METODY NUMERYCZNE

Met.Numer. wykład 1

METODY NUMERYCZNE

dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGHe-mail: [email protected]

http://home.agh.edu.pl/~zak

Wykład 7Równania różniczkowe - przegląd

mailto:[email protected]


Równania różniczkowe - wprowadzenie

Równania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w:

• Fizyce (np. równania Maxwell’a)• Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego)• Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach

elektrycznych)• Automatyce (np. warunki sterowalności układu)• i wielu innych dziedzinach nauki i techniki


Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej.

Przykład:

)(......... 122

2

31

1

xFykdxdyk

dxydk

dxydk

dxyd

n

n

nn

n

K b

xM

02

2

Kxdtdxb

dtxdM


Cząstkowe równania różniczkowe

Cząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz

niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych

jest równanie transportu:

n

t

xu

xuu

xtuuubu

,...,

),(0

1


Cząstkowe równania różniczkowe

0),(),()(),()(

sbxstusbxstuds

sdzsbxstusz

xt

Zauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є Rn+1 znika. Zatem ustalając dowolny punkt

(t,x) є R+ x Rn i kładąc dla s є R dostajemy:

Zatem z(s) jest funkcją stałą. Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do

wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania.


Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkowe

n

n

Rxdlaxgxu

Rxtdlaubut

)(),0(

,00

Zagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe:

ma rozwiązanie:nRxtdlatbxgxtu ,0)(),(

Jeśli funkcja g jest klasy C1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne

Met.Numer. wykład 6 7

Rozwiązywanie zagadnień początkowych

Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech: Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone

Nibxxgdzie

fyxfyxyy

Yxfdx

xdYYxYY

i

iiiiii

iii

iii

,....,2,1,;(:

),(),(

),()(),(

0

'

'

są punktami, w których wyznaczamy przybliżone

rozwiązania

Met.Numer. wykład 6 8

Błąd metody

Wielkość Tn nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od xn do xn+1

ihxxi 0 h – krok całkowania

Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci:

)( 21 pp

pn hOhT

Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej

0p


Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne

n

n

Rxdlaxgxu

Rxtdlafubut

)(),0(

,0

W celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego:

podstawmy:wówczas:

),(

),(),()(

bsxstf

bbsxstubsxstuds

sdzt

),()( sbxstusz


Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne

t

t

t

dsbtsxsf

dssbxstf

dsdztzztbxgxty

0

0

0

))(,(

),(

)()0()(),(Zatem:

Rozwiązaniem zagadnienia jest więc:

t

dsbtsxsftbxgxtu0

))(,()(),(


Całka zupełna dla równań rzędu 1

0),,( uuxF

Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci:

gdzie:

RRRF

uuuRux

n

xx

:

,...,:,

21


Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe

ipowierzchnnaguRobszarzewuuxF n0),,(

Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchy’ego)

Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie.



n

j jiij

jij

i

xxuunidlasxsxusp

1

2

,...,1)())(()(

Staramy się połączyć punkt xєΩ z pewnym punktem x0єГ pewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej:

Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s):

))(()()),(()(

),(sxuspsxusz

RIssx



njdlaspszsxpFsx

j

j ,...,1))(),(),(()(

Z drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem xi:

Zakładamy, że:

n

jij

jx

i

niuuuxpFuuux

zFuux

xF

i1

,...10),,(),,(),,(



n

j

n

j j

jj

j

spszsxpFspsxsx

xusz

1 1

))(),(),(()()())(()(

Otrzymujemy wtedy:

Ostatecznie otrzymujemy:

nidlaspspszsxzFspszsx

xFsp i

i

i ,...,1)()(),(),())(),(),(()(



))(),(),(()(

)())(),(),(()()())(),(),(())(),(),(()(

spszsxFsx

spspszsxFszspspszsxFspszsxFsp

p

p

zx

Stosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej.


Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład

0,0)(),(0,0

21121

211221

xxxgxxuxxuuxux xx

Rozpatrzmy układ:

Wówczas równania charakterystyk mają postać:

zzxxxx

,, 1221


Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład

20,0

)()(,sin)(,cos)(

0

00201

sx

exgszsxsxsxsx s

Rozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy

Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie:

0,1,exp)(),( 211

222

2121

xxxxarctgxxgxxu


Równanie liniowe rzędu 2

n

lk

n

kxkkxlxklk xfuxcxuxbxuxa

1, 1,, )()()()()()(

Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω ↄ Rn ma postać:

Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać:

),,,,(),(),(2),( 2

22

2

2

yf

xffyxF

yfyxC

xyfyxB

xfyxA

A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω ↄ R2 a F jest określona na Ω ↄ R3


Transformacja Laplace’a

)()(0

sFdttfe st

Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą.

Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna.

Całką Laplace’a funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci:


Transformacja Laplace’a c.d.

Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplace’a nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplace’a.

Samą transformację Laplace’a zwaną także przekształceniem Laplace’a w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako:

dttfetfLsF st )()}({)(0


Transformacja odwrotna Laplace’a

Transformacja odwrotna Laplace’a dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem:

dsesFi

xfsFL stiux

iuxu

)(lim21)()}({1


Transformacja Laplace’a – przykładowe funkcje

0),( xxf

as 1

22 asa

22 ass

22 asa

22 ass

)}({)( xfLsF

nx 1

!ns

n

axe

axsin

axcos

axsinh

axcosh

s11

Transformata pochodnej:

Transformata całki:

0

)()}({ dxxfexfL nsxn

)0(........)0()( 11 fsfsFs nnn

)(1})({0

sFs

dfLt


• Linowość:

Własności transformacji Laplace’a

• Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej:

))(())(())(()}()()({ xhcLxgbLxfaLxchxbgxafL gdzie a, b, c to współczynniki

)()}({ sFxfL )()}({ asFxfeL at

• Zmiana skali

asF

aaxfL 1)}({

Jeśli to

)()}({ sFxfL Jeśli to


Transformacja Laplace’a - przykład

Rozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplace’a:

5)0(23 yeydxdy x

11)(2)]0()([3

23

ssYyssY

eLydxdyL x

Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego

Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy:

11)(2]5)([3

s

sYssY


Transformacja Laplace’a – przykład c.d.

)23)(1(1615)(

11615)()23(

151

1)()23(

ssssY

sssYs

ssYs

Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s

Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych

2318

11)(

;18;1231)23)(1(

1615

sssY

BAsB

sA

sss


Transformacja Laplace’a – przykład c.d.

Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania

666667.06

11)}({

666667.06

11

2318

11)(

111

sL

sLsYL

sssssY

ateas

L

11

xx eexy 666667.06)(

Uwzględniając że:

Rozwiązanie równania wynosi:


Równanie Poissona

Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a

2

2

2

2

2

2

3,,

),(),(

zyx

Rzyxr

trftru


Równanie Poissona

Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej:

),,(),,(),,(),,(

),(),(),(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zyxfzyxuz

zyxuy

zyxux

yxfyxuy

yxux


Równanie Poissona

Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena:

'41)',(

')'()',()(

rrrrG

drrfrrGruR


Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera

Metoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci:

00,, yyyxfdxdy

Przykłady:

yeyxf

yyedxdy

yeydxdy

x

x

x

23.1,

50,23.1

50,3.12

y

y

y

eyxxyxf

ye

yxxdxdy

yxyxdxdye

22

22

22

)3sin(2,

50 ,)3sin(2

50 ),3sin(2



Dla x = 0 wartość y = y0 przyjmując że x = x0 = 0 y

Φ

krok h

x

wartość prawdziwa

y1, wartość przewidywana

),( 00 yx

1x

Znając f(x, y) i mając dane wartości x0 i y0 z warunku początkowego y(x0) = y0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x0, y0)



),(tan 0001

01 yxfxxyy

010001 , xxyxfyy

hyxfyy 0001 ,

Po przekształceniu otrzymujemy:

Oznaczając x1-x0 jako krok h otrzymujemy:

Wykorzystując obliczaną wartość y1 można obliczyć wartość y2 dla x2 jako:

hyxfyy 1112 , hxx 12



hyxfyy iiii ,1

Można zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny:

Φ

krokh

wartość prawdziwa

yi+1, wartość przewidywana

yi

x

y

xi xi+1


Metoda Eulera - Przykład

K12000 ,1081102067.2 8412 dtd

Kula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem:

Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

8412 1081102067.2, tf


Metoda Eulera – Przykład c.d.

Wzór rekurencyjny metody Eulera: htf iiii ,1

Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200:Zakładamy krok h = 240

K

fhtf

09.1062405579.4120024010811200102067.21200

2401200,01200,8412

0001

240240001 httt



Dla i = 1, t1 = 240, Θ0 = 106.09:

K

fhtf

32.110240017595.009.106240108109.106102067.209.106

24009.106,24009.106,8412

1112

48024024012 httt

Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K

Czy to prawda?



czas t(s)

dokładne rozwiązanie

tem

pera

tura

Θ(K

)

Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera.



Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera

480 %|| trozmiar kroku h4802401206030

-987.81110.32546.77614.97632.77

252.5482.96415.5665.03522.2864

czas t(s)

tem

pera

tura

Θ(K

)



Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty

Metoda Rungego-Kutty pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci:

00,, yyyxfdxdy

Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora:

...!3

1!2

1 31

,3

32

1,

2

2

1,

1 iiyx

iiyx

iiyx

ii xxdx

ydxxdx

ydxxdxdyyy

iiiiii

...),(''!3

1),('!2

1),( 31

211 iiiiiiiiiiiii xxyxfxxyxfxxyxfy

Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu

hyxfyy iiii ,1



Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco:

21 ,

!21, hyxfhyxfyy iiiiii

4'''3''2'1 ,

!41,

!31,

!21, hyxfhyxfhyxfhyxfyy iiiiiiiiii

dla metody czwartego rzędu:

Jak wyznaczyć pochodne f’ metody stopnia drugiego i f’, f’’, f’’’ dla metody stopnia czwartego?



hkakayy ii 22111

21 ,

!21, hyxfhyxfyy iiiiii

Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór:

można zapisać jako:

ii yxfk ,1 gdzie: hkqyhpxfk ii 11112 ,

aby wyznaczyć współczynniki a1, a2, p1, q11 należy rozwiązać kład równań:

121 aa21

12 pa21

112 qa

zazwyczaj wartość a2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe



Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3Metoda Heun’a Metoda midpoint Metoda Raltson’a

21

2 a

21

1 a 11 p 111 q

hkkyy ii

211 2

121

ii yxfk ,1

hkyhxfk ii 12 ,

12 a

01 a21

1 p21

11 q

hkyy ii 21

ii yxfk ,1

hkyhxfk ii 12 2

1,21

32

2 a

31

1 a43

1 p43

11 q

hkkyy ii

211 3

231

ii yxfk ,1

hkyhxfk ii 12 4

3,43


Metoda Rungego - Kutty - Przykład

K12000 ,1081102067.2 8412 dtd

Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem:


8412 1081102067.2, tf


Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.

hkhtfktfk

hkk

ii

ii

ii

12

1

211

,,

21

21

Dla metody Heun’a:

5579.410811200102067.21200,0, 841201 ftfk o

017595.0108109.106102067.2

09.106,2402405579.41200,2400,8412

1002

ffhkhtfk

Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = Θ(0) = 1200:

K

hkk

16.6552402702.21200

240017595.0215579.4

211200

21

21

2101



Dla i = 1, t1 = t0 + h= 240, Θ1 = 655,16: 38869.0108116.655102067.216.655,240, 8412

111 ftfk

20206.0108187.561102067.2

87.561,48024038869.016.655,240240,8412

1112

ffhkhtfk

27.58424029538.016.655

24020206.02138869.0

2116.655

21

21

2112

hkk

27.5844802

Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heun’a otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K



480 %|| trozmiar kroku h4802401206030

-393.87584.27651.35649.91648.21

160.829.780.580.360.10

czas t(s)

tem

pera

tura

Θ(K

)


Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heun’a



Rozmiar kroku h

Θ(480)

Euler Heun Midpoint Ralston

480240120 60 30

-987.84110.32546.77614.97632.77

-393.87584.27651.35649.91648.21

1208.4976.87690.20654.85649.02

449.78690.01667.71652.25648.61

czas t(s)

tem

pera

tura

Θ(K

)


Porównanie dotychczas przedstawionych metod:

Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi:

K57.647)480(



Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: 4'''3''2'

1 ,!4

1,!3

1,!2

1, hyxfhyxfhyxfhyxfyy iiiiiiiiii

można zapisać jako: hkkkkyy ii 43211 22

61

gdzie najczęściej przyjmuje się że:

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

ii

ii

ii

ii

34

23

12

1

,21,

21

21,

21

,


Metoda Rungego - Kutty - Przykład

K12000 ,1081102067.2 8412 dtd

Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem:


8412 1081102067.2, tf



Dla metody Rungego - Kutty czwartego rzędu:

Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200:

hkkkkii 43211 2261

38347.0108105.653102067.205.653,120

2405579.4211200,240

210

21,

21

5579.410811200102067.21200,0,

8412

1002

8412001

f

fhkhtfk

ftfk



65.6752401848.21200

240069750.08954.3238347.025579.4611200

)22(61

0069750.0108110.265102067.210.265,240

240894.31200,2400,8954.310810.1154102067.20.1154,120

24038347.0211200,240

210

21,

21

432101

8412

3004

8412

2003

hkkkk

f

fhkhtfkf

fhkhtfk



Dla i = 1, t1 = 240, Θ1 = 675,65:

K91.5942400184.26165.675

24025351.034775.0231372.0244199.06165.675

)22(61

25351.0108119.592102067.219.592,480

24034775.065.675,240240,34775.0108100.638102067.2638,360

24031372.02165.675,240

21240

21,

21

31372.0108161.622102067.261.622,360

24044199.02165.675,240

21240

21,

21

44199.0108165.675102067.265.675,240,

432112

8412

3114

8412

2113

8412

1112

8412111

hkkkk

f

fhkhtfkf

fhkhtfk

f

fhkhtfk

ftfk



480 %|| trozmiar kroku h

4802401206030

-90.278594.91646.16647.54647.57

113.948.13190.21807

0.00519260.00013419

czas t(s)

tem

pera

tura

Θ(K

) dokładne rozwiązanie

Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Rungego - Kutty czwartego rzędu.


Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów

Dla równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu albo dla równania cząstkowego

xfyadxdya

dxyda

dxyda on

n

nn

n

n

11

1

1

można dokonać podstawienia:

xfzazazaa

xfyadxdya

dxyda

adxdz

dxyd

zdx

dzdx

yd

zdxdz

dxyd

zdxdz

dxdy

zy

nnn

n

n

nn

nn

n

nn

n

n

10211011

1

1

11

1

32

2

2

21

1

11


Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów

Otrzymane równania tworzą w efekcie układ n równań:

1

,,,

,,,

10211

21232

21121

xfzazazaadx

dz

xzzfzdxdz

xzzfzdxdz

nnn

n

Każde z n równań może być rozwiązane z użyciem opisanych wcześniej metod rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych stopnia pierwszego


Przykład

20,10,22

2

dtdyyey

dtdy

dtyd tRozwiąż równanie:

zdtdy

yzedtdz

eyzdtdz

t

t

2

2

Podstawiając:

Po podstawieniu równanie przybiera postać:

oraz oblicz y(0.75)


Przykład c.d.

W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań:

2zzytfyzedtdz

1yt,y,zfzdtdy

t

1

(0) ,,,2

(0),

2

Stosując metodę Eulera: hzytfzz

hzytfyy

iiiii

iiiii

,,,,

21

11


Przykład c.d.

2,1,0,0 000 zytiKrok 1:

hzytfyy iiiii ,,11 hzytfzz iiiii ,,21

5.125.021

25.02,1,01,,

1

000101

f

hzytfyy

25.025.0001 httt

5.125.01 yy

1

25.01222

25.02,1,02,,

0

2

000201

e

fhzytfzz

125.025.01 dtdyzz


Przykład c.d.

Krok 2:


1,5.1,25.0,1 111 zyti

50.025.025.012 httt

75.15.02 yy 3197.05.02 zz

75.1

25.015.125.01,5.1,25.05.1

,,

1

111112

fhzytfyy

0.31970 25.07211.21

25.05.1121

25.01,5.1,25.01,,

25.0

2

111212

e

fhzytfzz


Przykład c.d.

Krok 3:


31970.0,75.1,5.0,2 222 zyti

8299.175.03 yy 12601.075.03 zz

75.025.05.023 httt

8299.1

25.031970.075.125.031970.0,75.1,50.075.1

,,

1

222123

fhzytfyy

1260.0

25.07829.131972.025.075.131970.0231972.0

25.031970.0,75.1,50.031972.0,,

50.0

2

222223

e

fhzytfzz


Przykład c.d.

Otrzymane rozwiązanie to: 8299.175.0 3 yy

Wartość dokładna to: 668.175.0

exacty

Błąd względny otrzymanego rozwiązania wynosi:

100668.1

8299.1668.1

t


Warunki początkowe i brzegowe

q

υ

L

x

22

2

2xL

EIq

dxd

00;00 dxd

qυ

L

x

LxEIqx

dxd

22

2

0;00 L

Zależność przemieszczenia v belki od długości x oraz obciążenia q:

Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki początkowe w punkcie x = 0

Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki brzegowe punkach x = 0 oraz x = L


Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Zastosowanie tej metody zostanie omówione na przykładzie równań różniczkowych drugiego rzędu które mają narzucone warunki brzegowe.

bxayyxfdx

yd ),',,(2

2

Warunki brzegowe:

b

a

ybyyay

)()(



q

y

L

xTT

EIxLqx

EITy

dxyd

2)(

2

2

Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie:

Oblicz wartość odkształcenia belki w punkcie x = 50:4120;30;75;/5400;7200 inIMsiEinLinlbsqlbsT



)75(105.7102

)120)(1030(2)75()5400(

)120)(1030(7200

762

2

662

2

xxydx

yd

xxydx

yd

1i i 1i

2

2

dxydAproksymujemy w punkcie i:

211

2

2

)(2x

yyydx

yd iii



)75(105.7102)(

2 762

11iii

iii xxyx

yyy

Po podstawieniu wartości:

Ponieważ Δx = 25 będą rozpatrywane 4 węzły:

0x 25x 50x

1i 2i 3i 4i

75x

752550502525

252500

23

12

01

0

xxxxxxxxx

x



Węzeł pierwszy (i = 1):

00

1

yx

Węzeł drugi (i = 2):

4321

7321

227

26

2123

10375.90016.0003202.00016.0

)2575)(25(105.70016.0003202.00016.0

)75(105.7102)25(

2

yyy

yyy

xxyyyy



Węzeł trzeci (i = 3):

4332

7332

337

36

2234

10375.90016.0003202.00016.0

)5075)(50(105.70016.0003202.00016.0

)75(105.7102)25(

2

yyy

yyy

xxyyyy

Węzeł czwarty (i = 4):

075

4

yx



Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako:

010375.9

10375.9

0

10000016.0003202.00016.0000016.0003202.00016.00001

4

4

4

3

2

1

yyyy

05852.05852.0

0

4

3

2

1

yyyy

Rozwiązanie powyższego kładu równań daje:



"5852.0)()50( 22 yxyy

Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi:

5320.0)50(10974343774.110775656266.11075.3125.28375.0 0014142.050014142.0552

yeexxy xx

Rozwiązanie analityczne daje:

%10

%1005320.0

)5852.0(5320.0

t

t

Błąd rozwiązania wyznaczonego metodą różnicową:

Mikro- i nanobelki w sensorach



Zagadnienie problemowe – równanie przewodnictwa cieplnego

Równanie przewodnictwa cieplnego zwane jest także jako równanie dyfuzji.

W celu wyprowadzenia tego równania rozważamy podobszar V obszaru Ω, o gładkim brzegu ∂V.

Niech F oznacza gęstość strumienia przepływu w obszarze Ω, wówczas tempo w jakim zmienia się ilość substancji wypełniającej V jest równe całkowitemu przepływowi substancji przez brzeg ∂V:

V V V

divFdxdSFdxxtudtd ),(

η – wektor normalny do ∂V, dS - miara na powierzchni ∂V


Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe

Równanie ciepła ma bardziej skomplikowaną strukturę do równania Laplace’a – poszukiwanie rozwiązań w postaci tzw. funkcji samopodobnej tzn.:

RRRtxv

txtu n

,,1),(

xty

yvtyvytyvt

0)()()( 211

Podstawiając do równania cieplnego otrzymujemy:



Jeżeli β=1/2 nasze równanie ulega uproszczeniu:

0)()(21)( yvyvyyv

0)(1)()(21)(

:)()(

''''

rwr

nrwrwrrw

RRworazyrgdzierwyv

Stosując kolejne uproszczenie i operator Laplace’a:

?



Jeżeli przyjmiemy, że: α=n/2 to otrzymamy równanie:

0)(1)()(21)(

2''''

rw

rnrwrwrrwn

4exp)(

2

2rCrw

Stosując pewne techniki mnożenia i dzielenia rn-1

otrzymujemy:



I ostatecznie uwzględniając wszystkie założenia:

21,2,),()( nxtyywyv

nn Rxt

tx

tC

,0,

4exp

2

2/

Otrzymujemy funkcję, która jest rozwiązaniem równania ciepła:



Rozwiązaniem podstawowym operatora przewodnictwa cieplnego nazywamy funkcję:

n

nn

Rxtdla

Rxtdlat

xttxE

,00

,,04

exp)4(

1),(

2

2

Rozkład temperatury w czujnikach



Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta

Badanie równania falowego zaczniemy od przypadku jednowymiarowego czyli od tzw. Równania struny.

Skoncentrujemy się na równaniu struny nieograniczonej.

Naszym celem jest rozwiązanie zagadnienia:

,)(),0(,)(),0(,,002

RxdlaxhxuRxdlaxgxuRxtdlaucu

t

xxtt



Rozwiązanie ogólne równania wyraża się wzorem:

)()(),( ctxGctxFxtu

Gdzie F i G są funkcjami klasy C2(R). Korzystając z warunków początkowym dostajemy:

)()()(),0()()()(),0(

''' xhxcGxcFtuxgxGxFxu

t



Całkując drugie równanie mamy:

x

xxGxFdrrh

cxGxF

0 00 )()()(1)()(Zatem rozwiązaniem powyższego układu równań

jest para funkcji:

x

x

x

x

xGxFdrrhc

xG

xGxFdrrhc

xF

0

00

0

00

2)()()(

21

21)(

2)()()(

21

21)(



Stąd rozwiązanie problemu struny wyraża się wzorem d’Alamberta:

ctx

ctx

drrhc

ctxgctxgxtu )(21))()((

21),(

Jeśli gєC2(R), hєC1(R), to rozwiązanie zagadnienia struny wyraża się wzorem d’Alamberta

Zadanie domowe: wymuszone drgania struny

Rezonans struny



Określenie stabilności wg Łapunowa

Rozważmy układ macierzowy równań różniczkowych w postaci:

Axx

Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego?



Rozważmy:

),...,('

'

11

ndiagATTA

Txx

λ – wartości własne macierzy

0)det( IA



Otrzymujemy:

0'

0~'1

0

xTx

ex iiti

x – jest to punkt asymptotycznie stabilny



Jeżeli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy powiedzieć, że:

0),(0, tertr t

x – jest to punktem stabilnym wg Łapunowa i asymptotycznie stabilnym



Punkt nazywamy stabilnym wg Łapunowa jeżeli spełnione są warunki (3):

t

atorazaznejasymptotycstabpa

tatap

ttypa

0),(lim..

),(0

),(0



Sens definicji Łapunowa ilustruje rysunek:

)),(()( ttxftx



Lokalna asymptotyczna stabilność wg Łapanowa

)),(()( ttxftx


Stabilność rozwiązań równań różniczkowych

Punkt x0 nazywamy punktem stacjonarnym (położeniem równowagi) równania:

0)()(' 0 xfxfxStabilność w sensie Łapunowa – jeśli startując z warunku początkowego x0 blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązania wraz z upływem czasu.Asymptotycznie stabilne – jeśli jest stabilne i dla warunku początkowego x0 dostatecznie blisko x=const., rozwiązanie x(t) z tym warunkiem początkowym zbiega do x przy t->∞.Niestabilne r.r. – jeśli znajdzie się taki punkt początkowy dowolnie blisko x=const., dla którego rozwiązanie ucieka wraz z upływem czasu.


Stabilność rozwiązań równań różniczkowych

Twierdzenie Hartmana-Grobmana

spectrumAAxx )(,' Jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) nie ma wartości własnych czysto urojonych to równanie nieliniowe x’=f(x) i liniowe x’=df(p) są topologicznie sprzężone w otoczeniu p.

Tw. Łapunowa

00)Re()(00))(Re(00))(Re(

xAxAxA

Asymptotycznie stabilny pkt. równowagi

Stabilny punkt równowagi

Niestabilny punkt


Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład

Rozważmy układ równań:

2''

yzzyy

Szukamy punktów równowagi:

0,000

0

022

zy

yz

y


Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład

Macierz linearyzacji:

1201

22

11

ydzf

dyf

dzf

dyf

Obliczamy macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0):

1001

Wartości własne to: -1;1. Nie ma wartości czysto urojonych więc punkt (0,0) jest niestabilny.


Metoda różnic skończonych

Metoda różnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach (xi,yi) ich przybliżeniami numerycznymi. Otrzymujemy odpowiednio dla zmiennej x i y:

),(),(

),(12

),(),(2),(),(

),(12

),(),(2),(),(

1111

4

42

211

2

2

4

42

211

2

2

jjiiii

jijijiji

ii

jijijiji

ii

yyorazxx

xyuh

kyxuyxuyxu

yxyu

yxuh

hyxuyxuyxu

yxxu


Metoda różnic skończonych dla równania Poissona

Podstawienie FEM do równania Poissona otrzymujemy:

1,...,2,11,...,2,1

),(12

),(12

),(

),(),(2),(),(),(2),(

4

42

4

42

211

211

mjoraznidla

xyukx

xuhyxf

kyxuyxuyxu

hyxuyxuyxu

jiji

jijijijijiji

Warunki brzegowe:

nidlayxgyxuorazyxgyxu

mjdlayxgyxuorazyxgyxu

iimimi

jijnjj

,...,1,0),(),(),(),(

,...,1,0),(),(),(),(

00

00


Metoda różnic skończonych dla równania Poissona

Pomijając reszty otrzymujemy układ (n-1) x (m-1) równań liniowych z niewiadomymi, które są przybliżeniami u(xi,yj). Układ równań możemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi.

W celu wyznaczenia przybliżenia w punkcie

(xi,yj), potrzebne są wartości przybliżenia

rozwiązania w czterech sąsiednich punktach:


Metoda różnic skończonych przykład

Wyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej płytki o wymiarach 0,5m na 0,5m.

Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące temperaturę na poziomie 0oC dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku górnego i lewego zmienia się liniowo od 0oC do 100oC.

Problem rozwiązać układając układ równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ równań rozwiązać metodą Gaussa-Siedla.



Problem ten opisuje równanie Laplace’a

0),(),(),( 2

2

2

22 yx

dyTdyx

dxTdyxT

Z warunkami brzegowymi:

][200)5,0,(][200),5,0(

][0)0,(][0),0(

CxxTCyyT

CxTCyT



Postać macierzowa układu: [zadanie domowe – obliczyć temperatury]


Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne

Przypomnijmy równanie paraboliczne:

000),(),( 2

22 torazlxdlatxdx

udtxdtdu

Z warunkami brzegowymi i początkowymi:

lxxfxutdlatlutu

0)()0,(00),(),0(



Dla danego m definiujemy krok h=(b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k. Stąd węzły siatki (xi,tj):

mjdlajktorazmidlaihx ji ,...1,0,...,1,0

),(),(

),(12

),(),(2),(),(

),(12

),(),(2),(),(

1111

4

42

211

2

2

4

42

211

2

2

jjiiii

jijijiji

ii

jijijiji

ii

ttorazxx

xtuh

ktxutxutxu

txtu

yxuh

hyxuyxuyxu

yxxu



Otrzymujemy:

0),(),(2),(),(),(

21121

htxutxutxu

ktxutxu jijijijiji

mjlmih

k

wwwwh

wwwk

ww

jijijiji

jijijijiji

,...2,1,,...,2,1,

)()21(

02

2

,1,1,1,

2,1,,12,1,

Po uwzględnieniu warunku brzegowego: mjdlatlutu jj ,..,10),(),0(



Schemat jawny

21

22 hk

Warunek zbieżności schematu jawnego



Schemat niejawny: Schemat niejawny

jest zawsze zbieżny, niezależnie od

wielkości kroku całkowania

mjlmih

k

wwwwh

wwwkww

jijijiji

jijijijiji

,...2,1,,...,2,1,

)()21(

02

2

,1,1,1,

2,1,,121,,

METODY NUMERYCZNE

Documents

Transcript of METODY NUMERYCZNE