1. Postulaty statyki

1)Zasada równoległoboku R=P1+P2

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej prostej, są przeciwnie

skierowane i mają te same wartości liczbowe

3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ

równoważących się sił tzw. układ zerowy

4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała

5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie

6)Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.

2. Twierdzenie o trzech siłach

Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztywne były w równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w

jednym punkcie, a same siły tworzyć trójkąt zamknięty.

3. Twierdzenie Varigonon

Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych względem tego

punktu.

gdzie

4. Para sił

Układ dwóch sił równoległych nie leżących na jednej prostej nazywamy parą sił. Aby pary sił działające w jednej

płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi być równa zeru. Pary sił o tej samej płaszczyźnie

działania i równych momentach są sobie statycznie równoważne. Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne

znajdowały sie w równowadze, suma momentów tych par musi się równać zeru.

5. Moment siły

Momentem wektora F względem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn wektorowy wektora r1

= OA o początku w punkcie O i końcu w

początku wektora F przez wektor aF. Moment wektora względem punktu będziemy oznaczać w następujący sposób

Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej płaszczyźnie, to moment

wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par.

6. Kratownice

Jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną. Połączenia przegubowe nazywamy

węzłami. Warunek sztywności p=2w-3 (p-liczba prętów, w- liczba więzów). Przy rozwiązywaniu kratownicy w prętach siły w prętach

zakłada się następująco: Przesztywnonia kiedy p>, niedosztywnionia kiedy p<

rozciąganie: ściskanie

7. Redukcja płaskiego układu sił

Dana siła . Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy. Otrzymujemy układ:

siła , para sił o momencie MO = aP

8. Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił

dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną w tym punkcie i równą sumie

geometrycznej sił.

9. Tarcie

zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy siłami tarcia. Możemy je opisać jako siły

oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było. Tarcie spoczynkowe (statyczne), występujące między dwoma

ciałami gdy nie przemieszczają się względem siebie. Tarciem ruchowym (kinematyczne)- nazywa się gdy dwa ciała ślizgają się lub

toczą po sobie. Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi.

10. Kinematyczne równania ruchu punktu

Położenie punktu w przestrzeni określić możemy za pomocą trzech współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych 0xyz

który traktujemy jako nieruchomy układ odniesienia. W przypadku gdy punkt porusza się czyli zmienia z upływem czasu swe

położenie współrzędne x,y i z tego punktu które oznaczamy przez A, ulęgają również zmianie czyli sa pewnymi funkcjami czasu t.

x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t) – równania parametryczne toru punktu lub

11. Definicja prędkości

Prędkość punktu jest wektorem określonym przez pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu.

12. Definicja przyspieszenia

Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub dugą pochodną wektora położenia

względem czasu

13. Przyspieszenie styczne, przyspieszenie normalne

przysp. styczne - przysp. normalne - , gdzie p- promień krzywizny

14. Droga

Droga to długość odcinka toru (krzywej lub prostej), jaką pokonuje ciało lub punkt materialny podczas swojego ruchu. Droga nie

oznacza odległości pomiędzy dwoma punktami wyznaczającymi początek i koniec ruchu. Liczy się ją po torze ruchu, czyli po

krzywej, po której porusza się ciało. Droga jest sumą dróg przebytych przez ciało w nieskończenie małych odcinkach czasu dt, co

wyraża wzór

15.

16.

17.

18. Rodzaje ruchów bryły

Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że jej chwilowe położenia są równoległe do położenia początkowego.

Ruch obrotowy- Jeżeli dwa punkty bryły są stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły

Ruch płaski -Ruch płaski mozemy traktować jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu lub jako złożenie ruchu

postępowego bieguna i obrotowego względem bieguna

Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów z nią związanych jest nieruchomy.

Ruch ogólny jest to złożenie ruchu postępowego i ruchu kulistego, występuje 6 stopni swobody

19. Prędkość i przyspieszeni punku bryły w ruchu postępowym

Prędkość: Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równoległymi.

Przyspieszenie: Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej chwili wektorami równoległymi.

20. Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym

Prędkość:

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest równa iloczynowi wektorowemu wektora prędkości kątowej przez

wektor położenia punktu (początek układu na osi obrotu).

Przyspieszenie:

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest sumą geometryczną przyspieszeń: Obrotowego i do

osiowego

21. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe

23. Prędkość liniowa punktu, a prędkość kątowa bryły

Każdy punkt obracającej się bryły ma inną prędkość liniową, natomiast prędkość kątowa wszystkich punktów bryły jest taka sama.

Punkt odległy od osi obrotu o r ma prędkość liniową v.

24. Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim

Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest suma geometryczną prędkości ruchu postepowego i prędkości ruchu obrotowego

dookoła bieguna.

Przyspieszenie w ruchu płaski jest sumą geometryczną przyspieszenia ruchu postępowego, przyspieszenia obrotowego i przyspieszenia

poosiowego.

25. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły sztywnej poruszającej się w ruchu płaskim.

Metoda rzutów prędkości – oparta jest na twierdzeniu Charlesa.Twierdzenie Charlesa – w bryle sztywnej podczas dowolnego ruchu, rzuty

wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów na prostą łączącą te punkty są sobie równe. vAcosα=vBcosβ

26. Chwilowy środek obrotu

Punkt, który w danej chwili pozostaje nieruchomy. Wektory prędkości są prostopadłe do promieni względem chwilowego środka obrotu.

28. Miej gotowe w telefonie z PDF ze strony PP

29. Układ Eulera

Prędkość (ruch kulisty bryły)

Kąt obrotu własnego

Kąt precesji

Kąt nutacji

30. Precesja regularna

Kiedy kąt nutacji jest stały, natomiast prędkość kątowa nutacji wynosi 0, wówczas występuje precesja regularna. Kąt między prędkością kątową

obrotu własnego a prędkością kątową precesji jest stały.

31. Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej

32. Ruch ogólny

33. Ruch złożony punktu

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego ruchem względnym.

Ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34. Prędkość bezwzględna

Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej Prędkość punktu M względem układu

nieruchomego współrzędnych Oxyz nazywamy prędkością bezwzględną (absolutną) i oznaczamy ją symbolem .

35. Przyspieszenie bezwzględne.

Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia, względnego i przyspieszenia Coriolisa

36. Przyspieszenie Coriolisa

Przyspieszenie Coriolisa

związane z ruchem obrotowym ziemi

występuje w ruchu złożonym

(Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości kątowej i prędkości względnej)

Nie ma przyspieszenia Coriolisa ( ), gdy nie ma obrotu , albo , lub jeżeli jest równoległy do ( )

37. Zasady Newtona

Zasada pierwsza. Zasada bezwładności. Punkt materialny, na który nie działają żadne siły lub wszystkie działające nań siły znoszą

się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układu odniesienia. Układ odniesienia w

którym słuszna jest ta zasada nazywamy inercjalnym. Punkt w tym układzie nie możne udzielić sobie przyspieszenia.

Zasada druga. W układzie inercjalnym zmiana ruchu punktu materialnego jest proporcjonalna do siły działającej i odbywa się w

kierunku działania tej siły. F=ma Wektory nad F i a

Zasada trzecia. Każdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie skierowane przeciwdziałanie.

Zasada czwarta. Pod wpływem układu sił punkt materialny uzyskuje przyspieszenie równe sumie geometrycznej przyspieszeń, jakie

uzyskałby w wyniki niezależnego działania każdej z sił.

Zasada piąta. Zasada powszechnego ciążenia. Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 działają na siebie z siłą proporcjonalną do

iloczynu tych mas, a odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości tych mas F=k(m1+m2)/r^2 gdzie k to stała grawitacji

38. Zasada d’Almberta

39. Zasada zachowania pędu:

Równanie:

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa sumie sił działających na dany punkt.

Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej zasady dynamiki. Jeżeli teraz:

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.

40. Zasada pędu i popędu.

Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest

równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.

t

dtWptp0

)0()(

41. Zasada zachowania krętu.

43. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

44. Definicja pracy.

45. Moc mechaniczna.

46. Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.

48. Potencjalne (zachowawcze) pole sił

Pole zachowawcze (pole sił zachowawczych, pole potencjalne) – takie pole sił, w którym praca wykonywana podczas przesuwania

jakiegoś ciała nie zależy od toru, po którym porusza się ciało, a jedynie od jego położenia początkowego i końcowego. Polem

zachowawczym jest np. pole grawitacyjne i pole elektryczne.

Wyobraźmy sobie, że na parapecie okna na drugim piętrze stoją dwie identyczne rośliny w doniczkach. Jedna z nich została

przywieziona windą a druga wniesiona po schodach. Nagle doniczki zaczynaja spadać, w tym samym momencie. Która będzie miała

większą energię kinetyczną, gdy osiągnie chodnik? Nie będzie żadnej różnicy. Dlaczego? Ponieważ wartość energii na danej

wysokości nie zależy od toru, po którym wniesiono donice

49. Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.

50. Pęd układu punktów materialnych.

51. Kręt układu punktów materialnych.

52. Energia kinetyczna układu punktów materialnych.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii poszczególnych pkt.

T=sum (mi*vi^2)/2

53. Twierdzenie Koeniga.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego

układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

54. Zasada zachowania energii mechanicznej.

W zachowawczym polu sił suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała.

55. Wahadło matematyczne

0sin"

0sin"

sin"

sin

2

2

l

g

gml

ml

mglml

mglM z

56. Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

0sin"

sin"

sin

gI

ms

mgsI

mgsM

yFM

z

z

z

z

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy

ms

Il zred długość zredukowana

Okres wahadła

mgs

I

g

l

g

lT

z

red

2

22

Rozwiązanie:

)cos( 0 tA

57. Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły Fprzyciągającej ten punkt do stałego

punktu O zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu

F = -kx, k-stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać

mx” = F

mx” = -kx lub

m

k

xm

kx 0"

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych

,0" 2xx częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

)sin( tax

(a-amplituda(max. wychylenie), - faza początkowa ruchu drgań )( t -faza drgań)

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

kmT

mkT

2

,2

58. Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

'* xR x -siła tłumiąca.

Równania ruchu:

mnmk

xnxx

xkxmx

2,

0'2"

'"

2

Ponieważ równanie charakterystyczne 02 22 n

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)

1.Małe tłumienie 0 n Rozwiązanie:

)sin( 22 tnaex nt

Jeżeli 0, toxt -drgania zanikają. Okres: 22

22,

2n

nT t

2.Duże tłumienie. 0 n Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

)sinh( 22 tnaex nt

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.

3.Tłumienie krytyczne

0 n Rozwiązanie:

)( 21 tCCex nt

Brak okresowości, brak drgań.

59. Logarytmiczny dekrement tłumienia

Dekrement tłumienia jest to stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

gdzie

An - amplituda n-tego drgania,

An+1 - amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dekrementu tłumienia

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.

Siła wymuszająca S=H sin(pt),

p-czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

mHhmk

pthnxx

ptHkxmx

,

)sin('2"

)sin("

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

)sin()sin(22

ptp

htax

Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych

22 p

hB

zależy od częstości drgań wymuszonych.

Jeżeli toBp , i występuje rezonans. W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań będzie miało postać.

)cos(2

)sin( tth

tax

61. Rezonans

- zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej

amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

62. Amplituda

- nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

63. Okres drgań-

dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.

gdzie: f - częstotliwość,

gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa).

64. Częstotliwość

określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz).

Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość

w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν. Z definicji wynika wzór:

Gdzie f – częstotliwość, n – liczba drgań, t – czas, w którym te drgania zostały wykonane. Z innymi wielkościami wiążą ją następujące zależności:

,

66. Faza drgań

w fizyce wielkość bezwymiarowa opisująca procesy okresowe przedstawiająca, w której części okresu znajduje się ciało (zjawisko). Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem faz drgań określa się argument funkcji sinus, czyli

67. Faza początkową drgań

Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

71. Reakcje dynamiczne

dynamicznereakcjeRR

const

BA _,

.

Korzystamy z zasady d’Alemberta

Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą

0

0

0

0

_

2

2

2

2

xzdmlR

yzdmlR

momenty

ydmRR

xdmRR

siłrównania

Bx

By

ByAy

BxAx

Oznaczając

xzyz

cc

DxzdmDyzdm

myydmmxxdm

,

,

mamy

0

0

0

0

2

2

2

2

xzBx

yzBy

cByAy

cBxAx

DlR

DlR

myRR

mxRR

22

22

ByBxB

AyAxA

RRR

RRR

Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

0,0

,0,0

yzxz

cc

DD

yx

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności

72. Długość zredukowana wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

73. Kręt bryły w ruchu obrotowym

I – moment bezwładności ciała,

– prędkość kątowa.

74. Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

,

gdzie:

- prędkość kątowa,

- tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

,

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

75. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

76 Środek masy bryły

Środek masy, punkt określony przez rozkład mas w danym ciele lub układzie ciał. Położenie środka masy wyraża się wzorem:

gdzie mk i rk - odpowiednio masy i promienie wodzące poszczególnych punktowych ciał składających się na dany obiekt.

77. Środek masy układu punktów materialnych

Środek masy określony jest następująco:

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ponieważ występują parami.

Pi - siły zewnętrzne;

Wi - siły wewnętrzne;

78. Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez

kwadrat odległości tego punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna.

I = mr2

79. Główny moment bezwładności

Momenty bezwładności względem punktu

I xx = x2 dm

I yy = y2 dm

I zz = z2 dm

Momenty bezwładności względem osi

I x = (y2 + z2 ) dm = I yy + I zz

I y = (x2 + z2 ) dm = I xx + I zz

I z = (x2 + y2 ) dm = I xx + I yy

80. Dewiacyjne momenty bezwładności

81. Tw. Steinera

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy

powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi.

I l= I s + md2

83. Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I1x2+ I2y

2+ I3z2= k2

gdzie I1,2,3 -główne momenty bezwładności

84. Centralna oś bezwładności-Centralnym momentem bezwładności

bryły nazywamy moment względem osi przechodzącej przez środek masy bryły sztywnej. Każda bryła ma taką centralną oś obrotu,

względem której moment bezwładności ma największą wartość oraz oś do niej prostopadłą, względem której moment bezwładności

jest najmniejszy. Osie te nazywają się głównymi osiami momentu bezwładności. Trzecią osią główną jest oś do nich prostopadła,

moment bezwładności ma względem niej pośrednią wartość

85. Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek masy