Metody numeryczne procedury - cirm.am.szczecin.plcirm.am.szczecin.pl/download/MS - procedury...

Metody numeryczne –

proceduryna podstawie [Marciniak et. al. 1997] oraz [Bronsztejn et. al. 2004]

dr inż. Paweł ZalewskiAkademia Morska w Szczecinie

- 2 -

Interpolacja wielomianowa:

Zadanie interpolacji polega na znalezieniu pewnej funkcji, która

„przybliża” daną funkcję f. Dla funkcji f znane są przy tym wartości f(xi) lub

wartości jej pochodnych w pewnej skończonej liczbie różnych punktów xi,

które nazywamy węzłami interpolacji.

Wartość wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a Ln w punkcie x dla danej

funkcji f oblicza się z wzoru:

n

ijj ji

jn

i

inxx

xxxfxL

00

gdzie wartości xi oraz f(xi) (i = 0, 1, ... , n) są dane.

- 3 -

Interpolacja wielomianowa:

Wartość wielomianu interpolacyjnego w punkcie x dla danej funkcji f

można obliczyć również algorytmem Neville’a na podstawie zależności

rekurencyjnych:

ijnixx

PxxPxxP

nixfP

jii

jiijiji

ji

ii

,...,1,0,,...,1,0,

,...,1,0,

1,11,

,

0,

gdzie wartości xi oraz f(xi) (i = 0, 1, ... , n) są dane. Wartość elementu Pn,n

jest poszukiwaną wartością wielomianu w punkcie x.

- 4 -

Aproksymacja wielomianowa:

Przykładem jest aproksymacja średniokwadratowa wielomianem, która

dla danej funkcji f(x) polega na określeniu wielomianu p(x) stopnia m, który

w przypadku danych dyskretnych minimalizuje sumę:

gdzie wartości xi oraz f(xi) (i = 0, 1, ... , n) są dane, m < n, a w(x) oznacza

funkcję wagową. Współczynniki wielomianu aproksymującego funkcję

f(x):

n

j

m

i

i

jijm xaxfaaaH1

2

0

10 ,...,,

n

i

iii xwxpxf1

2

m

mxaxaa ...10

gdzie m < n.

można wyznaczyć poszukując minimum poniższego funkcjonału przy

danych wartościach xi oraz f(xi) :

- 5 -

Aproksymacja wielomianowa:

mkxxaxfa

H k

j

n

j

m

i

i

jij

k

,...,1,0,01

2

0

mkyakiz ki

m

i

,...,1,0,,0

Powyższy układ równań liniowych można rozwiązać np. metodą eliminacji

Gaussa lub metodami iteracyjnymi (przybliżonymi).

Wprowadzając oznaczenia:

mkixkiz

mkxxfky

n

j

ki

j

n

j

k

jj

,...,1,0,,,

,...,1,0,

1

1

otrzymujemy układ równań liniowych postaci:

- 6 -

Całkowanie numeryczne:

Wiele całek nie można przedstawić za pomocą funkcji elementarnych. Do

ich obliczenia stosuje się metody przybliżone (przykładowo dla obliczenia

pola powierzchni pod krzywą). W celu wyznaczenia przybliżonej wartości

całki:

b

a

k

n

k

k

b

a

xfAdxxfxwdxxF0

funkcję podcałkową F(x) przedstawia się w postaci iloczynu w(x) f(x),

gdzie funkcja w(x), zwana funkcją wagową zazwyczaj wynosi 1, a funkcję

f(x) przybliża się wielomianem. Wówczas:

badxxF

b

a

,

gdzie współczynniki Ak zależą od zastosowanej metody numerycznej

obliczeń.

- 7 -

Całkowanie numeryczne:

W metodzie Simpsona dany przedział [a, b] dzieli się na równe

podprzedziały. W przypadku trzech podprzedziałów:

bxxxxxxxxa ,,,,,,, 23221101

2,1,0,2

43

1

1

1

ixx

h

Ixfhxfxfh

dxxf

ii

iiii

x

x

i

i

w każdym podprzedziale stosuje się wzór Simpsona:

Następnie każdy z przedziałów dzieli się znowu na trzy części i otrzymuje

się drugie przybliżenie całki. Procedura ta jest kontynuowana do chwili,

gdy różnica pomiędzy dwoma kolejnymi przybliżeniami całki jest

dostatecznie mała lub, gdy długości podprzedziałów są mniejsze od:

Nnab

n

,

3

- 8 -

Układy równań liniowych:

Metody dokładne rozwiązywania układu równań liniowych:

,bAx

gdzie macierz kwadratowa A stopnia n i wektor b Rn są dane,

teoretycznie pozwalają uzyskać rozwiązanie dokładne:

,1bAx

gdzie x Rn, o ile macierz kwadratowa A jest nieosobliwa. Ponieważ

wartości elementów macierzy A i wektora b nie są reprezentowane

dokładnie (rozdzielczość typów liczbowych w operacjach

zmiennoprzecinkowych w danym środowisku programowym), i podczas

obliczeń występują błędy zaokrągleń, więc rozwiązanie obliczone metodą

„dokładną” może różnić się od teoretycznego rozwiązania dokładnego.

- 9 -


W przypadku układu równań liniowych z macierzą trójkątną górną:

nnnn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

...

,...

,...

22222

11212111

jeżeli macierz układu nie jest osobliwa, tj. gdy aii ≠ 0 dla każdego

i = 1, 2,..., n to niewiadome xi są obliczane na podstawie zależności:

1,...,1,,1

nnia

xab

xii

n

ik

kiki

i

- 10 -


W przypadku układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną:

nnnnnn bxaxaxa

bxaxa

bxa

...

...

,

,

2211

2222121

1111

jeżeli macierz układu nie jest osobliwa, tj. gdy aii ≠ 0 dla każdego

i = 1, 2,..., n to niewiadome xi są obliczane na podstawie zależności:

nia

xab

xii

i

k

kiki

i ,...,2,1,

1

1

Następnie w macierzy A(k) zamieniamy wiersze o numerach ik oraz k,

a w wektorze b(k) składowe o takich samych numerach. Odpowiada to

lewostronnemu przemnożeniu macierzy A(k) i wektora b(k) przez macierz

permutacji P(k). W otrzymanym układzie równań:

- 11 -


Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa

z częściowym wyborem elementu podstawowego:

Macierz A jest rozkładana na iloczyn macierzy LU, gdzie L oznacza

macierz trójkątną dolną z jedynkami na głównej przekątnej, a U macierz

trójkątną górną. Krok k (k = 1, 2 , ... , n-1) operacji rozkładu macierzy A

można opisać następująco:

Znajdujemy element taki, że: k

kkia

k

nik

k

ikkkiaa

max

kkbxA

- 12 -




eliminujemy niewiadomą xk z wierszy o numerach k + 1, k + 2, .... , n

korzystając z wzorów:

,,...,2,1,,...,2,1

,

,

1

1

nkkjnkki

blbb

alaa

k

kik

ki

k

i

k

kjik

kij

k

ij

gdzie:

k

kk

k

ikik

a

al

- 13 -




po n-1 krokach otrzymamy układ równań postaci:

1...

...............

0...1

0...01

0...001

321

3231

21

nnn lll

ll

l

L

,1PbLUx

w którym P=P(n-1)P(n-2)...P1, U=A(n) oraz:

Powyższy układ równań jest rozwiązywany za pomocą zależności:

PbLbnniu

xub

xii

n

ij

jiji

i

11 ˆ;1,...,1,,

ˆ

- 14 -


Wyznaczenie macierzy odwrotnej do macierzy rzeczywistej:

W celu wyznaczenia macierzy odwrotnej do macierzy rzeczywistej A:

,

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

nnnnn

n

n

i

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

macierz A jest najpierw rozkładana na iloczyn LU metodą eliminacji

Gaussa. Po wykonaniu tej operacji otrzymujemy:

gdzie P oznacza macierz permutacji.

PLUA

LUPA

111

- 15 -


Wyznaczenie macierzy odwrotnej do macierzy rzeczywistej:

Elementy macierzy L-1 oraz elementy macierzy U-1 są określone wzorami:

,,...,1,,,...,2,1,

,,...,1,,,...,2,1,

1

1

njjinju

uu

u

njjinjl

ll

l

ij

i

jk

kjikij

ij

ij

i

jk

kjikij

ij

gdzie:

.gdy,1

,gdy,0

ji

jiij

- 16 -


Metody iteracyjne rozwiązywania układu równań liniowych:

),1(bAx

gdzie macierz kwadratowa A stopnia n i wektor b Rn są dane, generują

ciąg kolejnych przybliżeń wektora x.

Rozpoczęcie procesu iteracyjnego wymaga podania początkowych

przybliżeń wszystkich składowych tego wektora.

Jedną z metod iteracyjnych rozwiązywania układu równań liniowych z

nieosobliwą macierzą kwadratową A jest metoda Jacobiego. W metodzie

tej macierz A jest przekształcana na sumę trzech macierzy:

,UDLA

gdzie L oznacza macierz trójkątną dolną, D – macierz diagonalną, a U

macierz trójkątną górną.

- 17 -


Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą iteracyjną (przybliżoną)

Jacobiego:

Uwzględniając rozkład macierzy A, układ równań (1) można zapisać w

postaci:

)2(

,

111

1

bDxULDx

bxULDx

kk

kk

z czego wynika następujący proces iteracyjny:

,

,

bxULDx

bxUDL

jeżeli promień spektralny macierzy –D-1(L+U) jest mniejszy od 1, to

powyższy proces iteracyjny jest zbieżny.

- 18 -


Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą iteracyjną (przybliżoną)

Jacobiego:

Z zależności (2) wynika, że (k+1)-sze przybliżenie i-tej składowej

rozwiązania jest określone wzorem:

,0lub0,

,max

1

1

1

kk

kk

kk

xxxx

xx

),3(,...,2,1,,11 ni

a

bxa

xii

i

n

ijj

k

jij

k

i

przy czym aii ≠ 0. Proces iteracyjny kończy się, gdy:

gdzie:,max

1i

nixx

a ε oznacza zadaną dokładność, lub gdy xk+1 = xk = 0 lub też, gdy liczba

iteracji w procesie (3) jest większa od przyjętej wartości maksymalnej.

- 19 -

Równania i układy równań nieliniowych:

Równanie skalarne z jedną niewiadomą może być zapisane w postaci:

,0xf

gdzie f: X → Y, przy czym X, Y R. Jeśli równanie to nie może być

rozwiązane analitycznie, to do znalezienia jego pierwiastków stosujemy

zwykle metodę iteracyjną, za pomocą której można otrzymać przybliżoną

wartość pierwiastków, w przypadku, gdy rozwiązanie równania istnieje.

Stosując metodę regula falsi znajduje się wartość pierwiastka równania

skalarnego z jedną niewiadomą leżącego w przedziale [a, b] takim, że:

0bfaf

- 20 -

Jeden krok metody regula falsi polega na zastąpieniu bieżącego

przedziału [a, b] przedziałem mniejszym, którym jest jeden z przedziałów

[a, z] lub [z, b], gdzie:


afbf

abbfbz

Wybór odpowiedniego przedziału zależy od spełnienia jednego

z warunków f(a)f(z) ≤ 0 lub f(z)f(b) ≤ 0.

Obliczenia kontynuuje się dopóty, dopóki a < z < b.

- 21 -

Wartość pierwiastka równania skalarnego z jedną niewiadomą leżącego

w przedziale [a, b] można również znaleźć za pomocą metody siecznych

(interpolacji liniowej), która polega na zastosowaniu zależności:


abbaba 1,0i1,0

....,3,2,21

2111

k

xfxf

xxxfxx

kk

kkkkk

Za początkowe przybliżenia x1 i x2 w procesie iteracyjnym przyjąć można

np. wartości (zależnie od rozdzielczości podziału przedziału [a, b]):

uporządkowane w taki sposób, że:

21 xfxf

- 22 -

Różniczkowanie numeryczne:

Przybliżone wartości pochodnej funkcji f(x) mogą być wyznaczone z

wielomianu aproksymującego p(x). Ponieważ różnica f(x) - p(x) może być

bardzo mała, a różnica f’(x) – p’(x) bardzo duża, podejście takie może

spowodować powstanie zbyt dużego błędu. Gdy jest wymagana duża

dokładność obliczania pochodnej zaleca się stosować metodę Romberga.

W metodzie tej dla danego początkowego kroku h0 wyznacza się

wartości:

...,1,0,2

0 ih

hii

,

20

i

iii

h

hxfhxfT

gdzie:

następnie korzystając z wzoru:

ikTT

TTk

kiki

kiki ,...,2,1,14

1,11,

1,,

oblicza się kolejne elementy następującej tablicy:

- 23 -


kixfT

TTT

TT

T

ki danegodlagdy,',

222120

1110

00

Obliczenia kończą się, gdy:

1,1, kiki TT

gdzie ε oznacza zadaną z góry dokładność.

Jeżeli dla założonego i oraz k powyższy warunek nie będzie spełniony to

dany krok h0 dzieli się na połowę i cały proces obliczeń powtarza się. Gdy

po mN iteracjach zadana dokładność ε nie jest osiągnięta to za

rozwiązanie przyjmuje się ostatnio obliczone przybliżenie Ti,k.

- 24 -


Rozwiązanie zagadnienia początkowego dla pojedynczego równania

różniczkowego to inaczej obliczenie przybliżonej wartości y(x1)

rozwiązania skalarnego równania:

yxfdx

dyy ,'

z warunkiem początkowym:

00 yxy

Jedną z metod numerycznych prowadzących do rozwiązania tego

zagadnienia jest metoda Rungego-Kutty z automatycznym doborem

kroku całkowania.

- 25 -


Wartość y(x1) oblicza się stosując zależność:

4321 226

KKKKh

xyhxy

gdzie:

34

23

12

1

,

,2

,2

,2

,2

,,

hKyhxfK

Kh

yh

xfK

Kh

yh

xfK

yxfK

- 26 -


Na podstawie przedstawionej zależności wyznacza się dwie wartości

przybliżonego rozwiązania w punkcie x+h, gdzie h oznacza krok

całkowania, a mianowicie: y(x+h,h) przy użyciu kroku h i y(x+h,h) stosując

dwukrotnie krok h/2. Jeżeli:

)4(

,2

,,,max

2,,

hhxyhhxy

hhxyhhxy

gdzie ε, η > 0 oznaczają wartości charakteryzujące dokładność

rozwiązania, to końcową przybliżoną wartość rozwiązania w punkcie x+h

oblicza się z wzoru:

15

,2

,

2,

hhxyh

hxyh

hxyhxy

- 27 -


W przypadku, gdy nierówność (4) nie zostanie spełniona, to zmienia się

krok całkowania h.

Ponieważ całkowanie od punktu x0 do punktu x1 wykonuje się w pewnej

liczbie kroków, w praktyce błąd względny otrzymanego przybliżonego

rozwiązania y(x1) może być większy od ε.

Metody numeryczne procedury - cirm.am.szczecin.plcirm.am.szczecin.pl/download/MS - procedury...

Documents

Transcript of Metody numeryczne procedury - cirm.am.szczecin.plcirm.am.szczecin.pl/download/MS - procedury...