Matematyka 1. Podręcznik dla gimnazjum - STARA WERSJA
28
description
Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragment pełnej wersji całej publikacji.
Transcript of Matematyka 1. Podręcznik dla gimnazjum - STARA WERSJA
Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragmentpełnej wersji całej publikacji.
Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji kliknij tutaj.
Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnierozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przezNetPress Digital Sp. z o.o., operatora sklepu na którym możnanabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji. Zabronione sąjakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej zgodyNetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej od-sprzedaży, zgodnie z regulaminem serwisu.
Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepieinternetowym E-ksiazka24.pl.
Zespół autorów: Zofia Bolałek Małgorzata Dobrowolska
Marta Jucewicz Marcin Karpiński Adam Mysior
Okładka: Leszek Jakubowski
Zdjęcie na okładce: Dariusz Kula
Ilustracje: Sławomir Kilian
Grafika komputerowa: Leszek Jakubowski, Władzimier Michnievic
Skład (TEX): Joanna Marszałkowska
Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwegodo spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników szkol-nych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki na poziomie klasypierwszej gimnazjum na podstawie recenzji rzeczoznawców: dr. Leona Gul-gowskiego, dr. hab. Michała Szurka, mgr Leokadii Koper i mgr. WacławaWawrzyniaka. Numer w wykazie: 242/99.
Książka jest zgodna z programem Matematyka z plusem, dopuszczonymprzez MEN do użytku szkolnego. Numer dopuszczenia: DKW–4014–139/99.
ISBN 83–87788–12–0
© Copyright by Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 1999
Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 80–309 Gdańsk, al. Grunwaldzka 413
Gdańsk 2005. Wydanie siódme
Druk i oprawa: Interak, Czarnków
Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe
80–876 Gdańsk 52, skr. poczt. 59
tel./fax 0–801 643–917, fax (58) 340–63–61
tel. (58) 340–63–60 lub 340–63–63
e-mail: [email protected] http://www.gwo.pl
Spis treści
LICZBY I DZIAŁANIA
Liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych dodatnich . . . . . . . . . 20
Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . 23
Wyrażenia arytmetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Działania na liczbach wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
PROCENTY
Do czego służą procenty? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Jaki to procent? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Obliczanie procentu danej liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Obliczenia procentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
FIGURY GEOMETRYCZNE
Proste i odcinki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Przystawanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Czworokąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Pole prostokąta. Jednostki pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Pola wielokątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figury geometryczne w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . 103
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
KĄTY W KOLE
Kąt środkowy i kąt wpisany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Twierdzenia o kątach wpisanych i środkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Do czego służą wyrażenia algebraiczne? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Jednomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Sumy algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . 140
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Do czego służą równania? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Liczby spełniające równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Rozwiązywanie równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Zadania tekstowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Procenty w zadaniach tekstowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Przekształcanie wzorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
SYMETRIE
Symetria względem prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Rysowanie figur symetrycznych względem prostej . . . . . . . . . . . . . 189
Oś symetrii figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Symetralna odcinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Dwusieczna kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Symetria względem punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Środek symetrii figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Symetrie w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
PROPORCJONALNOŚĆ
Proporcje. Wielkości wprost proporcjonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Wielkości odwrotnie proporcjonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
ODPOWIEDZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
SKOROWIDZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Od autorów
Podręcznik składa się z ośmiu głównych rozdziałów, podzielonych na krót-
kie jednostki tematyczne (1–2 lekcje). Każda jednostka tematyczna zawiera
część teoretyczną i zadaniową. Część teoretyczna przekazuje najważniejsze
informacje dotyczące danego tematu i przeplatana jest ćwiczeniami, stano-
wiącymi propozycję metodyczną wprowadzania nowego zagadnienia. Część
zadaniowa zawiera zadania o różnym stopniu trudności i zakończona jest
krótkim testem, opatrzonym tytułem Sprawdź, czy umiesz, który można wy-
korzystać jako podsumowanie lekcji. Na końcu każdego rozdziału zamiesz-
czony jest blok Zadania uzupełniające, pełniący rolę dodatkowego zbioru
zadań. Łącznie w podręczniku znajduje się ponad 900 zadań. Do wielu z nich
podajemy odpowiedzi lub wskazówki dotyczące sposobu rozwiązania.
W towarzyszącym podręcznikowi Zeszycie ćwiczeń zamieściliśmy zadania,
których rozwiązanie w „normalnym” zeszycie byłoby niemożliwe lub wiąza-
łoby się ze zbyt dużą stratą czasu.
Podręcznik uwzględnia założenia reformy i jest zgodny z programem Mate-
matyka z plusem.
Pragniemy podziękować za cenne uwagi i wskazówki recenzentom książki:
dr. L. Gulgowskiemu, mgr L. Koper, dr. hab. M. Szurkowi oraz mgr. W. Waw-
rzyniakowi. Miło nam również wyrazić podziękowanie za wszelką pomoc
przy pracy nad podręcznikiem dr A. Demby, prof. Z. Semadeniemu i mgr.
J. Trzeciakowi.
♦
Uwaga. Dla wyróżnienia stopnia trudności zadań przyjęliśmy następujące
oznaczenia:
zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)∗ zadanie trudniejsze∗∗ zadanie trudne
LICZBY I DZIAŁANIA
LICZBY
Drogi Czytelniku! Do tej pory zetknąłeś się z różnymi nazwami liczb.Uczyłeś się już o liczbach naturalnych, ułamkach zwykłych i dziesięt-nych, liczbach dodatnich i ujemnych. Spróbujmy to uporządkować.
• Liczby 0, 1, 2, 3, 4, . . . nazywamy liczbami naturalnymi.
• Liczby . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . nazywamy liczbami całkowitymi.
Przykłady liczb
wymiernych:
23
−47
118
0,7
− 4,16 − 4 15 0
• Liczby, które można przedstawić w postaci ilorazuliczb całkowitych, nazywamy liczbami wymiernymi.
Liczba jest wymierna, jeżeli można ją zapisać w postaciułamka l
m , gdzie l i m są liczbami całkowitymi i m �= 0.
ĆWICZENIE. Uzasadnij, że liczby 1 18 , 0,7, −4 i 0 są liczbami
wymiernymi — przedstaw każdą z nich w postaci ułamkazwykłego.
Liczbami wymiernymi są wszystkie liczby całkowite oraz wszystkieułamki (zwykłe i dziesiętne, dodatnie i ujemne).
Dziesiątkowy system pozycyjny, którym sięposługujemy, stworzyli Hindusi ok. 1500 lattemu. Hindusi początkowo nie używali zera.Aby odróżnić np. liczbę 301 od 31, mię-dzy znakami oznaczającymi 3 i 1 zosta-wiali puste miejsce, nazywając je sunya. Do-piero później pojawiło sie w tym miejscukółko, przypominające dzisiejsze zero. Hin-duski system zapisywania liczb dotarł doEuropy za pośrednictwem Arabów.
To, co Hindusi nazywali sunya (nic, zero),w języku Arabów brzmiało sifr. W Europiesłowo szifra początkowo znaczyło nic, zero,z czasem tak nazywano wszystkie znaki licz-bowe. Nowy system zapisu liczb był w Euro-pie przez długi czas zakazany, ludzie uży-wali go po kryjomu, jak tajemnego kodu.Ciekawe jest, że w niektórych językach, np.angielskim i francuskim, nie ma różnic mię-dzy słowami oznaczającymi szyfr i cyfrę.
12 Liczby i działania
ZADANIA ZESZYT ĆWICZEŃ str. 5–6
1. Wykaż, że podane liczby są liczbami wymiernymi — przedstaw każdąz nich w postaci ułamka zwykłego.
a) 313 b) −5,5 c) 170 d) −1 e) 0,75 f) −4,8
2. Poniżej zapisano 8 różnych liczb:
−1 0 2,5 −14 5 6
7 −10 10013
Wymień, które z tych liczb są:
a) liczbami naturalnymi,
b) liczbami całkowitymi,
c) liczbami wymiernymi.
3. Odszukaj na rysunku liczby:
a) naturalne większe od 2,
b) wymierne nieujemne,
c) całkowite niedodatnie,
d) całkowite mniejsze od −1,
e) wymierne większe od −14 .
4. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Każda liczba całkowita jest liczbą naturalną.
b) Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą.
c) Każda liczba całkowita nieujemna jest liczbą naturalną.
d) Liczba przeciwna do liczby całkowitej jest liczbą naturalną.
e) Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
f) Każda liczba wymierna jest albo dodatnia, albo ujemna.
5. Podaj przykład liczby, której kwadrat jest większy od 100, a sześcianjest mniejszy od 100.
√9 = 3, bo 32 = 9
√425
=25, bo
(25
)2=
425
3√27 = 3, bo 33 = 27
6. Zapisz podane liczby, nie używa-jąc symbolu
√.
a)√
81 d)
√949 g)
√0,04
b)√
36 e) 3
√18 h) 3
√0,001
c) 3√64 f)√
179 i)
√0,0049
Liczby 13
7. Wśród poniższych liczb znajdź liczby różne od 95 .
145 1,8
√8125
4025
2715 1,80 120
25 11520
8. Ile różnych liczb wymiernych zapisano poniżej?
94
32 −24
8 −3 2,25 −3,0 213 −3,14 140
60 214
√94
9. Która z liczb jest większa?
a) 15 czy 1
6 e) 35 czy 0,7 i) −4
7 czy −48
b) 0,27 czy 0,267 f) 725 czy 0,281 j) −3
4 czy −0,7
c) 3 613 czy 3 7
13 g) 5 715 czy 51
3 k) −0,14 czy −0,1
d) 6,801 czy 6,9 h) 0,28 czy 15 l) −61
7 czy −6,1
10. Punktom zaznaczonym na osi liczbowej odpowiadają liczby:
2,6 24150 −1 4
12 −1,5 85 −0,7 − 6
13 0,77 1730
Dopasuj te liczby do odpowiednich punktów.
11. Zapisz podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
113 −3,1 0 −3 1,33 0,123 −22
718
12. Rysunki przedstawiają fragmenty osi liczbowych. Podaj współrzędnepunktów oznaczonych literami.
13. Podaj przykład liczby x, która spełnia warunek:
a) 17 < x <
27 b) 1
3 < x <12 c) 2
3 < x <34
14 Liczby i działania
Liczby wymierne mają rozwi-
nięcia dziesiętne skończone
lub nieskończone okresowe.
58
= 0,625
13
= 0,33333 . . . = 0,(3)
2566
= 2,0757575 . . . = 2,0(75)
14. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny:
a) 34 c) 29
25 e) 58
b) 35 d) 67
20 f) 140
15. Znajdź rozwinięcia dziesiętne liczb:
a) 23 c) 1 5
12 e) 2 311
b) 1059 d) 17
15 f) 1156
16. a) Jaka jest piąta cyfra po przecinku liczby 12,(375) ?
b) Jaka jest dziesiąta cyfra po przecinku liczby 5,3(52) ?
c) Jaka jest setna cyfra po przecinku liczby 0,(126) ?
17. Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej:
a) 0,33 13 0,(32) 0,332
b) 2,(5) 212 2,(50) 2,(505)
c) 3,(64) 3,64 3,6(4) 3,(6)
18. Podaj przykład liczby x, która spełnia warunek:
a) 0,1 < x < 0,(1) c) 12 < x < 0,(5)
b) 0,(7) < x < 0,(8) d) 0,(2) < x < 0,23
19. a) Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków:
• 19 , 4
9 , 89
• 199 , 7
99 , 2999 , 84
99
• 1999 , 5
999 , 47999 , 98
999 , 125999 , 487
999
b) Podane rozwinięcia dziesiętne zapisz w postaci ułamka zwykłego:
0,(7) 0,(5) 0,(13) 0,(62) 0,(05) 0,(342) 0,(057)
20. Wiedząc, że 136 = 0,02(7), zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb:
a) 1036 b) 100
36 c) 1360 d) 1
3600
SYMETRIE
SYMETRIA WZGLĘDEM PROSTEJ
Przyjrzyj się ilustracji.Czy wiesz, jaki wyrazznajduje się na karetcepogotowia? Czy domy-ślasz się, dlaczego tosłowo jest napisane w„lustrzany” sposób?
Gdybyś na kartce papieru zrobił niewielki kleks, złożył tę kartkę napół i przycisnął, to po rozłożeniu kartki zobaczyłbyś dwie identyczneplamy. Kleks odbije się po drugiej stronie linii zgięcia. Podobnie poło-żone są pary figur na pozostałych dwu rysunkach.
Na każdym z tych rysunków jedna z figur jest „odbiciem” drugiejwzględem narysowanej prostej. O takich figurach mówimy, że sąsymetryczne do siebie względem prostej.
186 Symetrie
Rysunek obok przedstawiadwie figury symetryczne dosiebie względem prostej.
Gdybyśmy złożyli kartkęwzdłuż prostej k, to punktA nałożyłby się na punkt P .Punkty A i P są więc sy-metryczne do siebie wzglę-dem prostej k. Wskaż kilkainnych par punktów syme-trycznych do siebie wzglę-dem tej prostej.
ĆWICZENIE. Na każdym z poniższych rysunków tylko jeden z punktów jestsymetryczny do punktu A względem prostej k. Wskaż ten punkt.
Dwa punkty są symetryczne do siebie względem pro-stej k, jeżeli spełniają następujące warunki:
• leżą na prostej prostopadłej do prostej k,
• leżą po przeciwnych stronach prostej k,
• leżą w równych odległościach od prostej k.
Przyjmujemy, że jeżeli punkt leży na prostej k, tojest symetryczny sam do siebie względem tej prostej.
Symetria względem prostej 187
ZADANIA ZESZYT ĆWICZEŃ str. 48–49
1. Poniżej narysowane są odbicia lustrzane kilkuwyrazów. W niektórych z nich są błędy. Sprawdź,w których. Możesz pomóc sobie lusterkiem.
2. Dwie małe litery alfabetu są lustrzanym odbiciem litery b. Które?
Mało znany jest fakt, że
Leonardo da Vinci wiele
traktatów z zakresu medy-
cyny i teorii sztuki zapisy-
wał w „lustrzany” sposób.
3. Rozszyfruj poniższy tekst. W razie trudnościpomóż sobie lusterkiem.
4. Czy dane dwa punkty są położone symetrycznie względem narysowa-nej prostej?
5. Czy dane dwie figury są położone symetrycznie względem narysowa-nej prostej?
188 Symetrie
6. Wskaż odcinek symetryczny do odcinka AB względem prostej k.
7. Poniższe rysunki są prawie symetryczne do siebie względem pewnejprostej. Symetrię psuje pięć szczegółów. Znajdź te szczegóły.
∗8. Narysuj kwadrat o boku 4 cm i taką prostą k, aby pole figury złożonejz tego kwadratu i jego odbicia symetrycznego względem prostej kbyło równe 24 cm2.
9. Dorysowując do litery L jejodbicie symetryczne względempewnej prostej, można otrzymaćkażdą z figur przedstawionychna rysunku obok.
Narysuj sześć innych figur, któremożna otrzymać w ten sposób.
Rysowanie figur symetrycznych względem prostej 189
SPRAWDŹ, CZY UMIESZ
1. Symetryczne do siebie względemprostej k są punkty:
A. H i LB. H i J
C. F i KD. G i J
2. Na którym rysunku figury są symetryczne do siebie względem naryso-wanej prostej?
3. Które boki wielokąta są symetryczne dosiebie względem narysowanej prostej?
A. AB i EDB. AB i AF
C. AF i CDD. BC i ED
ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 1–5 str. 213
RYSOWANIE FIGUR SYMETRYCZNYCH WZGLĘDEM PROSTEJ
Załóżmy, że punkt A nie leży na prostej k.
Jak znaleźć punkt A′ symetryczny do punktu Awzględem prostej k?
Punkt A′ nietrudno znaleźć za pomocą ekierki.
ĆWICZENIE A. Narysuj prostą k i zaznacz punkt Anie leżący na prostej k. Za pomocą ekierki narysujprostą przechodzącą przez punkt A i prostopadłądo prostej k. Znajdź na tej prostej szukany punktA′ (możesz posłużyć się podziałką lub cyrklem).
ODPOWIEDZI
str. 12 –15: 15. a) 0,(6), b) 10,(5) c) 1,41(6) d) 1,1(3), e) 2,(27), f) 11,8(3). 19. b) 79 , 5
9 ,1399 , 62
99 , 599 , 38
111 , 19330 .
str. 21–23: 5. 34,908 g. 7. 1,90 zł. 9. e) 3,075, f) 1,35. 11. a) 325 , b) 3
20 . 12. A = 3 112 ,
B = 3 1124 , C = 1,2, D = 1 29
70 .
str. 24 –27: 2. g) 34, h) 9. 3. 185 posłów. 4. 85. 5. e) 79 , f) 5
9 , g) 14 , h) 3
4 . 7. 64
butelki. 14. a) 6765 koron, b) 6660 koron. 17. f) 1, g) 0,09, h) 112 , i) 10.
str. 28 –30: 3. a) 1,1, b) 8, c) 29 , d) 5, e) 1, f) 13,52, g) 1, h) 0,3. i) 3
4 .
4. A = 4 14 + 3
9 · (5 − 4 14 ) = 4 1
2 , B = 4 23 , C = 0,67, D = 0,675, E = 0,9, F = 1,1, G = 1,61, H = 1,66.
5. a) 17,4, b) 718 , c) 17
36 , d) 1,3, e) 512 , f) 14
27 . 6. 6 zł. 7. 43,45 kg. 8. a) 8, b) 6, c) 14 ,
d) 8 49 . 9. a) 3, b) 0,2, c) 6 2
3 , d) 112 , e) 1
7 , f) 0,8. 10. 0,5 kg. 11. 37. 12. 5,10 zł.
str. 32 –34: 3. a) −1 12 , b) 1,35, c) −2,93, d) −7 1
6 , e) 2 712 , f) 2 7
18 , g) −1 1730 , h) −1,1,
i) − 4,52. 8. a) 2, b) − 13 , c) − 0,01, d) 4 6
11 . 10. A = −7 + 15 (−3 − (−7)) = −6 1
5 , B = − 4 35 ,
C = − 0,35, D = − 0,225, E = −3, F = 0,3, G = − 15 , H = 0. 12. a) 1
2 , b) 2, c) 4, d) −16,
e) 11, f) − 6 27 . 14. a) 1,65, b) −10, c) − 4 1
5 , d) − 15 .
str. 35–38: 1. a) 699, b) 90, c) 900, d) 167, e) 180. 3. a) Tak, b) nie, c) nie. 4. a) 3,
b) −1, c) − 9, d) − 6. 5. Wszystkie oprócz 10101+99 i 10111 + 5
6 . 13. a) 1 821 , b) 2, c) 1 23
36 ,
d) 2 1330 , e) 3, f) 31
72 . 16. a) 9,865, b) 2,235, c) 2,9, d) 1,03, e) 2,5, f) 1,97. 17. 0,15 g.
18. a) 5 1345 , b) 6 11
21 , c) 33 1360 , d) 5
36 , e) 3 16 . 20. a) 1
15 , b) 47 , c) 1, d) 8
25 . 21. a) 59 , b) 2
15 ,
c) 0,1, d) 317 . 22. a) 16, b) 0,6, c) 0,3, d) 0,24. 23. Nie wystarczy. 24. a) 2,85, b) 40,8,
c) 0. 25. a) 12,4, b) 1,5, c) 1 512 , d) 2 1
2 . 26. a) 10, b) 1 78 . 28. Tak. 29. O 105,3 l.
30. 213 kobiet. 31. a) −9,08, b) −7,39, c) 14 1318 , d) − 82,902. 35. a) 24, b) −1,
c) −24, d) 4 59 , e) −7,2, f) − 9
200 . 36. a) −1,6 < −1 18 , b) −15 = −15, c) −13 7
9 > −14,
d) −5 > −5,1, e) 8 1990 > 8,19. 37. a) −8, b) 2, c) 36, d) −4. 40. a) 6,45, b) 1
4 , c) 35 ,
d) 4 13 , e) −2,5, f) − 4
5 . 41. a) 56 , b) 10,8, c) −1 1
2 , d) 0,404.
str. 43–45: 8. a) 16,7%, b) 111,1%, c) 76,6%, d) 723,5%, e) 46,8%, f) 383,9%.
str. 47–50: 3. 44,(4)%. 7. 20%. 8. 75%. 10. 45%. 11. a) O 8%, b) o 5%. 12. O 3%;
o 5%. 14. a) O 20%, b) o 12,5%, c) o 5%. 15. O około 115%. 16. O 33,75%.
232 ODPOWIEDZI. Strony 52–111
str. 52–55: 4. 364 uczniów. 5. W Polsce. 6. W Nadlesiu, o 51 kobiet. 8. Ok. 53,7 kg.
10. a) 49, b) 4,02, c) 109,2, d) 34,2, e) 249,75, f) 31,2. 11. Materac 25,50 zł, piłka 6,80 zł,
parasol 20,40 zł. 13. 216 zł. 14. 81 kg. 15. Po roku będzie miał 2320 zł, po dwóch latach
— 2691,20 zł. 18. Naszyjniki z brylantami stanowiły 12%, a inne 28% kolekcji. 19. O 62,5%.
str. 57–60: 2. a) 40, b) 24, c) 2400, d) 160, e) 35, f) 230. 5. 200. 6. 250000 zł.
8. a) 2 kg, b) 7,5 kg. 9. 3 jagody. 11. 150 wczasowiczów. 12. 200 gruszek. 13. a) 510,
b) 37, c) 615, d) 14. 17. 12,5 kg. 18. 300 zł. 19. 2300 zł.
str. 61–65: 1. 9 czekoladek; 2. 3,50 zł. 3. 17 osób. 4. 27 szylingów i 6 pensów.
5. 160 zł. 6. 19,50 zł. 7. Wzrost o 25%; spadek o ok. 17%. 8. a) 25 uczniów, b) 27 uczniów,
c) o 8%, d) ok. 36,6%. 9. Niższa; 96%. 10. 250 zł. 11. 110 zł. 12. c) Około 400%,
d) około 200 razy. 13. 32 uczniów. 14. O 25%. 15. 40 osób. 16. Ania 42, Basia 30.
17. O 20%. 18. O 20%. 19. 22,50 zł. 20. Pan A zyskał o ok. 11% więcej. 21. 50%.
22. Pan Małowiejski.
str. 66–68: 8. Orzeł — ok. 0,8%, wróbel — 4%. 10. Ok. 12,3‰. 11. a) O 25%, b) o 20%.
13. 1191 książek. 14. 15 minut. 15. Ok. 149 tys. fiatów. 18. 518 tys. samochodów.
19. 2 kg. 20. 11 zł. 21. O godz. 22.03. 22. Łoś — ok. 800 kg, niedźwiedź — ok. 500 kg.
23. 54 cm. 24. 2700 mieszkańców. 25. 100 zł. 26. 6 mln dukatów. 28. 260 zł.
str. 75–77: 1. b) α = 48◦, β = 25◦, γ = 69◦. 4. 75◦, 105◦. 5. 45◦, 135◦. 6. 67,5◦.8. β = 130◦.
str. 79–81: 10. a) 180◦, b) 180◦. c) 360◦. 11. α = 25◦, β = 23,5◦, γ = 120◦. 12. α = 65◦.13. 32◦, 58◦, 90◦. 14. 50◦, 70◦, 60◦. 15. 360◦.
str. 90–92: 5. α = 50◦, β = 80◦, γ = 24◦. 6. 24 cm. 7. 8 cm. 8. a) i b). 10. 50◦,130◦, 50◦, 130◦ oraz 70◦, 110◦, 70◦, 110◦. 11. 94◦, 94◦, 86◦, 86◦. 12. 8.
str. 94–97: 3. Nie wystarczy. 4. Tańsza jest wykładzina Alik. 5. a) 16, b) 125.
10. a) 13 mm2, b) 5,11 a, c) 0,04 km2, d) 926900000 ha. 11. 72 ha. 12. 1 cal
kwadratowy ≈ 6,45 cm2, 1 stopa kwadratowa ≈ 929 cm2. 13. Ok. 640 akrów. 15. Ok. 0,8 ha.
16. Ok. 0,12ha.
str. 99–102: 5. a) P = 7,5 cm2. 6. 7,7 ha. 7. 2 23 . 8. 8 cm. 9. a) 15 cm2, b) 7 cm2,
c) 15 cm2. 10. 10 cm2. 11. 39 cm. 14. Tak. 15. 14 cm. 16. a) Nie, b) nie, c) tak.
17. 12 cm2. 18. 9. 19. a) 3 cm2, b) 3 cm2, c) 3 cm2.
str. 105–108: 10. C = (3,6) lub C = (3,−2). 16. −3 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3.
str. 109–111: 7. 3 cm i 3 cm lub 4 cm i 2 cm. 11. 120◦, 60◦, 120◦, 60◦. 13. 12,5 cm.
15. 5 prostokątów. 16. Ok. 5 razy. 19. 80 cm2. 20. 6 cm2. 21. 8 cm2. 22. 5070 cm2.
23. 10 cm2. 24. 40 cm2. 26. 14 cm2. 27. a) 5, b) 10. 32. a) 27,5, b) 15, c) 16.
ODPOWIEDZI. Strony 114–145 233
str. 114–116: 6. a) 30◦, b) 60◦, c) 135◦, d) 180◦. 7. 165◦, 157,5◦. 11. a) 42◦, b) 84◦.
str. 118–121: 2. 45◦ i 30◦. 5. a) α = 30◦, β = 200◦, γ = 65◦, b) α = 135◦, β = 50◦, γ = 35◦.7. W trójkącie ABC : 70◦, 70◦, 40◦; w trójkącie DEF : 65◦, 45◦, 70◦; w trójkącie GHI: 60◦, 90◦,30◦. 8. 60◦, 45◦, 75◦. 9. 96 i 144. 10. α = 35◦, β = 45◦, γ = 120◦. 13. 70◦, 70◦, 110◦,110◦. 14. 25 cm2. 16. 127,5◦ lub 7◦.
str. 122: 3. α = 125◦. 4. α = 80◦, β = 114◦. 5. 12 cm. 6. 138◦. 7. 52◦, 52◦, 128◦, 128◦.
str. 125–127: 2. Obwód = 4n + 2. 4. a) 13b + a + 3, b) b − 2 + 1
2a, c) 34a + 4
5b, d) 12 (a + b) + 2.
6. a) 3x, b) 4y , c) 4x + 2y , d) x + y + z, e) 4x − z, f) z − 2x, g) 15x + 2z, h) 5x + 2y + 2z,
i) 2x + 4y + 2z, j) 3x + 3z + y , k) 4z − 4y , l) 16x − 4z, m) 20x − 4z, n) 12x − 2z + 2y ,
o) 8(z − 2x). 7. x − 8. 8. a) Marek: x − 5, Filip: 3x, b) x + 2, c) 5, d) o 2x, e) 2x + 5.
9. Paweł był 7 razy młodszy od dziadka. [Wiek Pawła: 2a; wiek dziadka: 8a. Gdy Paweł miał
a lat, to dziadek miał 8a − a lat. 10. c) w wiadrze: 23 (x + 0,75) l, w beczce: y + 1
3 (x + 0,75) l.
str. 128 –130: 3. a) 29, b) 78, c) 13, d) −3. 6. b) Pola kolejnych figur: 21,5, 10, 20, 32.
str. 131–132: 4. e) x5, f) − 23a
5b3. 7. P = 4x2. 8. a) P = 0,2a2 cm2, b) P = 5b2 mm2.
str. 134–136: 4. f) m2 + 4mn + 2n, g) 2x3 + 23x
2 + 1 34x, h) 5a + 4b2 − 3, i) − 1
4pr − 8p + 0,8r ,
j) − 0,2cd + 16 cd
2 + 16 c
2d. 6. a) 2, b) 1 12 . 8. Dla każdego wielościanu wartość sumy S +W − K
jest równa 2.
str. 137–139: 2. a) 4a + 4b, b) 4a + 4b, c) 2a + 4b, d) 2a + 6b, e) 2a + 6b, f) 4a + 4b,
g) 2a + 6b, h) 2a + 6b. 3. a) 4x − y , b) 7x − 2xy , c) 5x + 2xy + 2, d) −x + 6xy − 2y + 2.
4. a) 2a, b) 2b, c) −a − 1 12b. 5. a) 2a + 2b, b) x − y + 1, c) a2 + 2ab − 3b, d) − 9kx,
e) −1,3p2r − 1,7pr2 + 0,7pr , f) 0,7x3 − 0,7x, g) 1,2a2b + 1 13ab
2 − 1,5a2b2. 6. a) Tak, b) nie.
10. a) 0,3, b) 3, c) 0,01. 12. a) 3x − z, b) 2a − b, c) 2a, d) −x − 1.
str. 141–142: 1. e) 2m2 + 3m, f) 6pr + 15p2 − 3p, g) −3b4 + 3b2, h) −ax2 + 2x3, i) 2x2y −
3xy2 + 5xy , j) 5x3 − 2,5x2 + 25x, k) −a3b − ab3 + 2a2b2, l) 3k4 − 6k3 + 0,3k2. 2. e) −6x2 − 6x + 6,
f) 5x2 − 0,8x + 2. 3. a) 2k, b) 2k + 1. 4. a) i b) −18x3y + 6x2y2, c) i d) 9x3 − 3x2y − 6xy . 5. 6.
6. a) − 6x, b) a2 + b2 + c2, c) 3x3 − 2x2 + x + 3, d) −2y − 1, e) 32b
2 − 3. 7. a) 23, b) 19,9.
9. Mniejsze o a. 10. P = 12a
2 − 12ab + 1
2b2.
str. 144–145: 2. 6(m + k + ż). 4. a) −18, b) −12, c) 0. 5. a) 2c − d, b) 2a + 1, c) a + 3b.
7. a) x + 12 , b) 1
5x2 − 1, c) 2ab + 10
3 , d) 12a − b. 9. a) (x + y )(a + b), b) (z − y )(3 − a), c) 2m(k − 1),
d) 2c(a − 1). 10. 2.
234 ODPOWIEDZI. Strony 146–171
str. 146–149: 2. 2n − 2. 3. a) 5n + 2, b) 20n. 5. a) 12t + s, b) a + 0,01b + 0,001c,
c) g + m60 , d) c
3,6 , e) 3,6 c. 6. 100(a + b) + 10b + c; 0 < a + b ≤ 9. 7. a) − 12 , b) 1
4 , c) 14 ,
d) 4. 9. a) x = 0, b) x = 2, c) x = 0 lub x = 5, d) x = 1 lub x = −2. 10. a) 10, c) 120.
12. 54a3, 128. 14. b) 0,9b, c) 1,01x, d) 0,96y . 15. 0,1xy . 16. a) − 154 x
2y ,
b) −2p4q2, c) 13a
3b3, d) t3y3. 17. a) xy, y �= 0, b) 3x , x �= 0, c) 3y, x �= 0, d) abc2,
a �= 0, e) 2ab, c �= 0, f) −2s2v4
t , t �= 0. 19. a) 26, b) −6 12 , c) 10. 22. a) −2a + 4b,
b) x − y + 1, c) kx − 6ny , d) 2a − ab, e) 2,9x2 − 3,9x. 24. a) abc − 2xyz, b) 3s2t − 2st2,
c) xyz2. 27. a) − 4x + 2, b) 2a3, c) 3x3 + 12xy + y , d) 1
3a2b − 1
3a2b2 − ab2, e) 12,5xy − 0,34x2.
f) −5ab + 4a2c, g) 4xy2 − 4x2. 29. a) 6, b) 48, c) −18. 30. b) −a, c) −x2 + 6x, d) x2 − 5x.
31. a) a2 + 2a, a �= 0, b) x3 + 2x2 − 3x, x �= 0, c) 6ts + 3t3 − 9s3, s �= 0, t �= 0. 33. a) 2a + 3b + 1,
b) 3a + b, c) 6b. 34. 2 16 .
str. 151–152: 3. a) 2 ·5 + 2(8 + x) = 52, b) 5(8 − x) = 20. 6. a) x + 0,7x = 34, b) x − 0,07x −
300 = 2500, c) 12 = 0,4x.
str. 154–155: 4. a, b, d. 6. a) 32, b) −32, c) 6. 8. nie, tak, tak, tak.
str. 158–160: 1. a) x = 2, b) x = 3, c) x = −3, d) y = 2, e) x = −1,5, f) x = −2, g) równanie
sprzeczne, h) t = −7, i) x = 10, j) a = −5, k) równanie tożsamościowe, l) x = − 4. 3. a) x = −5,
b) x = − 15 , c) x = 20, d) x = −10, e) x = −6, f) x = −10. 4. a) x = 2, b) x = 9, c) x = 6, d) x = 1,1,
e) x = 3, f) x = 2,4. 5. a) x = 55, b) x = 43,5, c) x = 36, d) x = 3, e) x = 9. 6. a) x = 500,
b) y = 47, c) a = 130, d) x = 11. 7. a) x = 16,5, b) x = 7,6, c) y = 18. 8. a) x = −6, b) x = 0,5,
c) x = 20, d) x = 7, e) x = 613 , f) x = 8, g) x = 3 1
3 , h) x = 8, i) x = 111 , j) x = −1,4. 9. a) x = 4,
b) x = 18, c) x = 12 , d) x = −1. 10. a) x = 1, b) x = −2 1
2 , c) x = 2 12 , d) x = −0,25, e) x = 2,4,
f) x = −2 23 , g) x = − 6, h) x = 1, i) x = 1
6 , j) x = 4,4. 12. a) Dla −5, 5, −1, 1, b) dla − 6, −3, −2, −1.
str. 161–167: 1. a) 24, 12 i 19, b) nie istnieją. 2. Kapelusz kosztuje 105 zł, a piórko
5 zł. 3. Zegar waży 5,25 kg, a kukułka 0,25 kg. 4. 12 dorosłych i 36 dzieci. 5. 0,9 kg
błękitu i 0,6 kg czerwieni. 6. 28 gr i 21 gr. 7. a) po 40, b) 24 większe i 72 mniejsze,
c) 37 większych i 46 mniejszych. 8. 42 jadalne i 8 trujących. 9. 12. 10. 9 piątek.
11. −10◦C. 12. 12 zł. 13. Wszystkich kosmitów było 92. 14. 36. 15. 35 piratów.
16. 90 książek. 17. 32 minuty. 18. Agnieszka — 15, Jacek — 45. 19. 24 wróble.
20. 12,50 zł. 21. 28 lat. 22. Jurek 30 lat, dziadek 70 lat. 23. 6 lat. 24. 13 lat.
25. 12 dni, 360 stron. 26. 100 zł. 27. 64◦, 32◦, 84◦. 28. 71◦, 71◦, 38◦. 29. 30◦, 90◦,60◦. 30. a) 10 cm, b) 9 1
3 cm. 31. 10. 32. 12. 33. 4. 34. |RT | = 9. 35. 1 cm× 2 cm.
str. 169–171: 1. Jan — 22, Kazimierz — 25 gołębi. 2. 80 kg i 83 kg. 3. 108 cm.
4. 30 dzieci. 5. 430 dziewcząt i 500 chłopców. 6. 4000 zł. 7. 5 kobiet. 8. 20 sztuk,
w tym 5 baranów. 9. 24,5 kg. 10. 250 g. 11. 3 kg. 12. 60 kg. 13. 10 kg. 14. 60 kg.
15. 0,5 kg. 16. 40 kg.
ODPOWIEDZI. Strony 174–206 235
str. 174–176: 3. a) 3n < 33, b) 3x + 2 < 5x, c) 23 c ≤ 8, d) 6(y + 0,1) > 8y , e) 12p + 90 ≤ 650.
4. a) x < 5, b) x > − 0,5, c) x ≤ 2, d) x ≤ − 34 , e) x ≥ 23, f) x ≥ 0,35. 6. a) x ≤ 2,5. 7. a) Dla
x < 95 , b) dla x < 0. 9. a) x > 4
5 , b) x ≤ 154 , c) x ≤ − 19
21 , d) x ≤ 45 , e) x > 1, f) nierówność
sprzeczna. 10. Na co najmniej 6 godzin. 11. 37. 12. 1. 13. −3, −2, −1, 0, 1, 2.
14. po 13 tygodniach. 15. 11 trójek, 3 czwórki i 1 piątkę albo 12 trójek, 6 czwórek i 2 piątki.
str. 179–180: 1. g) t = y+12 , h) a = 2v
t2 dla t �= 0, i) P = abc4R dla R �= 0, P �= 0. 2. a) x = P
ab
dla a �= 0, b �= 0, b) x = Rba dla a �= 0, b �= 0, c) x = a
Sb dla S �= 0, b �= 0, x �= 0, d) x = 1Tab dla T �= 0,
a �= 0, b �= 0, x �= 0, e) x = 2T−y3 , f) x = y+2
2 , g) x = 2y + 1, h) x = 2+yy dla y �= 0, x �= 1, i) x = 3P−a2
2a
dla a �= 0. 5. a) h = 2Pa+b , b) a = 2P−bh
h . 7. a) k = ax+y dla x �= −y , b) k = b
2−a dla a �= 2,
c) k = c−bb+2 dla b �= −2, d) k = d
d−1 dla d �= 1, k �= 1, e) k = 1+e1−e dla e �= 1, k �= −1, f) k = 1
f−a−1
dla f �= a + 1, k �= 0, g) k = 12−g dla g �= 2, k �= 0, h) k = h
1+a2 , i) k = 42i−a dla a �= 2i, k �= 0 . 9. 6P
L .
str. 181–184: 7. a) x = 8, b) x = 58 , c) x = −5, d) x = −1,4, e) równanie tożsamościowe,
f) x = 3, g) równanie sprzeczne, h) x = −7, i) x = −0,6. 8. a) x = −3, b) x = 126 , c) x = −3,5,
d) x = 8, e) x = 1, f) x = − 14 , g) x = 0, h) x = 4
3 , i) x = 3. 10. x = −2 dla a = − 14 ; równanie
nie ma rozwiązań dla a = 2. 11. a) x = 4, b) y = 2 23 , c) z = 1 1
2 . 12. 13 km. 13. 45 monet.
14. 30 osób. 15. 18 pętelek. 16. 8 lat temu; za 10 lat. 17. a) Maciek 4 lata, Dorota 16
lat; b) za 8 lat. 18. Po 75 skokach. 19. 36 gęsi. 20. 36 uczniów. 21. 15 pszczół.
22. 84 lata. 23. 30 brzoskwiń. 24. 7 groszy. 25. 50 losów. 26. 600 sztuk cudnych
rzeczy. 27. 5 dziewczynek. 28. 60 osób. 29. 2,5 kg. 30. 0,8 kg. 31. a) x > 1, b) x < 2,
c) x ≤ 7, d) nierówność tożsamościowa, e) x ≥ 25 . 32. a) 8, b) 3, c) 100. 34. a) M = dRT
P
dla P �= 0, M �= 0, b) x = sd−4R2s dla s �= 0, c) x = s−ar2
ar dla a �= 0, r �= 0, d) a = 2R−rb−rcr dla r �= 0,
e) a = 2s−2vtt2 dla t �= 0, f) m = Fr2
GM dla G �= 0, M �= 0, r �= 0, g) k = ax+y dla x �= −y , h) k = b
2−a dla a �= 2.
str. 187–189: 6. a) EB, b) CD, c) DE.
str. 191–193: 7. a) |EG| = |FH| = 2a, b) 2a2. 8. 2d. 10. |AA′| = 4 cm.
str. 194–196: 5. Jedną, trzy lub wcale. 12. c, d, g.
str. 198–199: 4. 75◦. 7. 65◦ i 90◦.
str. 201–202: 3. 50◦, 25◦, 105◦. 5. 110◦.
str. 204–206: 11. 48 cm2. 12. 72 cm2. 13. 32 cm. 14. Oznacz dane punkty literami A,
B, C . Poprowadź proste przez punkt A i środek odcinka BC , przez punkt B i punkt symetryczny do
C względem punktu A oraz przez punkt C i punkt symetryczny do B względem punktu A. [Uwaga.
Są jeszcze dwa inne rozwiązania.]
236 ODPOWIEDZI. Strony 207–229
str. 207–209: 7. Jeden lub nieskończenie wiele. 9. Wsk. Jeżeli punkt kratowy należy do
koła, to punkt symetryczny do niego względem środka też należy do tego koła. Oprócz środka,
w kole znajduje się więc parzysta liczba punktów kratowych. 10. a, b, d.
str. 210–212: 2. Cogito ergo sum (łac. Myślę, więc jestem). 4. |AB| = 100, |AC| = 24.
6. 46. 7. x = 1. 8. S = (2,−1). 12. a) a = − 4, b = −1, b) a = 2, b = 3, c) a = 2, b = −1.
str. 213–216: 4. Dwie, cztery lub sześć. 9. 2α. 11. a) Tak, b) nie, c) tak, d) tak,
e) nie. 12. a), b), c), d) — tak. 13. b) Dwie, c) pięć. 15. a) Jedną lub dwie, b) zero,
jedną, dwie lub cztery, c) jedną lub dwie, d) dwie, e) jedną lub nieskończenie wiele.
16. a) 1, b) 2, c) 3. 20. 6 cm, 6 cm. 21. Z własności symetralnej wynika, że |BA| = |BC|i |AB| = |AC|. 24. Na części o długościach 4 i 2. 25. Wsk. |�DOA| = |�CAO| = |�OAD|,więc trójkąt OAD jest równoramienny; równoramienny jest też trójkąt OEB. 27. a) 6, b) 4.
28. Okrąg współśrodkowy z danym okręgiem, o promieniu dwa razy większym. 30. Przeciwległe
boki są symetryczne względem punktu przecięcia przekątnych, są więc równoległe i mają jedna-
kową długość. 32. W trzech przypadkach: • trzy proste przecinają się w jednym punkcie • trzy
proste są równoległe i odległości między sąsiednimi prostymi są takie same • dwie proste są rów-
noległe, a trzecia je przecina. 33. a) Cięciwa jest średnicą, b) cięciwy są średnicami lub są
równoległe i mają jednakową długość, c) okręgi są współśrodkowe lub mają równe promienie,
d) odcinki przecinają się w połowie albo są równoległe i mają jednakową długość lub leżą na jed-
nej prostej i mają wspólne punkty. 34. Wsk. Rozważ oddzielnie przypadki, gdy n = 2k i gdy
n = 2k + 1. 35. Por. zadanie 6. str. 201. 38. Trójkąty ABC i A′′B′′C′′ są symetryczne do siebie
względem początku układu współrzędnych. 39. a) x ≤ −2 i y < −1, b) x ≥ 2 i y > 1, c) x ≥ 2
i y < −1. 41. a) (5,1), (1,3), b) (1,1), (−5,1), (1,−3). 42. a) (3,5), (100,− 996), b) (−5,−1),
(−102,1000). 44. (− 94,− 490).
str. 220–222: 1. c) t = 7 13 , d) z = 2 3
13 , e) x = 3,7, f) x = 2,6. 2. a) x = −2, b) x = −5,
c) x = 0,44, d) x = −0,1, e) x = 2,5, f) x = −8. 3. b = 18. 4. a) 9, b) 6. 6. a) 250 par,
b) 810 zł. 9. 30 cm. 10. 1 kg. 11. 2,2 l. 12. 20 losów. 13. 17,5 km. 14. Nie.
15. 60 kg.
str. 225–227: 1. 12 mnichów. 2. 6 dzieweczek. 3. 6 t i 8 t. 4. 27 niziołków. 5. 45 ksią-
żek. 6. 500 m. 7. x = 42, y = 9, z = 1. 8. Ok. 9,3 g. 9. 68 km/h. 10. 4950 butelek.
str. 228–229: 1. a) x = −5,5, b) x = −2, c) x = 57 , d) x = 1
4 . 2. 2432 . 3. 1. 4. 2 1
3 km.
5. 60 km/h. 6. 12 myszy. 7. x = 270. 8. Ok. 636 km. 10. 21 jabłoni. 11. 3 robotników.
12. 15 uczniów. 13. 60 m2. 14. 12 wnuków. 15. 75 W. 16. o 1 m. 17. Do ok. 180 kg.
18. Cyklista: 21 km/h, automobilista: 45,5 km/h. 19. 15 km/h.
SKOROWIDZ
akr 96
Alchwarizmi Muhammed 157
Alkuin 183
algebra 157
Archimedes 226
Bhaskara 183
cechy przystawania trójkątów 83, 84
ćwiartki układu współrzędnych 105
Descartes Rene 105
deltoid 111
Diofantos 124, 183
dwusieczna kąta 199
dźwignia 226
Einstein Albert 179
Euler Leonhard 135
figura osiowosymetryczna 183— środkowosymetryczna 207
figury przystające 82
figury symetryczne do siebie względemprostej 185
— względem punktu 203
Hermann J.M. 99
iloczyn jednomianów 132
iloraz jednomianów 147
jednomian 130— uporządkowany 131
jednomiany podobne 133
jednostki pola 93, 94
Kartezjusz 105
kąt 73
kąt oparty na łuku 112— środkowy 112— wpisany 113
kąty naprzemianległe 74— odpowiadające 74— przyległe 74— wierzchołkowe 74
kolejność wykonywania działań 28
konstrukcja— dwusiecznej kąta 200— kąta o danej mierze 201— prostej prostopadłej do danej pro-
stej 70— przenoszenia kąta 75— równoległej do danej prostej 70— symetralnej odcinka 197— trójkąta 82, 83, 84
kwadrat magiczny 138, 148
Leonardo da Vinci 187
liczby— całkowite 11— naturalne 11— ujemne 31— wymierne 11
Mellis John 62
metoda równań równoważnych 156
mikron 26
nierówności równoważne 173
nierówność 172
niewiadoma 150
odbicie lustrzane 187
odcięta punktu 106
odcinki prostopadłe 69— równoległe 69
oś odciętych 106— rzędnych 106
oś symetrii figury 193
Pick Georg 129
Pitagoras 183
pierwiastek równania 153
planimetr 99
początek układu współrzędnych 104
pola czworokątów 93, 98, 99
prawo rozdzielności mnożenia wzglę-dem dodawania 140
procent 39
promil 66
proporcja 217
proste prostopadłe 69— równoległe 69
przekształcanie wzorów 177
punkt kratowy 129, 208
punkty procentowe 68
punkty symetryczne do siebie wzglę-dem prostej 186
— względem punktu 203
redukcja wyrazów podobnych 134
romb 89
roztwór 168
rozwinięcie dziesiętne liczby 14
rozwiązanie nierówności 172— równania 153
równoległobok 88
równania równoważne 154
równanie 150— pierwszego stopnia 156— sprzeczne 153— tożsamościowe 153
rumb 76
rzędna punktu 106
suma algebraiczna 133
symetralna odcinka 197
symetria względem prostej 185— względem punktu 202
symetrie w układzie współrzęd-nych 210
środek symetrii figury 207
trapez 88
trysekcja kąta 201
twierdzenie— o długościach boków trójkąta 78— o dwusiecznej kąta 200— o kącie wpisanym i kącie środkowym
opartych na tym samym łuku 117— o kącie wpisanym opartym na śred-
nicy 117— o kątach wpisanych opartych na tym
samym łuku 117— o sumie kątów czworokąta 89— o sumie kątów trójkąta 78— o symetralnej odcinka 197
układ współrzędnych 104
ułamki proste 21
Viete Francois 124
Wantzel Pierre 201
wartość bezwzględna liczby 38
wartość liczbowa wyrażenia algebraicz-nego 128
wielkości odwrotnie proporcjo-nalne 223
— wprost proporcjonalne 218
wielokąty przystające 82
wielomian 133
współczynnik liczbowy jednomianu 131
współrzędne punktu 104
wyrazy skrajne proporcji 217— środkowe proporcji 217
wyrazy sumy algebraicznej 133
wyrażenie algebraiczne 124
wyrażenie arytmetyczne 28
wzór Eulera 135— Picka 129
zbiór rozwiązań— nierówności 172— równania 154
MG1 okladM
AT
EM
AT
YK
A 1 ? p
od
rec
zn
ik dla g
imn
az
jum
Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragmentpełnej wersji całej publikacji.
Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji kliknij tutaj.
Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnierozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przezNetPress Digital Sp. z o.o., operatora sklepu na którym możnanabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji. Zabronione sąjakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej zgodyNetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej od-sprzedaży, zgodnie z regulaminem serwisu.
Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepieinternetowym E-ksiazka24.pl.
