MD
6
EULER T: Graf, który ma cykl Eulera, musi mieć wszystkie wierzchołki stopnia parzystego. W: Skończony graf spójny, w którym każdy wierzchołek ma stopień parzysty, ma cykl Eulera. T: Graf G mający drogę Eulera ma albo dwa wierzchołki stopnia nieparzystego, albo nie ma w ogóle wierzchołków stopnia nieparzystego. W: Skończony graf spójny, mający dokładnie dwa wierzchołki stopnia nieparzystego, ma drogę Eulera. KOMBINAROTYKA PERMUTACJE: P = n! Ilość możliwych ustawień WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ: V= n!/(n-k)! k-elementowe wariacje ze zbioru n-elementowego istotna kolejność WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI: W= n^k k-elementowe wariacje ze zbioru n-elementowego istotna kolejność KOMBINACJE: Ck/n= (n/k) = n!/k!(n-k)! k-elementowe kombinacje ze zbioru n- elementowego nie istotna kolejność SCHEMAT BERMULIEGO: P(k) = (n/k)p^(k)q^(n-k) Pewne doświadczenie wykonujesz n razy nie zależnie od siebie (p = const) i chcesz osiągnąć k razy sukces. P(k=1) + p(k=2) + p(k=...) = 1 - p(k=0) P(AB) = P(A) P(B) – wtedy są niezależne P(Bn/A) = KOMBINAROTYKA-INFO jeśli n = k permutacje, jeśli n > k ?ważna kolejność warjacje, jeśli n > k ?kolejność nie ważna kombinacje, jeśli zaczynam y za każdym razem od początku n razy sch. Bermuliego - zb wszystkich możliwych zdarzeń = - ich ilość A - zb zdarzeń sprzyjających =A - ich ilość P(A) = =A/= LOGIKA p q –koniunkcja (i) 001 p q –alternatywa (lub) 0111 pq – implikacja (jeśli p, to q) 1101 pq – równoważność () 1001 pq – ex-or (albo) 0110 RAHUNEK ZDAŃ ((p)) p – prawo podwójnego zaprzeczenia (p q) r p (q r) – prawo łączności koniunkcji (p q) r p (q r) – prawo łączności alternatywy (pq) [p (q)] – prawo zaprzeczenia implikacji (p q) [p (q)] – p.de Morgana: zaprzeczenia koniunkcji (p q) [p (q)] – p.de Morgana: zaprzeczenia alternat. [(p q) (q r)] (p r) – prawo przechodniośi implikacji PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW: A={xU: xA} wszystko za wyjątkiem A AB={xU: xA lub xB} suma AB={xU: xA oraz xB} część wspólna A\B={xU: xA oraz xB} tylko A bez B AB=(AB)\(AB)=(A\B)(A\B) A i B bez części wspólnej (różnica symetryczna) (AB )C = A(CB) - łączność sumy AA=A - idempotentność sumy AA=A - idempotentność iloczynu (A)=A - podwójne dopełnienie (AB)C=A(CB) - łączność iloczynu AB=BA - przemienność sumy AB=BA - przemienność iloczynu (AB)C=(AC)(BC) - rozdzielność il. względem sumy (AB)C=(AC)(BC) - rozdzielność iloczynu względem sumy AB ABABAB - zawieranie się zbiorów; każdy elem. z A należy do B A=B ABBA - równość zbiorów A(B) A\B A=A A= A \ A= A \ = A = A=A AA’ = AA’= (AB)= (A) (B) - całe U bez zbiorów A i B (AB)= (A) (B) - całe U bez części wspólnych zbiorów A i B ILOCZYN KARTEZJAŃSKI: AB - oznacza każdy element ze zbioru A w parze z elementem ze zbioru B, np. A = { 1, 2 }; B = { 3, 4 }; A B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4)} KWANTYFIKATORY RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW - zd. Prawdziwe - zd. Nieprawdziwe - zd. Prawdziwe xZ: x + y = 3 - zd. nieprawdziwe (bo nie mamy danego y) NEGACJA KWANTYF. ( x P(x))x (P(x)) (x P(x)) x P(x) = = = = RELACJE Dom() - dziedzina relacji Cod() - przeciw dziedzina relacji ZWROTNA xA: (x, x) (idA ) x: xPx PRZECIWSTAWNA (ANTYZWROTNA) xA: (x, x) (idA = ) x: ( (xPx)) SYMETRYCZNA x,yA: (x, y) (y, x) = -1 x(y(xPyyPx)) ASYMETRYCZNA x,yA: (x, y) (y, x) -1 = ANTYSYMETRYCZNA x,yA: ((x, y) (y, x) ) y = x -1 = x(y((xPyyPx)x=y)) PRZECHODNIA x,y,zA: (x, y) (y, z) (x, z) 2 = = x(y(z((xPyyPz)xPz))) SPÓJNA x,yA: (x, y) (y, x) -1 = A 2 D.UFUNDOWANA nie istnieje nieskończony ciąg a1, a2, a3… an A, taki że (a1, a2) , (a2, a3) KLASA ABSTRAKCJI elem-u a A rel. równoważności nazwiemy zb. wszystkich elem-w, które są w rel. z a [a]={xA: (x;a)} ZBIÓR ILOCZYNOWY zbiór klas abstrakcji relacji równoważności ; A/ = {[a]:aA} RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI Zwrotna, przechodnia, symetryczna RELACJA PORZĄDKU Zwrotna, przechodnia, antysymetryczna REL. PORZĄDKU LINIOWEGO Rel. porządku, spójność Nazwa Wzór ogólny Dla wszystkich chociaż jeden Wystarczy że będzie dla jednego punktu (tego nie może być) Zwrotność x xU, x1Rx2 @ Przeciwzwrotna x xU, x1Rx2 Symetryczna x,y x,yU, xRy yRx @ Asymetryczna x,y x,yU, xRy (yRx) @ Antysymetryczna x,y x,yU, xRy yRx x=y @ Przechodność x,y,z x,y,zU, xRy yRz z=x @ Spójność x,y x,yU, xRy yRx @@ @ @@ Dobrze ufundowana Nie istnieje taki nieskończony ciąg, że (a1, a2, …, an)A @ Relacja równoważności Zwrotna, przechodnia, symetryczna @@@ @ Relacja porządku Zwrotna, przechodnia, antysymetryczna @ @ @ Rel.porządku linioweg Relacja porządku, spójność
description
MD
Transcript of MD
T: Graf, ktry ma cykl Eulera, musi mie wszystkie wierzchoki stopnia parzystego
EULER T: Graf, ktry ma cykl Eulera, musi mie wszystkie wierzchoki stopnia parzystego.
W: Skoczony graf spjny, w ktrym kady wierzchoek ma stopie parzysty, ma cykl Eulera.
T: Graf G majcy drog Eulera ma albo dwa wierzchoki stopnia nieparzystego, albo nie ma w ogle wierzchokw stopnia nieparzystego. W: Skoczony graf spjny, majcy dokadnie dwa wierzchoki stopnia nieparzystego, ma drog Eulera.
KOMBINAROTYKA PERMUTACJE: P = n! Ilo moliwych ustawieWARIACJE BEZ POWTRZE: V= n!/(n-k)! k-elementowe wariacje ze zbioru n-elementowego istotna kolejno
WARIACJE Z POWTRZENIAMI: W= n^k k-elementowe wariacje ze zbioru n-elementowego istotna kolejno
KOMBINACJE: Ck/n= (n/k) = n!/k!(n-k)! k-elementowe kombinacje ze zbioru n-elementowego nie istotna kolejno
SCHEMAT BERMULIEGO: P(k) = (n/k)(p^(k)(q^(n-k) Pewne dowiadczenie wykonujesz n razy nie zalenie od siebie (p = const) i chcesz osign k razy sukces. P(k=1) + p(k=2) + p(k=...) = 1 - p(k=0) P(A(B) = P(A) ( P(B) wtedy s niezalene
P(Bn/A) = EQ \F(P(A/Bn) ( P(Bn); P(A/Bi)(P(Bi)++P(A/Bn)(P(Bn))KOMBINAROTYKA-INFO jeli n = k ( permutacje, jeli n > k ( ?wana kolejno ( warjacje,
jeli n > k ( ?kolejno nie wana ( kombinacje, jeli zaczynam y za kadym razem od pocztku n razy ( sch. Bermuliego( - zb wszystkich moliwych zdarze =( - ich ilo A - zb zdarze sprzyjajcych =A - ich ilo P(A) = =A/=(LOGIKA p ( q koniunkcja (i) 001 p ( q alternatywa (lub) 0111 p(q implikacja (jeli p, to q) 1101
p(q rwnowano (() 1001 p(q ex-or (albo) 0110
RAHUNEK ZDA ((((p)) ( p prawo podwjnego zaprzeczenia (p ( q) ( r ( p ( (q ( r) prawo cznoci koniunkcji
(p ( q) ( r ( p ( (q ( r) prawo cznoci alternatywy ((p(q) ( [p (((q)] prawo zaprzeczenia implikacji
((p (q) ( [(p ( ((q)] p.de Morgana: zaprzeczenia koniunkcji ((p ( q) ( [(p ( ((q)] p.de Morgana: zaprzeczenia alternat.
[(p ( q) ( (q ( r)] ( (p ( r) prawo przechodnioi implikacji
PRAWA RACHUNKU ZBIORW: (A={x(U: x(A} wszystko za wyjtkiem A A(B={x(U: x(A lub( x(B} suma
A(B={x(U: x(A oraz( x(B} cz wsplna A\B={x(U: x(A oraz( x(B} tylko A bez B
A(B=(A(B)\(A(B)=(A\B)((A\B) A i B bez czci wsplnej (rnica symetryczna) (A(B )(C = A((C(B) - czno sumy
A(A=A - idempotentno sumy A(A=A - idempotentno iloczynu ( ((A)=A - podwjne dopenienie
(A(B)(C=A((C(B) - czno iloczynu A(B=B(A - przemienno sumy A(B=B(A - przemienno iloczynu
(A(B)(C=(A(C)((B(C) - rozdzielno il. wzgldem sumy (A(B)(C=(A(C)((B(C) - rozdzielno iloczynu wzgldem sumy
A(B A(B(A(B(A(B - zawieranie si zbiorw; kady elem. z A naley do B A=B A(B(B(A - rwno zbiorw
A(((B) (A\B A((=A A((=( A \ A=( A \ (=( A(( =( A((=A A(A =( A(A=(( (A(B)= ((A)( ((B) - cae U bez zbiorw A i B ( (A(B)= ((A)( ((B) - cae U bez czci wsplnych zbiorw A i B
ILOCZYN KARTEZJASKI: A(B - oznacza kady element ze zbioru A w parze z elementem ze zbioru B, np. A = { 1, 2 }; B = { 3, 4 }; A ( B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4)}
KWANTYFIKATORY RACHUNEK KWANTYFIKATORW (( - zd. Prawdziwe (( - zd. Nieprawdziwe
(( - zd. Prawdziwe (x(Z: x + y = 3 - zd. nieprawdziwe (bo nie mamy danego y)
NEGACJA KWANTYF. (( (x P(x))((x ( (P(x)) (((x P(x))( ( (x P(x) (( = (( (( = (( ((( = ( ((( = (RELACJE Dom(() - dziedzina relacji Cod(() - przeciw dziedzina relacji
ZWROTNA ( (x(A: (x, x) (( ( (idA ( () ( (x: xPxPRZECIWSTAWNA (ANTYZWROTNA) ( (x(A: (x, x) (( ( (idA = () ( (x: (( (xPx))SYMETRYCZNA ( (x,y(A: (x, y) (( ( (y, x) (( ( ( = (-1 ( (x((y(xPy(yPx))
ASYMETRYCZNA ( (x,y(A: (x, y) (( ( (y, x) (( ( ( ( (-1 = (
ANTYSYMETRYCZNA ( (x,y(A: ((x, y) (( ( (y, x) (() ( y = x ( ( ( (-1 = ( ( (x((y((xPy(yPx)(x=y))PRZECHODNIA ( (x,y,z(A: (x, y) (( ( (y, z) (( ( (x, z) ( ( ( (2 = ( ( ( = ( ( (x((y((z((xPy(yPz)(xPz)))
SPJNA ( (x,y(A: (x, y) (( ( (y, x) (( ( ( ( (-1 = A2D.UFUNDOWANA ( nie istnieje nieskoczony cig a1, a2, a3 an (A, taki e (a1, a2) ( (, (a2, a3) ( (KLASA ABSTRAKCJI elem-u a ( A rel. rwnowanoci ( nazwiemy zb. wszystkich elem-w, ktre s w rel. z a [a]={x(A: (x;a)((}
ZBIR ILOCZYNOWY zbir klas abstrakcji relacji rwnowanoci (; A/( = {[a]:a(A}
RELACJA RWNOWANOCI Zwrotna, przechodnia, symetryczna
RELACJA PORZDKU Zwrotna, przechodnia, antysymetryczna REL. PORZDKU LINIOWEGO Rel. porzdku, spjno
NazwaWzr oglnyDla wszystkich chocia jedenWystarczy e bdzie dla jednego punktu (tego nie moe by)
Zwrotno(x x(U, x1Rx2@
Przeciwzwrotna(x x(U, (x1Rx2(
Symetryczna(x,y x,y(U, xRy ( yRx( ( ( ( ( @( ( (
Asymetryczna(x,y x,y(U, xRy ( ((yRx)( ( ( ( (@ ( ( (
Antysymetryczna(x,y x,y(U, xRy ( yRx ( x=y( ( ( ( ( @( ( (
Przechodno(x,y,z
x,y,z(U, xRy ( yRz ( z=x( ( ( ( ( ( ( ( @
((((( ( ( ( ( ( ( (
Spjno(x,y x,y(U, xRy ( yRx@(@ @
( (( (( ( (@(@( (
Dobrze ufundowanaNie istnieje taki nieskoczony cig, e (a1, a2, , an)(A( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( @ ( ( (((((
Relacja rwnowanociZwrotna, przechodnia, symetryczna@(@(@ @
(((((
Relacja porzdkuZwrotna, przechodnia, antysymetryczna @ @ @
Rel.porzdku liniowegRelacja porzdku, spjno
ZAPIS REKURENCYJNY
(An) = (3, 33, (33)3, ((33)3)3, (((33)3)3)3, ) an+1 = an^3 (An) = (3, 33, 3^(33), 3^(33)^3, 3^(33)^ (33), ) an+1 = 3^(an)
DZIAANIA NA POTGACH am(an = am+n am/an = am-n (a(b)n = am(an (a/b)n = an(bn (am)n = am(nINDUKCJA MATEMATYCZNAWykaza rwno ciagw an i bn
Dane: a0 = 0; an+1 = an + (n+1)*2n+1; bn = (n-1)*2(n+1)+2
Rozwizanie:
1) a0 = b0 czyli b0 = 0, sprawdzenie b0 = (0-1)*2(0+1) = 0
2) zaoenie ind., an=bn, czyli an = (n-1)*2n+1+2
3) teza ind., an+1 = bn+1an+1 = an + (n+1)*2n+1bn+1 = ((n+1)-1)*2(n+1)+2=n*2 n+2z zaoenia ind.:
an+1 = an {(n-1)*2n+1+2}+ (n+1)*2n+1 +2= 2n+1(n-1+n+1)+2 = 2n+1(2n)+2 = 2n+1+1 *n+2 = 2n+2 *n+2 ( an=bn
na mocy indukcji wykazaem, e an=bn
Wykaza e 6|10n+2 dla n>0
1) n = 1; 101+2 = 12 ( 6|12
2) zaoenie ind., 10n+2 = 6*k
3) teza ind., 10n+1+2 = 6*s s(Z
10n+1+2 = 10n *101+2 =10*(10n+2)-18 = 10*6k-18 = 6(10k-3) a to jest nasze s
Na mocy indukcji wykazaem e 10n+1 + 2 da si przedstawi w postacji iloczyny 6*s s=10k-3 ( Z czyli (n>0: 6|10n+2
Wykaza e zachodzi n2>n+1 dla n>1
1) n = 2; L=22=4 P=2+1=3 czyli L>P
2) zaoenie ind., n2>n+1 an=n2 bn=n+1
3) teza ind. n+1
an+1=(n+1)2=n2+2n+1
bn+1=(n+1)+1
n2+2n+1 > bn{(n+1)}+2n+1
n2+2n+1 > 3n+2
3n+2>n+2
Na mocy indukcji wykazaem e n2 > n+1
RACHUNEK ZBIORW-ZADANIA
(((A(((A))((B(((B))) = (L= (x(((A(((A)) ( (B(((B)))= x(((A(((A)) ( (B(((B)))
L= x(((A(((A)) ( (B(((B)))
L= x(((A( ((A)) ( (B( ((B)))
L= x((((A(A) ( ((B(B))
L= (x(((A(A) ( x(((B(B))
L= ((x(A(x(A) ( ((x(B(x(B)))
L= ((x(() ( (x(()) = x(( = P
EULER
T: Graf, ktry ma cykl Eulera, musi mie wszystkie wierzchoki stopnia parzystego.
W: Skoczony graf spjny, w ktrym kady wierzchoek ma stopie parzysty, ma cykl Eulera.
T: Graf G majcy drog Eulera ma albo dwa wierzchoki stopnia nieparzystego, albo nie ma w ogle wierzchokw stopnia nieparzystego.
W: Skoczony graf spjny, majcy dokadnie dwa wierzchoki stopnia nieparzystego, ma drog Eulera.
KOMBINAROTYKA
PERMUTACJE:
P = n!
Ilo moliwych ustawie
WARIACJE BEZ POWTRZE:V= n!/(n-k)!
k-elementowe wariacje ze zbioru n-elementowego
istotna kolejno
WARIACJE Z POWTRZENIAMI:W= n^k
k-elementowe wariacje ze zbioru n-elementowego
istotna kolejno
KOMBINACJE:Ck/n= (n/k) = n!/k!(n-k)!
k-elementowe kombinacje ze zbioru n-elementowego
nie istotna kolejno
SCHEMAT BERMULIEGO:P(k) = (n/k)(p^(k)(q^(n-k)
Pewne dowiadczenie wykonujesz n razy nie zalenie od siebie (p = const) i chcesz osign k razy sukces.
P(k=1) + p(k=2) + p(k=...) = 1 - p(k=0)
P(A(B) = P(A) ( P(B) wtedy s niezalene
P(Bn/A) = EQ \F(P(A/Bn) ( P(Bn); P(A/Bi)(P(Bi)++P(A/Bn)(P(Bn))KOMBINAROTYKA-INFO
jeli n = k ( permutacje,
jeli n > k ( ?wana kolejno ( warjacje,
jeli n > k ( ?kolejno nie wana ( kombinacje,
jeli zaczynam y za kadym razem od pocztku n razy ( sch. Bermuliego( - zb wszystkich moliwych zdarze
=( - ich ilo
A - zb zdarze sprzyjajcych
=A - ich ilo
P(A) = =A/=(LOGIKA
p ( q koniunkcja (i) 001
p ( q alternatywa (lub) 0111
p(q implikacja (jeli p, to q) 1101
p(q rwnowano (() 1001
p(q ex-or (albo) 0110
RAHUNEK ZDA((((p)) ( p prawo podwjnego zaprzeczenia
(p ( q) ( r ( p ( (q ( r) prawo cznoci koniunkcji
(p ( q) ( r ( p ( (q ( r) prawo cznoci alternatywy
((p(q) ( [p (((q)] prawo zaprzeczenia implikacji
((p (q) ( [(p ( ((q)] prawo de Morgana: zaprzeczenia koniunkcji
((p ( q) ( [(p ( ((q)] prawo de Morgana: zaprzeczenia alternatywy
[(p ( q) ( (q ( r)] ( (p ( r) prawo przechodnioi implikacji
PRAWA RACHUNKU ZBIORW:(A={x(U: x(A} wszystko za wyjtkiem A
A(B={x(U: x(A lub( x(B} suma
A(B={x(U: x(A oraz( x(B} cz wsplna
A\B={x(U: x(A oraz( x(B} tylko A bez B
A(B=(A(B)\(A(B)=(A\B)((A\B) A i B bez czci wsplnej (rnica symetryczna)
(A(B )(C = A((C(B) - czno sumy
A(A=A - idempotentno sumy
A(A=A - idempotentno iloczynu
( ((A)=A - podwjne dopenienie
(A(B)(C=A((C(B) - czno iloczynu
A(B=B(A - przemienno sumy
A(B=B(A - przemienno iloczynu
(A(B)(C=(A(C)((B(C) - rozdzielno iloczynu wzgldem sumy
(A(B)(C=(A(C)((B(C) - rozdzielno iloczynu wzgldem sumy
A(B A(B(A(B(A(B - zawieranie si zbiorw; kady elem. z A naley do B
A=B A(B(B(A - rwno zbiorw
A(((B) (A\B
A((=A
A((=(A \ A=(A \ (=(A(( =(A((=A
A(A =(A(A=(( (A(B)= ((A)( ((B) - cae U bez zbiorw A i B
( (A(B)= ((A)( ((B) - cae U bez czci wsplnych zbiorw A i B
ILOCZYN KARTEZJASKI:A(B - oznacza kady element ze zbioru A w parze z elementem ze zbioru B, np. A = { 1, 2 }; B = { 3, 4 }; A ( B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4)}
KWANTYFIKATORYRACHUNEK KWANTYFIKATORW
(( - zd. Prawdziwe
(( - zd. Nieprawdziwe
(( - zd. Prawdziwe
(x(Z: x + y = 3 - zd. nieprawdziwe (bo nie mamy danego y)
NEGACJA KWANTYFIKATORW
(( (x P(x))((x ( (P(x))
(((x P(x))( ( (x P(x)
(( = (((( = ((((( = (((( = (RELACJE
Dom(() - dziedzina relacji
Cod(() - przeciw dziedzina relacji
ZWROTNA ( (x(A: (x, x) (( ( (idA ( () ( (x: xPxPRZECIWSTAWNA (ANTYZWROTNA) ( (x(A: (x, x) (( ( (idA = () ( (x: (( (xPx))SYMETRYCZNA ( (x,y(A: (x, y) (( ( (y, x) (( ( ( = (-1 ( (x((y(xPy(yPx))
ASYMETRYCZNA ( (x,y(A: (x, y) (( ( (y, x) (( ( ( ( (-1 = (
ANTYSYMETRYCZNA ( (x,y(A: ((x, y) (( ( (y, x) (() ( y = x ( ( ( (-1 = ( ( (x((y((xPy(yPx)(x=y))PRZECHODNIA ( (x,y,z(A: (x, y) (( ( (y, z) (( ( (x, z) ( ( ( (2 = ( ( ( = ( ( (x((y((z((xPy(yPz)(xPz)))
SPJNA ( (x,y(A: (x, y) (( ( (y, x) (( ( ( ( (-1 = A2D.UFUNDOWANA ( nie istnieje nieskoczony cig a1, a2, a3 an (A, taki e (a1, a2) ( (, (a2, a3) ( (KLASA ABSTRAKCJI elementu a ( A relacji rwnowanoci ( nazwiemy zbir wszystkich elementw, ktre s w relacji z a [a] = { x ( A: (x; a) ( ( }
ZBIR ILOCZYNOWY zbir klas abstrakcji relacji rwnowanoci (; A/( = {[a]:a(A}
RELACJA RWNOWANOCI Zwrotna, przechodnia, symetryczna
RELACJA PORZDKU Zwrotna, przechodnia, antysymetryczna
RELACJA PORZDKU LINIOWEGO Relacja porzdku, spjno
NazwaWzr oglnyDla wszystkich chocia jedenWystarczy e bdzie dla jednego punktu (tego nie moe by)
Zwrotno(x x(U, x1Rx2@
Przeciwzwrotna(x x(U, (x1Rx2(
Symetryczna(x,y x,y(U, xRy ( yRx( ( ( ( ( @( ( (
Asymetryczna(x,y x,y(U, xRy ( ((yRx)( ( ( ( (@ ( ( (
Antysymetryczna(x,y x,y(U, xRy ( yRx ( x=y( ( ( ( ( @( ( (
Przechodno(x,y,z x,y,z(U, xRy ( yRz ( z=x( ( ( ( ( ( ( ( @
((((( ( ( ( ( ( ( (
Spjno(x,y x,y(U, xRy ( yRx@(@ @
( (( (( ( (@(@( (
Dobrze ufundowanaNie istnieje taki nieskoczony cig, e (a1, a2, , an)(A( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( @ ( ( (((((
Relacja rwnowanociZwrotna, przechodnia, symetryczna@(@(@ @
(((((
Relacja porzdkuZwrotna, przechodnia, antysymetryczna @ @ @
Relacja porzdku liniowegoRelacja porzdku, spjno
ZAPIS REKURENCYJNY
(An) = (3, 33, (33)3, ((33)3)3, (((33)3)3)3, ) an+1 = an^3
(An) = (3, 33, 3^(33), 3^(33)^3, 3^(33)^ (33), ) an+1 = 3^(an)
DZIAANIA NA POTGACH
am(an = am+nam/an = am-n(a(b)n = am(an(a/b)n = an(bn(am)n = am(nINDUKCJA MATEMATYCZNAWykaza rwno ciagw an i bn
Dane: a0 = 0; an+1 = an + (n+1)*2n+1; bn = (n-1)*2(n+1)+2
Rozwizanie:
1) a0 = b0 czyli b0 = 0, sprawdzenie b0 = (0-1)*2(0+1) = 0
2) zaoenie ind., an=bn, czyli an = (n-1)*2n+1+2
3) teza ind., an+1 = bn+1an+1 = an + (n+1)*2n+1bn+1 = ((n+1)-1)*2(n+1)+2=n*2 n+2z zaoenia ind.:
an+1 = an {(n-1)*2n+1+2}+ (n+1)*2n+1 +2= 2n+1(n-1+n+1)+2 = 2n+1(2n)+2 = 2n+1+1 *n+2 = 2n+2 *n+2 ( an=bn
na mocy indukcji wykazaem, e an=bn
Wykaza e 6|10n+2 dla n>0
1) n = 1; 101+2 = 12 ( 6|12
2) zaoenie ind., 10n+2 = 6*k
3) teza ind., 10n+1+2 = 6*s s(Z
10n+1+2 = 10n *101+2 =10*(10n+2)-18 = 10*6k-18 = 6(10k-3) a to jest nasze s
Na mocy indukcji wykazaem e 10n+1 + 2 da si przedstawi w postacji iloczyny 6*s s=10k-3 ( Z czyli (n>0: 6|10n+2
Wykaza e zachodzi n2>n+1 dla n>1
1) n = 2; L=22=4 P=2+1=3 czyli L>P
2) zaoenie ind., n2>n+1 an=n2 bn=n+1
3) teza ind. n+1
an+1=(n+1)2=n2+2n+1
bn+1=(n+1)+1
n2+2n+1 > bn{(n+1)}+2n+1
n2+2n+1 > 3n+2
3n+2>n+2
Na mocy indukcji wykazaem e n2 > n+1
RACHUNEK ZBIORW-ZADANIA
(((A(((A))((B(((B))) = (L= (x(((A(((A)) ( (B(((B)))= x(((A(((A)) ( (B(((B)))
L= x(((A(((A)) ( (B(((B)))
L= x(((A( ((A)) ( (B( ((B)))
L= x((((A(A) ( ((B(B))
L= (x(((A(A) ( x(((B(B))
L= ((x(A(x(A) ( ((x(B(x(B)))
L= ((x(() ( (x(()) = x(( = P
