MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 12 28.05.2008 r

MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 12

28.05.2008 r

Formalizm Lagrange’a

Formalizm Lagrange’a polega na opisywaniu układów dynamicznych za pomocą:

1.współrzędnych i prędkości uogólnionych2.funkcji Lagrange’a3.równań ruchu Lagrange’a drugiego rodzaju

Układ n punktów materialnych jest opisany, w dowolnym momencie czasu,3n współrzędnymi:

W miejsce tych współrzędnych wprowadzamy współrzędne uogólnione q, które mogą być dowolnymi funkcjami r i mogą zależeć jawnie od czasu.

Równania Lagrange’a

nnnn

2222

1111

z,y,xr

z,y,xr

z,y,xr



Prędkości uogólnione uzyskujemy różniczkując po czasie współrzędne uogólnione, w efekcie mamy:

gdzie i=1,2,…,N (N jest liczbą stopni swobody)

Funkcja Lagrange’a (lagranżjan, potencjał kinetyczny) jest definiowana następująco:

Znając potencjał kinetyczny układu o N stopniach swobody możemy otrzymać równania Lagrange’a drugiego rodzaju.

t

qqrq

t,rqq

iii

ii

t,qVt,q,qTt,q,qL



Równania Lagrange’a drugiego rodzaju:

tworzą układ równań rzędu 2N.

Równania Lagrange’a nie ulegają zmianie podczas transformacji zmiennych uogólnionych(czyli zmianie układu odniesienia).

Zdefiniujmy transformację do N nowych zmiennych y1,y2,…,yN:

wtedy potencjał kinetyczny:

N,...,2,1i,0q

L

q

L

dt

d

ii

N,...,2,1iy,...,y,yqq N21ii

t,y,yL~t,y,yq,yqL iijjiji



Poza tym:

co można przepisać w postaci:

Ponieważ qi nie zależą od pochodnych yk, więc mamy:

Oprócz tego należy pamiętać, że:

N,...,2,1ky

q

q

L

y

q

q

L

y

L~

k

i

ik

i

ik

N,...,2,1ky

q

dt

d

q

L

y

q

q

L

y

L~

k

i

ik

i

ik

k

i

ik y

q

q

L

y

L~

k

k

ii y

y

qq

k

i

k

i

y

q

y

q


Równania Lagrange’aUwzględniając te zależności w równaniu Lagrange’a drugiego rodzaju dostajemy:

ponieważ:

więc mamy również:

Co oznacza, że równania Lagrange’a nie ulegają zmianie przy zmianie układu współrzędnych

k

i

ii

k

i

ik

i

ik

i

ikk

y

q

q

L

dt

d

q

L

y

q

q

L

dt

d

y

q

dt

d

q

L

y

q

q

L

y

L~

dt

d

y

L~

N,...,2,1i,0q

L

q

L

dt

d

ii

N,...,2,1k,0y

L~

dt

d

y

L~

kk


Cząstka w potencjale radialnym

Potencjał posiadający symetrię sferyczną ma ogólną postać V=V(r). Wprowadźmywspółrzędne biegunowe:

Transformacji między układami dokonujemy poprzez:

różniczkując po czasie

321 q,q,rq

sinr

sincosr

coscosr

z

y

x

r

22 yxr

zr

sinzxr

yr

coszyr

xr

z

y

x

r



Funkcja Lagrange’a na jednostkę masy (dla dowolnego potencjału)

Korzystając z niej możemy napisać równania ruchu cząstki:

Vrcosrr2

1q,qL 22222

Vcossinrr

dt

d

Vcosr

dt

dr

Vrcosrr

222

22

22



W przypadku potencjału radialnego mamy:

Wtedy dwa ostatnie równania ruchu przyjmują postać:

Oznacza to, że dla potencjału o symetrii sferycznej:

1. Wszystkie orbity są krzywymi płaskimi – zawsze istnieje rozwiązanie trywialne φ=0, dφ/dt=0, które otrzymamy przez odpowiedni wybór płaszczyzny odniesienia2. Każde zagadnienie posiada całkę pól:

0VV

0cossinrrdt

d

0cosrdt

d

222

22

constr 2

Formalizm kanoniczny

Równania Hamiltona

Mamy układ o M stopniach swobody , który jest opisany przez M współrzędnych uogólnionych qi. Układ posiada funkcję Lagrange’a.

Transformacja Legendre’a

współrzędnym i prędkościom uogólnionym przypisuje położenia i pędy uogólnione, natomiast funkcji Lagrange’a przypisuje nową funkcję – funkcję Hamiltona (hamiltonian)

Możemy przekształcić układ N równań drugiego rzędu (równania Lagrange) w 2N równań pierwszego rzędu (równania kanoniczne Hamiltona):

}H,Q,q{}L,q,q{ i

i

i

i

i q

HQ,

Q

Hq

Formalizm kanoniczny

Równania Hamiltona

Hamiltonian:

jeżeli nie zależy jawnie od czasu to jest całką ruchu:

Poza tym hamiltonian określa całkowitą energię układu jeżeli:

1.transformacja z wektorów r do współrzędnych uogólnionych nie zależy jawnie od czasu2.potencjał V(r) nie zależy jawnie od czasu

LqQt,Q,qH

constQ,qH

M,...,2,1i,q

LQ

i

i

Pędy uogólnione:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Równania ruchu

W polu grawitacyjnym dwóch masporusza się cząstka o zaniedbywalnie małej masie

Zakładamy, że obie masy poruszają się po orbitach kołowych wokół barycentrum

Masa cząstki jest tak mała, że nie wywiera żadnej siły na obie masy


Równania ruchuNieruchomy układ współrzędnych (ξ,η,ζ) jest zaczepiony w barycentrumukładu

Oś ξ pokrywa się z kierunkiem m1m2 w chwili t0

Ruch obu mas odbywa się w płaszczyźnie ξ-η. Oś ζ jest prostopadła do niej i zgodna ze zwrotem wektora momentu pędu

Obie masy są stale w tej samej odległości od siebie i poruszają się ze stałą prędkością wokół siebie i środka masy.

nt

ξ

η

μ2

μ1

r1 r

r2

O

(ξ2,η2,ζ2)

(ξ1,η1,ζ1)


Równania ruchuJednostki dobieramy tak aby μ=G(m1+m2)=1. Jeśli dodatkowo założymy, że m1>m2 to:

wtedy w obranym układzie jednostekmasy ciał są równe:

Jednostkę odległości dobieramy tak aby odległość miedzy masami byłarówna 1

Wtedy wspólny ruch średni, n, obu mas jest również równy 1

21

2

mm

m

2211 Gm1Gmnt

ξ

η

μ2

μ1

r1 r

r2

O

(ξ2,η2,ζ2)

(ξ1,η1,ζ1)


Równania ruchuRównania ruchu cząstki:

gdzie:

3

2

223

1

11

3

2

223

1

11

3

2

223

1

11

rr

rr

rr

22

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

r

r

nt

ξ

η

μ2

μ1

r1 r

r2

O

(ξ2,η2,ζ2)

(ξ1,η1,ζ1)

(12.1)


Równania ruchu

nt

ξ

η

x

μ2

μ1

y r1 r

r2

O

(ξ2,η2,ζ2)

(ξ1,η1,ζ1)

Obie masy poruszają się po kołowych orbitach z jednakowym ruchem średnim

Z tego powodu ruch cząstki jestwygodnie opisywać w układzie (x,y,z)rotującym ze stałą prędkością

Kierunek osi x jest dobrany tak, aby obie masy leżały zawsze na niej, tzn.:

wtedy:

gdzie (x,y,z) są współrzędnymi cząstki w układzie rotującym

0,0,z,y,x

0,0,z,y,x

1222

2111

222

1

2

2

222

2

2

1

zyxr

zyxr


Równania ruchu

Współrzędne (x,y,z) można wyrazić w układzie nieruchomym poprzez zwykły obrót:

w tym i następnych równaniach n będzie obecne (pomimo tego, że wybraliśmy n=1) dlapodkreślenia tego, że wszystkie czynniki w równaniach ruchu są przyspieszeniami

Różniczkujemy powyższą równość:

z

y

x

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos

z

nxy

nyx

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos

(12.2)

(12.3)


Równania ruchu

Różniczkujemy ponownie:

Przejście do rotującego układu odniesienia powoduje pojawienie się czynników związanych z przyspieszeniem Coriolisa oraz przyspieszeniem odśrodkowym (n2x,n2y).

Otrzymane wyrażenia na współrzędne ξ, η, ζ oraz ich drugie pochodne można użyć do wyrażenia równań ruchu za pomocą współrzędnych x,y,z związanych z rotującym układem współrzędnych

z

ynxn2y

xnyn2x

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos2

2

yn2,xn2


Równania ruchu

Otrzymujemy:

Pomnożymy pierwsze z równań przez cos nt, a drugie przez sin nt i dodamy do siebie, a następnie pierwsze przez –sin nt i drugie przez cos nt i dodamy do siebie. W efekcie dostajemy:

zrr

z

ntcosyrr

ntsinr

xx

r

xxntcosynxn2yntsinxnyn2x

ntsinyrr

ntcosr

xx

r

xxntsinynxn2yntcosxnyn2x

3

2

2

3

1

1

3

2

2

3

1

1

3

2

223

1

11

22

3

2

2

3

1

1

3

2

223

1

11

22


Równania ruchu

zrr

z

yrr

ynxn2y

r

x

r

xxxnyn2x

3

2

2

3

1

1

3

2

2

3

1

12

3

2

123

1

21

2

Powyższe przyspieszenia można wyrazić jako gradient skalarnej funkcji U=U(x,y,z)

z

Uz

y

Uxn2y

x

Uyn2x

(12.4)


Równania ruchu

gdzie:

w powyższym równaniu x2+y2 jest potencjałem odśrodkowym a czynniki 1/r1 i 1/r2 odpowiadają potencjałowi grawitacyjnemu. Pochodne cząstkowe tych czynników dają wkład do siły odśrodkowej i grawitacyjnej.

Funkcja U nie jest prawdziwym potencjałem, ale funkcją skalarną, z której można wyznaczyć niektóre (nie wszystkie) przyspieszenia jakich doznaje cząstka w układzie rotującym. Taka funkcja U jest „pseudo potencjałem”.

2

2

1

1222

rryx

2

nU


Całka JacobiegoMnożąc równania 12.4 kolejno przez pierwsze pochodne x,y,z i dodając do siebiedostajemy:

Po scałkowaniu:

gdzie CJ jest stałą całkowania. Lewa strona jest kwadratem prędkości w układzie rotującym, stąd:

wykorzystując otrzymane wcześniej wyrażenie na potencjał:

CJ jest tzw. całką Jacobiego. Jest to jedyna znana całka ruchu w ograniczonym zagadnieniu 3 ciał.

To nie jest całka energii! – w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał energia i całkowitymoment pędu nie są zachowane

dt

dUz

z

Uy

y

Ux

x

Uzzyyxx

J

222 CU2zyx

J

2 CU2v

222

2

2

1

1222

J zyxrr

2yxnC


Całka JacobiegoCJ można wyrazić również we współrzędnych układu nieruchomego. W tym celu możemywykorzystać uzyskane wcześniej wyrażenia (12.2, 12.3) na przejście między układem nieruchomym i obracającym się:

Drugie z wyrażeń można zapisać nieco inaczej:

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos

z

y

x

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos

z

nxy

nyx

000

0ntsinntcos

0ntcosntsin

n

z

y

x

z

nxy

nyx


Całka Jacobiego

Porównując oba wyrażenia:

Wprowadzamy oznaczenia:

Możemy z 12.5 otrzymać:

000

0ntsinntcos

0ntcosntsin

n

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos

z

y

x

000

0ntsinntcos

0ntcosntsin

B

100

0ntcosntsin

0ntsinntcos

A

(12.5)


Całka Jacobiego

n2n

BBnABn

BAnAA

z

y

x

zyxzyx

222222

T2T

TT222

Macierze A i B są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi. Ponieważ obrót nie zmienia odległości więc:

222222 zyx


Całka Jacobiego

W takim razie całka Jacobiego wyrażona we współrzędnych układu nieruchomego:

co można przepisać w postaci:

Lewa strona tego równania jest całkowitą energią na jednostkę masy cząstki. Ponieważiloczyn momentu pędu i ruchu średniego nie jest stały, więc jasnym jest dlaczegocałkowita energia nie jest zachowana w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał.

Całka Jacobiego nie przydaje się do uzyskania dokładnego rozwiązania ograniczonegozagadnienia trzech ciał, ale może być użyta do wyznaczenia obszarów wzbronionychdla ruchu cząstki.

222

2

2

1

1J n2

rr2C

n,0,0n;C2

1nc

rr2

1J

2

2

1

1222

Użyteczność całki Jacobiego jest dobrze widoczna przy analizie miejsc, w których prędkość cząstki jest równa 0. Mamy wtedy:

Powyższe równanie definiuje powierzchnie dla danej wartości CJ – powierzchnie zerowejprędkości.

Są one przydatne przy określaniu warunków brzegowych dla ruchu cząstki


Całka Jacobiego

JCU2

J

2

2

1

1222 Crr

2yxn

CJ=3.9

CJ=3.7

Dla ułatwienia ograniczymy się do płaszczyzny x-y.

W takim wypadku przecięcia powierzchni zerowej prędkości z płaszczyzną x-y dają krzywe zerowej prędkości (rysunek).

Z równania:

widać, że zawsze musi być 2U>=CJ, bo w przeciwnym razie prędkość ma wartość zespoloną. Stąd równanie 12.7 definiujeobszary, w których ruch jest dozwolony.


Całka Jacobiego

J

222 CU2zyx (12.7)CJ=3.9

CJ=3.7

Obszary szare są zakazane dla ruchu cząstki

Weźmy przypadek CJ=3.9. Wynika stąd, że jeżeli cząstka znajduje się w dozwolonym obszarze wokół μ1 to nie może nigdy krążyć wokół μ2, a także nie może uciec z układu ponieważ nie może poruszać się przez obszar wzbroniony.

To jest podstawa teorii stabilnych orbit Hilla

Należy jednak pamiętać, że powyższe wnioski dotyczą przypadku gdy dwie masy poruszają po kołowych orbitach wokół barycentrum, a trzecia masa nie działa na nie siłą grawitacyjną


Całka Jacobiego

CJ=3.9

CJ=3.7


Kryterium Tisseranda

bliskieprzejście

orbitakomety orbita

Jowisza

Słońce

Kometa porusza się początkowo po orbicie o elementach a, e, I

Po bliskim przejściu w pobliżu Jowisza orbitaulega zmianie, a nowe parametry to: a’, e’, I’

Całka Jacobiego (która pozostaje stała podczas zbliżenia) może być wykorzystana do uzyskania związku między tymi elementami

Położenie i prędkość komety w układzie nieruchomym:

Całka Jacobiego w tym układzie:

gdzie r1 i r2 są odpowiednio odległością kometyod Słońca i Jowisza

,,r,,r

222

2

2

1

1J n2

rr2C



bliskieprzejście

orbitakomety orbita

Jowisza

Słońce

Wybieramy układ jednostek, w którym wielkapółoś i ruch średni Jowisza są jednostkowe

Ponieważ masy Jowisza i komety są dużo mniejsze od masy Słońca:

Całka energii dla układu dwóch ciał kometa-Słońce:

całkowity moment pędu (kometa-Słońce) na jednostkę masy:

1mmGmmG JSkS

a

1

r

2222

rrc



bliskieprzejście

orbitakomety orbita

Jowisza

Słońce

Jeśli I jest nachyleniem orbity komety względempłaszczyzny orbity Jowisza, to składowa ξ-owawektora momentu pędu:

gdzie w naszym układzie jednostek mamy:

Ostatecznie całka Jacobiego przyjmuje postać:

Icosc

22 e1ac

J

2

2

2 Cr

1

r

12

r

2Icose1a2

a

1

r

2



bliskieprzejście

orbitakomety orbita

Jowisza

Słońce

Jeśli założymy, że kometa znajduje się stosunkowo daleko od Jowisza (1/r2 jest zawszemałe) i pominiemy wyrażenia z μ2, to kryterium:

W takim razie zależność między elementami orbitalnymi komety przed i po „spotkaniu” z Jowiszem:

Ta zależność jest zwana kryterium Tisseranda.

Może być użyte do określenia, czy odkryta kometa jest obiektem znanym wcześniej, któregoelementy orbitalne uległy zmianie po przejściu w pobliżu planety

constIcose1aa2

1 2

'Icos'e1'a'a2

1Icose1a

a2

1 22


Kryterium TisserandaPrzykład.

Początkowe parametry orbity komety:a=4.81 AUe=0.763I=7.47o

Po przejściu w pobliżu Jowisza:a’=10.8 AUe’=0.731I’=21.4o

Murray,Dermott 1999

czas (lata)

Zmiana stałej Tisseranda dla dwóch wyznaczeń orbity komety przy założeniu kołowej i eliptycznej orbity Jowisza.Można zauważyć, że stała zmienia się bardzo niewiele w obu przypadkach, a więc może być traktowana jako stała nawet w przypadku bardziej rzeczywistego przybliżenia orbityJowisza


Punkty równowagi Lagrange’a

m1 m2

F1

F2

F

P

ab c

O

Pozycje dwóch mas m1 i m2 poruszających po kołowych orbitach wokół wspólnego środka masy pozostają niezmienne w układzie rotującym wokół barycentrum ze stałą prędkością.

Punkty równowagi – miejsca, w których cząstka pporuszająca się z pewną prędkością w układzie nieruchomym będzie stacjonarna w układzie rotującym

Należy pamiętać, że w takim punkcie cząstka nadal podlega działaniu kilku sił i w układzie nieruchomym porusza się po orbicie keplerowskiej



m1 m2

F1

F2

F

P

ab c

O

Niech wektory a,b,c oznaczają odpowiedniopołożenia masy m1, barycentrum i m2 względem punktu P

F1 i F2 – siły (na jednostkę masy) działające na cząstkę P skierowane do mas m1 i m2

Jeśli P znajduje się w stałym położeniu w układzierotującym to znajduje się w stałej odległości b od barycentrum, które jest jedynym punktem stałym w układzie nieruchomym.

P podlega działaniu siły odśrodkowej, która jest równoważona przez:

21 FFF



m1 m2

F1

F2

F

P

ab c

O

Położenie barycentrum:

Po pomnożeniu wektorowo przez F1+F2:

Ponieważ kąt między F1 i c jest równy minus kąt między F2 i a, więc możemy napisać powyższe równanie w postaci skalarnej:

21

21

mm

cmamb

cbmbam 21

0aFmcFm 2112

aFmcFm 2112


Punkty równowagi Lagrange’aW przypadku sił grawitacyjnych:

co w połączeniu z równaniem:

daje: a=c – trójkąt utworzony przez cząstkę i obie masy jest równoramienny

W takim razie wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum są położone na linii prostopadłej do linii łączącej masy m1 i m2.

2

222

11 c

mGF,

a

mGF

aFmcFm 2112

m1 m2

P

a

ba

O

d

αα

β γ

g



m1 m2

P

a

ba

O

Siła odśrodkowa równoważy siłę skierowaną do barycentrum, stąd:

co dla sił grawitacyjnych daje:

z trójkątów utworzonych przez punkty O, P i obie masy mamy:

a z definicji środka masy:d

αα

β γ

cosFcosFbn 21

2

cosbmcosbmba

Gn 2122

2

a2

dcos

cosgdacosb

cosgacosb

dmm

mgdd

mm

mg

21

1

21

2

g



m1m2

P

a

ba

O

Wykorzystując te zależności możemy równanie:

zapisać w postaci:

(12.6)

z tw. cosinusów:

Podstawiając w powyższym wyrażenia na gwynikające z definicji środka masy dostajemy:

co w połączeniu z 12.6 daje:d

αα

β γ

cosFcosFbn 21

2

2

2

21

212

23

212 dmm

mma

ba

mmGn

gdgacosag2gab 22222

2

2

21

2122 dmm

mmab

3

212

a

mmGn

g



m1m2

P

a

ba

O

Oprócz tego układ odniesienia rotuje w układzienieruchomym z prędkością kątową n więc:

czyli a=d

d

αα

β γ3

212

d

mmGn

g

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 12 28.05.2008 r

Documents

Transcript of MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 12 28.05.2008 r