Macierze

Dziaªania na macierzach

1. Niech b¦d¡ dane macierze

A =

[1 2−3 0

], B =

[0 −84 12

], C =

[1 2 33 −1 2

], D =

1 2 20 1 05 0 2

,

E =

3 −12 −32 0

, F =

1 2 3 10 0 −1 01 −1 4 06 3 0 1

, G =

0 2 0 1−2 0 1 3

1 0 −3 02 0 0 1

, H =

1 0 0 40 1 1 01 3 −5 1

.

a) Obliczy¢

A+B, 2A− 3B, 12A, 3C, A ·B, B · C, D · E, E · C, AT , CT , DT +D, DT ·H.

b) Czy mo»na wykona¢ nast¦puj¡ce dziaªania?

A+ C, 2C − ET , H · F, HT ·D, (F ·G) ·H, CT ·HT .

2. Wykona¢ podane dziaªania:

a)

[1 n0 1

]·[

1 m0 1

]; b)

[cosα − sinαsinα cosα

]·[

cos β − sin βsin β cos β

];

c)

3 0 32 −3 03 −5 1

· 3 0

2 20 3

; d)

1 35 03 1

· [ 0 1 0 2 01 3 5 7 9

];

f)

1 2 0 02 1 0 00 0 1 30 0 3 1

·

1 1 0 01 1 0 00 0 1 −10 0 −1 1

; g)

1 1 1 −1−5 −3 −4 4

5 1 4 −3−16 −11 −15 14

·

7 −2 3 411 0 3 45 4 3 022 2 9 8

.

1

3. Policzy¢

a)

[1 −23 −4

]3

; b)

[4 −15 −2

]5

; c)

[2 −13 −2

]n; d)

[cosα − sinαsinα cosα

]n;

e)

1 1 1 . . . 10 1 1 . . . 10 0 0 . . . 1. . . . . . .0 0 0 . . . 1

3

; f)

1 1 0 0 . . . 0 00 1 1 0 . . . 0 00 0 1 1 . . . 0 0. . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 0 1

n

;

g) 2 ·

3 0 2 00 1 2 12 3 0 0

·

1 −2 22 −1 1−1 1 −2

2 2 −1

+

−2 0 −30 6 −3−3 −2 0

T .

h)

1 0 2 00 1 0 1−1 2 0 0

0 0 0 1

−1

·

1 −22 −1−1 1

2 2

+

[−2 0 −3 1 1

0 6 −3 1 0

]T.

3. Znale¹¢ macierze odwrotne do macierzy

a)

[2 34 3

], b)

3 −4 52 −3 13 −5 −1

, c)

1 2 22 1 −22 −2 1

, d)

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

.

4. Pomno»y¢ podane macierze w pier±cieniu Z/6.

a)

[1 50 3

]·[

1 40 1

]; b)

[1 24 3

]·[

0 25 4

];

c)

3 0 34 −3 03 −2 1

· 4 0

2 −10 3

; d)

−2 30 0−3 1

· [ 0 1 0 2 01 3 −5 3 2

];

f)

1 2 0 02 1 0 00 0 1 30 0 3 1

·

1 1 0 01 1 0 00 0 1 −10 0 −1 1

; g)

1 1 1 −1−5 −3 −4 4

5 1 4 −34 0 0 1

·

1 −2 3 41 0 3 45 4 3 02 2 5 0

.

2

Macierz odwrotna, transponowana. Równania macierzowe

5. Znale¹¢ macierz odwrotn¡ do macierzy stopnia n

a)

1 1 1 . . . 10 1 1 . . . 10 0 1 . . . 1. . . . . . .0 0 0 . . . 1

, b)

1 1 0 . . . 00 0 1 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . .0 0 0 . . . 1

, c)

1 2 3 4 . . . n− 1 n0 1 2 3 . . . n− 2 n− 10 0 1 2 . . . n− 3 n− 2. . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 1 20 0 0 0 . . . 0 1

.

6. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe

a)

([2 11 0

]· AT

)−1

=

[2 21 0

], b)

1 2 31 2 43 2 1

·X =

−1 23 −11 1

,

7. Wyznaczy¢ macierz

(A− CT

)TAB2, gdzie A =

2 11 3−2 0

, B =

[1 23 4

], C =

[1 1 10 5 1

].

8. Rozwi¡za¢ równania macierzowe

a) X

0 0 20 2 02 0 0

=

1 0 22 0 11 1 1

T , b)

[1 1 00 2 0

] [0 1 21 0 1

]TX =

[2 11 0

].

9. Korzystaj¡c z wªasno±ci dziaªa« na macierzach oraz wªasno±ci transponowa-nia macierzy uzasadni¢ nast¦pujace to»samo±ci

a)

(ABC)T = CTBTAT ,

gdzie A, B, C s¡ macierzami o wymiarach odpowiednio nxm, mxk, kxl,

3

b)

(A±B)2 = A2 ± 2AB +B2,

gdzie A i B s¡ przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samychstopni.

10. Rozwi¡za¢ równanie

a)

1 1 12 4 05 −1 1

·X =

3−5

1

, b)

1 2 3−1 0 2

3 3 3

·X =

2 23 34 6

.

11. Znale¹¢ wszystkie macierze A takie, »e

[1 20 1

]· A = A ·

[1 20 1

].

12. Rozwi¡za¢ równania

a) X − iXT =

[1 −2−3 2

], b) X ·XT −X2 =

[−3 0

1 −1

].

13. Sprawdzi¢, »e macierz A =

[1 −10 2

]speªnia równanie

A2 − 3A+ 2I = 0

i korzystaj¡c z tego faktu pokaza¢,»e

A−1 =1

2(3I − A) ,

gdzie I jest tu macierz¡ jednostkow¡ stopnia drugiego

14. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci macierzy:

a) Ró»nica dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz¡ diagonaln¡.

b) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A− AT jest sko±nie symetryczna .

Macierz kwadratow¡ P nazywamy idempotentn¡ je»eli P 2 = P.

4

c) Je»eli macierz P jest idempotentna, to dla ka»dej macierz A tego samego stopniaco P macierz Q = P + AP − PAP jest idempotentna.

d) Je»eli macierz P jest macierza idempotentn¡, to macierz Q = I − aP jest

odwracalna dla a 6= 1 i Q−1 = I +a

1− aP.

e) Je»eli macierze B i BC s¡ odwracalne, to macierz C jest odwracalna.

Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowychmetod¡ Gaussa

Nast¦puj¡ce ukªady równa« rozwi¡za¢ stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa:

a) x+ y + 2z = 1 b) − 2x+ 3y + 3z = −9 c) x+ y + z = 4

3x− y + z = −1 3x− 4y + z = 5 x + z = 5

−x+ 3y + 4z = 1 − 5 x+ 7y + 2z = −14 2x+ 5y + 2z = 5,

d) x1 + 3x2 + x3 = 4 e) 3x1 + x2 − 2x3 = 11

−3x1 + x2 = 4 − 2x1 + x2 + 3x3 = −5

2x1 + 3x2 + x3 = 3, 2x1 + x2 − x3 = 8,

f) x1 − 3x2 − x4 = −1 g) x1 − x2 + x3 − 2x4 + x5 = 0

−x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3 3 x1 + 4x2 − x3 + x4 + 3x5 = 1

2x1 − 6x2 + x3 − x5 = −1 x1 − 8x2 + 5x3 − 9x4 + x5 = −1

−x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 + x5 = 6, 2 x1 − 9x2 + 6x3 + 11x4 + 2x5 = −1.

h) 6 x1 − 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 i) 2 x1 − x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 2

3 x1 − 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3 6 x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5 = 3

3 x1 − 2x2 − 2x3 + x4 = −7 6 x1 − 3x2 + 4x3 + 8x4 + 13x5 = 9

9 x1 − 6x2 + 3x3 + 3x4 + 2x5 = 2, 4 x1 − 2x2 + x3 + x4 + 2x5 = 1,

j) x1 − x2 + 2x3 − x4 + x5 = 0 k) 2x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 1

x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 1 x1 − 2x2 + x3 − x4 − x5 = −1

x1 + 2x3 − x4 = −1, 5x1 − 2x2 − 4x5 = 0,

5

l)

2x + 3y + 2z − t = 32x + y + z + 2s + 3t = 63x − z + s + t = 3

y + 4s + t = 12x + y + z − 2s + 5t = 8.

Wyznaczniki

1. Policzy¢ wyznaczniki:

a)

∣∣∣∣ 1 32 4

∣∣∣∣ , b)

∣∣∣∣ i 1− i2i 1

∣∣∣∣ , c)

∣∣∣∣ sinα cosα− cosα sinα

∣∣∣∣ , d)

∣∣∣∣ z −_zz_

z

∣∣∣∣ ,

e)

∣∣∣∣∣∣1 1 1−1 0 1−1 −1 0

∣∣∣∣∣∣ , f)

∣∣∣∣∣∣0 1 11 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ , g)

∣∣∣∣∣∣a a a−a a x−a −a x

∣∣∣∣∣∣ , h)

∣∣∣∣∣∣1 i 1 + i−i 1 0

1− i 0 1

∣∣∣∣∣∣ ,

i)

∣∣∣∣∣∣1 1 11 ω ω1 ω2 ω

∣∣∣∣∣∣ , gdzie ω = cos 2π3+ i sin 2π

3; j)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

k)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 −11 i −1 −i1 1 1 11 2 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ , l)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 i 0 10 0 0 0 20 0 2 i 0

cosx − sinx 0 0 0sin x cosx 2 i 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, ª)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6 9 4 3 89 0 6 0 04 2 5 0 72 0 7 0 18 0 5 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

2. Elementy macierzy A oraz A−1 s¡ liczbami caªkowitymi. Jaka jest warto±¢wyznacznika macierzy A?

3. Nie obliczaj¡c wyznaczników znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 2 2 4x− 22 2 2 43 x+ 2 3 6

x+ 1 4 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x 2 4x−1 1 −2 −41 −1 x2 − 2 x+ 3−1 1 −2 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

4. Obliczy¢ podane wyznaczniki stopnia n:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 · · · n−1 0 3 · · · n−1 −2 0 · · · n...

......

. . ....

−1 −2 −3 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 2 · · · 22 1 2 · · · 22 2 1 · · · 2...

......

. . ....

2 2 2 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 0 · · · 0 10 0 0 · · · 1 0...

......

. . ....

...1 0 0 · · · 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

6

5. Jakie s¡ mo»liwe warto±ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnian, je»eli:

a) A2 = 8A−1; b) A3 − A = 0; c) AT = 4A−1?

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o macierzy odwrotnej znale¹¢ macierze odwrotnedo podanych macierzy:

a)

[2 41 3

], b)

[cosα − sinαsinα cosα

], gdzie α ∈ R; c)

1 3 01 4 01 1 1

.

7. Policzy¢ wyznaczniki:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣−x a b ca −x c bb c −x ac b a −x

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 31 2− x2 2 32 3 1 52 3 1 9− x2

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + x 1 1 1

1 1 + x 1 11 1 1− z 11 1 1 1− z

∣∣∣∣∣∣∣∣

8. Niech A i B b¦d¡ macierzami tego samego stopnia. Wskaza¢ którez podanych ni»ej wzorów s¡ ogólnie prawdziwe. Do wzorów nieprawdziwychpoda¢ kontrprzykªady.

a) det (A+B) = detA+ detB;

b) det (λA) = λ detA, gdzie λ ∈ R;

c) det (A2) = detA det(AT ).

Wyznacznikiem Vandermonde'a nazywamy wyznacznik postaci

Vn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 x2

1 · · · xn−11

1 x2 x22 · · · xn−1

2...

......

. . ....

1 xn x2n · · · xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∏

1≤l<k≤n

(xk − xl).

9. Wykaza¢, »e

7

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 · · · 11 2 4 · · · 2n−1

1 3 9 · · · 3n−1

......

.... . .

...1 n n · · · nn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∞∏k=1

k! ; b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 . . . n1 22 32 · · · n2

......

.... . .

...1 2n 3n · · · nn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∞∏

k=1

k! .

Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A = [aij]stopnia n nazywamy wyznacznik postaci

ω (λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

10. Znale¹¢ wielomian charakterystyczny macierzy diagonalnej stopnia nktóra na gªównej przek¡tnej ma kolejne liczby naturalne.

8