Spis treści

Wstęp 9

Część I. Statyka

Wprowadzenie 12

Elementy rachunku wektorowego 13

1. Układy płaskie w przypadku więzów idealnych 16

1.1. Twierdzenie o trzech siłach 16 1.2. Płaski układ sił zbieżnych 25 1.3. Redukcja dowolnego płaskiego układu sił 29 1.4. Równowaga układu sił równoległych 33 1.5. Układy poddane obciążeniom rozłożonym w sposób ciągły 37 1.6. Dowolny płaski układ sił 43 1.7. Kratownice 55

2. Równowaga płaskiego układu sił z uwzględnieniem sił tarcia 60

3. Przestrzenny układ sił 81

3.1. Wprowadzenie 81 3.2. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 83 3.3. Układ sił zbieżnych pozostających w równowadze 87 3.4. Dowolny przestrzenny układ sił pozostających w równowadze 91 3.5. Środek sił równoległych i środki ciężkości linii, powierzchni

i brył 99

4. Równowaga wiotkich lin ciężkich — zastosowania techniczne 113

Część II. Kinematyka

5. Kinematyka punktu 120

Wprowadzenie 120 5.1. Kinematyka punktu we współrzędnych krzywoliniowych 121 5.2. Kinematyka punktu w układzie kartezjańskim 124 5.3. Kinematyka punktu w układzie naturalnym 137 5.4. Kinematyka punktu we współrzędnych krzywoliniowych — układy

biegunowy, cylindryczny, sferyczny, toroidalny 144

6. Ruch obrotowy bryły wokół stałej osi 154

7. Ruch płaski 160

7.1. Wprowadzenie 160 7.2. Przykłady obliczania prędkości punktów ciała w ruchu

płaskim 163 7.3. Przyspieszenie punktów ciała w ruchu płaskim 174

8. Ruch kulisty bryły 211

8.1. Wprowadzenie 211 8.2. Wyznaczanie prędkości kątowych i przyspieszenia kątowego

za pomocą kątów Eulera 213 8.3. Przykłady obliczania prędkości i przyspieszeń punktów ciała

w ruchu kulistym 215

9. Ruch złożony punktu 226

9.1. Wprowadzenie 226 9.2. Przykłady obliczania prędkości bezwzględnych i przyspieszeń

bezwzględnych w ruchu złożonym punktu 228

Część III. Dynamika

10. Dynamika punktu 240

Wprowadzenie 240 10.1. Zadania proste 243 10.2. Zadania odwrotne — całkowanie równań różniczkowych

ruchu 256 10.3. Ruch krzywoliniowy 285 10.4. Drgania o jednym stopniu swobody — drgania własne 293 10.5. Drgania wymuszone 311 10.6. Praca i moc, potencjał pola sił 326 10.7. Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy oraz

zasada zachowania energii mechanicznej 333

Spis treści

Spis treści

11. Zadania specjalne dynamiki punktu 350

11.1. Dynamika punktu w ruchu względnym 350 11.2. Ruch punktu w polu środkowym 360 11.3. Wybrane zadania z dynamiki punktu o zmiennej

masie 372

12. Geometria mas 385

12.1. Pojęcia podstawowe 385 12.2. Przykłady znajdowania momentów bezwładności

i momentów dewiacji 389

13. Dynamika układu punktów materialnych 400

13.1. Równania ruchu układu punktów materialnych 400 13.2. Zasada ruchu środka masy 407 13.3. Kręt i zasada krętu dla układu punktów

materialnych 420

14. Ruch obrotowy bryły dookoła stałej osi 427

14.1. Metoda kinetostatyki 427 14.2. Reakcje dynamiczne w ruchu obrotowym bryły dookoła

stałej osi 437 14.3. Równania różniczkowe w ruchu obrotowym dookoła

stałej osi 446

15. Ruch płaski ciała sztywnego 460

16. Przybliżona teoria giroskopu 478

17. Elementy mechaniki analitycznej 486

17.1. Zasada prac przygotowanych 486 17.2. Zasada d'Alamberta i równania Lagrange'a I rodzaju 503 17.3. Równania Lagrange'a II rodzaju 510

18. Wyznaczanie położenia równowagi 538

19. Zderzenia 552

Literatura 575

Wstęp

Podręcznik jest przeznaczony dla studentów studiów magister­skich i zawodowych kierunków: mechanika i budowa maszyn, automatyka i robotyka, inżynieria materiałowa i transport. Za­pewne będzie też przydatny na innych kierunkach studiów, takich jak budownictwo, wychowanie techniczne, inżynieria środowiska.

Należytemu zrozumieniu i opanowaniu mechaniki ogólnej dobrze służą przykłady zastosowań praktycznych.

Książka składa się z trzech części: statyki, kinematyki i dynamiki. Znajduje się w niej wiele różnorodnych przykła­dów z mechaniki dobranych w ten sposób, aby Czytelnik mógł samodzielnie rozwiązywać zadania należące do danego działu mechaniki. Rozdziały zaczynają się krótkim wstępem zawie­rającym podstawowe pojęcia i twierdzenia, po czym następują przykłady z rozwiązaniami. Na końcu każdego rozdziału znaj­dują się zadania, do rozwiązania których Autor gorąco zachęca Czytelników.

Zadania i przykłady oznaczone gwiazdką studenci stu­diów zawodowych mogą pominąć.

Zadania, z którymi spotykamy się w statyce, można podzielić na dwie grupy. Do grupy pierwszej zaliczamy zadania zwią­zane z równowagą układu sił, do drugiej — z redukcją ukła­du sił.

W obydwu przypadkach przy rozwiązywaniu zadań mo­żemy posługiwać się zarówno metodami analitycznymi, jak i graficznymi. My będziemy stosować m e t o d y anali­tyczne.

Metody g r a f i c z n e są nieocenione przy rozwiązywa­niu płaskich układów prętowych (kratownic), jednak z rozwo­jem metod komputerowych straciły one na znaczeniu. Omó­wimy stosowanie metod analitycznych związanych z rozpa­trywaniem równowagi układu sił. Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania należy:

• zobaczyć, czy mamy do czynienia z układem prostym (jedno ciało sztywne), czy złożonym (kilka ciał powią­zanych ze sobą). W tym ostatnim przypadku należy rozbić myślowo układ złożony na układy proste, pa­miętając o tym, że siły oddziaływania jednego ciała na drugie występują zawsze dwójkami zerowymi;

• zaznaczyć wszystkie siły czynne działające na dane ciało;

• ustalić więzy (ograniczenia nałożone na ruch) bezpo­średnio działające na dane ciało, a następnie oswobo­dzić ciało od więzów, zastępując odrzucone myślowo więzy siłami reakcji;

• zakwalifikować otrzymany układ sił czynnych i bier­nych działających na dane ciało do odpowiedniej grupy (układ płaski, przestrzenny, zbieżny, równoległy, do­wolny);

Elementy rachunku wektorowego

• określić liczbę niezależnych równań równowagi, które możemy ułożyć dla danego układu;

• rozstrzygnąć, czy mamy do czynienia z układem sta­tycznie wyznaczalnym, czy liczba niewiadomych reak­cji nie przekracza liczby równań równowagi;

• wybrać układ współrzędnych tak, aby otrzymać możli­wie najprostszy układ równań i ułożyć równania rów­nowagi;

• rozwiązać układ równań ze względu na poszukiwane wielkości, sprawdzić ich miary, przeprowadzić dyskusję błędów.

W wielu zadaniach nie można z góry przewidzieć kie­runku reakcji. W tym przypadku należy reakcję o nieznanym kierunku rozłożyć na składowe wzdłuż osi układu współrzęd­nych. Jeżeli z obliczeń otrzymamy składową ujemną, będzie to oznaczać, że zwrot danej reakcji należy zmienić na prze­ciwny.

Elementy rachunku wektorowego

Spotykane w naukach fizycznych wielkości są wielkościami wektorowymi lub skalarnymi. Wielkości skalarne określa się przez podanie ich wartości. Przykładami takich wielkości są: masa, praca, moc, energia, czas, potencjał itp. Wielkości wek­torowe określa się przez podanie wartości, kierunku i zwrotu. Przykładami wektorów są: siła, moment siły, prędkość, przy­spieszenie, pęd, kręt itp.

Wektory reprezentujące wielkości fizyczne oprócz poda­nych trzech cech powinny mieć określone w danej przestrzeni położenie. Z tego względu definiuje się trzy typy wek­torów.

Wektor zaczepiony w dowolnej przestrzeni jest to upo­rządkowana para punktów (A, B). Geometryczny obraz ta­kiego wektora jest przedstawiony na rys. 1. Wektor ozna­czono literą a; można go również oznaczać AB lub (A, B). Przykładami wektora zaczepionego mogą być:

• wektor wodzący ruchu punktu, jego prędkość lub przy­spieszenie (rys. 2)

r = r(t)

v = v(t)

a = a(t)

Wprowadzenie

• siła przyłożona do ciała odkształcalnego (rys. 3). Siła przyłożona do sprężyny w punkcie A spowoduje inny skutek (odkształcenie) niż siła zaczepiona w punkcie B.\

Wektor przesuwny lub ślizgający się. Istotnymi cechami takiego wektora są: wartość liczbowa, zwrot i linia działania (nieistotny jest jego punkt przyłożenia) — rys. 4

|Fi | = | F 2 |

Skutek działania na ciało idealnie sztywne siły Fi zaczepionej w punkcie A jest taki sam, jak siły F2 zaczepionej w punk­cie B Fi = F2.

Wektor swobodny. Istotnymi cechami takiego wektora są: wartość liczbowa, zwrot i kierunek. Przykładami takicl wektorów mogą być: moment pary sił, prędkość i przyspie­szenie punktów bryły w ruchu postępowym (rys. 5). Wektory prędkości punktów A i B są nierozróżnialne

Działania na wektorach Dodawanie wektorów. Suma dwóch wektorów a + b jei

wektorem leżącym na przekątnej równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Dodawanie wektorów jest przemienni a+b = b+a oraz obowiązuje zasada superpozycji a+b+d = = e = (a + b)+d = c + d (rys. 6). Jeżeli znamy wspoł-rzędne n wektorów Fi(Fix, Fjy, Fiz) zaczepionych w tym sa

mym punkcie, to ich suma jest wektorem, któ-

rego współrzędne są równe

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem (liczbi (rys. 7) '

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorei (rys. 8) '

Elementy rachunku wektorowego 15

c = a x b

Wektor c jest prostopadły do wektorów a i b, jego wartość

gdzie: i, j,k są wersorami (leżącymi odpowiednio na osiach x, y, z).

Iloczyn mieszany trzech wektorów (a x b) c jest liczbą. Jej wartość jest równa objętości równoleglościanu rozpiętego na tych wektorach (rys. 9). Jeżeli znamy współrzędne wektorów a, b, c, to

RYS. 8

RYS. 9

Jeżeli znamy współrzędne dwóch wektorów a(ax,ay,az) i b(bx,by,bz), to współrzędne wektora c = a x b wyliczamy z wyznacznika

liczbowa jest równa Układ wektorów a, b, c tworzy trójkę prawoskrętną. Za­

chodzą związki

1 Układy płaskie w przypadku

więzów idealnych

1.1 Twierdzenie o trzech siłach

Jednym z najprostszych układów płaskich jest układ trzech sił. Przypomnijmy t w i e r d z e n i e o t r z e c h s i łach: warun­kiem koniecznym i wystarczającym na to, aby układ trzech sił nierównoległych, leżących w jednej płaszczyźnie pozostawał w równowadze jest, aby linie działania tych sił przecinały się w jednym punkcie, a same siły tworzyły trójkąt zamknięty.

PRZYKŁAD 1.1 Wyznaczyć siłę F utrzymującą jednorodną belkę AB = 21 o ciężarze P w położeniu równowagi. Belka opiera się o dwie gładkie płaszczyzny: poziomą i nachyloną pod kątem

ROZWIĄZANIE

Na belkę działają trzy siły [P, RA, RB] pozostające w równo­wadze. Siły przecinają się w punkcie O. Zatem kieru­nek reakcji RB (która składa się z siły F i reakcji płaszczyzny NB) przechodzi przez punkt O. Siły tworzą trój­kąt KLM. Poprowadzimy odcinek CD równoległy do odcinka AO. Widzimy, że trójkąty OCD i KLM są podobne. Łatwo możemy wyznaczyć boki trójkąta O AC.

Z twierdzenia sinusów otrzymujemy

(rys. 1.1). Belka tworzy z płaszczyzną poziomą kąt

Prostokątna płytka ABCD o bokach AB = a i BC — b jest umocowana za pomocą przegubu w punkcie B i opiera się o gładką ścianę w punkcie A. Płytka obciążona jest w punk­cie C siłą P (rys. 1.2). Zaniedbując ciężar płytki, wyznaczyć reakcję ściany RA i przegubu RB.

ROZWIĄZANIE

Na podstawie warunków zadania na ciało działają trzy siły, z których jedna jest znana. Kierunek reakcji ściany jest rów­nież znany, jest on prostopadły do ściany. Siły P i RA przecinają

się w punkcie O (rys. 1.2). Na podstawie twierdzenia o trzech siłach przez ten punkt musi przejść również linia działania trzeciej siły RB, o której wiadomo, że jest zacze­piona w punkcie B. Kierunek reakcji RB pokrywa się więc z kierunkiem OB. Układ sił [RA, RB, P] będzie w równowa­dze, jeżeli dodatkowo siły te będą tworzyć trójkąt zamknięty. Oznaczmy wierzchołki tego trójkąta: L, M, N. Z rysunku wi­dzimy, że trójkąt LMN jest podobny do trójkąta BKO. Stąd wynika, że

i podobnie

Odcinek

Z podobieństwa trójkątów OCD i KLM dostajemy

ze związków w trójkącie LMN dostajemy zaś

Jak widać wartości reakcji nie zależą od kąta a.

Jednorodny pręt AB o długości 21 i ciężarze P jest zamoc wany za pomocą przegubu płaskiego A i utrzymywany w p łożeniu jak na rys. 1.3 poziomą siłą S. Wyznaczyć reakc przegubu A oraz kąt a w położeniu równowagi.

ROZWIĄZANIE

Z twierdzenia o trzech siłach wyznaczamy linię działania r akcji RA. Z trójkąta LMN obliczamy

Belka AB o długości 2/ jest obciążona w środku siłą P, dzia łającą pod kątem fi — 45° w stosunku do poziomu. Wyzna czyć reakcje przegubu A i podpory przesuwnej B. Ciężar belki zaniedbać.

ROZWIĄZANIE

Wszystkie trzy siły przecinają się w punkcie O. Poprowadźr odcinek BD równoległy do OC. Z rysunku 1.4 widzimy,

1.1. Twierdzenie o trzech siłach 19

Ponieważ

zatem

Przewód elektryczny o ciężarze Q jest umocowany na jednym poziomie do dwóch słupów, pozostających w odległości

AB =1. Strzałka zwisu przewodu CD — f. Wyznaczyć siłę rozciągającą przewód w punkcie C oraz reakcje RA i RB

(rys. 1.5).

ROZWIĄZANIE

Przetnijmy myślowo przewód w punkcie C i odrzućmy jego prawą część. Oddziaływanie tej części na część lewą za­stępujemy silą Re, której kierunek jest poziomy. Na lewą część przewodu działa jeszcze dodatkowo silą RĄ O niezna­nym kierunku i siła pionowa Przyjmujemy, że siła

działa wzdłuż linii odległej od punktu A o odcinek

(rys. 1.5). Linie działania wszystkich trzech sił powinny przeciąć się w punkcie O. Zamknięty trójkąt sił jest podobny do

trójkąta AOE. Stąd możemy napisać związek

1. Układy płaskie w przypadku więzów idealnych

Jeżeli strzałka zwisu / jest bardzo mała, to siła Rc osiąga bardzo duże wartości. Wartość reakcji

Ze względu na symetrię całego układu RA = RB

Nieważka belka AB o długości / opiera się jednym koń­cem A o gładką pionową ścianę, drugim o występ C. Ko­niec belki obciążono pionową siłą P. Nachylenie belki w sto­sunku do poziomu równe jest a. Wyznaczyć długość odcinka AC oraz wartości reakcji RA i Rc w położeniu równowagi (rys. 1.6).

ROZWIĄZANIE

Kierunki reakcji RA i Rc w tym przypadku są znane. Przy zadanym kącie a odległość AC musi być więc tak dobrana, aby linie działania wszystkich sił przecięły się w punkcie O.

Z trójkąta sił dostajemy

Z rysunku mamy

Wyznaczyć reakcje przegubów A i B ramy, pokazanej na rys. 1.7, obciążonej poziomą siłą P. Ciężar ramy zaniedbu­jemy. Rama składa się z dwóch symetrycznych części złączo­nych płaskim przegubem C.

ROZWIĄZANIE

W zadaniu tym mamy wyznaczyć cztery niewiadome: war­tości reakcji przegubów A i B oraz ich kierunki. Zadanie to różni się w sposób zasadniczy od dotychczas rozwiązy­wanych, gdyż mamy do czynienia już nie z jednym ciałem sztywnym, lecz z układem dwóch ciał połączonych w tym przypadku płaskim przegubem C. W tego rodzaju zagadnie­niach należy układ rozbić na dwa układy proste. Weźmy pod uwagę układ I. Jest on w równowadze i działają na niego dwie siły: jedna przyłożona w punkcie B i druga w punk­cie C. Dwie siły są w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy tworzą dwójkę zerową. Zatem RB i Rc muszą działać wzdłuż prostej, wyznaczonej przez punkty B i C. Układ I oddziałuje na układ II siłą — Rc. Przechodząc do układu II, możemy już wyznaczyć kierunek reakcji RA i z trójkąta sił obliczyć

Dwa sześciany o ciężarach P i Q spoczywają na gładkich równiach nachylonych w stosunku do poziomu pod kątami a i /3 (rys. 1.8). Znaleźć zależność między siłami P i Q w położeniu równowagi, naciski sześcianów na równie oraz siłę oddziaływania jednego sześcianu na drugi.

'Przykłady oznaczone gwiazdką studenci studiów zawodowych mogą pominąć.

1. Układy płaskie w przypadku więzów idealnych

ROZWIĄZANIE

W tym przypadku mamy również do czynienia z układem złożonym. Na układ I działają trzy siły i jego równowaga bę­dzie możliwa, jeżeli ich linie działania przetną się w punkcie 0\. Podobnie dla układu II linie działania RB, Q, Rc muszą się przeciąć w punkcie O2 . Zbudujemy dwa zamknięte trój­kąty sił. Po zastosowaniu twierdzenia sinusów z pierwszego trójkąta dostaniemy

Z drugiego trójkąta otrzymujemy Rc = Q sin . Jeżeli porównamy stronami otrzymane związki, otrzymamy zależ-ność między siłami P i Q

Podobnie możemy obliczyć

Belka O A jest umocowana przegubem O i przywiązana za pomocą linki BC do ściany. Belkę obciążono w punkcie A ciężarem P. Zaniedbując ciężar belki, wyznaczyć wartość re­akcji przegubu O oraz kąt , który tworzy ona z osią belki. Wyznaczyć również silę w lince BC, jeżeli jest ona prostopa­dła do osi belki; przyjąć OB = AB.

ROZWIĄZANIE

Kierunek reakcji Ro powinien przechodzić przez punkt D (rys. 1.9). Oznaczając długość belki przez / możemy napisać związek

Ze wzoru Carnota dla trójkąta O AD mamy

czyli a zatem trójkąt ODA jest równora­mienny i

Z trójkąta sił mamy:

Jednorodny pręt o długości 2/ i ciężarze P opiera się końcen B o gładką pionową ścianę. W punkcie A opiera się o występ znajdujący się w odległości a od ściany. Wyznaczyć reakcj( w punktach A i B oraz wartość kąta a w położeniu równowag irys. 1.10).

ROZWIĄZANIE

PRZYKŁAD 1.10

RYS. 1.10

RYS. 1.11

W tym przypadku znamy kierunki działania wszystkich trzech sił RA, RB, P. Kierunki działania tych sił powinny przecinać się w jednym punkcie, zatem położenie pręta jak na rys. 1.10 nie może być położeniem równowagi. Narysujmy pręt w po­łożeniu równowagi (rys. 1.11). Na podstawie tego rysunku możemy napisać trzy związki

Po podstawieniu zależności (1) i (3) do związku (2) otrzy­mamy

Z trójkąta sił dostajemy

Jednorodny gładki pręt AD o długości 2/ i ciężarze P znaj­duje się w półsferycznej czaszy o promieniu r. Wyznaczyć kąt ę oraz znaleźć reakcje RA i RB w położeniu równowagi irys. 1.12).

ROZWIĄZANIE

W zadaniu tym, podobnie jak w poprzednim, znamy kierunki działania sił RA, RB, P. Kierunki te powinny przeciąć się w jednym punkcie. Na rysunku 1.12 oznaczono ten punkt przez E. Na podstawie rysunku możemy napisać następujące zależności geometryczne

Jednorodny pręt o długości 2/ i ciężarze P opiera się końcem B o gładką pionową ścianę. W punkcie A opiera się o występ, znajdujący się w odległości a od ściany. Wyznaczyć reakcje w punktach A i B oraz wartość kąta a w położeniu równowagi irys. 1.10).

ROZWIĄZANIE

W tym przypadku znamy kierunki działania wszystkich trzech sił RĄ, RB, P. Kierunki działania tych sił powinny przecinać się w jednym punkcie, zatem położenie pręta jak na rys. 1.10 nie może być położeniem równowagi. Narysujmy pręt w po­łożeniu równowagi (rys. 1.11). Na podstawie tego rysunku możemy napisać trzy związki

Po podstawieniu zależności (1) i (3) do związku (2) otrzy­mamy

stąd

Z trójkąta sił dostajemy

Jednorodny gładki pręt AD o długości 2/ i ciężarze P znaj­duje się w półsferycznej czaszy o promieniu r. Wyznaczyć kąt oraz znaleźć reakcje RA i RB w położeniu równowagi ( rys. 1.12).

ROZWIĄZANIE

W zadaniu tym, podobnie jak w poprzednim, znamy kierunki działania sił RA, RB, P. Kierunki te powinny przeciąć się w jednym punkcie. Na rysunku 1.12 oznaczono ten punkt przez E. Na podstawie rysunku możemy napisać następujące zależności geometryczne

równość (2) wynika z twierdzenia sinusów, stąd mamy

Z rysunku widać, że

Po podstawieniu wzorów (3) i (1) do równania (4) otrzy­mamy

a po przekształceniu

Ponieważ ze względów fizycznych kąt więc

a zatem możemy na podstawie zależności (5) na­pisać równanie

stąd

Ponieważ kąt jest kątem ostrym, drugi pierwiastek rów­nania (6) nie może być brany pod uwagę.

Korzystając z twierdzenia sinusów, z trójkąta sił wyzna­czamy poszukiwane reakcje

Na zakończenie podamy kilka uwag m e t o d y c z n y c h :

1. Jeżeli mamy do czynienia z układami prostymi, to podanymi metodami możemy rozwiązywać zadania, w któ­rych znamy kierunki działania dwóch sił oraz wartość jednej z nich. Na podstawie twierdzenia o trzech si­łach wyznaczamy kierunek działania trzeciej siły (rysu­nek zasadniczy). Wykreślamy na boku zamknięty trójkąt sił, w którym znamy tylko jeden bok. Na rysunku zasad­niczym wyszukujemy trójkąt podobny, którego boki (lub wzajemne stosunki boków) dadzą się wyznaczyć. Korzy­stając z podobieństwa tych dwóch trójkątów, wyznaczamy

1.2. Płaski układ sił zbieżnych 25

poszukiwane wartości sił. Tak postępowano w przykładach 1.1 -- 1.5. Czasami wyszukanie na rysunku zasadniczym trójkąta podobnego jest kłopotliwe (lub trudno wyznaczyć wzajemne stosunki jego boków), wtedy możemy wyznaczyć kąty między poszczególnymi siłami, a następnie stosując twierdzenie sinusów, obliczyć wartości sił (przykład 1.9). 2. Jeżeli mamy do czynienia z układem złożonym, należy go rozbić na układy proste (w miejscu, gdzie ciała sztywne łączone za pomocą więzów), a następnie rozrysować te układy i z każdym z nich postąpić tak, jak to podano w p. 1. Wygodniej jest zacząć od układu łatwiejszego (porównaj przykład 1.7 i 1.8). 3. Jeżeli mamy do czynienia z określeniem położenia równowagi to wówczas kierunki działania wszystkich trzech sił a znane. Należy więc w pierwszej kolejności ustawić ciało, którego równowagę rozpatrujemy, w takim położeniu, by równowaga mogła zachodzić, tzn. kierunki działania sił przecięły jednym punkcie (wykonać rysunek zasadniczy), a następnie postępować tak, jak to podano w p. 1. Ten sposób zilustrowano w przykładach 1.6, 1.10 i 1.11.

Dla

1.2 Płaski układ sił zbieżnych

dowolnej liczby sił zbieżnych na płaszczyźnie mamy dwa niezalezne równania równowagi

Lub

Punkty A i B są wybrane dowolnie, lecz nie mogą leżeć na jednej prostej z punktem 0, w którym przecinają się linie działania wszystkich sił. Do równań tych wchodzą znane siły

czynne oraz nieznane reakcje. Aby zadanie mogło być statycz-nie wyznaczalne, liczba niewiadomych nie może przekraczać

dwóch. Gdy siła P i punkt A leżą na płaszczyźnie, wówczas mo­

tt charakteryzujemy wielkością liczbową MA(P) = ±Ph,

gdzie h jest ramieniem siły (odległością punktu A od linii działania siły P). Znak „+" przyjmujemy, gdy siła wywo­łuje obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek ze­gara.

Aby wyciągnąć z ziemi pal, robotnik przywiązał do niego linę w punkcie A. Po zamocowaniu drugiego końca liny B przy­wiązał do niej drugą linę w punkcie C, zaczepioną w punkcie D, po czym uchwycił rękami linę CD w punkcie E i zawisł w powietrzu; część AC liny zajęła wtedy położenie pionowe, a część CE — poziome.

Części CB i DE utworzyły jednakowe kąty a, jedna z pionem, druga z poziomem (rys. 1.13). Wyznaczyć siłę w li­nie AC, jeżeli ciężar robotnika jest równy P.

ROZWIĄZANIE

Przecinając linki dostaniemy jeden układ sił zbieżnych w punkcie E, drugi w punkcie C. Korzystając z warunków równowagi (1.1), dostaniemy dla układu I następujące równa­nia

stąd

Podobnie dla układu II otrzymamy

stąd

Na pionowej półkuli jest umieszczona kulka A, która może się poruszać tylko po okręgu. Kulka jest utrzymywana w równo­wadze za pomocą nici ABC. Na końcu nici uwieszono ciężar P. Ciężar kulki równy jest Q. Znaleźć kąt a, jaki tworzy odcinek O A z odcinkiem OB w położeniu równowagi, oraz nacisk kulki na powierzchnię półkuli. Średnicę bloku B za­niedbać.

więc

Z rysunku mamy

Jednorodny pręt AB o ciężarze P końcem A jest zamocowany na przegubie płaskim, koniec B zaś jest zawieszony na lince BC (rys. 1.15). Znając kąty a i 8 znaleźć siłę T w lince BC.

ROZWIĄZANIE

Warunek równowagi pręta w postaci (1.2) względem punktu .4 ma postać

Ponieważ kąt a jest kątem mniejszym niż n, przyjęliśmy tylko dodatni pierwiastek równania kwadratowego.

Z drugiego równania równowagi można wyznaczyć na­cisk na półkulę

stąd

Z pierwszego równania można obliczyć kąt Po za­

ROZWIĄZANIE

Przyjmujemy osi układu: x — styczna do półokręgu w punk­cie A,y — normalna (rys. 1.14). Warunki równowagi kulki A przyjmą postać

mienieniu cos a zgodnie ze wzorem dostaiemy równanie

Dwie kulki Ai B o ciężarach P\ i P2 znajdują się w położeniu równowagi wewnątrz gładkiej, sferycznej czaszy o promieniu R. Kulki są połączone nieważkim prętem o długości AB = 21. Znaleźć naciski NA i NB kulek na czaszę, siłę S w pręcie AB oraz kąt a, jaki tworzy pręt AB z poziomem w położeniu równowagi (rys. 1.16).

ROZWIĄZANIE

Przecinając myślowo pręt AB, rozdzielamy układ na dwa układy proste. Siły działające na punkty A i B zaznaczono na rys. 1.16. Korzystając z warunków równowagi dla punktów A i fi w postaci (1.1), dostajemy następujące cztery równania

Z równań (1) i (2) otrzymamy

a z równań (3) i (4)

Stad mamy związek

Po rozpisaniu otrzymamy

Po podzieleniu ostatniej równości przez cos a cos /3 i zgrupo­waniu odpowiednich wyrażeń dostajemy

Na podstawie rys. 1.16 możemy napisać

zatem

Z równań (1)--(4) mamy

Dwa jednorodne walce A i B, każdy o ciężarze P zawieszono w punkcie O na nieważkich niciach. Między walcami A i B położono walec C o ciężarze Q. Znaleźć zależność między kątami a i 6 w położeniu równowagi (rys. 1.17).

ROZWIĄZANIE

Na walce A i C działają siły przedstawione na rys. 1.18. Z warunków równowagi walca C mamy

a z warunków równowagi walca A otrzymujemy dwa równania

Wyliczamy

Z drugiego równania dostajemy więc

Zatem

1.3 Redukcja dowolnego płaskiego układu sił

Zredukować dany układ n sił działających na dane ciało sztywne do wybranego bieguna O oznacza zastąpić układ n sił układem możliwie najprostszym, przyłożonym w punkcie O, równoważnym danemu układowi n sił. Układ równoważny rozumiemy jako układ wywołujący ten sam skutek.

Z mechaniki wiadomo, że dowolny płaski układ sił re­dukuje się do wektora głównego Wg oraz momentu głów­nego Mg.

Współrzędne wektora głównego obliczamy ze wzorów

Na podstawie podanych wzorów mamy

PRZYKŁAD 1.17 Zadany układ czterech sił P, zaczepionych w punktach A, zredukować do bieguna 0(2, 1). Współrzędne sił podano w N, a współrzędne punktów przyłożenia w m

a moment główny z zależności

gdzie: Pjx, Piy — współrzędne i-tej siły układu redukowa­nego, Xi, yi — współrzędne przyłożenia tej siły, xo,yo — współrzędne wybranego bieguna redukcji O, M — moment skupiony działający na dane ciało.

Jak widzimy z tych wzorów, wektor główny nie zależy od wyboru bieguna redukcji O, będziemy go nazywać nie­zmiennikiem redukcji. Moment główny jest funkcją (liniową) xo, yo, czyli ze zmianą bieguna jego wartość się zmienia. Punkt zaczepienia momentu skupionego M jest nieistotny, bo moment jako wynik działania pary sił jest wektorem swobod­nym; parę sił możemy dowolnie przemieszczać po płaszczyź­nie.

W celu lepszego zrozumienia rozwiązania przedstawiono je na rys. 1.19. Układ czterech sił został tu zastąpiony wekto-rem głównym o współrzędnych 3 i 6 oraz momentem głów-nym o wartości 9. Okazuje się, że gdy wektor główny i mo-

ment główny są różne od zera, wówczas można układ zreduko-wać do wypadkowej. Wiadomo, że wypadkowa jest to jedna siła równoważna danemu układowi sił. Wypadkowa W bę-

dzie równa wektorowi głównemu, lecz jej punkt zaczepienia musi leżeć na odpowiedniej prostej. Wyznaczymy równanie

tej prostej. Zredukujemy jeszcze raz cały układ sił do bie-guna O1 o współrzędnych (x, y). Oczywiście możemy do tego bieguna zredukować równoważny układ Wg, Mg. Otrzymamy

Wg1 = Wg oraz Mg1 = Mg - Wgy{x - x0) + Wgx(y - y0). Jeżeli współrzędne (x, y) dobierzemy tak, że Mg1 = 0, to wektor główny będzie wypadkową. Stąd otrzymamy równanie prostej, wzdłuż której działa wypadkowa

Dla naszego przykładu mamy 9 — 6(x - 2) + 3(y - 1) = 0 . Wypadkowa układu sił leży na prostej y = 2x — 6.

Zredukować dany układ do początku układu współrzędnych, a nastepnie do wypadkowej; moment M — 6 jest przyłożony w punkcie A4 (2.2).

PRZYKŁAD 1.18

ROZWIĄZANIE

współrzędne wektora głównego wynoszą

a moment główny jest równy

Równanie linii działania wypadkowej wyznaczamy na podstawie równania

lub w postaci kierunkowej y = -8x + 24. Na podstawie wykonanej redukcji możemy wyznaczyć

warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił. Układ taki pozostanie w równowadze, jeżeli zarówno wektor główny, jak i moment główny będą równe zeru. Stąd dostajemy trzy niezależne warunki równowagi

Podane równania równowagi możemy zapisać w innej równo­ważnej postaci

z zastrzeżeniem, że punkty A, B, C nie leżą na jednej prostej, lub w postaci

gdzie ostatni warunek oznacza sumę rzutów sił na dowolną prostą /, która nie jest prostopadła do prostej wyznaczonej przez punkty A i B.

Dla układu sił równoległych jako przypadku szczegól­nego możemy obrać układ współrzędnych tak, aby siły były równoległe do osi y. Wówczas otrzymamy dwa niezależne warunki równowagi w postaci

PRZYKŁAD 1.20

RYS. 1.21

i na podstawie kąta wewnętrznego trójkąta mam; poprzedniego związku

Blok A jest w równowadze pod działaniem reakcji RA

oraz sił w lince działających wzdłuż AC i AB. Ponieważ sił) w lince są te same, więc prosta AK (linia działania RA) jest dwusieczną kąta CAB. Na podstawie własności dwusiecznj

Ponieważ

Na układ działają trzy siły P, Q oraz reakcja RA. Zatem reakcja RA jest pionowa i równa P+Q. Z warunku momentów względem A dostajemy

Dwie kulki o ciężarach P i Q złączono nieważkim prętem 3C. W punktach B i C przymocowano sznur BAC o długości równej /, który przerzucono przez blok A. Znaleźć AB i AC w położeniu równowagi (rys. 1.21).

Po podzieleniu stronami przez 2y cos a otrzymamy

gdzie h — a cos a — 2b sin a. to wstawieniu do równania dostajemy

Na pręt działają siły P1, P2 i napięcie nici S, przy czym Pi = = y2b, P2 — y2a, gdzie y — ciężar przypadający na jed­nostkę długości pręta.

Z warunku równowagi momentów względem punktu B dostajemy

Jednorodny pręt zgięty w punkcie A pod kątem prostym jest zawieszony na nici BD. Dane: AB — 2b, AC = 2a, a > b rys. 1.20).

Znaleźć kąt a w położeniu równowagi.

1.4 Równowaga układu sił równoległych

ROZWIĄZANIE

Pozioma belka przegubowa ACB ma koniec A zamocowań; w ścianie, a koniec B oparty na przesuwnej podporze; w punk-cie C znajduje się przegub. Belka jest obciążona dźwigiem podnoszącym ciężar P = 1 kN. Przy wysunięciu ramienia dźwigu na odległość KL = 4 m, środek ciężkości dźwigi leży na pionowej CD. Ciężar dźwigu wynosi Q = 5 kN Pomijając ciężar belki, wyznaczyć reakcje jej podpór. Rami dźwigu leży w jednej płaszczyźnie z belką (rys. 1.23).

Po podstawieniu P3, = 4pa, PĄ = 2pb i podzieleniu stronami przez cos a wyznaczamy

Dwa pręty AB i OC, których ciężar jednostki długości wynosi 2p są połączone prostopadle w punkcie C. W punktach A i B zawieszono ciężarki P1 i P2 (P2 > P1). Wyznaczyć kąt a w położeniu równowagi (rys. 1.22).

ROZWIĄZANIE

Z warunku momentów względem punktu O otrzymamy rówj nanie

zatem

ROZWIĄZANIE

W tym przypadku rozbijamy układ złożony na trzy układy proste (rys. 1.24). W pierwszej kolejności rozpatrzymy rów­nowagę dźwigu. Dostajemy dwa równania równowagi w po­staci

Stąd mamy

Belka BC będzie w równowadze, jeżeli reakcja Rc bę­dzie pionowa. Stąd dostajemy

Warunki równowagi belki AC mają postać

Siad

stąd

W celu zmierzenia dużych sił Q zbudowano układ dwóch różnoramiennych dźwigni ABC i EDF, połączonych ze sobą łącznikiem CD. W punktach B i E znajdują się nieruchome podpory. Po dźwigni EDF może przesuwać się ciężar P. Siła Q przyłożona w punkcie A jest równoważona przez ten ciężar, umieszczony w odległości / od punktu D. O jaką odległość x należy przesunąć ciężar P, jeżeli do siły Q dodamy siłę Q1, (rys. 1.25)?

ROZWIĄZANIE

Rozdzielmy myślowo pręt CD. Otrzymamy w ten sposób dwa układy proste. Dla pierwszego układu z warunku równowag w postaci sumy momentów względem punktu B uzyskujemy

a siłę w pręcie CD równą S = (Q + Q\)-. Podobnie z wa-

b runku momentów względem punktu E dla układu drugiego dostajemy

Z porównania tych związków otrzymamy

Z warunków zadania wynika, że siła Q była zrównov żona siłą P przyłożoną w odległości / od punktu D. Wted

dostajemy zależność . Po uwzględnieniu ostat-niego związku możemy napisać