Matematyka 2. Podręcznik dla gimnazjum - STARA WERSJA
30
-
Upload
darmowe-e-booki -
Category
Documents
-
view
239 -
download
7
description
Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragment pełnej wersji całej publikacji.
Transcript of Matematyka 2. Podręcznik dla gimnazjum - STARA WERSJA
Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragmentpełnej wersji całej publikacji.
Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji kliknij tutaj.
Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnierozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przezNetPress Digital Sp. z o.o., operatora sklepu na którym możnanabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji. Zabronione sąjakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej zgodyNetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej od-sprzedaży, zgodnie z regulaminem serwisu.
Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepieinternetowym E-ksiazka24.pl.
Zespół autorów:
Zofia Bolałek Małgorzata Dobrowolska Marta Jucewicz
Marcin Karpiński Jacek Lech Adam Mysior Krystyna Zarzycka
Okładka i zdjęcia na okładce: Leszek Jakubowski
Ilustracje: Sławomir Kilian
Grafika komputerowa: Leszek Jakubowski
Skład (TEX): Joanna Marszałkowska, Andrzej Mysior
Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwegodo spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników szkol-nych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki na poziomie klasydrugiej gimnazjum na podstawie recenzji rzeczoznawców: dr. Leona Gul-gowskiego, mgr Leokadii Koper, dr. Zenona Krzemianowskiego i mgr. Wa-cława Wawrzyniaka. Numer w wykazie: 88/00.
Książka jest zgodna z programem Matematyka z plusem, dopuszczonymprzez MEN do użytku szkolnego. Numer dopuszczenia: DKW–4014–139/99.
ISBN 83–87788–40–6
© Copyright by Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 2000
Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 80–309 Gdańsk, al. Grunwaldzka 413
Gdańsk 2005. Wydanie szóste
Druk i oprawa: Interak, Czarnków
Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe
80–876 Gdańsk 52, skr. poczt. 59
tel./fax 0–801 643–917, fax (58) 340–63–61
tel. (58) 340–63–60 lub 340–63–63
e-mail: [email protected] http://www.gwo.pl
Spis treści
POTĘGI I PIERWIASTKI
Potęga o wykładniku naturalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach . . . . . . . . . . . . . . . 16
Potęgowanie potęgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Potęgowanie iloczynu i ilorazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Działania na potęgach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Notacja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Pierwiastki. Przykłady liczb niewymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Działania na pierwiastkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Działania na pierwiastkach (cd.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
DŁUGOŚĆ OKRĘGU. POLE KOŁA
Liczba π . Długość okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Pole koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Długość łuku. Pole wycinka koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Jednomiany i sumy algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Mnożenie sum algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kwadrat sumy i kwadrat różnicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Iloczyn sumy przez różnicę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Równania i nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
UKŁADY RÓWNAŃ
Do czego służą układy równań? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Rozwiązywanie układów równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Rozwiązywanie układów równań (cd.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Ile rozwiązań może mieć układ równań? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Zadania tekstowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Procenty w zadaniach tekstowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE
Twierdzenie Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . 130
Zastosowania twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . 138
Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego . . . . . . . 141
Trójkąty o kątach 90◦, 45◦, 45◦ oraz 90◦, 30◦, 60◦ . . . . . . . . . . . . . . 145
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
WIELOKĄTY I OKRĘGI
Okrąg opisany na trójkącie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Styczna do okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Okrąg wpisany w trójkąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Wielokąty foremne — okręgi wpisane i opisane . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
GRANIASTOSŁUPY
Przykłady graniastosłupów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Siatki graniastosłupów. Pole powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Objętość prostopadłościanu. Jednostki objętości . . . . . . . . . . . . . . . 186
Objętość graniastosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Odcinki w graniastosłupach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Kąty w graniastosłupach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
OSTROSŁUPY
Rodzaje ostrosłupów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Siatki ostrosłupów. Pole powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Objętość ostrosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Obliczanie długości odcinków w ostrosłupach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Kąty w ostrosłupach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
STATYSTYKA
Czytanie danych statystycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Co to jest średnia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Zbieranie i opracowywanie danych statystycznych . . . . . . . . . . . . . 255
Zdarzenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
ODPOWIEDZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
SKOROWIDZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Od autorów
Podręcznik składa się z dziewięciu głównych rozdziałów, podzielonych na
krótkie jednostki tematyczne (1–3 lekcje). Każda jednostka tematyczna za-
wiera część teoretyczną i zadaniową. Część teoretyczna przekazuje najważ-
niejsze informacje dotyczące danego tematu i przeplatana jest ćwiczeniami,
stanowiącymi propozycję metodyczną wprowadzania nowego zagadnienia.
Część zadaniowa zawiera zadania o różnym stopniu trudności i zakończona
jest krótkim testem, opatrzonym tytułem Sprawdź, czy umiesz, który moż-
na wykorzystać jako podsumowanie lekcji. Na końcu każdego rozdziału
zamieszczony jest blok Zadania uzupełniające, pełniący rolę dodatko-
wego zbioru zadań. Łącznie w podręczniku znajduje się około 1000 zadań.
Do wielu z nich podajemy odpowiedzi lub wskazówki dotyczące sposobu
rozwiązania.
W towarzyszącym podręcznikowi Zeszycie ćwiczeń zamieściliśmy zadania,
których rozwiązanie w „normalnym” zeszycie byłoby niemożliwe lub wiąza-
łoby się ze zbyt dużą stratą czasu.
Podręcznik jest zgodny z programem Matematyka z plusem.
Pragniemy serdecznie podziękować za cenne uwagi i wskazówki recenzen-
tom książki: dr. L. Gulgowskiemu, mgr L. Koper, dr. Z. Krzemianowskiemu
oraz mgr. W. Wawrzyniakowi. Miło nam również wyrazić podziękowanie
za pomoc przy pracy nad podręcznikiem mgr. mgr. J. Kniter, M. Nowik,
J. Szostakiewicz i J. Trzeciakowi.
♦
Uwaga. Dla wyróżnienia stopnia trudności zadań przyjęliśmy następujące
oznaczenia:
zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)∗ zadanie trudniejsze∗∗ zadanie trudne
POTĘGI I PIERWIASTKI
POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM
Pamiętasz zapewne, że iloczyn takich samych czynników można zapi-sać w postaci potęgi.
ĆWICZENIE A. Każdy z podanych iloczynów przedstaw w postaci potęgi:
7 · 7 · 7 · 7 (−5) · (−5) · (−5) (−0,2) · (−0,2) 1 13 · 1 1
3 · 1 13 · 1 1
3 · 1 13
W języku polskim słowo potęga jest równoznaczne z wielkością, siłą,mocą. Nie bez powodu wielokrotne mnożenie przez siebie takiego sa-mego czynnika zostało nazwane potęgowaniem.
Spróbuj sobie wyobrazić ogromny arkusz cieniutkiej bibułki o grubo-ści 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na półi jeszcze raz na pół itd.
Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby sięz dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby:
2 · 0,01 mm
Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bi-bułki byłaby 2 razy większa od poprzednieji wynosiłaby:
2 · 2 · 0,01 mm = 22 · 0,01 mm
Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłabyznowu 2 razy większa i wynosiłaby:
2 · 2 · 2 · 0,01 mm = 23 · 0,01 mm
ĆWICZENIE B. Oblicz, jaką grubość miałaby bibułka po dziesiątym złożeniu.
12 Potęgi i pierwiastki
Przypuśćmy, że moglibyśmy złożyć bibułkę 50 razy. Jak myślisz, z czymmożna byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki— z długością ołówka, ze wzrostem człowieka, a może z odległościąz Gdańska do Warszawy?
Otóż okazuje się, że złożona bibułka miałaby grubość ponad 25 razywiększą niż odległość z Ziemi do Księżyca! Odpowiednie obliczeniaznajdziesz w jednym z następnych rozdziałów (str. 24).
Obliczając kolejne potęgi liczby 2, bardzo szybko otrzymujemy ogromne
liczby. Zauważ, że obliczając kolejne potęgi liczby 12 , otrzymujemy coraz
mniejsze liczby:(
12
)2= 1
4 ,(
12
)3= 1
8 ,(
12
)4= 1
16 itd.
Jeżeli n jest liczbą naturalną, to dla n > 1
an = a · a · a · . . . ·a︸ ︷︷ ︸n czynników
Przyjmujemy ponadto, że
a1 = aoraz
dla a �= 0, a0 = 1
Uwaga. Wartość potęgi 00 nie jest określona, tzn. zapis 00 nie oznaczażadnej liczby.
PRZYKŁADY
34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 (−2)1 = −2
(−11
2
)3=(−3
2
)·(−3
2
)·(−3
2
)=(−27
8
)= −33
8 (−1,3758)0 = 1
ZADANIA ZESZYT ĆWICZEŃ str. 5
1. Oblicz w pamięci:
a) 53 c) 06 e) (−3)1 g) (−14,3)0 i) 0,23
b)(
12
)3d)(
23
)3f) (−1)4 h) (−3)3 j) (−0,1)2
Potęga o wykładniku naturalnym 13
2. Oblicz:
a) 1,63 c) (−0,2)5 e) (−1,1)2 g) 0,122 i)(−11
4
)3b)(
25
)3d)(11
3
)2f) −1,12 h) −0,032 j) −
(−11
2
)5
3. Ile różnych liczb przedstawiono poniżej?
51 50 (−5)1 15 05 (−1)1 (−5)0 01 (−1)5 (−1)0 10
4. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce ♦ ?
a) (−0,3)7 ♦ 0 e) (−6)9 ♦ (−6)8 i) −26 ♦ (−2)6
b) 0 ♦(−5
6
)8f) (−5)20 ♦ (−5)25 j) 0,18 ♦ 0,19
c) 820 ♦ 830 g) −90 ♦ (−9)0 k) 0,78 ♦ 0,79
d)(−21
4
)4♦(21
4
)4h)(
13
)7♦(
13
)8l)(−1
2
)3♦(−1
2
)5
5. Uporządkuj rosnąco liczby:
a) (−7)7 57 (−7)8 (−5)8 c)(−2
9
)8 (−2
9
)10 (−2
9
)11 (29
)15
b) −24 (−2)4 (−3)7 −38 d)(
23
)5 (32
)5 (32
)10 (23
)10
6. Ustal, czy wynik działania jest liczbą dodatnią, czy ujemną.
a)(− 5
21
)3·(− 7
18
)4b)
−184 · (−27)5
(−2,5)0c)
− (−11)4 · (−5)7
−136 · (−12)4
7. Oto fragment zeszytu pewnego ucznia. Które obliczenia uczeń tenwykonał błędnie?
8. Wiedząc, że 210 = 1024, oblicz:
(−2)10 −210(−1
2
)10−0,510 (−0,5)10 211 29
14 Potęgi i pierwiastki
Każdą liczbę naturalną
złożoną można przedsta-
wić w postaci iloczynu
potęg liczb pierwszych.
2178 2
1089 3
363 3
121 11
11 11
1
2178 = 21 · 32 · 112
9. a) Korzystając z podanych rozkładów liczb360, 3087, 5746, 41503 na czynniki pierwsze,zapisz każdą z tych liczb w postaci iloczynupotęg liczb pierwszych.
360 2180 290 245 315 35 51
3087 31029 3
343 749 7
7 71
5746 22873 13
221 1317 17
1
41503 75929 7
847 7121 1111 111
b) Przedstaw każdą z liczb: 648, 2800, 10125, 1936 w postaci iloczynupotęg liczb pierwszych.
Iloczyn potęg kolejnychLiczba Szyfr
liczb pierwszych
2940 22 · 31 · 51 · 72 2 − 1 − 1 − 2
200 23 · 30 · 52 3 − 0 − 2
7 20 · 30 · 50 · 71 0 − 0 − 0 − 1
1 20 0
2 21 1
10. a) Zaszyfruj (w sposób,który przedstawia tabela) licz-by: 10, 45, 16, 121 oraz twójnumer z dziennika lekcyjnego.
b) Rozszyfruj liczby:
0 − 1 − 0 − 1 − 2
0 − 0 − 0 − 2 − 1
5 − 2 − 0 − 1
0 − 0 − 0 − 0 − 0 − 0 − 1 − 1
11. a) Dla jakich liczb naturalnych n liczba 3n jest większa od 100, a dlajakich większa od 1000?
b) Dla jakich liczb naturalnych m liczba m3 jest większa od 100, a dlajakich większa od 1000?
∗12. a) Wykaż, że prawdziwe są następujące równości:
25 + 25 = 26 (−3)3 + (−3)3 + (−3)3 = −34
b) Zapisz w postaci jednej potęgi:
210 + 210 + 210 + 210 3 · (315 + 315 + 315 )
∗13. a) Ile siódemek należy dodać, aby otrzymać liczbę 72?
b) Ile siódemek należy dodać, aby otrzymać liczbę 73?
c) Ile siódemek należy dodać, aby otrzymać 792?
OSTROSŁUPY
RODZAJE OSTROSŁUPÓW
Wiele budowli ma kształt graniasto-słupów. Władcy starożytnego Egiptuuznali jednak, że bryłą, która naj-lepiej przedstawi ich potęgę, będzieostrosłup. Taki kształt mają grobow-ce faraonów — piramidy.
Na rysunku przedstawiono różne modele figur przestrzennych. Figuryzaznaczone na zielono to przykłady ostrosłupów.
Podstawą ostrosłupa może być dowolny wielokąt, a ścianami bocz-nymi są trójkąty o wspólnym wierzchołku.
210 Ostrosłupy
Jeżeli podstawą ostrosłupa jest trójkąt,to ostrosłup nazywamy trójkątnym,jeśli czworokąt, to czworokątnym, jeślipięciokąt, to pięciokątnym itd.
Ostrosłup trójkątny nazywamy teżczworościanem.
Wspólny wierzchołek ścian bocznychnazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Na każdym z poniższych rysunków zaznaczony jest odcinek, łączącywierzchołek ostrosłupa W z płaszczyzną podstawy i prostopadły dotej płaszczyzny. Taki odcinek nazywamy wysokością ostrosłupa. Wy-sokością ostrosłupa nazywamy także długość tego odcinka.
Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy (na rysunku ozna-czony literą S) nazywamy spodkiem wysokości. Zauważ, że spodekwysokości nie zawsze leży na podstawie ostrosłupa.
Jeśli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny i krawędzie bocznemają równe długości, to taki ostrosłup nazywamy prawidłowym.
ĆWICZENIE A. Wskaż na modelach ostrosłu-
pów prawidłowych, gdzie leży spodek wysoko-
ści każdego z tych ostrosłupów.
W ostrosłupie prawidłowym:
• ściany boczne są przystającymi trójką-tami równoramiennymi,
• spodek wysokości jest środkiem okręguopisanego na podstawie ostrosłupa.
Rodzaje ostrosłupów 211
Ostrosłup, którego wszystkie ścianysą trójkątami równobocznymi, nazy-wamy czworościanem foremnym.
Zauważ, że z płaskiego rysunku, bez do-
datkowych informacji, nie można odczy-
tać, czy jest to ostrosłup prawidłowy.
Rysunki przedstawiają, w jaki sposób można narysować ostrosłup.
1 Zaczynamy od naszkicowania podstawy.
2 Rysujemy wysokość.
3 Dorysowujemy krawędzie boczne.
ĆWICZENIE B. Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego jest środkiem okrę-gu opisanego na podstawie ostrosłupa. Podaj jak najprostszy sposób wyzna-czania spodka wysokości w ostrosłupie prawidłowym:
a) czworokątnym, b) sześciokątnym, c) trójkątnym.
Rysując ostrosłup prawidłowy, warto zaznaczyć spodek wysokości.
Ostrosłup prawidłowy czwo-rokątny. Spodek wysokościleży na przecięciu przekąt-nych podstawy.
Ostrosłup prawidłowy sześ-ciokątny. Spodek wysokościleży na przecięciu dłuższychprzekątnych podstawy.
Ostrosłup prawidłowy trój-kątny (czworościan). Spodekwysokości leży na przecięciuwysokości podstawy.
212 Ostrosłupy
ZADANIA ZESZYT ĆWICZEŃ str. 52
1. Ile krawędzi i ile ścian mają narysowane ostrosłupy?
2. Podaj, ile krawędzi i ile ścian ma ostrosłup:
a) pięciokątny, b) dwunastokątny, c) stukątny, d) n-kątny.
3. a) Ile krawędzi ma ostrosłup o 9 wierzchołkach podstawy?
b) Ile ścian ma ostrosłup o 20 krawędziach?
c) Ile wierzchołków podstawy ma ostrosłup o 30 ścianach bocznych?
4. Oblicz sumę długości krawędzi każdego z narysowanych ostrosłupów.
5. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnegoo krawędzi podstawy długości 5,5 cm.
6. Z drutu o długości 60 cm zbudowano szkielet ostrosłupa prawidło-wego. Jaką długość ma krawędź boczna, jeśli podstawa jest:
a) kwadratem o boku długości 3 cm,
b) sześciokątem o boku długości 4 cm,
c) trójkątem o boku długości 1 dm,
d) stukątem o boku długości 0,2 mm?
Rodzaje ostrosłupów 213
7. Które zdania są prawdziwe? W każdym ostrosłupie:
a) wszystkie krawędzie mają wspólny punkt,
b) liczba wszystkich krawędzi jest parzysta,
c) liczba wszystkich ścian jest nieparzysta,
d) wszystkie ściany boczne są trójkątami,
e) z każdego wierzchołka wychodzą 3 krawędzie,
f) krawędzi jest tyle, ile wszystkich ścian,
g) krawędzi bocznych jest tyle, ile ścian bocznych,
h) spodek wysokości leży na podstawie ostrosłupa.
8. Narysuj:
a) ostrosłup prawidłowy czworokątny,
b) ostrosłup prawidłowy sześciokątny,
c) ostrosłup prawidłowy trójkątny.
SPRAWDŹ, CZY UMIESZ
1. Ostrosłupem jest bryła przedstawiona na rysunku:
2. Ostrosłup o 30 krawędziach ma:
A. 30 ścian bocznych
B. 20 ścian bocznych
C. piętnastokąt w podstawie
D. 20 krawędzi bocznych
3. Na zbudowanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,którego wszystkie krawędzie mają równe długości, zużyto 120 cmdrutu. Jedna krawędź tego szkieletu ma długość:
A. 12 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 30 cm
ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 1–5 str. 239
ODPOWIEDZI
str. 12 –15: 5. a) (−7)7, 57, (−5)8, (−7)8, b) −38, (−3)7, −24, (−2)4, c) (− 29 )11, ( 2
9 )15, (− 29 )10, (− 2
9 )8,
d) ( 23 )10, ( 2
3 )5, ( 32 )5, ( 3
2 )10. 7. Błędne obliczenia: a, b, d, e, f, g, i. 10. b) 2541, 539, 2016, 323.
12. b) 212, 317. 14. 1, 6, 9, 1, 7. 15. a) 64, b) 281 , c) 3, d) 10, e) 4, f) 0,008, g) 3 1
2 ,
h) 0,007, i) 12 12 , j) −15,2, k) 55, l) 175, m) 4, n) 22, o) −1 8
25 . 16. Suma cyfr wynosi 907.
17. Na wysokość 7,68 cm; po siódmym odbiciu. 18. 11111111110 osób.
str. 17 –18: 3. a) 9, b) 5, c) 32. 4. a) 11, b) 9, c) 11, d) 9, e) 5, f) 5. 8. a) 1 km,
b) tak, linia miałaby 1000 km. 11. a) −2, b) 1, c) −7, d) − 164 , e) −0,00001, f) −0,2.
str. 20: 5. a) 645, 168, 417, 812, b) 917, 819, 340, 2715, c) 423, 432
, 243, 234
. 7. 22, 28, 22048.
8. 5200, 2500, 4300, 3400.
str. 22 –23: 4. a) 10000000, b) 32, c) 1024, d) 81, e) 8, f) 0,0625, g) 27, h) 100000000,
i) −512000000000, j) 1, k) 2 14 , l) 625. 8. a) 1 2
3 , b) −56, c) 13729 , d) 53 1
3 , e) 10 12 , f) −1 7
8 .
str. 25 –26: 2. a) 38, b) 219, c) 24, d) 51, e) ( 13 )5, f) 0,51, g) 0,13, h) 105. 3. a = e, b = c,
d = f , g = h. 4. a) 2269, b) 2298. 6. a) Wsk. 444 < (43)4 = 412, (44)4 = 416, 444= 4256,
b) wsk. 329 = 245, 1611 = 244, 658 > 648 = 248, 322 < 422 = 244. 7. a) 5 zer, b) 4 zera,
c) 10 zer, d) 6 zer. 8. a) 512, b) 3, c) 32, d) 36, e) 20, f) 12 , g) −1, h) 215 15
16 , i) 0.
9. b) Około 17000 kg. 10. Z prędkością około 32 km/s; prędkość ta jest około 106 razy większa
od prędkości dźwięku. 11. Około 1000 chmur.
str. 28 –30: 5. Wszystkie oprócz c i h. 8. a) 219 , b) 18, c) 15 13
16 , d) 17 , e) 4
25 , f) 9.
str. 32 –33: 5. a) 465 m = 4,65 · 105 mm, 465 mm = 4,65 · 10−1 m, b) 326 kg = 3,26 · 105 g,
326 g = 3,26 · 10−1 kg, c) 13 km = 1,3 · 106 cm, 13 cm = 1,3 · 10−4 km, d) 2400 kg = 2,4 · 109 mg,
2400 mg = 2,4 · 10−3 kg. 9. Około 29 lat.
str. 36 –38: 2. a) 8, b) 8, c) 30, d) 1 19 , e) 4, f) 4, g) 5, h) 38, i) 1 4
5 , j) − 1136 , k) 2,
l) 13. 5. a) 90, b) 99%. 10. Około 3,7 cm.
str. 39 –40: 6. Liczby wymierne: b, c, e, g, h. 7. a) a = 18, b) b = 22, c) c = 12, d) d = 2,
e) e = 1, f) f = −27. 8. a) 3√3, b) 3 3√3, c)√
3.
270 Odpowiedzi
str. 42 –45: 2. a) 18, b) 24, c) 22, d) 36, e) 66, f) 6, g) 9, h) 12, i) 15. 7. a) 7√
3,
b) 6√
3, c)√
2, d) 10√
10, e) 34√
2, f) 5 3√5, g) 8√
5, h) 11, i) 3, j) 8. 10. ♠ = 8,
♥ = 43 , ♦ = 3
8 , ♣ = 25. 12. f) 14 3√2. 16. Wsk. Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1.
17. a) x = 5√
33 , b) x =
√3, c) x =
√2
2 , d) x = 2√
33 . 18. a) x = 2a, b) x = a
√3, c) x = a
3 ,
d) x =√
2a, e) x = a√
2, f) x =√a√
2, g) x =√a8 , h) x = a
√3
2 . 19. a) 3, b) 64 45 , c) 1, d) − 2
3 ,
e) 21 13 , f) −1 5
6 , g) 0, h) 2, i) 1000 13 .
str. 46 –49: 2. a) 4, 12, 62, b) 1111(2), 11000(2), 11110(2), 1100100(2). 3. a) 19, 13, 97,
b) 22(3), 221(3), 1200(3). 4. a) 1, b) − 790 , c) 11, d) 0,85, e) 38,3. 6. a) 55, b) ( 1
3 )13, c) 1020,
d) 312, e) (− 12 )15, f) 64. 7. c), d). 10. 260, 1620, 3217, 6415, 450. 11. a) 3, b) 9, c) 4, d) 3,
e) 3, f) 1. 13. a) 164 , b) 0,0081, c) 125000, d) 216, e) 0,0001, f) 0,0016. 14. a) 5
16 ,
b) 4, c) 352, d) 576, e) 192, f) 32, g) 12, h) 1152, i) 0,0125, j) −15, k) 0,2, l) −12.
15. Największa: 2222, najmniejsza: 2222
. 16. a) 36, b) −1, c) 0,0004, d) −1, e) 8, f) −1013,
g) − 12 . 17. 228 · 22 ≈ 6 mld królików. 19. a) 7, b) 1
7 , c) 7. 20. a) 164 , b) 1
7 , c) 5, d) 128,
e) 36, f) 4, g) 1125 , h) 3. 21. a) 30, b) −6, c) −9 3
7 , d) 64. 24. 3,3 · 10−5 mm. 26. a) 10,
b) 5, c) 0, d) 2, e) 2, f) −4. 27. a) 33, b) 5 lub −5. 29. b, a, d, c, e. 31. 3√272,
√74,
√47,
3√227. 32.
√163,
√316,
√1122, 3√10099,
√96. 33. a) 5
√7, b) 3
√10, c) 9, d) 1 1
8 . 34. a) 42,
b) 28, c)√
6, d) 6√
10, e) 60, f) 18 3√14, g) 6 34 , h) 2
√3, i) 4, j) 84, k) 1
3 , l) 2. 35. a) 3√
3,
b) 8√
2, c) 5√
3, d) 5√
6, e) 6√
5, f) 3 3√3, g) 10 3√2, h) 2 3√11, i) 4 3√10. 36. a) 5, b) 1,
c) 5, d) 14, e) 8, f) 1, g) 310 , h) 3. 37. a) a = 6, b) b = 2
√2, c) c =
√3
6 , d) d = 34 .
str. 52 –55: 8. Około 45,12 cm. 12. Około 785 m. 14. 530 obrotów. 15. 400 obrotów.
17. a) O 4π ≈ 12,56, b) o 20π ≈ 62,8.
str. 57 –59: 4. a) Koło, b) koło. 8. a) Środkowy, b) lewy. 9. a) 64π cm2, 14π m2,
0,0036π mm2, 19π km2, 4
π dm2, b) 8π cm, 43π m, π mm, 2
√2π dm, 2
√3π km. 12. Część
podlana. 13. a) 48π , b) 15π , c) 64π , d) 35π . 14. 20π ≈ 62,8 m2. 15. A 36 − 2π ,
B 24 − 4π , C 15 − 2,5π , D 36 − 6,5π , E 4,5π , F 9π − 9, G 9π − 18, H 9π − 12.
str. 62 –64: 5. 4 + 8,5π , 4π , 9 + 4,5π , 16, 2 + 3π . 6. 4 −π [cm2], 4 −π [cm2], 8 − 2π [cm2],
2π − 4 [cm2]. 8. a) 8, b) 2√
33 . 9. Propozycja Bogdana. Powierzchnia dostępna dla kozy
wg propozycji Bogdana 12π m2, wg propozycji Andrzeja 10π m2.
str. 65 –66: 15. Stosunek pola koła do pola kwadratu wynosi 4π . 16. ♣: 8 +π , ♥: 6 +π ,
♦: 16 − 4π , ♠: 14 −π . 19. a) 35 , b) 2
√6
9 . 20. 94π − 9
2 . 21. 10 23π .
str. 69 –71: 7. 10πx. 9. 9n−12. 10. a) −a+1, b) −x, c) 2x−y , d) −2a−1. 12. a) 4a+b,
b) −5x − y + 4z, c) 16x − 28, d) 2x − 3y , e) x + y + 11z, f) −4x2 − 2xy − 6xz, g) 2x3 − 33x2y ,
h) −6√
2a + 4b. 13. a) 12a
2 − 32a + 3, b) 1
2a2 − a + 4, c) 1
2a2 − 3
2a + 9. 14. a) −16,24, b) 0,76.
15. a) Około 6 m, b) o 2π . 18. 2y . 20. a) Dla 7n + 1 reszta 1, dla 7n + 7 reszta 0, dla
7n + 30 reszta 2, dla 7n + 3 reszta 3, dla 7n + 9 reszta 2, dla 7n + 71 reszta 1, b) 5.
Odpowiedzi 271
str. 73 –75: 5. Wsk. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem; 8n4 − 30n2 + 22. 6. a) 4,
b) 3 + 3√
2 + 2√
3 +√
6, c)√
2x2 − 3x − 2√
2, d) x2 + 3√
2x + 4, e) 10x3 − 10x2 − 2√
5x + 2√
5,
f) a2√
6 − a −√
6. 7. a) a3 − b3, b) x4 + x2 + 1, c) x4 − 1, d) x4 − 1. 8. x100 − 1.
9. a) 12ax + 1
2ay + 12by , b) ax + 1
2bx + cx + ay + by + cy , c) 2ax + 2bx + ay + by . 10. a) 2x2 − 4,
b) k2 − 10kn − 2n2, c) 8y2 − 13y − 6, d) 5a3 − 2a2 − 4a − 4, e) 4x4 + 4x2 + 6, f) p2 − 12pr ,
g) 22a2 + 11ab − 10b2, h) −4c2 + 7cd + 2d2. 12. a) 4x3 − 60x2 + 200x, b) dla x = 2 objętość
wynosi 192, dla x = 4 objętość wynosi 96, c) dla x = 5 objętość wynosi 0. Odcinając kwadraty
o boku 5, nie otrzymamy pudełka. 13. a) Tak, b) nie, c) nie, d) tak. 17. a) 1, b) 0, 1, 4.
str. 78 –80: 5. a) x2 + 6xy , b) −4x, c) 2b2 + 18, d) −6x + 3, e) 2a2 + 8, f) 12b,
g) 9m2 + 80mm − 9n2, h) 11x2 + 22, i) −y4 + 6y2 − 1, j) 0,04k6 + 3k3. 6. a) 0,5x2 − xy + 0,5y2,
b) 0,5x2 + xy − 0,5y2, c) 12b
2 + 2ab. 7. n2 + 23 . 8. 8 i 12. 9. a) Tak, b) tak, c) nie, d) nie,
e) tak, f) nie. 10. a4 − 4a3 + 6a2 − 4a + 1 12. a) 3, b) 7, c) 13a, 3b, d) xy , e) 1
2x, f) 12ab
2, 1.
14. a) −7, b) 49, c) 21, d) −1. 15. a) 3xy , b) 2b2, c) 4ab, d) 14x, e) 2, f) 12 .
str. 82 –83: 3. a) 1, b) −11, c) 1, d) −6, e) π2 − 4, f) 2. 5. a)√
7 + 12 , b) 4 − 2
√2,
c) −2√
2 − 2√
3 −√
6 − 4, d) 5 + 2√
5, e) 7 + 3√
6, f) 65 + 27√
520 . 12. a) −x2 + 12xy − 14y2,
b) −7s2 − 8st + 37t2, c) 0,6z + 0,13, d) 2a2 − 25, e) −40x, f) 7k2 + 3l4. 13. a) π (a2 − 2ar + 2r2),
b) π4 (2x + 1), c) πxy .
str. 86 –88: 1. a) x = − 12 , b) x = 1, c) x = −2, d) x = − 2
3 , e) x = − 89 , f) x = −1, g) x = 2,8,
h) x = 3,5, i) x = 3, j) x = −1, k) x = 3 13 , l) x = 0,07. 2. a) Równanie sprzeczne, b) równanie
tożsamościowe. 3. a) x = −1, b) x = 1, c) x = 10. 4. a) x = 7, b) r = 3,5. 5. Pole kwadratu
jest większe o 64 cm2 od pola prostokąta. 6. a) x = 2 815 , b) równanie sprzeczne, c) x = − 1
2 ,
d) x = 78 , e) x = 0, f) x = −9,5. 7. r = 1,75. 8. 5 cm. 9. a) x ≥ 1 1
4 , b) x > − 116 , c) x < 6,
d) x ≤ 13 , e) x < 3, f) x > − 5
9 , g) x < 0, h) x ≥ 4,1. 11. a > 3,5. 12. a) x = 12 , b) x = − 3
4 ,
c) x = 6 12 , d) x = 4 lub x = −4, e) x = 1 1
6 , f) x = 9. 13. a) x = 3, b) x = −2, c) x = − 12 , d) x = 3
5 ,
e) x = −6, f) x = 4. 14. 8. 15. a) x = 0 lub x = 2, b) x = 0 lub x = 3, c) x = 0 lub x = −5,
d) x = 0 lub x = 2. 16. a) x = 0 lub x = −1, b) x = 0 lub x = 3.
str. 89 –91: 26. a) 78, b) 0,1, c) −9. 28. a) 6002, b) 990000, c) 88. 30. a) x = 0,
b) x = 122 , c) równanie tożsamościowe, d) x = −14, e) x = 4,1. 31. a) x > 1,3, b) x ≤ 2,
c) x > 111 , d) x ≥ 0,03. 32. a) 0 < x < 3, b) x > 5. 34. a) x = −1, b) x = 5, c) x = 1
7 , d) x = 15 ,
e) x = 4.
str. 97 –98: 1. a) x = 1, y = 1, b) x = 2, y = 5, c) x = 2, y = 1. 4. a) x = 4, y = 3, b) x = 2,
y = 25 , c) x = −6, y = 0, d) a = 3, b = 3, e) u = 40
19 , v = 1019 , f) r = 4, s = 12. 5. a) x = 4,5, y = −0,5,
b) x = 3, y = −4, c) m = 2, n = 3, d) a = 0,5, b = 0, e) x = 23 , y = 1
3 , f) x = 12 , y = −2. 6. a) p = 8,
r = 10, b) m = 15, n = 50. 7. 2 i 8,5. 8. a) x = 22, y = 10, b) a = 12, b = 6. 9. a) x = 4,5,
y = 1, b) x = 3, y = 23 , c) x = 4, y = 2, d) x = 8, y = −2, e) x = 6, y = 4, f) x = 0, y = 5
12 .
272 Odpowiedzi
str. 100–102: 1. a) x = 2, y = 35 , b) x = 1, y = 1, c) x = 59, y = −25, d) x = 0, y = 5, e) x = 2,
y = 3, f) x = 12, y = 4. 4. a) x = 9, y = −7, b) x = 3, y = −5, c) u = −2, v = 4, d) s = −2,
t = 0, e) x = 3, y = 4, f) x = −1, y = −2. 5. a) x = 2, y = −1, b) p = 3, r = −3, c) x = 2, y = −2,
d) v1 = 1 13 , v2 = − 2
3 , e) x = 0,2, y = 2,3, f) x = 12, y = 5. 6. a) x = −0,5, y = 0,5, b) x = 4, y = 6,
c) x = 10, y = −7. 7. Kostka waży 0,2 kg, a kulka 0,1 kg. 8. a) u = 15, v = 10, b) u = 4, v = 3.
9. a = 3, b = 6, x = 15, y = 5, c = 25, d = 10. 10. a) x = 4, y = −2, b) x = 2,5, y = 1, c) x = 3,
y = −2, d) x = 6, y = 3, e) x = 34 , y = −2, f) x = 10 1
2 , y = −26. 11. a) x = 90, y = 130, b) x = 270,
y = 240, c) x = 5, y = 25, d) x = 220, y = 200. 12. p = 30, r = 40. 13. Dla a = 2 i b = 1.
14. a) x = 0, y = −2, b) x = 0,5, y = −1,5, c) x = 1, y = −4, d) x = 10, y = 1. 15. 0,25 i 0,75.
16. 12 i 11. 17. a) x = 2, y = 0 lub x = −2, y = 4, b) x = 0, y = 3 lub x = 0, y = −3, c) x = 2, y = 8
lub x = −2, y = 8, d) x = 4, y = 16, e) x = 3, y = 3, f) x = 0, y = −10 lub x = 5, y = −5.
str. 105–106: 1. a) Sprzeczny, b) oznaczony, c) nieoznaczony. 3. a) Układ nieoznaczony,
b) x = 4, y = 1, c) układ sprzeczny, d) x = 0, y = 2.
str. 108–111: 1. 2 i 5. 2. 517 . 3. 85. 4. Liczby: 12, 24, 36 i 48. 5. Gumka kosztowała
0,60 zł, a spinka 0,40 zł. 6. 1 m3 wody zimnej kosztuje 2 zł, a wody ciepłej 6 zł. 7. Pokoi
dwuosobowych jest 17, a trzyosobowych 12. 8. Ania waży 31,5 kg, a Bogdan 38,5 kg. 9. a) Bilet
nomalny 8 zł, a ulgowy 5 zł, b) bilety normalne kupiło 180 osób, a ulgowe 240. 10. Kwas solny
15 l, kwas azotowy 5 l. 11. Nie można. 12. Tak; układ jest sprzeczny. 13. 24 cukierki.
14. 66 dziewcząt i 84 chłopców. 15. Dziadek ma 400 znaczków, a Jacek 100. 16. Bartek ma
10 lat, a jego ojciec 35 lat. 17. Basia ma 11 lat, a Agnieszka 6 lat. 18. W 1854 roku, 76 lat.
19. Przebiegł 36,8 km i przeszedł 13,2 km. 20. 2 mile/godz. 21. Nowak: 44 km/h, Kowalski:
66 km/h. 22. 20◦, 70◦, 90◦. 23. 70◦, 55◦, 55◦. 24. 24 i 9. 25. 6 cm. 26. x = 6,5, y = 11,5.
str. 112–114: 1. Marynarka 216 zł, spodnie 190 zł. 2. Król Eryk miał 2000 rycerzy, a Ro-
deryk 1000. 3. 320 tys. zł. 4. 250 zł. 5. Za lustro 2400 zł, za stolik 1650 zł. 6. 5 kg
solanki dziesięcioprocentowej i 10 kg solanki czteroprocentowej. 7. 100 g. 8. 200 t brązu
dzwonowego i 400 t brązu medalierskiego. 9. W wiadrze 10 kg, w beczce 35 kg. 10. 7 13 %.
str. 115–120: 6. 3. 7. a) x = 0, y = −1, b) x = 1,2, y = −0,8, c) x = −1, y = −2, d) x = 3,
y = 3, e) x = 3, y = 2, f) x = −3, y = − 13 , g) x = 1
2 , y = 1, h) x = 1, y = 1, z = 2. 8. a) x = 20,
y = 7, b) x = 70, y = 20. 9. a) x = 1, y = 2, b) x = 3, y = 1, c) x = 2, y = 4, d) x = −3,25, y = −1,8,
e) x = − 13 , y = − 2
3 , f) x = −2, y = 3, g) x = 0,25, y = 0, h) x = 4, y = 0. 10. α = 30◦, β = 75◦.11. a) x = 3, y = −2, b) x = 1, y = − 1
3 , c) x = −7, y = 15,5, d) x = 10, y = 11, e) x = 59 , y = − 2
3 ,
f) x = 13 , y = −1, g) x = −13, y = −10, h) x = −2, y = 3, i) x = −2, y = −3. 12. a) u = 10, v = 200,
b) s = 280, t = 400, c) x = 100, y = 160. 13. x = 8, y = 3. 14. x = 3, y = 1. 15. a) x = 3,5,
y = −0,5, b) x = 2, y = 0, c) x = 8, y = 2, d) x = 2 14 , y = 3
4 . 17. a) Dla a = 15, b) dla b = −3.
19. 14 i 16. 20. 375625 . 21. 9 i 3 lub 3 i 1. 22. 475. 23. 9 osób. 24. Bimbomu 4 zł,
Bombimu 3 zł. 25. 30 kg pstrągów i 500 kg karpi. 26. 6 owiec. 27. Kości 0,25 kg, mięso
0,75 kg. 28. 10 lat. 29. 7,5 km, 45 minut. 30. 3 cm i 7 cm. 31. 23 bażanty i 12 królików.
Odpowiedzi 273
32. Oślica 5 miar, muł 7 miar. 33. Żył 33 lata, panował 12 lat. 34. 11 km, 200 słupów.
35. Achilles 10,1 m/s, żółw 0,1 m/s. 36. 40,5 km/h (11 14 m/s) i 34,5 km/h (9 7
12 m/s). 37. 4,
6, 10. 38. 3,9 km, 3,2 km, 2,4 km. 39. Średnia ocen wynosi 3,52. 40. Alina więcej o 7,5 kg.
41. 250 biletów na wcześniejszy i 150 biletów na późniejszy. 42. 2200 zł. 43. Na konto
złotówkowe 6000 zł, na dolarowe 3000 zł (750 $).
str. 125 –129: 3. a) 8P, b) 18S. 12. Około 224 m. 14. a) 8
9 , 1 23 , 1 8
9 , b) 1, 2,√
5,
c) 0,3√
3, 1,3, 1,4.
str. 131 –132: 5. a) Tak, b) nie.
str. 134 –137: 3. Tak. 4. 3√
62 cm2. 6. 36 cm. 7. 6√
5. 8. 15 cm. 9. 9,6 cm.
10. Około 3 s. 11. a) 28 + 6√
5, b) 43 +√
39, c) 24. 12. 44 cm. 13. 2√
33 cm. 14. Może.
17. 12 warstw. 18. 9. 19. 32 cm. 20. O około 3 cm. 21. 48 cm2. 22. 9,1 m. 23. 8√
55 .
24. x = 3, y = 2√
41, z = 4√
11. 25. 2√
78 m ≈ 17,7 m. 26. 2,5 m.
str. 139 –140: 1. d) 5. 2. a)√
53, b) 3√
5, c) 7. 5. P = (4,2√
5), R = (4,−2√
5).
6. A, B, C . 7. a) 4√
26, b) 6 + 2√
58, c) 10 + 4√
10. 8. a) Nie, b) nie, c) tak.
str. 143 –144: 5. 12(2 +√
2). 9. Pole = 7√
33 , obwód = 14
√3
3 . 10. 8(√
2 + 1) cm.
11. 6(2 +√
3) cm. 12. 6π − 9√
3. 13. 2(1 +√
3).
str. 147 –149: 3. a) 6 + 2√
3, b) 2 + 2√
3, c) 3 +√
3. 4. x = 10√
33 , y = 3
√2, z = 4.
5. a) 12 + 4√
2 + 4√
3, b) 9 + 3√
3 + 3√
6, c) 5 + 5√
3 + 5√
2. 6. 8 + 8√
2 + 8√
3. 7. 8√
33 cm.
8. a) 15 m, b) około 462 m. 9. 2(5 +√
3) cm. 10. 15 + 3√
3. 11. 10(2 +√
2) cm. 12. 30 cm.
str. 150 –152: 1. 160 i 20. 4. 15,6. 5. 10√
3 cm lub 10√
5 cm. 7. a) Nie, b) tak. 8. Tak.
11.√
10. 12. 100√
2 cm2. 13. 180 cm2. 15. 25 cm2. 16. Około 4,8 m. 17. x = 3√
6,
y =√
21. 18. P = 60, h1 = 12, h2 = h3 = 9 313 . 19. AC . 20. Tak. 21. Tak. 22. Nie. 23. Tak.
24. Nie. 25. 4√
3. 26. 3√
32 cm. 27. a) O 2
√2, b) o
√3. 28.
√41 cm. 29. a) 4π ,
b) 8. 30. a) x = 10√
33 , y = 5
√3
3 , b) x = 6√
2, y = 12, c) x = 12, y = 12√
3. 31. a) 2(2 +√
2),
b) 3(3 +√
3), c) 4(1 +√
3), d) 5(3 +√
3). 32. 1500 m n.p.m. 33. 4(5 +√
3) cm2. 34. 20 dm.
35. 15 − 5√
33 m.
str. 155 –156: 2. a) Nie, b) tak. 3. 6 12 . 4. 5. 5. Wszystkie. 7. b) 60◦, 65◦, 55◦.
8. a) 20◦, 70◦, 90◦, b) 55◦, 55◦, 70◦, c) 50◦, 60◦, 70◦. 9. W trójkącie ABD: 50◦, 50◦, 80◦,w trójkącie ADC : 40◦, 40◦, 100◦. 11. Wsk. Środek okręgu leży na prostej równoległej do boku
AB, odległej od tego boku o 2 cm.
str. 158 –159: 4. 6 cm2. 5. a) 22◦, b) 62◦, c) 24◦, d) 65◦, e) 52◦. 6. 30◦, 30◦, 120◦.7. 40◦.
274 Odpowiedzi
str. 163–164: 3. Miary kątów trójkąta ABC : 40◦, 60◦, 80◦, α = 130◦, β = 110◦, γ = 120◦.4. 140◦. 5. 15◦. 6. a) 100◦, 120◦, 140◦, b) 50◦, 60◦, 70◦. 7. a) 36,75, b) 84. 8. a) 1, b) 2.
9. 68. 10. 24 cm.
str. 168–169: 6. b) n osi symetrii, c) kwadrat i sześciokąt, d) nie. 7. 36◦, 72◦, 72◦; miara
kąta wewnętrznego wynosi 144◦. 8. 180◦ — α. 9. a) 120◦, b) 135◦, c) 160◦, d) 176,4◦.10. a) 12, b) nie. 11. Nie. 12. α i 180◦−α.
str. 171–172: 1. 5(√
2 − 1) cm. 2. a) 75√
32 cm2, b) 10
√3π cm. 3. 8
√3. 4. a) 20
√3π
3 cm,
b) 5√
3π3 cm, c) 4 razy. 6. 10 cm i 5
√3 cm. 7. a) 45◦, b) 5
√2
2 , c) 50√
2. 8. 72√
2.
str. 173–175: 3. r2. 6. W czworokącie: 80◦, 85◦, 100◦, 95◦; w sześciokącie: 105◦, 137◦, 118◦,105◦, 137◦, 118◦. 7. 50◦, 130◦, 130◦. 10. 80◦. 11. 55◦, 70◦, 90◦, 145◦. 12. 15◦. 15. 20 cm,
20 cm2. 22. a) n − 2, b) 180◦(n − 2), c) 180◦(n−2)n . 23. 36◦. 24. 6
√2 cm. 25. 6
√3 cm2.
26. a) 6√
3 cm, b) 2 cm. 28. 50√
2 cm, 50 cm, 25√
2 cm, 25 cm, 12,5√
2 cm. 29. Koło opisane
na trójkącie ma pole dwa razy większe. 30. 75.
str. 179–181: 2. d) 3n krawędzi, n + 2 ścian, 2n wierzchołków. 6. 64, 45, 72. 7. a, c, d,
e, g. 8. a) 40 cm, b) 10 cm, c) 64 cm. 9. a, c. 12. a, c.
str. 183–185: 5. C. 6. a) 164 cm2, b) 1944 cm2. 7. a) 32√
3 + 144, b) 190,
c) 48√
3 + 144. 8. a) 344 cm2, b) 32(15 +√
3) cm2, c) 992 cm2, d) 488 cm2. 9. 9,6 l.
10. Krawędź boczna ma długość 6√
3.
str. 188–190: 4. O 1,5 cm. 5. Nie. 9. Pirania ma objętość 1200 cm3. 10. Poziom wody
podniósł się o 23 cm. 11. 1000 l. 12. 27 razy.
str. 192–194: 3. c) 108. 5. a) 35, b) 125√
34 , c) 120. 6. Około 281 mm3; nie wystarczy.
7. 2250 zł. 8. Krawędź podstawy: 2 cm, krawędź boczna: 10 cm. 9. 3 13 cm. 10. 8 cm.
11. a) 36 + 3√
3, b) 24, c) 456. 12. a) 336, b) 128√
3, c) 288√
3. 13. 500 cm3.
14.√
5 cm.
str. 196–198: 3. a) 10√
2 cm, b) 14 cm i 7√
3 cm. 4. 72√
7. 5. a) 2√
43, b)√
106,
c) 8√
2. 6. a) 10√
3 cm, b) a√
3, c)√
39 m3, d) 2p2. 7. a) 5
√2 cm, b)
√a2 + b2 + c2.
8. a)√
6, b)√
11, c) 3√
3, d)√
2 + n2. 9. 2√
41 cm i 2√
34 cm. 10. 2√
61 cm i 4√
13 cm.
str. 203–205: 4. a) 50◦, b) 20◦. 5. a) x = 16√
33 , b) y = 6
√2, c) t = 10
√3. 6. a) 64 cm3,
b) 64√
3 cm3, c) 64√
63 cm3. 7. Długość przekątnej: 4
√3 cm, wysokość graniastosłupa: 2
√3 cm.
8. 24√
3 cm3. 9. 10√
7. 10. 60◦. 11. 6√
3. 12. 6√
7; nie.
Odpowiedzi 275
str. 206 –208: 1. a) Nie, b) nie, c) tak. 2. 192. 3. 108. 5. 6 puszek. 6. Graniastosłup
o podstawie kwadratu. 7. Tak. 8. 54 + 9√
3. 9. 14600. 10. 8000 cm3, 8 l, 11. 0,18 l.
12. 120 m2. 13. Nie. 16. 128√
3 cm3. 17. 36√
3 cm3, 24√
3 cm3. 18. O 2,4 cm.
20. 296 cm3. 21. a) Jedną, b) jedną, c) dwie. 22. 512√
2 cm3. 23. 72000√
3 cm3.
24. 125√
2 cm3. 25. a = 5√
2, b = 20√
33 . 26. 2
√30, 2
√33, 2
√34, 2
√35. 27. 10
√5 cm.
29. a) 16√
3, b) 156√
3. 30. 192√
3. 31. 72 cm2. 32. 245.
str. 212 –213: 2. d) 2n krawędzi, n + 1 ścian. 4. a) 32, b) 30, c) 20 +√
34. 5. 33 cm.
6. a) 12 cm, b) 6 cm, c) 1 dm, d) 5,8 mm. 7. b, d, g.
str. 216 –217: 5. a) 32(2 +√
21), b) 180 + 25√
3, c) 36√
5 + 24√
3. 6. a) 144 cm2,
b) 336 cm2. 7. 6√
2. 8. 96√
3 cm2. 9. 8 ścian, 50√
3 cm2.
str. 219 –220: 1. a) 12, b) 20√
33 , c) 6
√3. 2. a) 96 cm3, b) 23 1
3 cm3, c) 32 cm3.
3. 426 23 cm3. 4. a) 3 cm, b) 12 cm2, c) 12 m. 6. 2 3√18 cm. 7. Około 3433 km; nie można.
8. Nie. 9. 20 56 cm3. 10. a) 12, b) 4.
str. 224 –226: 1. x = 2√
7, y = 4√
5, z =√
78. 2. 32√
23 cm3. 3. Około 218,6 m. 4. 2
√35 cm.
5. 6, 3√
5, 3√
6. 6. x = 2√
22, y = 2√
26, z = 2√
13. 7.√
63 m. 8. a) 2
√7, b) 24
√2,
c)√
93. 9. 5 cm i 13 cm. 10. a)√
119, b)√
13, c) 4√
3. 11. 36√
15 cm3. 12. 60√
2.
13. W pierwszym ostrosłupie:√
41,√
41, 5, w drugim ostrosłupie wszystkie mają długość√
33.
str. 231 –233: 3. x = 6√
2, y = 8√
2, z = 4√
3. 4. x = 8, y = 4√
3, z = 2√
3. 6. a) x = 6,
y = 3√
6, z = 4√
33 , b) x = 3
√5, y = 3
√7
2 , z = 20√
3. 7. Balon X jest na wysokości około 61,2 m,
a balon Y na wysokości 50 m. 8. 6√
3 i 12. 9. 4000√
33 . 10. 7,5. 11. 72 cm2. 12. a) 2
√2 cm,
b) 2 cm, c) 2√
63 cm, d) 2
√3
3 cm.
str. 236 –238: 2. a) 96 cm2, b) 48√
3 cm2, c) 9√
91 cm2. 3. a) 9√
2, b) 2√
82,
c) 8√
5. 4. a) 48, b) 24√
2, c) 32. 5. a) 64 cm2, b) 64√
2 cm2, c) 32√
3 cm2,
d) 48√
3 cm2. 6. 25 cm2. 7. 60√
3 cm2 lub 12√
102 cm2. 8. a) 20√
2 cm2, b) 2√
51 cm2.
9. 16; jest kwadratem.
str. 239 –241: 4. b, c, d, e. 6. 12(3 +√
91) cm2. 8. 2 +√
2. 10. 14 ścian, 8(21 + 2√
3) cm2.
11. 360 cm3. 12. Pola powierzchni takie same, objętość drugiej bryły jest dwa razy większa.
13. 12. 14. 3√
102 cm. 15. Drugi. 16. 3
√2. 17. a) 8 cm, 10 cm, 10 cm, 2
√34 cm,
b) 108 cm2. 19. 384. 20. 144. 21. Krawędź boczna — 4 cm, wysokość — 2 cm. 22. 3 cm.
24. 100√
14 cm2. 25. Trójkątem równoramiennym; obwód = 10(1 +√
3) cm, pole = 25√
2 cm2.
26. 375√
2. 27. 30√
3. 28. 20 + 8√
2.
str. 245 –251: 4. b) 185 osób, d) 153185 . 7. d) 113 osób. 8. d) 16%; około 10654
wypadków, e) kierowcy spowodowali o około 22640 wypadków więcej.
276 Odpowiedzi
str. 253–255: 1. a) 25, b) 18,5, c) co najmniej 19, co najwyżej 24. 2. Dziewczęta —
około 56,3 kg, chłopcy — około 65,1 kg, wszyscy uczniowie — około 59,4 kg. 3. a) 3,59, b) 3,5.
5. 164 cm. 6. 700 zł. 7. O 30 zł.
str. 263–265: 1. a) 23 , b) mniejszą od 4. 3. a) Wyciągnięcie trefla, c) wyciągnięcie figury,
d) wyciągnięcie karty koloru czerwonego. 4. Pierwszą szkatułkę. 6. 445 . 7. 1
3 . 8. 110 .
9. a) 140 , b) 9
40 , c) 34 . 10. 6 napisów, 1
6 . 11. 23 . 12. a) 1
4 , b) 12 , c) 0. 13. a) 1
11 , b) 5366 .
str. 266–267: 4. 1500 zł. 5. Trzy. 10. a) 16 , b) 5
6 . 11. 12 . 12. a) 25 losów,
b) 53 losy lub więcej.
SKOROWIDZ
Archimedes 20, 189
centylion 18
czworościan 210— foremny 211
decylion 18
diagramy 243
Diofantos 79, 132
długość łuku 60— okręgu 50
dwusieczna kąta 161
googol 18
graniastosłup 177— pochyły 178— prawidłowy 178— prosty 178
hektolitr 187
iloczyn sumy przez różnicę 81— potęg o tych samych podstawach 16
iloraz potęg o tych samych podsta-wach 16
jednomian 67
jednostki objętości 187
konstrukcja— okręgu opisanego na trójkącie 154— okręgu wpisanego w trójkąt 162— ośmiokąta foremnego 167— stycznej do okręgu 158, 159— sześciokąta foremnego 166
krawędź graniastosłupa 177— ostrosłupa 210
kwadrat różnicy 77— sumy 76, 77
kwadratura koła 58, 187
kwadrylion 18
kwintylion 18
liczba π 51
liczba podpierwiastkowa 34, 35
liczby niewymierne 35— rzeczywiste 35— wymierne 35
ludolfina 51
łuk okręgu 61
mediana 253
metoda podstawiania 96— przeciwnych współczynników 99
mililitr 187
miriada 20
nonilion 18
notacja naukowa 31— wykładnicza 30
objętość graniastosłupa 191— ostrosłupa 219— prostopadłościanu 186— sześcianu 186
obwód koła 50
okrąg opisany na wielokącie 153— styczny do prostej 157— wpisany w wielokąt 161
oktylion 18
ostrosłup 209— prawidłowy 210
ośmiościan foremny 226
pierwiastek— kwadratowy 34— drugiego stopnia 35— sześcienny 35— trzeciego stopnia 35— z iloczynu 41— z ilorazu 41
Pitagoras 36, 123
podstawa potęgi 12— graniastosłupa 177— ostrosłupa 209
podwojenie sześcianu 187
pole koła 56— trójkąta równobocznego 142— wycinka koła 62
pole powierzchni całkowitej graniasto-słupa 182
— ostrosłupa 214
potęga 11
potęgowanie iloczynu 21— ilorazu 21— potęgi 19
prawdopodobieństwo 261
proporcja 87
prosta styczna do okręgu 157
prostopadłościan 176
przekątna graniastosłupa 195— kwadratu 141
przekrój graniastosłupa 235— ostrosłupa 235
redukcja wyrazów podobnych 68
reszta z dzielenia 71
rozkład liczby na czynniki pierwsze 14
roztwór p-procentowy 113
rozwiązanie układu równań 93
rozwinięcia dziesiętne liczb niewymier-nych 36
— wymiernych 36
równanie sprzeczne 86— tożsamościowe 86
różnica kwadratów 81
sekstylion 18
septylion 18
siatka graniastosłupa 182— ostrosłupa 214
spodek wysokości 210
stella octangula 217
styczna do okręgu 157
suma algebraiczna 68
symetralna odcinka 154
system dwójkowy 46— dziesiątkowy 46— trójkowy 46
sześcian 176
ściana boczna graniastosłupa 177— ostrosłupa 210
średnia arytmetyczna 252
tabelka łodygowo–listkowa 244
trójka pitagorejska 132
trylion 18
trysekcja kąta 187
twierdzenia— o czworokącie opisanym na
okręgu 174— o czworokącie wpisanym w okrąg 173— o kącie wpisanym opartym na śred-
nicy 155— o odcinkach łączących punkt prze-
cięcia stycznych z punktami styczno-ści 164
— o okręgu opisanym na trójkącie 154— o okręgu wpisanym w trójkąt 162— o punkcie przecięcia wysokości w trój-
kącie równobocznym 171— o trójkach pitagorejskich 132— Pitagorasa 122
układ równań 92— nieoznaczony 104— oznaczony 104— sprzeczny 104
usuwanie niewymierności z mianow-nika 45, 82
wielokąt— foremny 165— opisany na okręgu 161— wpisany w okrąg 153
wierzchołek graniastosłupa 177— ostrosłupa 210
włączanie czynnika pod znak pier-wiastka 42
wycinek koła 62
wykładnik potęgi 12
wyłączanie czynnika przed znak pier-wiastka 42
wyłączanie wspólnego czynnika przednawias 68
wyrazy podobne 68— sumy algebraicznej 68
wyrażenie algebraiczne 67
wysokość graniastosłupa 190— ostrosłupa 210— trójkąta równobocznego 142
wzory skróconego mnożenia 77, 81— interpretacja geometryczna 76, 78, 82
MG2 oklad 23.01.07
ISBN 978-83-87788-40-7
Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragmentpełnej wersji całej publikacji.
Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji kliknij tutaj.
Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnierozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przezNetPress Digital Sp. z o.o., operatora sklepu na którym możnanabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji. Zabronione sąjakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej zgodyNetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej od-sprzedaży, zgodnie z regulaminem serwisu.
Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepieinternetowym E-ksiazka24.pl.
