MECHANIKA 2

Wykład 7Dynamiczne równania ruchu

Dynamiczne równania ruchu

Druga zasada dynamiki zapisana w postaci:

Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu.

Wektory F i a mają składowe:

Dynamiczne równania ruchu przybierają postać:

W kartezjańskim układzie współrzędnych

Dynamiczne równania ruchu

We współrzędnych biegunowych

Dynamiczne równania ruchu

We współrzędnych walcowych

r

Dynamiczne równania ruchu

We współrzędnych kulistych:

1. Zadanie pierwsze - zadane są parametryczne równania toru

)(txx )(tyy )(tzz

Należy wyznaczyć siłę , pod której wpływem porusza się punkt materialny.

Tok postępowania:Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu równania toru uzyskując składowe przyspieszenia. Po podstawieniu do dynamicznych równań ruchu wyznaczamy składowe wektora siły działającej na punkt.

F

Zadania dynamiki

2. Drugie zadanie dynamiki - należy wyznaczyć przyspieszenie, prędkość i tor poruszającego się punktu, przy danej masie i sile.

a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie, b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła,

c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości,

d) Siła zależy od prędkości punktu, np. opór powietrza.

Zadania dynamiki

W najogólniejszym przypadku równania ruchu w współrzędnych kartezjańskich mają postać:

Dynamiczne równania ruchu

Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i uwzględniając zadane warunki początkowe (położenie początkowe punktu i prędkość początkową) wyznacza się równania toru.

oxx oxx

oyy oyy

ozz ozz

Parametryczne równania toru mają postać:

Całka ogólna równań ruchu

Dla t = 0

Przykład 1 Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym równaniami

62t4t 2 3 x 4 t3y 2

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem uzyskujemy składowe przyspieszenia

Po podstawieniu do równań ruchu otrzymamy składowe wektora siły

Wektor siły

Wyznaczyć siłę działającą na tę masę

Ruch pod wpływem siły Dynamiczne równanie dynamiczne ma postać

0F

czyli

Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0 , otrzymamyoo vr

Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0 , otrzymamyorr

Jest to znane równanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego.

Przykład 2

Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych, że dla t = 0 i otrzymamy

Ruch pod wpływem siły stałej constF

oo vr orr

Przykład 3

Równanie ruchu ma postać

Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia. Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m wystrzelonego z planety o masie M z prędkością vo. Równanie ruchu:

ale

Przykład 4

lub

Po scałkowaniu otrzymujemy równanie

Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość początkową vo. Podstawimy więc v = 0, x = H, xo = R otrzymamy

lub po przekształceniu

Teraz wyznaczymy z jaką prędkością należy wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą planety.

Prędkość tę v∞ otrzymamy po podstawieniu do wzoru vo = v∞ oraz H = ∞.

Przykład 4 cd.

Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość

Po podstawieniu otrzymamy wzór na prędkość ucieczki dla Ziemi

Przyjmując R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s2 otrzymamy:

v∞ ≈ Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się satelitą Ziemi.

Przykład 4 cd.

Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Względem układu stałego ruch punktu jest określony równaniami

W układzie ruchomym ruch określony jest więc równaniem

oraz

w którym nazywamy siłą bezwładności unoszenia.

Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Równanie ruchu przybiera postać:

Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch postępowy, punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego, oprócz sił czynnych, jeszcze siła bezwładności unoszenia.

Zasada względności mechaniki klasycznej:

Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu odniesienia.

Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

W układzie ruchomym równanie ruchu ma postać :

– siła bezwładności unoszenia,

– siła bezwładności unoszenia Coriolisa.

Po podstawieniu

Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch obrotowy, punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sił danych, jeszcze siła bezwładności unoszenia i siła bezwładności Coriolisa.

w związku z tym

W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną przyspieszenia stycznego i normalnego (dośrodkowego), czyli

tD – styczna siła bezwładności,

nD – normalna siła bezwładnościcD

– siła Coriolisa

Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

Wartości tych sił określone są wzorami:

– przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego – prędkość kątowa ruchu obrotowego

Ruch względem Ziemi

W wielu zagadnieniach praktycznych za układ odniesienia przyjmujemy Ziemię. Ściśle biorąc jest to układ nieinercjalny. Jednak z wystarczająco dobrym przybliżeniem Ziemię możemy uważać za układ inercjalny, o ile tylko będziemy rozpatrywać ruch w przedziałach czasu krótkich w porównaniu z okresem ruchu postępowego i obrotowego Ziemi. Szczególnie niewielką rolę odgrywa, przy występujących w praktyce prędkościach, siła Coriolisa.

Układ nazywamy inercjalnym gdy przyśpieszenie jest tylko skutkiem siły działającej na ciało.

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

Rys. 9

Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie

Rozwiązaniem ogólnym będzie wyrażenie

Przykład 1

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Rys. 8

Ostatecznie:

Dla punkt materialny będzie poruszał się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry.

Gdy , punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

tggau

tggau

x