Matematyka w muzyce

Matematyka a muzyka

Wielu ludziom wydaje się że matematyka nie ma nic wspólnego z muzyką, rzeczywistość jest jednak inna. Związków pomiędzy matematyką a muzyką dowodził już Euklides.

Nuty

• Nuty mają związek z ułamkami matematycznymi. Muzycznie nuta to znak graficzny określający długość i wysokość dźwięku .Muzycznym symbolem oznaczający najdłuższy dźwięk jest „cała nuta”. Matematycznie odpowiadająca jej wartość to 1 i każdą następną wartość (półnuty(1/2) , ćwierćnuty(1/4)…) otrzymujemy poprzez dzielenie poprzedniej wartości przez 2.

Zaczynając od ósemki przedstawienie nuty ma „chorągiewkę.”Ilość „chorągiewek” przy nutach można zapisać za pomocą logarytmu w=(log2 s+2)

Co to jest dźwięk?

Jest to wrażenie słuchowe, spowodowane falą akustyczną rozchodzącą się w ośrodku sprężystym (ciele stałym, cieczy lub gazie) Częstotliwości fal, które są słyszalne dla człowieka, zawarte są w paśmie wartości od 20 Hz

Jak powstaje dźwięk?

W instrumentach strunowych dźwięk powstaje przez poruszającą się strunę. Właśnie ona, niczym tłok w rurze, podczas drgań porusza powietrzem i powoduje powstawanie fali akustycznej.

Funkcja falowaFala akustyczna zalicza się do tak zwanych fal

podłużnych, najprostszym matematycznym opisem jest funkcja:

Υ= Asinω(t-x/v) lubΥ= Asin2¶(t/T-x/vt)=Asin2¶(t/T-x/λ)

Pitagoras

Słynny starożytny matematyk zajmował się również badaniem muzyki. Za pomocą jednostrunowego – monochordu, zanalizował jak zmieniają się przerwy między dzwiękami (tzw. Interwały) dokonał tego dzieląc strunę w różnych stosunkach.

Geometria kompozycji

Tzw. Techniki kontrapunktyczne pozwalają na wykorzystanie przekształceń geometrycznych w komponowaniu utworów. Jedna z takich technik nosi nazwę „Rak” polega jest to symetria względem osi pionowej do pięciolinii, która oznacza, że pewien fragment melodii, zostaje w dalszej części kompozycji zapisany od końca – w odbiciu lustrzanym.

DodekafoniaTechnika ta zrodziła się wówczas gdy Arnold Schönberg wpadł

na pomysł stworzenia serii 12 dźwięków tak aby żaden dźwięk w serii się nie powtarzał. W ten sposób wprowadził do muzyki permutacjępermutację czyli przestawienie elementów w pewnym ciągu. Pomysł Schönberga matematycznie zapisalibyśmy jako 12!

Ciąg Fibonacciego

Bardzo popularną funkcją używaną w kompozycjach szczególnie w okresie baroku jest „ciąg Fibonacciego”. Powstaje on kiedy zaczynając od cyfr 1 i 1 obliczamy każdy następny element jako sumę dwóch poprzednich:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89…..

Zastosowanie

• Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.:

• kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut

• wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut.