.

Wniosek Z warunków pierwszego rzędu wynika:

∂ui/∂xij : ∂ui/∂xiq = ρj : ρq dla i=1,...,k, j,q=1,...,n,

∂f/∂yj : ∂f/∂y q = ρj : ρq dla j,q=1,...,n, a zatem również:

∂ui/∂xij : ∂ui/∂xiq = ∂f/∂yj : ∂f/∂yq Te ostatnie są znane jako warunki równowagi dla produkcji i konsumpcji:

MRSjq = MRTjq

Liczby ρj nazywane są cenami ukrytymi (shadow prices) Przy pewnych założeniach (m.in. wklęsłość ui oraz wypukłość f), warunki pierwszego rzędu są wystarczające dla znalezienia rozwiązania wyjściowego problemu maksymalizacji, a więc optimum Pareto

Definicja Bergsona-Samuelsona funkcja dobrobytu społecznego W: Rkxn

→ R zdefiniowana na indywidualnych preferencjach, która spełnia następujący warunek: jeśli dla każdego i=1,...k, ui(x'i1,...,x'in) ≥ ui(xi1,...,xin), to wówczas W(u1(x'11,...,x'1n),... uk(x'k1,...,x'kn)) ≥ W(u1(x11,...,x1n),... uk(xk1,...,xkn))

Przykłady funkcji dobrobytu społecznego (dla przejrzystości argumenty funkcji ui zostały pominięte)

• Klasyczna (Benthama, utylitariańska): W(u1,...,uk) = a1u1+...+akuk, gdzie parametry a1,...,ak > 0 (w szczególnym przypadku: a1=1...=ak=1)

• Minimaksowa (Rawlsa, egalitariańska): W(u1,...,uk) = min{u1,...,uk}

• Maksimaksowa (Nietzsche'go, elitystyczna): W(u1,...,uk) = max{u1,...,uk}

Maksymalizacja funkcji dobrobytu społecznego: Zmaksymalizować {W(u1(x11,...,x1n),... uk(xk1,...,xkn)):

x11+...+xk1 ≤ ω1+y1, ..., x1n+...+xkn ≤ ωn+yn, f(y1,...,yn) = 0},

Tak jak dla optimum Pareto, warunki pierwszego rzędu (przy założeniu, że W jest różniczkowalna) mogą zostać wyprowadzone z Twierdzenia Kuhna-Tuckera zastosowanego do następującej funkcji Lagrange'a:

L(x11,...,x1n, ..., xk1,...,xkn, y1,...,yn; λ2,..., λk, ρ1,..., ρn, φ) = W(u1(x11,...,x1n),... uk(xk1,...,xkn))+

− ρ1(x11+...+xk1−ω1−y1) −...− ρn(x1n+...+xkn−ωn−yn) − φf(y1,...,yn).

Są to:

∂L/∂xij = 0, ∂L/∂yj = 0, ∂L/∂ρj = 0 oraz ∂L/∂φ = 0, czyli:

∂W/∂ui ∂ui/∂xij – ρj = 0 dla i=1,...k oraz j=1,...,n,

ρj – φ∂f/∂yj = 0 dla j=1,...,n, x1j+...+xkj−ωj−yj = 0 dla j=1,...,n oraz f(y1,...,yn) = 0.

Z równań tych wynika, że:

∂ui/∂xij : ∂ui/∂xiq = ρj : ρq dla i=1,...,k, j,q=1,...,n,

∂f/∂yj : ∂f/∂y q = ρj : ρq dla j,q=1,...,n, a stąd również:

∂ui/∂xij : ∂ui/∂xiq = ∂f/∂yj : ∂f/∂yq Ostatni warunek jest identyczny z warunkiem wyprowadzonym dla optimum Pareto

Twierdzenie Jeśli (x*

11,...,x*1n, ..., x

*k1,...,x

*kn) maksymalizuje ściśle

monotoniczną funkcję dobrobytu społecznego przy pewnych ograniczeniach, to wynik jest optymalny w sensie Pareto

Dowód:

Załóżmy, że (x*11,...,x

*1n, ..., x

*k1,...,x

*kn) nie jest optimum Pareto.

Istnieje wówczas alokacja (x'11,...,x'1n, ..., x'k1,...,x'kn), taka że np. u1(x'11,...,x'1n) > ui(x

*11,...,x

*1n) oraz ui(x'i1,...,x'in) ≥ ui(x

*i1,...,x

*in) dla

i=2,...,k. Wtedy, z definicji funkcji dobrobytu społecznego: W(u1(x'11,...,x'1n),... uk(x'k1,...,x'kn)) ≥

≥ W(u1(x*11,...,x

*1n),... uk(x

*k1,...,x

*kn)),

zaś ze ścisłej monotoniczności funkcji W, nierówność musi być ostra. Stąd (x*

11,...,x*1n, ..., x

*k1,...,x

*kn) nie mógł maksymalizować

W.

Efekty zewnętrzne (externalities) Efekt zewnętrzny (niepieniężny, non-pecuniary) ma miejsce wówczas, gdy zysk przedsiębiorstwa zależy od działań innych podmiotów, lub gdy użyteczność konsumenta zależy od działań innych podmiotów, przy czym ich wpływ nie ogranicza się do mechanizmu cenowego Uwaga

Efekt zewnętrzny tworzony jest przez działanie podmiotu, który nie ponosi jego konsekwencji. Dodatni efekt zewnętrzny ma miejsce wówczas, gdy to działanie podwyższa zysk przedsiębiorstwa lub użyteczność konsumenta, zaś ujemny ("koszt zewnętrzny") wówczas, gdy je obniża.

Uwaga

Efekt zewnętrzny ma miejsce wówczas, gdy nie ma rynku na czynnik, który go powoduje (np. gdy prawa własności są źle określone).

Definicja Efekt (koszt) społeczny = efekt (koszt) prywatny + efekt (koszt) zewnętrzny

Kryterium Kaldora-Hicksa poprawy dobrobytu

W rezultacie zmiany alokacji dobrobyt społeczny wzrasta, jeśli podmiot przeniesiony na wyższą krzywą obojętności jest w stanie zaoferować podmiotowi, który znalazł się na niższej krzywej użyteczności taką rekompensatę w formie transferu dóbr, po którym pierwszy nadal odnotowuje poprawę, zaś drugi nie odnotowuje pogorszenia

W (marshallowskiej) analizie równowagi cząstkowej poprawa dobrobytu w sensie Kaldora-Hicksa oznacza wzrost nadwyżki ekonomicznej Uogólnione optimum Pareto ("optimum społeczne") – alokacja, która maksymalizuje nadwyżkę ekonomiczną, tj. TSB-TSC (całkowite korzyści społeczne pomniejszone o całkowite koszty społeczne)

Twierdzenie Optimum Pareto stanowi uogólnione optimum Pareto

Twierdzenie

W uogólnionym optimum Pareto poprawa Kaldora-Hicksa nie jest możliwa

Uwaga

Warunkiem pierwszego rzędu dla uogólnionego optimum Pareto jest:

MSB=MSC, gdzie

MSB=TSB' oraz MSC=TSC'; Marginal External Cost, MEC =

MSC−MPC; MPC – Marginal Private Cost.

Twierdzenie O ile popyt nie jest doskonale nieelastyczny (tj. jeśli tylko nie zachodzi MB=const), oraz jeśli MPC<MSC (tj. MEC>0), to wtedy x*<xM, gdzie x* jest uogólnionym optimum Pareto (optimum społecznym), zaś x

M jest alokacją osiąganą w równowadze

rynkowej (prywatne optimum). Innymi słowy, a równowaga rynkowa nie jest optymalna w sensie Pareto (zachodzi zawodność rynku, market failure).

Definicja

Koszt transakcyjny – koszt przygotowania i przeprowadzenia transakcji (łącznie z kosztem wyegzekwowania kontraktu); pomijany w sformułowaniach twierdzeń ekonomii dobrobytu (jak również w wielu konwencjonalnych analizach ekonomicznych)

Twierdzenie Coase'a (wersja poprawna matematycznie) Jeśli nie występują koszty transakcyjne, jeśli dwa racjonalnie postępujące podmioty są w stanie negocjować wielkość efektu zewnętrznego, jaki jeden z nich powoduje u drugiego, jeśli prawa własności są dobrze określone i jeśli rozkład bogactwa nie ma wpływu na wielkości krańcowe, to (1) końcowa alokacja zasobów będzie optymalna w sensie Pareto (tak więc nie będzie zawodności rynku); oraz (2) alokacja końcowa nie będzie zależała od początkowej alokacji praw własności.

Uwaga

W twierdzeniu Coase'a, (1) zachodzi nawet wówczas, gdy rozkład bogactwa ma wpływa na wielkości krańcowe

Twierdzenie Coase'a (wersja pop; niepoprawna) Jeśli koszty transakcyjne są zaniedbywalnie małe, zaś prawa własności są dobrze określone, to wielkość efektu zewnętrznego może stać się przedmiotem negocjacji i zawodność rynku zostanie w ten sposób wyeliminowana

Uwaga

Jeśli twierdzenie Coase'a nie ma zastosowania, to eliminacja zawodności rynku wymaga jakiejś formy interwencji, np. w formie:

• regulacji ilościowej, tj. ograniczenia x≤x* (w przypadku ujemnego efektu zewnętrznego); albo

• podatku Pigou, tj. PT(x)=MEC(x*)(x-x0), gdzie x0 jest dowolnym progiem; albo

• połączenia (scalenia) podmiotów tworzących i odczuwających efekty zewnętrzne ('institutional internalization')

Reguła Weitzmana "względnych nachyleń" W świecie doskonałej informacji, posiadanie informacji potrzebnej dla określenia podatku Pigou, jest tożsame z posiadaniem informacji potrzebnej dla określenia regulacji ilościowej, czyli do określenia wielkości x0, przy której krańcowy koszt społeczny zrównuje się z krańcową korzyścią eliminując zatem zawodność rynku spowodowaną efektami zewnętrznymi. Innymi słowy, regulacja cenowa (podatkowa) jest równie dobra jak regulacja ilościowa (bezpośrednia). W świecie, w którym regulatorzy nie dysponują informacją potrzebną do sporządzenia wykresu wyznaczającego optimum Pareto, regulacja ilościowa może nie być równoważna z regulacją cenową. Jedna z nich może być lepsza od drugiej. W celu usprawnienia analizy stosujemy nieco inny zapis, w którym koszty prywatne i zewnętrzne (lub społeczne) są reprezentowane przez osobne krzywe.

Notacja • Niech koszty i korzyści zewnętrzne zostaną zagregowane do

"kosztów netto" • Niech koszty i korzyści prywatne zostaną zagregowane do

"korzyści netto" • Wówczas warunek MSB=MSC charakteryzujący (uogólnione)

optimum Pareto jest równoważny warunkowi MNEC=MNPB, gdzie • MNSC = MSC-MEB • MNEC = MNSC-MPC • MNPB = MPB-MPC Dowód:

MSC=MSB MSC-MEB=MSB-MEB MNSC=MPB MNSC-MPC=MPB-MPC MNEC=MNPB

Wyprowadzenie reguły Weitzmana Jeśli MNEC jest znany z pełną dokładnością, natomiast dla MNPB znane jest tylko nachylenie, to

• -(MNPB)' > (MNEC)' ⇒ Regulacja cenowa zagraża mniejszym błędem niż regulacja ilościowa

• -(MNPB)' < (MNEC)' ⇒ Regulacja cenowa zagraża większym błędem niż regulacja ilościowa

Welfare loss from introducing standard Xs instead of X

strue

Welfare loss from introducing Pigouvian tax Ps instead of Pstrue

XX

mmoonneeyy

Ps

Pstrue

MMNNEECC

MMNNPPBB

Xs Xstrue

XX Xs

mmoonneeyy

Ps

Pstrue

MMNNEECC

MMNNPPBB

Xstrue

((aa)) ((bb))

Dobra publiczne

Zasada niewykluczalności (Non-exclusion principle): Jeśli jednostka dobra zostanie dostarczona, to nie można nikogo wykluczyć z jej użytkowania

Zasada niekonkurencyjności (Non-rivalry principle):

Ta sama jednostka dobra może być jednocześnie wykorzystana przez więcej niż jednego użytkownika

Dobro publiczne:

Każde dobro spełniające zasadę niewykluczalności i niekonkurencyjności

Dobro prywatne:

Każde dobro, które nie spełnia zasady niewykluczalności i nie spełnia zasady niekonkurencyjności

Twierdzenie Warunki pierwszego rzędu na optymalną podaż dobra publicznego: MRS1

12+MRS212+...+MRSk

12 = -p1/p2, gdzie 1 – dobro publiczne, 2 – dobro prywatne, k – liczba użytkowników dobra publicznego (konsumentów), MRSi

12 – krańcowa stopa substytucji dla i-tego użytkownika pomiędzy dobrem publicznym a prywatnym.

Dowód: Dla uproszczenia załóżmy, że k=2. Znalezienie optimum Pareto w gospodarce z dobrem publicznym wymaga rozwiązania problemu: Zmaksymalizowaćx,G{u1(x1,G): u2(x2,G)≥u0

2, x1+x2+c(G)=ω1+ω2}, gdzie c(G) – koszt (poświęcona ilość dobra prywatnego) dostarczenia podaży dobra publicznego.

Dowód (c.d.): Z twierdzenia Kuhna-Tuckera:

L(x1,x2,G,λ,µ) = u1 − λ(u2 −u02) − µ(x1+x2+c−ω1−ω2) oraz:

∂L/∂x1 = ∂u1/∂x1 − µ = 0, tj.

∂u1/∂x1 = µ, (1)

∂L/∂x2 = −λ∂u2/∂x2 − µ = 0, tj.

−∂u2/∂x2 = µ/λ, (2)

∂L/G = ∂u1/∂G − λ∂u2/∂G − µ∂c(G)/∂G = 0, tj.

(1/µ)∂u1/∂G − (λ/µ)∂u2/∂G = ∂c(G)/∂G (3) Podstawiając (1) i (2) do (3):

∂u1/∂G : ∂u1/∂x1 + ∂u2/∂G : ∂u2/∂x2 = ∂c(G)/∂G, tj.: MRS

1 + MRS

2 = MC(G) = -p1/p2

Wniosek W twierdzeniu, jeśli drugim dobrem jest zagregowane dobro prywatne o jednostkowej cenie (a więc pieniądz) to warunek pierwszego rzędu przyjmuje postać:

MB1+MB

2+...+MB

k = MC,

gdzie MBi oznacza krańcową korzyść i-tego konsumenta z tytułu wykorzystania dobra publicznego, zaś MC – krańcowy koszt dostarczenia tego dobra.

Wniosek

Krzywą popytu na dobro publiczne otrzymuje się przez sumowanie cen granicznych, jakie gotowi są płacić potencjalni użytkownicy (konsumenci) za określoną ilość tego dobra

Uwaga Zasada niewykluczalności implikuje tzw. jazdę na gapę (free-riding behaviour); konsumenci unikają zakupu dobra, oczekując, że zostanie ono zakupione przez kogoś innego. W rezultacie na nieregulowanym rynku podaż dobra publicznego jest niższa aniżeli społecznie optymalna.

Uwaga

Sposoby podniesienia podaży dobra publicznego: prywatyzacja, przełamanie zasady niewykluczalności (dobra "klubowe"), finansowanie z budżetu publicznego, podatek motywacyjny (Groves-Clarke Tax).

Groves-Clarke Tax (GCT) • Koszt dostarczenia dobra publicznego wynosi c. Jego wartość dla

potencjalnych użytkowników 1,2,...,k wynosi v1,v2,...,vk. Powinno zostać dostarczone, jeśli v1+v2+...+vk ≥ c.

• Użytkownicy uzgadniają, że zostanie sfinansowane z ich indywidualnych wkładów c1+c2+...+ck=c, jeśli suma wartości netto n1+n2+...+nk≥0, gdzie ni=vi-ci dla i=1,2,...,k.

• Wartości netto ni (podobnie jak całkowite wartości vi) znane są tylko poszczególnym użytkownikom. Faktyczne negocjacje oparte są na deklarowanych wartościach netto s1,s2,...,sk, które niekoniecznie są równe prawdziwym wartościom netto n1,n2,...,nk.

• Użytkownicy uzgadniają, że dobro zostanie dostarczone, jeśli s1+s2+...+sk≥0, oraz że deklaracja si pociąga za sobą zapłacenie podatku GCT obliczonego według następującego wzoru:

GCTi = ∑j≠isj jeśli ∑j≠isj≥0 oraz ∑jsj<0, (1)

GCTi = − ∑j≠isj jeśli ∑j≠isj<0 oraz ∑jsj≥0, (2) GCTi = 0 w przeciwnym razie. (3)

• Jeśli ma miejsce (1) lub (2), to podmiot nazywany jest rozstrzygającym (pivotal).

Twierdzenie Podatek GCT dostarcza podmiotom motywacji do rzetelnego deklarowania swoich preferencji.

Uwaga

GCT pozwala na obliczenie optymalnej podaży dobra publicznego, ale ogranicza podaż dobra prywatnego poniżej poziomu optymalnego, ponieważ zabiera podmiotom (rozstrzygającym) część ich dóbr prywatnych.

Równowaga Lindahla Problem:

Znaleźć równowagę Walras w rozszerzonym modelu rynku:

xj*:=∑ixij(p*,G) ≤ ∑iωij+∑hyhj(p*,G),

tj. zj(p*,G) ≤ 0, oraz BL i-tego konsumenta dane jest równaniem

∑jpjxij = ∑jpjωij+∑hθih∑jpjyhj+θi0π0, zaś przedsiębiorstwo nr h =0 dostarcza dobra publicznego G, osiągając zysk

π0 = ∑jpjy0j+p0G. Mechanizm sprzedaży dobra publicznego wymaga różnicowania cen po to, by od każdego użytkownika pobrać cenę (opłatę) równą jego krańcowej korzyści z tytułu użytkowania dobra.

Definicja Rozszerzony model rynku może zostać zdefiniowany jako model Walras z właściwie zinterpretowanymi zmiennymi xij oraz właściwie zinterpretowanym zbiorem możliwości produkcyjnych Y0.

• zdefiniujmy dodatkowe dobra prywatne – po jednym dla każdego konsumenta i, oraz każdego 'zwykłego' przedsiębiorstwa (tj. z wyjątkiem przedsiębiorstwa nr h=0) – oraz ponumerujmy je jako j = n+1, ..., n+k, n+k+1, ..., n+k+m

• xij = 0 dla j>n z wyjątkiem j=n+i; xi,n+i = y0,n+i

• yhj = 0 dla h>0, j>n+k z wyjątkiem j=n+k+h; yh,n+k+h = −y0,n+k+h

• y0,n+1 = ... = y0,n+k+m = G Uwaga

W modelu Lindahla, dobro publiczne jest zastąpione szeregiem dóbr prywatnych, z których każde jest dostarczane w identycznej ilości

Uwaga W modelu Lindahla, cena pobierana przez przedsiębiorstwo nr h=0 może być inna dla każdego nabywcy. Cena całkowita p0 jest wówczas (na mocy zasady niekonkurencyjności) równa sumie wszystkich cen pobieranych od nabywców.

Twierdzenie

Jeżeli zbiory możliwości produkcyjnych wyjściowego modelu (bez dobra publicznego) były wypukłe, to ich rozszerzenia wynikające z podanej wyżej konstrukcji są również wypukłe.

Wniosek

Zarówno pierwsze, jak i drugie twierdzenie ekonomii dobrobytu może zostać rozszerzone na model Lindahla (przy założeniu, że podmioty są cenobiorcami)

Przykład (model Mälera) Tradycyjny model równowagi ogólnej jest uzupełniony o blok reprezentujący 'środowisko przyrodnicze' (dobro publiczne) oraz 'zarządzanie środowiskiem' (przedsiębiorstwo nr h=0). Bloki i przepływy przedstawione za pomocą linii przerywanych nie należą do modelu tradycyjnego (Walras).

SS

PPRROODDUUKKCCJJAA

RREECCYYKKLLIINNGG

AAKKUUMMUULLAACCJJAA

KKAAPPIITTAAŁŁUU

KK

OO

NN

SS

UU

MM

EE

NN

CC

II

VVHH

VVWW

LL00

GG

ŚŚRR

OO

DD

OO

WW

II

SS

KK

OO

VVZZ

VVPP

VVRR

LLPP

CC

GG

DD KK II

ZZAARRZZĄĄDDZZAANNIIEE

ŚŚRROODDOOWWIISSKKIIEEMM

Nowe zmienne (zob. rysunek):

• VZ wydobycie zasobów naturalnych

• VP odpady produkcyjne (nie poddawane recyklingowi)

• VR odpady konsumpcyjne poddawane recyklingowi

• VW odpady konsumpcyjne nie poddawane recyklingowi

• VH ochrona środowiska

• V degradacja środowiska, V = VZ+VP+VW−VH

• LP siła robocza zatrudniona przy produkcji

• L0 siła robocza zatrudniona przy zarządzaniu środowiskiem

• C konsumpcja dóbr i usług

• S sprzęt ochrony środowiska

• G usługi środowiskowe (dobro publiczne) Zmienne 'tradycyjne'

• I inwestycje brutto

• D amortyzacja

• K usługi kapitałowe

Założenia Mälera:

• Dobra i usługi 'tradycyjne' są sprzedawane po cenach nieujemnych

• Odpady są sprzedawane po cenach niedodatnich (tj. pozwolenia na odpady są sprzedawane po cenach nieujemnych; popyt brutto na odpady jest ujemny)

• Ochroną środowiska zarządza agencja, która maksymalizuje zysk z:

• nabywania odpadów (nie recyklingowanych); albo ze sprzedaży pozwoleń na odpady,

• sprzedaży usług środowiskowych (dobra publicznego),

• po potrąceniu kosztów ponoszonych na zapewnienie pożądanej jakości środowiska

Uwaga

Model Mälera może być sformułowany jako model równowagi Lindahla

Uwaga (nierozwiązane problemy modeli równowagi ogólnej z dobrem publicznym / środowiskiem przyrodniczym)

• G=F(V) – 'funkcja produkcji' usług środowiskowych powinna być monotonicznie malejąca i wklęsła, aby wyznaczać wypukłe zbiory możliwości produkcyjnych; tymczasem, jeśli różne rodzaje odpadów mogą się wzajemnie 'neutralizować', F nie musi być ani malejąca, ani wklęsła.

• Wykorzystanie środowiska powoduje efekty zewnętrzne, które mogą zakłócać wypukłość pewnych zbiorów możliwości produkcyjnych (przykład Starreta).

• Każdy rynek, na którym sprzedawane jest dobro publiczne (rzekomo jako dobro prywatne) jest w istocie monopolem bilateralnym, a więc podmioty mogą nie być cenobiorcami.

• Każdy nabywca dobra prywatnego, które w istocie jest dobrem publicznym, może rozumieć, że jego podaż zależy od zakupów dokonywanych przez inne podmioty; stwarza to motywację do 'jazdy na gapę' (model Lindahla nie uwzględnia motywacji dla rzetelnego deklarowania preferencji).

Reguła Hotellinga Model sterowania optymalnego (optimal control theory model):

Zmaksymalizowaću 0∫T g(x(t),t,u(t))dt, gdzie

→ dx(t)/dt = f(x(t),t,u(t)) for 0≤t≤T (równanie stanu, state equation) oraz x(0) = x0 (warunek początkowy, initial condition) x(t) – zmienna stanu, state variable u(t) – zmienna sterowania, control variable

Technika optymalizacji (Hamiltonian):

H(x(t),t,u(t);λ(t)) = g(x(t),t,u(t))+λ(t)f(x(t),t,u(t)), gdzie λ(t) – zmienna sprzężona, co-state variable (adjoint variable)

Warunki konieczne:

→ dλ/dt = −∂H/∂x,

tj. ∂λ/∂t = −∂g/∂x −λ(t)∂f/∂x równanie sprzężone, co-state equation (adjoint equation)

→ H(x(t),t,u(t);λ(t)) = maxuH(x(t),t,u;λ(t)) (Zasada Pontriagina, Pontryagin maximum principle),

tj. ∂H/∂u = 0, chyba że ograniczenia nałożone na zmienną sterowania okażą się wiążące

Problem do rozwiązania:

Znaleźć trzy niewiadome funkcje x, u, λ wykorzystując trzy

równania (→) Założenia ekonomiczne:

• Znaleźć regułę wydobycia, maksymalizującą wartość obecną strumienia zysków ze sprzedaży zasobu wyczerpywalnego na rynku konkurencyjnym

• Wielkość zasobu jest znana i nie może ulec zwiększeniu (np. w następstwie odkryć)

Wyprowadzenie:

Zmaksymalizowaćq 0∫T (p(t) u(t) − c(u,t)) e−rtdt, gdzie

T – moment wyczerpania zasobu p – cena u – wielkość wydobycia (zmienna sterowania) c – koszt wydobycia r – stopa dyskontowa

Przy ograniczeniach:

dx(t)/dt = −u(t) (równanie stanu), gdzie x – wielkość pozostała (zmienna stanu)

x(0) ≥ 0∫Tu(t)dt (sumaryczna wielkość wydobycia nie może

przewyższać wielkości zasobu)

u(t) ≥ 0 Hamiltonian:

H = (p(t) u(t) − c(u,t)) e−rt − λ(t) u(t)

Warunki konieczne:

dλ/dt = −∂H/∂x, tj. dλ/dt = 0, stąd λ(t)=λ=const

∂H/∂u = 0, tj. (p(t)−∂c(u,t)/∂u)e −rt −λ(t) = 0 Stąd:

• p(t)−MC(t) = λert oraz

• (dp/dt−dMC/dt)/(p−MC) = r ('reguła Hotellinga') Interpretacja:

λert – renta rzadkości (scarcity rent) – maksymalna kwota, jaką właściciel zasobu gotów byłby zapłacić za zwiększenie tego zasobu o jednostkę (cena graniczna, reservation price)

Uwaga Regułę Hotellinga można wyprowadzić metodami elementarnymi, ale wówczas odzwierciedla ona tylko warunek równowagi (brak możliwości 'arbitrażu'). Stosują metody sterowania optymalnego, reguła Hotellinga wyznacza nie tylko warunek równowagi, ale i optymalną trajektorię.

Informacja asymetryczna Informacja asymetryczna

Kupujący ma mniej informacji o towarze, aniżeli jego sprzedający, albo na odwrót; nabycie informacji jest możliwe, ale kosztowne.

Uwaga Informacja asymetryczna sprawia, że rynek zawodzi

• Równowaga może ukształtować się nie w optimum Pareto

• Równowaga może nie istnieć Uwaga

Wykorzystywanie informacji może być interpretowane jako efekt zewnętrzny

Selekcja negatywna

Produkt lepszy jest z rynku wypierany przez produkt gorszy; ukryta informacja obniża popyt albo podaż

Przykłady Na rynku ubezpieczeń z asymetryczną informacją na temat szkód:

• Poprawa efektywności może nastąpić przez wprowadzenie obowiązku ubezpieczenia w celu przyciągnięcia na rynek grup niskiego ryzyka

• Grupy niskiego ryzyka mogą również zostać przyciągnięte bez ingerencji rządu (metodami zdecentralizowanymi) Na rynku używanych samochodów z asymetryczną informacją na temat jakości pojazdów:

• Poprawa efektywności może nastąpić spontanicznie (np. przez zachęcanie klientów do nabywania samochodów z gwarancją) Uwaga

Jeśli ukryta informacja obniża popyt na skutek swoistego efektu zewnętrznego (np. spowodowanego podażą towaru o niskiej jakości), to ingerencja rządu może naprawić rynek przez obniżkę poziomu tegoż efektu zewnętrznego

Ryzyko niewłaściwych zachowań (Moral hazard) Brak motywacji ex post dla czegoś, co było w kontrakcie zakładane ex ante; ukryte działanie prowadzi do niedostatecznej podaży

Uwagi

Rynek nie zawodzi, jeśli działania mogą być w sposób doskonały kontrolowane (np. palenie papierosów)

Jeśli ukryte działanie prowadzi do niedostatecznej podaży (skoro większa podaż dawałaby nabywcom motywacje dla niewłaściwych zachowań), to ingerencja rządu jest zazwyczaj niecelowa, ponieważ problem wynika z kosztu informacji, a nie z efektu zewnętrznego

Jeśli zachowanie nie może być obserwowane, to osiągnięcie efektywności na rynku ubezpieczeń wymaga, aby ubezpieczenie nie było pełne

Sygnalizowanie (Signalling) Uwiarygodnianie informacji

Uwaga

Efektywność ulega poprawie w następstwie oferowania gwarancji na sprzedawany towar (gwarancja nie wymaga niepotrzebnych kosztów)

Uwaga

Efektywność nie zostaje osiągnięta, jeśli sygnalizowanie wymaga poniesienia dodatkowych (niepotrzebnych) kosztów (tzw. równowaga separacyjna, separating equilibrium)

Przykład

• Krańcowa produktywność pracowników (nieobserwowana): tępi a1, bystrzy a2; a2 > a1

• Udziały w populacji (obserwowane): Bystrzy b, tępi (1-b)

• Jeśli pracodawca nie może odróżnić tępego od bystrego (ale

∂Q/∂L1=a1 and ∂Q/∂L2=a2, gdzie Q – produkcja, L1 – zatrudnienie tępych, L2 – zatrudnienie bystrych), to w, płaca oferowana powinna być taka sama dla wszystkich i równa

w = (1−b)a1 + ba2

Przykład (c.d.):

• Koszt uzyskania wykształcenia na poziomie e* wynosi c1 dla tępych i c2 dla bystrych, przy czym c2 < c1

• Niech (a2−a1)/c1 < e* < (a2−a1)/c2

• Wówczas tępi wybiorą e1 = 0, zaś bystrzy e2 = e*, ponieważ dla

bystrych: korzyść = a2−a1 > c2e* = koszt, natomiast dla tępych:

korzyść = a2−a1 < c1e* = koszt

• Certyfikat wykształcenia na poziomie e* sygnalizuje pracodawcy, do której kategorii należy kandydat do pracy.

Poprawność motywacyjna (Incentive compatibility) – motywowanie do osiągnięcia efektywności w ramach modelu przełożony-podwładny (principal-agent) Model

x – wysiłek pracownika y=f(x) – produkt (zakłada się, że cena jest równa 1) s(y) albo s(x) – wynagrodzenie pracownika c(x) – koszt ponoszony przez pracownika

uo – poziom aspiracji pracownika: s(f(x))−c(x) ≥ uo (warunek udziału, participation constraint)

Twierdzenie

Warunek poprawności motywacyjnej (Incentive compatibility constraint):

• s(f(x*))−c(x*) ≥ s(f(x))−c(x), gdzie

• x* maksymalizuje f(x)−s(f(x)), tj. f(x)−c(x)−uo, czyli (przy przyjęciu zwyczajowych założeń):

• MP(x*) = MC(x*)

Wniosek Warunek poprawności motywacyjnej jest spełniony, jeśli pracownik jest tzw. residual claimant (tj. ma prawo otrzymania całego krańcowego produktu swojego wysiłku w sąsiedztwie x*)

Przykłady

• Opłata dzierżawna, R: s(f(x)) = f(x)−R, gdzie R wyprowadza się z

warunku działu: f(x*)−c(x*)−R = uo

• Godzinowa (dniowa) stawka wynagrodzenia w plus opłata ryczałtowa K takie, że: s(x) = wx+K, gdzie w=MP(x*), zaś K jest

wyprowadzona z warunku udziału: wx+K−c(x) = uo

• Warunek progowy (take-it-or-leave-it), opłata B, jeśli x≥x*

(alternatywnie: jeśli y≥f(x*)): kwota B jest obliczona na podstawie

warunku udziału: B−c(x*) = uo (przy założeniu, że B≤MP(x*))

Teoria gier Gra dwuosobowa o sumie niezerowej

Przedstawienie sytuacji decyzyjnej za pomocą tablicy par liczb (Pij,Dij). Indeks i=1,...,m, gdzie m jest liczbą strategii (wariantów decyzji) pierwszego gracza, zaś j=1,...,n, gdzie n jest liczbą strategii (wariantów decyzji) drugiego gracza. Liczby Pij stanowią wypłaty dla pierwszego gracza, zaś Dij – dla drugiego, jeśli pierwszy wybrał i-tą strategię, a drugi – j-tą.

Definicja

Strategia i0 pierwszego gracza nazywa się dominującą (dominant), jeśli dla dowolnej strategii i tegoż gracza i dowolnej

strategii j drugiego, Pi0j≥Pij; podobnie, strategia i0 jest zdominowana (dominated), jeśli dla dowolnych strategii i oraz j,

Pi0j≤Pij (analogicznie dla strategii drugiego gracza).

Strategia Nasha (równowaga Nasha) Każda para strategii (i0,j0) takich, że Pi0j0=maxi{Pij0} oraz Di0j0=maxj{Di0j}.

Wniosek Jeśli gracze mają strategie dominujące, to ich para stanowi równowagę Nasha

Uwaga

Istnieją gry nie mające równowagi Nasha Uwaga

Strategie składające się na równowagę Nasha nie muszą być dominujące

Wniosek

Jeśli gracze znajdują się w równowadze Nasha, to – jeśli maksymalizują swoje wypłaty – żaden nie ma motywacji, żeby jednostronnie zmienić swojej strategii

Uwaga: "dylemat więźnia" (Prisoner's dilemma) Równowaga Nasha może zawierać strategie, które nie maksymalizują sumy wypłat dla graczy

Uwaga (założenie behawioralne) Równowaga Nasha wyjaśnia równowagę rynkową w pewnych okolicznościach (przykłady: modele duopolu Cournota i Bertranda)

Strategie mieszane (Definicja)

Zdefiniowane dotychczas strategie są nazwane czystymi (pure). Może być jednak zdefiniowana gra, w której strategie czyste są przez graczy wybierane losowo z ustalonymi

prawdopodobieństwami ππππ=(π1,...,πm) i δδδδ=(δ1,...,δn), odpowiednio

dla pierwszego i drugiego gracza, gdzie π1,...,πm≥0,

π1+...+πm=1 oraz δ1,...,δn≥0, δ1+...+δn=1. Para (ππππ,δδδδ) jest wówczas nazywana wyborem strategii mieszanych.

Wypłaty w grach ze strategiami mieszanymi (Definicja) Jeśli gracze wybierają strategie mieszane, to wypłaty są rozumiane jako wartości oczekiwane wyników zastosowania strategii czystych. Innymi słowy, wypłata pierwszego wynosi

∑ijπiδjPij, zaś drugiego wynosi ∑ijπiδjDij. Uwaga

'Tradycyjna' gra (z czystymi strategiami) może być interpretowana jako gra ze strategiami mieszanymi, których prawdopodobieństwa wynoszą 0 lub 1.

Uwaga

Definicja równowagi Nasha może być uogólniona dla strategii

mieszanych. Innymi słowy, para strategii (ππππ0,δδδδ

0) jest

równowagą Nasha, jeśli ∑ijπi0δj

0Pij=maxππππ{∑ijπiδj0Pij} oraz

∑ijπi0δj

0Dij=maxδδδδ{∑ijπi0δjDij}.

Twierdzenie

Dla każdej gry dwuosobowej o sumie niezerowej istnieje równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych (dowód może być wyprowadzony np. z twierdzenia Brouwera o punkcie stałym).

Gra dwuetapowa (Definicja)

Sytuacja decyzyjna, w której w drugim etapie gracze podejmują decyzje znając swoje decyzje ujawnione w pierwszym etapie

Gra sekwencyjna (Definicja)

Ciąg sytuacji decyzyjnych, w których gracze podejmują decyzje znając swoje decyzje ujawnione na wcześniejszych etapach

Organizacja przemysłowa (Industrial Organisation) Czy równowaga Nasha wyjaśnia zachowania ekonomiczne w każdych okolicznościach? Rynki sieciowe (Network markets) – jako przykład zachowań 'nietypowych'

• Kompatybilność i standardy produktowe

• Efekty zewnętrzne konsumpcji

• Koszty zamiany (switching costs) i programy lojalnościowe

• Efekty skali produkcji

Dyskretny model Hotellinga 1. Przedsiębiorstwa a i b produkują dający się odróżnić produkt. na

konsumentów preferuje a, zaś nb preferuje b. Koszty produkcji wynoszą zero.

2. Funkcje popytu konsumenckiego są jednostkowe, zaś utrata użyteczności z tytułu konsumowania produktu nie preferowanego wynosi δ>0

3. Użyteczność konsumenta typu a jest: Ua = -pa jeśli kupuje od dostawcy a Ua = -pa-δ jeśli kupuje od dostawcy b 4. Użyteczność konsumenta typu b jest: Ub = -pb jeśli kupuje od dostawcy b Ub = -pb-δ jeśli kupuje od dostawcy a

5. Tak więc liczby na oraz nb, konsumentów kupujących od dostawcy a i b, wynoszą, odpowiednio: qa = 0, jeśli pa>pb+δ, qa = na, jeśli pb-δ≤pa≤pb+δ, qa = na+nb, jeśli pa<pb-δ; qb = 0, jeśli pb>pa+δ, qb = nb, jeśli pa-δ≤pb≤pa+δ, qb = na+nb, jeśli pb<pa-δ.

Twierdzenie: Nie istnieje równowaga Nasha w dyskretnym modelu Hotellinga Dowód: Załóżmy, na odwrót, że (pa

N,pb

N) stanowi równowagę Nasha.

Wówczas ma miejsce jeden z trzech warunków: 1. |pa-pb| > δ, 2. |pa-pb| < δ, 3. |pa-pb| = δ. Okazuje się, że w każdym z tych przypadków któryś z dostawców ma motywację do tego, by zmienić cenę.

Definicja równowagi odpornej na podcinanie cen (Undercut-proof equilibrium) Przedsiębiorstwo a podcina b jeśli pa<pb-δ (tj. odbiera mu potencjalnych nabywców) Ceny (pa

U,pbU) są odporne na podcinanie, jeśli:

1. pa

U jest maksymalną ceną, jaka dla danych pbU i qb

U spełnia: Πb

U=pb

Uqb

U ≥ (pb

U-δ)(na+nb)

2. pbU jest maksymalną ceną, jaka dla danych pa

U i qa

U spełnia:

ΠaU=pa

UqaU ≥ (pa

U-δ)(na+nb)

Równowaga odporna na podcinanie cen jest to następująca para: pa = δ(na+nb)(na+2nb)/((na)

2+nanb+(nb)2),

pb = δ(na+nb)(nb+2na)/((na)2+nanb+(nb)

2) Twierdzenie: Jeśli na=nb, to pa

U=pbU=2δ