Maximo Minimo y Monotonia

8/19/2019 Maximo Minimo y Monotonia

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11Aplicacionesde las derivadas

x2y =

x – 1

y' = 0 ò x = – 1, x = 1Máximo relativo: A(– 1, – 2) Mínimo relativo: B(1, 2)

Creciente (): (– !,– 1) " (1, #!)$ecreciente (%): (– 1, 0) " (0, 1)

&) y' = – x(x2 # 1)2y' = 0 ò x = 0Máximo relativo: A(0, ) Mínimo relativo: no tiene Creciente (): (– !, 0)$ecreciente (%): (0, #!)

Solución:x

y' =*x2 # +

y' = 0 ò x = 0

Máximo relativo: no tieneMínimo relativo: A(0, 2) Creciente (): (0, #!)$ecreciente (%): (– !, 0)

-MA 11 A./CAC-3 $- /A3 1

1. Máximos, mínimos y monotonía

■Piensa y calcula2

$a6a la 7rá8ca 6e la 9nci;n 9(x) =x

realla lo máximo y ?

x – 1lo mínimo relativo y lo intervalo 6e crecimiento y 6ecrecimiento @

A

●Aplica la teoría

1. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e lai7iente 9ncione:

a) y = x – x2 # &) y = x+ – +x

3. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo y6etermi na la monotonía 6e la i7iente9nci;n: y = *x2 # +

2. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e lai7iente 9ncione:

2

=x # 1

x&)y =

x2 # 1

Solución:

Máximo relativo:(0, 0) Mínimorelativo: B(2, +)Creciente (5): (– !, 0) U (2, #!)

Solución:

a) y' = x2 – x

y' = 0 ò x = 0, x =

2 Máximo relativo:

A(0, ) Mínimorelativo: B(2, – 1)Creciente (5): (– !, 0) U (2, #!)

$ecreciente (¹):

(0, 2) &) y' = 12x –

12x2y' = 0 ò x = 0, x =1

Máximo relativo: no

o

! d i t o r

i a l " r u # o ,

S .

$ .


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2 3/"CA

Solución:

a) y' = x2 – 1

x2

2

2 x9( x)= @* x2#

Solución:a) y' = x2 – 1x # 2D y'' = x – 1y'' = 0 ò x = y''' = y'''() = 0.nto 6e inEexi;n:A(, 1) Convexa (F): (, #!)C;ncava (G): (– !, )&) y' = – x2 # x y'' = – x # y'' = 0 ò x = 1 y''' = – y'''(1) = – H 0

.nto 6e inEexi;n:A(1, 0) Convexa (F): (– !, 1)C;ncava (G): (1, #!)

Solución:x2 # 1a) y' = –

y'' =

(x2 – 1)22x(x2 # )(x2 – 1)

y'' = 0 ò x = 0y''' = – (x+ # x2 # 1)

(x2 – 1)+y'''(0) = – H 0

.nto 6e inEexi;n: (0, 0) Convexa (F): (– 1, 0) " (1, #!)C;ncava (G): (– !,– 1) " (0, 1)

&) y' = (1 – x2)(x2 # 1)2y'' = x(x2 – )

(x2 # 1)

4. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo y6etermi na la monotonía 6e la i7iente9nci;n: y = (2 – x)ex

Solución:

y' = (1 – x)ex y' = 0 ò x = 1

Solución:

y' = 1I2 – co x

Máximo relativo:A(1, e) Mínimorelativo: no tieneCreciente (5): (–

y' = 0 ò x = JI, x = πI@

Máximo relativo: A( J , J # * ) @

5. Calcla lo máximo y lo mínimorelativo y 6etermi na la monotonía 6e lai7iente 9nci;n en (0, 2J):

x

Mínimo relativo: B(

J ,

J – * )

Creciente (5): (JI, JI)

$ecreciente (¹): (0, JI) U

2 Puntos de in%exión y curvatura■Piensa y calcula

?

$a6a y =2x

realla lo


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y'' = 0 ò x = – * , x = 0, x = * 1(x+ – x2 # 1)

y''' = –(x2 # 1)+

y'''(– * ) = KI1 H 0y'''(0) = – 1 H 0

y'''( * ) = KI1 H 0

.nto 6e inEexi;n:A(– * , – * I+), (0, 0), B(* , * I+)Convexa (F): (– * , 0) " (* , #!)C;ncava (G): (– !,– * ) " (0, * )

Solución:

y' = 2xx2 # +

y'' = – 2(x2 – +)

(x2 # +)2y'' = 0 ò x = – 2, x = 2

y''' = +x(x2 – 12)

(x2 # +)y'''(– 2) = 1I 0y'''(2) = – 1I 0.nto 6e inEexi;n:A(– 2, / 2), B(2, / 2)Convexa (F): (– 2, 2)C;ncava (G): (– !,– 2) " (2, #!)

(. Calcla lo


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3e


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Solución:

a) -l 6ominio 6e 9(x) e y R0, 2πS T

Q 9(x) e contina en R0, 2JS


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3e


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Solución:

lím x – en x==

x0 x R S0 1 – co x0x0 = == límx0

en x0x

=R S0x0= lím co x= 1ISolución:

lím x / x = R0 Z (–!)S = lím=/ x

x0 # x0 # 1x

RS–!! =

límxC0


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;7nita y 6ato x = ay Le maximi]ar 9 (x, y) = xyeto a: x # y = 100 ò y = 100 – xecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 9(x) = x(100 – x)= 100x – x2

calclan lo máximo y mínimo relativo 9 '(x) = 100 – 2x0 – 2x = 0 ò x = 0 = 0 ò y = 0comay Le minimi]ar

23eta a la con6icione:

y2 = 1 – x2 ò y = *1 – x2 > = + # x3e ecri&e la ecaci;n con na ola varia&le A(x) = *1 – x2 (+ # x)

A(x) = (+ # x)*1 – x23e calclan lo máximo y mínimo relativo 6erivan6o

A(y, >) = 1 2y>

A'(x) = *1 – x2 – (+ # x) x*1 – x2

A'(x) = *1 – x2 – +x # x2*1 – x2

*1 – x2 – +x # x2*1 – x2 = 0 ò x = – +, x = 2

3i x = – +, no tiene enti6o en el = cm

Solución:a) nc;7nita, 6ato y 6i&o x = lon7it6 6e la &aey = altra.erímetro = + m

y

x

\nci;n Le >ay Le maximi]ar 3(x, y) = xy3eta a la con6icione:

.erímetro = + m ò x # y = 2ecri&e la ecaci;n con na ola varia&le x # y = 2 ò y = 2 – x

3(x) = x(2 – x)3(x) = 2x – x2

3(x,y) = xy

●Aplica la teoría

24. Calcla 6o nPmero cya ma ea 100 y6e 9orma Le


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Solución:y' = x2 – y'(0) = – y(0) = 04ecta tan7ente:y – 0 = – (x – 0) ò y = – x4ecta normal:

y – 0 = 1 (x – 0) ò y = xI

Solución:tremo relativo:x2 – 1)x) = –

2 # 1)2x) = 0 ò x = – 1, x = 1 3olo e toma el valor x = 1 3i x = 1 ò 9(1) = I2(x) = x(x2 – )

2 # 1)(1) = – I2 ^ 0 (–) ò máximo relativo Máximo relativo: A(1, I2)lore en lo extremo: 9(0) = 0) = Imáximo a&olto lo alcan]a en el máximo relativo: A(1, I2)mínimo a&olto lo alcan]a en (0, 0)

Solución:.aa


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!7ercicios y pro5lemas PA8

Pre0untas tipo test Contesta en tu

1 $a6a la crva y = xe–x2, el valor 6e la a&cia en elex en x – x


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9 (x)

?

Solución:

a) y' = 2(x+ – 1)

xy' = 0 ò x = – 1, x = 1 Máximo relativo: no tieneMínimo relativo: A(– 1, 2), B(1, 2)Creciente (): (– 1, 0) " (1, #!)$ecreciente (%): (– !, – 1) " (0, 1)

&) y' = – 1x(x2 – K)2y' = 0 ò x = 0Máximo relativo: (0, 0) Mínimo relativo: no tieneCreciente (): (– !,– ) " (– , 0)$ecreciente (%): (0, ) " (, #!)

7(x)

?

Solución:y' =+x *x2 – +y' = 0 ò x = 0

Máximo relativo: A(0, 2 *2 )y'(x) no exite en lo valore x = – 2, x = 2 Mínimo relativo: B(– 2, 0), C(2, 0)

Creciente (): (– 2, 0) " (2, #!)$ecreciente (%): (– !, – 2) " (0, 2)

Solución:

x2y' = 0 ò x = 1

Máximo relativo: no tiene Mínimo relativo: A(1, e)

y' = ex(x – 1)

1. Máximos, mínimos y monotonía

34. 6enti8ca en la i7iente 7rá8ca lomáximo y lo mínimo relativo y lointervalo 6on6e la 9nci;n e creciente y

6ecreciente:a)

Creciente (5): (– !,– 2) U (1, #!)

$ecreciente (¹): (– 2, 1)

&. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo

y 6etermi na la monotonía 6e la i7iente9ncione:

x + # 1a)y

=x2

x 2&)y =

x2 –K

&)

'. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo y 6etermi na la monotonía 6e la i7iente 9nci;n:y = *(x2 – +)2

4. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e la i7iente9ncione:

a) y =

1

x

– x &) y = 2x

# x2

– 12x

(. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e la i7iente9nci;n:

exy =x

Solución:

a)Máximo relativo: notiene Mínimo

relativo: A(2, – 2)Creciente (5): (2,

#!) $ecreciente

(¹): (– !, 2)

&)Máximo relativo: (0, 0)Mínimo relativo: A(– 1, – 1), B(1, – 1)

Solución:

a) y' = x+ – 1

y' = 0 ò x = – 1, x

= 1 Máximo relativo:A(– 1, +I) Mínimorelativo: B(1, – +I)Creciente (5): (– !,– 1) U (1, #!)

$ecreciente (¹): (–

1, 1) &) y' = x2 #

x – 12y' = 0 ò x = – 2, x = 1

o ! d i t o r i a l " r u # o ,

S .

$ .


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o, y 6

etermi na la

monotoní a 6e

la i7iente

9 nci;n en (

0,


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Solución:

y' = 1I2 – en xy' = 0 ò x = JI, x = JI

Máximo relativo: A,(J J # *@

12 )Mínimo relativo: B(J J – *

@

,

12 )Creciente (): (0, JI) " (JI, 2J)$ecreciente (%): (JI, JI)

9(x)

?

9(x)

?

2π

):

y =1

x #co x 243. Calcla lo


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y''' = – # /2 x

x2 /+ x

y'''(e2) = – 1 H 0e+

.nto 6e inEexi;n:A(e2, e2I2) Convexa (F): (1, e2)C;ncava (G): (0, 1) " (e2,# !)

&) y' = 2x(x2 – 1)2

y'' = – 2(x2 # 1)

(x2 – 1)

y'' H 0.nto 6e inEexi;n: no tiene Convexa (F): (– 1, 1)C;ncava (G): (– !,– 1) " (1, #!)

Solución:x

y' = –*+ – x2

y'' = – +(+ – x2) *+ – x2y'' H 0.nto 6e inEexi;n: no tiene Convexa (F): bC;ncava (G): (– 2, 2)

ución:= – 2x e–x2= (+x2 – 2) e–x2= 0 ò x = – *2 I2, x = *2 I2 y''' = +x( – 2x 2)e–x2– *2 I2) = + *2 I *e H 0 *2 I2) = – +*2 I *e H 0to 6e inEexi;n:A(– *2 I2, 1I *e ), B(*2 I2, 1I *e ) Convexa (F): (– !,– *2 I2) " (*2 I2, #!) C;ncava (G): (– *2 I2, *2 I2)

Solución:

y' = – 1 # / x/2 x

y'' = 2 – / xx / x

y'' = 0 ò x = e2

44. Calcla lo


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(2 – x)e x – (2 # x)4&. lím

xC0 x2


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Solución:

límx0

(2 – x)e – (2 # x)x2

x

==R S00lím –e # (2 – x)e – 1x x

x0

R0

= límx0

2x–ex – ex # (2 – x)ex

= 02 Solución:

a) nc;7nita y 6ato x = ay Le maximi]ar

eto a:y # ] = 0 y= 2x

ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 9(x) = x Z 2x Z (0 – x)= 120x2 – x

calclan lo máximo y mínimo relativo 9 '(x) = 2+0x – 1x20x – 1x2 = 0 ò x = 0, x = +0I = 0 ò y = 0 ò ] = 0 = +0I ò y = 0I ò ] = 20com


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e) 3e com


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B

O

A4

$

C-l trián7lo ABC e rectán7lo en A .or el teorema 6e la altra:42 = B$ Z $C = O(2 Z 10 – O) = 20O – O2&) \nci;n Le >ay Le maximi]ar

3eta a la con6icione:42 = 20O – O2c) 3e ecri&e la ecaci;n con na ola varia&le

5(4, O) = 1 J42O

5(O) = 1 J (20O – O2)O

6) 3e calclan lo máximo y mínimo relativo 6erivan6o

5(O) = 1 J (20O2 – O)

5'(O) = 1 J (+0O – O2)

3i O = 0, no tiene enti6o en el


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Solución:

9 '(x) = x2 # 12x – 2a

(x # 2)23i >a 6e tener n mínimo en x = 29 '(2) = 0

1 – a = 0 ò a = 1

9 ''(x) = +(a # )(x # 2)

9 ''(2) = a # ` 0


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9' (x)

9 (x)

9' (x)

9(x)

a 6eriva6a 6e na a, 9

?

6) /a 6eriva6a 6e na cP&ica e na ay n máximo, 9 '(0) = 0, 9 ' ` 0 a la i]Lier6a6e x = 0, y 9 ' ^ 0 a la 6erec>a 6e x = 0-n x = 2 >ay n mínimo, 9 '(2) = 0, 9 ' ^ 0 a la i]Lier6a 6e x = 2, y 9 ' ` 0 a la 6erec>a 6e x = 2-n x = 1 >ay n a] enca6a cao n 6i &o aa, 9 e creciente (9 ' ` 0)

9 '': /a 6eriva6a 6e na 9nci;n 6e ay n máximo, 9 '(– 2) = 0, 9 '` 0 a la i] Ler6a 6e x = – 2 y 9 ' ^ 0 a la6erec>a 6e x = – 2

-n x = 2 >ay n mínimo, 9 '(2) = 0, 9 ' ^ 0 ala i]Lier6a 6e x = 2 y 9 ' ` 0 a la 6erec>a6e x = 2

-n x = 0 >ay n a 6ecero la 9nci;n e c;ncava (9 '' ` 0) y a la

o ! d i t o r i a l " r u # o ,

S .

$ .


34/68

i]Lier6a 6ecero la9nci;n econvexa (9 ''^ 0)


35/68

6) /a 6eriva6a 6el eno e el coeno ?

9 ''(x) 9'(x)

-n lo a 6el valor 9 ' ^ 0-n lo


36/68

ra]ona lare


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9'(x)

?

.en6iente = 9(2) – 9 (– 2) = – 1 # I = 12 – (– 2) 2 # 2

y # 1 = 1 (x – 2) ò y = x –

e contina en R– 2, 2S,


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Solución:

límxx 1 / x

1en (x – 1)

límx en (x – 1) – / xx 1/ x en (x – 1) R0

(@ en (x – 1) # / x co (x – 1)

en (x – 1) # x co (x – 1) – 1@x

x 11lím

x

) R0

(co (x – 1) # co (x – 1) – x en (x – 1) – 1

@2

= límxx 1–@ en (x – 1) # @ co (x – 1) # @ co (x – 1) – / x en (x – 1)

1 1 1x2 x x )= 12


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Solución:

límx 0(

t7 x

x= R!0 S = e x0

lím t7 x /(1Ix)lím – / x

= e x0 =

= e x0# – coec2 = e x0#lím

2

–1Ixlím en x x lím 2 en x co x= e x0# = e0 = 1

Solución:

límx #

x(/ x) # 2x!

== lím

R S! 1 1

x #@ # 2(/ x)2

= 2

x

( 2lím (/ x)x #x

)Solución:

límx 0(1 – 1xen x )= R! – !S = lím en x – x =x 0 x en x

R S

0

lím en x # x co x

R0

co x – 1

0x 0

= lím – en x= 0x 0 co x # co x – x en x

Solución:

límx 0

lím arc en xx 0 t7 x

== límR S@1

0@

0

*1 – x2 = 1x 0 ec2 x

Solución:

x # 2x – 1lím( 2x # )

x

= R1!x #lím x / 2x #

S = e 2x – 1 =

/ 2x # @

lím 2x – 1x # –x2

= e

@

x

1

= e x # –+x2 – +x # = e2lím

Solución: 1

lím (co x) en2 x = R1!S = e x0 en2 xlím 1 / co x

=x 0

/ co x – ec2 x

= e x0 en2 x = e x0 en 2x = e x0 2 co 2 x = e 2 =lím lím

– t7 xlím –

1 1*e

Solución:

lím (/ x)x – 1 = R00S = ex 1#x 1#

lím (x – 1) /(/ x)

lím /(/ x)x1# 1

= ex – 1 =

= e x 1# x / x= e x 1# / x # 1lím

– (x – 1)2– 2(x – 1)lím

= e0 = 1

Solución: 1

lím (cot7 x) / x = R!0 S = e x0#lím / cot7 x

/ x =x 0#

lím

= e x0#

– x coec2 xcot7 x

– x

= e x0 #lím en x co x

=lím – 1

= e x0# co2 x – en2 x = e–1 =1e

Solución:

x 0 *lím( @ @x x@@

límx 0

*1 # x – *1 – x*x R0@1

= lím 2*1 # x2*1 – x = d0 i x 0#@@

# @1

x 0 1o exite i x 0–f

2*x-l límite no exite can6o x 0

@@

(/. lím x

xC #! (/x)

# 2x

límxC0

en x

(4. lím arc en x cot7 xxC0

1

(&. lím (co x)en2 x

xC0

límxC #!

x

2x – 1

('. lí m

xC0#

1

(cot7x)/ x

92. límxC1#

(/ x)x – 1

t7 x –en x

88.

93. Calcla lím

(1 1# 1 – – 1

límxC0 x – en

x

@ @xC 0 x x

(

(

* * )


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Solución:t7 x – en xlímx 0 x – en x R S00

2

lím ec x – co xx 01 – co x

R S002

lím 2 ec x t7 x # en xx 0en x

= límx 0 ( 2co x # 1 = )

xC0

( x )t7 x

89. lím

1

o

! d i t o r i a l " r u # o ,

S .

$ .


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3i x = eI2 ò y = 2eI2

9 '''(x ) = 11 – / x ò 9 '''(eI2) = 2 H 0x+

4ecta tan7ente:

e

y – = 9'(eI2) (x – eI2)2eI2

y – = – 1 (x – eI2)2eI2 2e

nc;7nita y 6atox = ay Le minimi]ar 9(x, y) = x # y3eto a: xy = 1K2 ò y = 1K2

x3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 9(x) = x # 1K2

x

3e calclan lo máximo y mínimo relativo 6erivan6o

9 '(x) = –1K2x2

–= 0 ò x = – , x = 1K2x23i x = ò y = 2+-l valor x = – no e váli6o, ya Le


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9 '(x) = 0 ò x = – 1, x = 1Máximo relativo: A(– 1, – 2) Mínimo relativo: B(1, 2)

Creciente ():(–!,– 1) " (1, #!)$ecreciente (%): (– 1, 0) " (0, 1)

&) 9 ''(x) = 2x

9 ''(x) 0


43/68

x) = 2(x2 – x # 2)– 2)(2x – 1)

x) H 0 alla lo intervalo 6e crecimiento y6ecrecimiento 6e la 9nci;n

1)(. /a 7rá8ca i7iente corre


44/68

Solución:3ea t = 0 el intante en el Le e


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/a recta Le ay Le minimi]ar, .) = 6(x, y) = *(x – )2 # y2eta a la con6icione: y = *x # 1ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 6(x) = *(x – )2 #x # 1) = *x2 – x # 10calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o

2x – 6'(x) =

2 *x2 – x # 106'(y) = 0 ò x = I2

3i x = I2 ò y =* 2 D = *1+

2

e) 3e comay Le maximi]ar

A(y, >) = 1 y>2


> =*x – @2( )y 2

2y = 0 – 2x

c) 3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le

A(x) = 1 (0 – 2x) *x2 – (0 – x)22A(x) = (0 – x) *0x – K00

11. Oalla el


46/68

lución:nc;7nita, 6ato y 6i&o .nto 8o .(1, 2) ?

B

.(1, 2)

A

11/. $e to6a la recta Le


47/68

e calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o A'(x) = K0 (20 – x)0x – K00 A'(x) = 0 ò m = 20 3i x = 20, y = 20e com


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Solución:a) nc;7nita, 6ato y 6i&o

4 4

/

.erímetro = 100 m/ = lon7it6 6el arco 4 = lon7it6 6el ra6io&) \nci;n Le >ay Le maximi]ar


/ # 24 = 100 ò / = 100 – 24c) 3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le

A(/, 4) = 1 / Z 4

2A(4) = 04 – 42

3e calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o A'(x) = 0 – 24A'(x) = 0 ò 4 = 2 3i 4 = 2, / = 0

com


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a) nc;7nita, 6ato y 6i&ox

y

lar7o 6el olaranc>o 6e na ay Le maximi]ar /(x, y) = x # +yeta a la con6icione:

xc) 3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le

xy = 11 20 ò y = D0

/(x) = x # + Z D0x

x6) 3e calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o

/(x) = x # 1 000

x2/'(x) = 0 ò x = – 0, x = 0

3i x = 0 ò y = D-l valor ne7ativo no tiene enti6o

e) 3e coma 6e contrir n 7ran 6eay entre elra6io, 4, 6e la &ae circlare y laaltra, O, 6el cilin6ro, y 6a el cote, C(4),6el material neceario


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Solución:a)

O

4


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9(x, >) =ZZ > #1x2 (100 – x+ )2

/a altra 6el trián7lo:

> =*( )( )@ – @x 2x 2

= x*

9(x) = x2 *

#(100 – x+ )2$om (9) = (0, 100)

&) 9 '(x) = x*1

# x – 100

9 '(x) = 0 ò x = K00K # + *

Creciente ():( K00K # + *, 100)$ecreciente (%):(0, K00K # + *)

c) 9 ''(x) = + * # K ` 0 ay Le maximi]ar5(x) = (0 – 2x)2x5(x) = +x – 2+0x2 # 00x

c)3e calclan lo máximo y mínimo

6erivan6o 5'(x) = 12x2 – +0x # 005'(x) = 0 ò x = 10, x = 0

6)3e com


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Solución:9 '(x) = co x.nto:A(JI+, *2 I2) 4ecta tan7ente:y – *2 I2 = 9 '( I+)(x – JI+) y – *2 I2 = *2 I2 (x – JI+) y = *2 I2 (x – JI+ # 1)

xx

12/. 3e coni6era la 9nci;ni7iente:

9(x) =1

+ – x2

o ! d i t o r i a

l " r u # o ,

S .

$ .


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Solución:

a) 9 '(x) = 2x(+ – x2)29 '(x) = 0 ò x = 0

9 ''(x) =2(x2 # +)(+ – x2)

ò 9 ''(0) = 1 ` 0

ximo relativo: no tieneimo relativo: A(0, 1I+) .nto 6e inEexi;n: no tiene Convexa (F): (– 2, 2)

ncava (G): (– !,– 2) " (2, #!).ara calclar lo máximo y mínimo a&olto, e o& erva Le la 9nci;n e contina en R– 1, 1S, e 6ecre ciente en (–mo:1) = 1I 9(1) = 1Itiene:mínimo a&olto e A(0, 1I+), Le coinci6e con el mí nimo relativo, y el máximo a&olto e alcan]a en lo extremo 6el i

a)Oalla lo extremo relativo 6e la 9nci;n9(x) y intervalo 6e concavi6a6 yconvexi6a6

&)Oalla el máximo y el mínimo a&olto enel interva lo R– 1, 1S

Solución:

a) 9 '(x) = 0 ò a – & = 0 ò x = _*&

x2 a

-n el intervalo (0, #!) ò x =

*

&

9 (* a ) = a a # = = =& &

= 2 *a&

& & #&

& &a a

2&a*a&a&

9 h(x) = 2&

x` 0 ay n mínimo relativo en el


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Solución:a) 3i 9 y 9 'e cortan en x = 1: 9 '(x) = x2 # a # a = 1 # a # &

3i en x = 1 >ay n extremo, 9 '(1) = 0 # a = 0

4eolvien6o el itema: # a = 0 # a = 1 # a # &

a = – , & = 2&) 9 ''(x) = x9 ''(1) = ` 0 (#) ò mínimo relativo

Solución: ?

3e o&erva Le 9 tiene al meno + extremo .or lo tanto, 9 ' e anla + vece, e 6ecir, e 6e 7ra6o catro 3i la

c) Niene f al7Pn otro extremoH


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olución:a 9ncione e cortan en x = 11) = 7(1) ò / 1 – & = a # & ò a # 2& = 0a 9ncione tienen la tan7ente comPn en x = 1 9 '(1) = 7'(1)

1 = a ò 1 = a ò a = 2x 2 *x 2

3i a = 2 ò & = – 1/a 9ncione on: 9(x) = / x # 17(x) = 2 *x – 1

Solución:

a) 9 '(x) =1 1

*(x # 1)2 *x2 –

9 '(x) = 0 ò x = – 1I2Máximo relativo: A(– 1I2, *+ ) Mínimo relativo: no tiene&) 9 '(x) no exite ay n


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5(O) = J 2O –( O+ )6) 3e calclan lo máximo y mínimo relativo

(2

5'(O) = J 2 – O+)5'(O) = 0 ò O = – 10 * ,O = 10 *

/a olci;n ne7ativa no tiene enti6o

3i O = 10 * ò 4 = *

e) 3e comay Le maximi]ar, y) = A. # .B = *x2 # 122 # *12 # y2

eta a la con6icione: y = 0 – xecri&e la 9nci;n con na ola varia&le /(x) = *x2 # 122 # *12 # (0 – x)2) = *x2 # 1++ # *x2 – 0x # 1 22+calclan lo máximo y mínimo relativo

/'(x) =x x – 0

*x2 # 1++*x2 – 0x # 1 22+#

) = 0 ò x = 123e com

r – r r – r

r = ra6io 6el cilin6ro

> = altra 6el cilin6ro 10>

– r\nci;n Le >ay Le maximi]ar 5(r, >) = Jr2>3eta a la con6icione: > = 2( – r)3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 5(r) = 2Jr2( – r)5(r) = 2J(r2 – r)3e calclan lo máximo y mínimo relativo 5'(r) = 2J(10r – r2)5'(r) = 0 ò r = 0, r = 10I

=

1*. Calcla la 6imenione Le 6e&e tener n

cilin6ro in crito en na e9era 6e cm 6era6io


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olución:9 '(x) = 2x – + 9(x) = 0 ò x = 2ximo relativo: no tiene Mínimo relativo: A(2, – 2)"na recta Le


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$inux;indo


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Windows Derive

Solución:

Solución:

149. y =x

x2 – 1

15!. y = 2 – x)"x

o

! d

i t o r i a l " r u # o ,

S .

$ .


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Solución: Solución:

151. y = 5 x2 + 4) 152. y = s"n x cos x "n (7 J)

o

! d


S .

$ .


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Solución:

Solución:

Solución:

83. alla los %un#os sinula!"s d" la función:

fx) = x8 + 2

155. D"mu"s#!a ,u" la función:

fx) = 8 + x2 – 2) cos x

#i"n" "n "l in#"!$alo – 37 3) aln%un#o #al ,u" la #an"n#" s"a&o!i;on#al.

8 . Dada la función:

fx) = 2 + 1 – x2)"x

d"mu"s#!a ,u" f


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Solución:

Solución:

Solución:

8>. l

mx C(+

x 5 s"n x

lm ( s"n x x

1

89. lm x x

x C +!

o

! d


S .

$ .

x


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Solución:Solución:

6 . alcula las !"c#as #an"n#" yno!mal d" la función:

fx) = x3 + x"n 17 2)

62. alla "l máximo y "l mnimoabsolu#os d" la fun0 ción:

fx) = x3 – 6x2 +9x – 1 "n "l in#"!$alo 172

o

! d


S .

$ .


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Solución:

Solución:

Solución:

63. D"mu"s#!a ,u" la "cuación:

2x + x – 2 = (

#i"n" una nica solución !"al "n "l in#"!$alo (7 1

1$5. alcula las dim"nsion"s d" un

!"c#ánulo cuyo %"0 !m"#!o mida 64 m y

su á!"a s"a máxima.

6 . alcula "l $alo! d" los co"fici"n#"s a,

b y c %a!a ,u" la función:

fx) = x3 + ax2 + bx + c

co!#" al "j" ? "n "l %un#o 17 () y#"na un %un#o d" infl"xión "n "l%un#o @37 2)

! d i t o r i a l " r u # o ,

S .

$ .

Maximo Minimo y Monotonia

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