Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia

Spis treści

1 Zdania logiczne i tautologie 1

2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2

3 Algebra zbiorów 3

4 Różnica symetryczna 4

5 Iloczyn kartezjański 5

6 Kwantyfikatory. 5

7 Relacje 7

8 Relacje porządku i równoważności 8

9 Funkcje 9

10 Działania uogólnione 11

Podstawy logiki i teorii zbiorów –Ćwiczenia

Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie

Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0

a) p∧ ∼ q e)[(p ∨ q) =⇒ p)] ∧ (p⇐⇒ q)

b) ∼ (p⇐⇒ q) f)∼ (p ∧ q)⇐⇒ (∼ p∧ ∼ q)

c) (p ∨ q)⇐⇒∼ q g)(p =⇒ q)⇐⇒ (q ∨ p)d) (p =⇒ q) =⇒ p h)p =⇒ (q =⇒ p)

Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadaniaprzy podstawieniu w(p) = 0, w(q) = 1.

Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0, w(r) = 1

a) (∼ p ∧ q) ∨ r b) ∼ p ∧ (q ∨ r)c) ∼ (p ∧ q) ∨ r d) ∼ (p ∨ q) ∧ re) (∼ p =⇒ q) =⇒ r f) ∼ p =⇒ (q =⇒ r)

g) ∼ (p =⇒ q) ∨ r h) ∼ (p =⇒ q) ∧ r

Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdaniaa) (2 < 3) ∨ (2 > 3) b) (2 < 3) =⇒ (2 > 3)

c) (2 < 3)⇐⇒ (2 > 3) d) (2 < 3) ∧ (2 = 3)

e) (2 = 3) ∨ (2 > 3) f) (2 = 3) ∧ (2 > 3)

g) (2 = 3)⇐⇒ (2 > 3) h) (2 = 3) =⇒ (2 > 3)

Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki.

[(p ∨ q) ∧ (∼ p)]⇒ q

[(p⇒ q)⇒ [(p ∧ r)⇒ q]

[(p ∨ q) ∧ (p⇒ q)]⇒ (q ⇒ p)

p⇒ [(∼ p) ∨ q]p⇒ [(∼ p)⇒ q]

Zadanie 1.6. Wiedząc, że w(p ∨ q) = 0 określ wartość logiczną zdania q =⇒ p.

Zadanie 1.7. Wiedząc, że w(p ∧ q) = 1 określ wartość logiczną zdania q =⇒ p.

Zadanie 1.8. Wiedząc, że w(q =⇒ p) = 0 określ wartość logiczną zdania p∨(q =⇒ p).

Zadanie 1.9. Wiedząc, że w((p ∧ q) =⇒ r) = 0 określ wartość logiczną wyrażenia

(q ∧ r)⇐⇒ (∼ p) ∨ (q =⇒ r).

Renata Wiertelak 1

Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia 2015

Zestaw 2. Zdania logiczne i tautologie c.d.

Zadanie 2.1. Wiedząc, że w(p ∨ q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń

(p ∨ q) ∨ (p ∧ q){[r =⇒ (p ∨ q)] ∨ [(p ∨ q) =⇒ (∼ r)]} =⇒ (p ∨ q ∨ r).

Zadanie 2.2. Wiedząc, że w(p ∧ q) = 0 określ wartość logiczną wyrażeń

(p ∨ q) ∧ (p ∧ q){[(p ∧ q) =⇒ r] ∨ [(p ∨ q) =⇒ (∼ r)]} =⇒ (p ∧ q ∧ r).

Zadanie 2.3. Wiedząc, że w(p⇒ q) = 1 określ wartość logiczną wyrażenia

[r =⇒ (p⇒ q)] =⇒ [(p ∨ q) ∨ (p⇒ q)].

Zadanie 2.4. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki.

[(∼ p) ∧ q]⇒ [(∼ (q ⇒ p)) ∧ (p⇒ q)]

[(p ∨ q)⇒ r]⇒ [(r ⇒ p) ∨ (r ⇒ q)]

[(p ∧ s)⇒ (q ∨ r)]⇒ [(p⇒ q) ∨ (r ⇒ s)]

[(p⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] ∨ [(p ∨ q)⇒ r]

[(q ⇒ p) ∨ (p⇒ q)] ∨ [(∼ p) ∨ q][(∼ p)⇒ q] ∨ [(∼ (q ⇒ p)) ∨ (p⇒ q)]

[(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (t⇒ u)]⇒ [(p ∧ r ∧ t)⇒ (q ∧ s ∧ u)]

Zadanie 2.5. Określ wartość logiczną zdania i zapisz jego negację:

a) Słowacja jest sąsiadem Polski lub Hiszpania jest sąsiadem Polski.

b) Jeżeli Sieradz jest stolicą Czech, to Ewa jest matematykiem.

c) Pies jest ssakiem wtedy i tylko wtedy, gdy kot jest ssakiem.

d) Jeżeli z faktu, że nie mam psa wynika, że mam psa, to mam psa.

e) Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam rybki, to wtedy nie mam rybek.

f) Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam psa, to nie mam kota lub mam psa.

Zadanie 2.6. Sformułuj negację podanych zdań.

a) Jeżeli Zosia ma psa, to Zosia nie ma psa lub Zosia jest alergikiem.

b) Jeżeli Piotr ma kota, to Piotr jest informatykiem i Piotr ma chomika.

c) Jeżeli Adam ma kota i Adam nie ma kota, to Adam ma rybki.

d) Jeżeli Ania ma kota lub Ania jest matematykiem, to wtedy Ania jest informatykiem.

Renata Wiertelak 2

Podstawy logiki i teorii zbiorów –Ćwiczenia 2015

Zestaw 3. Algebra zbiorów

Zadanie 3.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je (jeśli jest tomożliwe). Zakładamy, że a 6= b 6= c 6= a

A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}}

C = {x ∈ N : x2 ≤ 25} D = {x ∈ Q : x2 = 16}

E = {x ∈ R : x2 + 9 < 0} F = {x ∈ R : x2 + 9 > 0}

Zadanie 3.2. Jakie relacje zachodzą między zbiorami A i B?

a) A = (3, 5) B = (2, 6) b) A = (0, 1) ∪ {2} B = {0, 1, 2}

c) A = [1, 2] B = (0, 1) ∪ {2} d) A = {x ∈ R : x2 = 16} B = {4}

Zadanie 3.3. Oblicz A ∪B, A ∩B, A \B, B \ A, A′, B′.

a) A = {x ∈ N : x ≤ 6} B = {x ∈ N : x > 2}; b) A = [2,∞) B = (1, 6);

c) A = (−∞, 2) B = [3,∞); d) A = (−∞, 3] B = (3, 6);

e) A = (0, 2) ∪ {3} B = [2, 3] ∪ {1}; f) A = [2, 3] B = (3, 6);

g) A = [1, 2] ∪ {3} B = [2, 3] ∪ {1}; h) A = [2, 3] B = [3, 6];

Zadanie 3.4. Sprwadź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości:

A \B = (A ∪B) \BA \B = A \ (A ∩B)

A ∪B = (A \B) ∪BA ∩B = A \ (A \B)

A ∩ (A ∩B) = B

(A ∪B ∪ C) \ (A ∪B) = C

(A \ C) ∪B = A ∪BA \ (B ∪ C) = (A \B) \ C

Renata Wiertelak 3

Logika i teoria mnogości–Ćwiczenia 2015

Zestaw 4. Różnica symetryczna

Zadanie 4.1. Oblicz:a) {1, 2, 3} 4 {3, 4, 5}; b) {1, 2, 3} 4 [1, 3];

c) (2, 5)4 [6, 8]; d) (0,∞)4 (5, 8];

e) (0,∞)4 (−∞, 2); f) [2,∞)4 (0, 2];

Zadanie 4.2. Rozwiąż równanie:

a) {1, 2} 4 A = {4, 5}; b) A4 {1, 2, 3} = {3, 4};

c) [1, 3]4 A = (1, 3); d) A4 (2, 6] = (0, 4];

e) (5,∞)4 A = (0, 2]; f) A4 [2,∞) = (4, 6);

Zadanie 4.3. Uprość wyrażenie:

a) A \ (A ∩B) b) (A ∩B) \ A

c) (A \B) ∪B d) (A \B) ∩B

e) (A ∩B) ∪ A f) (A \B) \ C

g) A \ (A ∪B) h) (A ∪B) \ A

i) A4 (A ∪B) j) (A4B) \ (A ∪B)

Zadanie 4.4. Jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami jeśli:

a) A \ (A ∩B) = A b) (A ∪B) \ A = B \ A

c) (A ∩B) \ C = A d) A ∩ (B \ C) = ∅

e) (A ∩B) \ C = ∅ f) (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

g) (A4B) = A ∪B h) (A4B)4 C = C

Zadanie 4.5. Podaj przykład zbiorów dla których podana równość zachodzi oraz przy-kład zbiorów dla których podana równość nie zachodzi:

a) (A ∪B) \ A = B b) (A4B) = A

c) (A ∩B) \ C = ∅ d) A ∩ (B \ C) = ∅

e) (A ∪B ∪ C) \ (A ∪B) = C f) (A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

g) (A4B) = A ∪B h) (A4B)4 C = CRenata Wiertelak 4


Zestaw 5. Iloczyn kartezjański

Zadanie 5.1. Niech A = [1, 3], B = (2, 3), S = {1, 2, 3}, T = {4, 5}. Wypisz lubnarysuj zbiory:

a) S × T ; b) (S ∩ T )× (A ∪B); c) (A4B)× (S ∪ T );

d) A×B; e) (S ∪ T )× (A ∩B); f) (S 4 T )× (A \B);

Zestaw 6. Kwantyfikatory.

Zadanie 6.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.a) ∃x∈R x2 = 2x; b) ∀x∈R x2 = 2x; c) ∃x∈R x2 < 0;

d) ∀x∈R x2 > 0; e) ∃x∈N x2 = 3; f) ∀x∈N x2 + 1 > 0;

Zadanie 6.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.

a) ∃x∈R (x = 2 ∧ x < 0); b) ∃x∈R x = 2 ∧ ∃x∈R x < 0;

c) ∃x∈R (x = 2⇒ x < 0); d) ∃x∈R x = 2 ⇒ ∃x∈R x < 0;

e) ∀x∈R (x2 > 0⇒ x < 0); f) ∀x∈R x2 > 0 ⇒ ∀x∈R x < 0;

Zadanie 6.3. Wyznacz zmienne wolne i związane podanych funkcji zdaniowych oraznarysyj ich wykresy. Zbiory X, Y oznaczają zakres zmienności zmiennych x i y.

a) x2 − 1 ≥ 0, X = R; b) x 6= x, X = Z;

c) ∃xx = y, X = Y = R; d) xy ≤ 1, X = Y = R;

e) ∃x xy = 1, X = Y = R; f) ∀y xy ≥ 1, X = Y = R;

Zadanie 6.4. Zapisz następujące zdania za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicz-nych i działań arytmetycznych. Następnie określ wartość logiczną podanego wyrażeniaoraz zapisz jego negację.

1. Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2;

2. Dla wszystkich liczb rzeczywistych x mamy, że 2x = x;

3. Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z2 + 2z + 1 = 0;

4. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z2 + 2z + 1 ≤ 0;

5. x jest liczbą nieparzystą;

6. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y większa od niej;Renata Wiertelak 5


7. Nie istnieje największa liczba naturalna;

8. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że iloczyn tych liczbjest mniejszy niż 5.

9. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że różnica tych liczbjest niewiększa niż 5.

Zadanie 6.5. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.

a) ∃n∈N

∃m∈N

nm = 10 b) ∀x∈R\{0}

∃y∈R\{0}

xy = 1 c) ∀y∈R

∃x∈R

y = x2

d) ∃x∈R

∀y∈R

xy = 0 e) ∃y∈R\{0}

∀x∈R\{0}

xy = 1 f) ∃x∈R

∀y∈R

y = x2

Zadanie 6.6. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕ(x), ψ(x) oraz X dla których po-dane zdania są fałszywe.(

∀x∈X

ϕ(x) ⇔ ∀x∈X

ψ(x)

)=⇒ ∀

x∈X(ϕ(x) ⇔ ψ(x))

∃x∈X

[ϕ(x)⇔ ψ(x)] =⇒[∃

x∈Xϕ(x)⇔ ∃

x∈Xψ(x)

](∃

x∈Xϕ(x) ∧ ∃

x∈Xψ(x)

)=⇒ ∃

x∈X(ϕ(x) ∧ ψ(x))(

∀x∈X

ϕ(x) ∧ ∃x∈X

ψ(x)

)=⇒ ∀

x∈X[ϕ(x)⇔ ψ(x)](

∀x∈X

ϕ(x)⇒ ∃x∈X

ψ(x)

)=⇒ ∀

x∈X[ϕ(x)⇒ ψ(x)]

Zadanie 6.7. Czy podane wyrażenie jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

∀x∈X

(ϕ(x) ⇔ ψ(x)) =⇒(∀

x∈Xϕ(x) ⇔ ∀

x∈Xψ(x)

)[∃

x∈Xϕ(x)⇔ ∃

x∈Xψ(x)

]⇒ ∃

x∈X[ϕ(x)⇔ ψ(x)]

∀x∈X

[ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇒(∃

x∈Xϕ(x)⇒ ∀

x∈Xψ(x)

)(∀

x∈Xϕ(x) ∧ ∃

x∈Xψ(x)

)⇒ ∃

x∈X[ϕ(x) ∨ ψ(x)][

∀x∈X

ϕ(x)⇒ ∃x∈X

ψ(x)

]⇒(∀

x∈Xψ(x) ∨ ∃

x∈Xϕ(x)

)(∀

x∈Xψ(x) ∨ ∃

x∈Xϕ(x)

)⇒[∀

x∈Xϕ(x)⇒ ∃

x∈Xψ(x)

]Renata Wiertelak 6


Zestaw 7. Relacje

Zadanie 7.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz i narysuj wszystkiepary należące do relacji R ⊂ S × T .

1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x+ y ≤ 10;

2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x+ y = 11;

3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x+ y jest nieparzyste;

Zadanie 7.2. Niech S = {2, 4, 6, 8}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące dorelacji R ⊂ S × S. Następnie zbadaj które własności (zwrotność, przeciwzwrotność,symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja?

1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x+ y ≤ 10;

2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x+ y = 10;

3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x+ y jest parzyste;

Zadanie 7.3. Które własności (zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsyme-tria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja?

1. x, y ∈ S, x%y ⇐⇒ x+ y jest nieparzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4};

2. x, y ∈ S, x%y ⇐⇒ x− y = 2, S = {0, 1, 2, 3, 4};

3. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ |x| = |y|;

4. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x− y jest parzyste;

5. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ |x| < |y|;

6. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ |x− y| < 1;

7. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ xy < 0;

8. A,B ⊂ R, A%B ⇐⇒ A ⊂ B;

9. A,B ⊂ N, A%B ⇐⇒ A \B jest zbiorem skończonym;

10. x, y-ludzie, xSy ⇐⇒ x oraz y są tej samej płci;

11. x, y-ludzie, xTy ⇐⇒ x nie jest niższy niż y;

12. (a, b), (n,m) ∈ N2, (a, b)S(n,m) ⇐⇒ a+m = n+ b;

13. (a, b), (n,m) ∈ Z2, (a, b)T (n,m) ⇐⇒ am = nb;

Renata Wiertelak 7


Zestaw 8. Relacje porządku i równoważności

Zadanie 8.1. Czy podana relacja jest relacją częściowego porządku lub równoważności?

1. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x dzieli y;

2. x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ |x− 3| = |y − 3|;

3. x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ |x− 2| · |y − 2| ≥ 0 ∧ |x− 2| ≥ |y − 2|;

4. x, y ∈ {−3,−2,−1, 0, 1, 2}, x%y ⇐⇒ |x+ 1| ≥ |y + 1|;

5. (a, b), (n,m) ∈ N2, (a, b)%(n,m) ⇐⇒ (−1)a+b = (−1)m+n;

6. (a, b), (n,m) ∈ Z2, (a, b)%(n,m) ⇐⇒ (−1)ab = (−1)mn;

7. (a, b), (n,m) ∈ N2, (a, b)%(n,m) ⇐⇒ a ≤ n ∧ b ≤ m;

8. A,B ⊂ R, A%B ⇐⇒ 5 ∈ (A ∩B) ∨ (5 /∈ (A ∪B);

9. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tego samego rodzica;

10. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tę samą matkę;

11. (a, b), (n,m) ∈ Z× Z \ {0}, (a, b)S(n,m) ⇐⇒ am = nb;

Zadanie 8.2. Dla podanej relacji równoważności wyznacz jej klasy abstrakcji.

1. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x− y jest parzyste;

2. x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ |x− 3| = |y − 3|;

3. (a, b), (n,m) ∈ N2, (a, b)%(n,m) ⇐⇒ (−1)a+b = (−1)m+n;

4. (a, b), (n,m) ∈ Z2, (a, b)%(n,m) ⇐⇒ (−1)ab = (−1)mn;

5. x, y-ludzie, xSy ⇐⇒ x oraz y są tej samej płci;

6. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tę samą matkę;

7. (a, b), (n,m) ∈ N2, (a, b)R(n,m) ⇐⇒ a+m = n+ b;

Zadanie 8.3. Dla podanej relacji częściowego porządku wyznacz elementy minimalneoraz maksymalne.

1. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x dzieli y;

2. x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ (x− 3) · (y − 3) ≥ 0 ∧ |x− 3| ≥ |y − 3|;

3. x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ (x− 2) · (y − 2) ≥ 0 ∧ |x− 2| ≤ |y − 2|;

4. x, y ∈ {−3,−2,−1, 1, 3}, x%y ⇐⇒ |x+ 1| ≥ |y + 1|;

5. (a, b), (n,m) ∈ N2, (a, b)%(n,m) ⇐⇒ a ≤ n ∧ b ≤ m;

Renata Wiertelak 8


Zestaw 9. Funkcje

Zadanie 9.1. Czy podana relacja R ⊂ X×Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można takzmienić zbiory X, Y aby była.

1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ |x| = |y|, R ⊂ R× R;

2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 = y3, R ⊂ N× Z;

3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x3 = y2, R ⊂ N× Z;

4. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y2, R ⊂ R× R;

5. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x4 = y3, R ⊂ N× Z;

6. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y3, R ⊂ R× R;

7. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 + y2 = 9, R ⊂ R× R;

Zadanie 9.2. Czy podana funkcja f : R→ R jest różnowartościowa, "na" R?a) f(x) = 2x+ 3; b) f(x) = x2 − 4; c) f(x) = |x+ 3|;

d) f(x) = x3 − 1; e) f(x) = (x− 1)3; f) f(x) = 3√x− 1;

Zadanie 9.3. Czy podana funkcja f : R→ R jest różnowartościowa, "na" R?a) f(x) = 3x− 1; b) f(x) = |1− x|; c) f(x) = |x+ 2|;

d) f(x) = x2 − 1; e) f(x) = (x− 1)2; f) f(x) = (x− 2)2 + 2;

Zadanie 9.4. Wyznacz f([0, 1)), f((0, 1)), f−1([0, 1)), f−1((0, 1)).a) f(x) = 3x− 1; b) f(x) = |1− x|; c) f(x) = |x+ 2|;

d) f(x) = x2 − 1; e) f(x) = (x− 1)2; f) f(x) = (x− 2)2 + 2;

Zadanie 9.5. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S → S są różno-wartościowe, "na", mają funkcję odwrotną?

a) f(n) = n; b) f(n) = 3;

Zadanie 9.6. Wskazać wszystkie funkcje f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} takie, że f({1, 2}) ={3}.

Renata Wiertelak 9


Zadanie 9.7. Czy podana funkcja jest różnowartościowa, "na", ma funkcję odwrotną?

1. f : N→ N;⇐⇒ f(n) = n2;

2. f : Z2 → Z;⇐⇒ f(n, k) = n2;

3. f : R2 → R2;⇐⇒ f(n, k) = (2n+ k, n− 3k);

4. f : N→ N;⇐⇒ f(n) = n2 + k2;

5. f : Z2 → Z;⇐⇒ f(n, k) = n2 − k2;

6. f : N2 → N2;⇐⇒ f(n, k) = (n+ k, n− k);

Zadanie 9.8. Oblicz podane obrazy i przeciwobrazy.

1. f : N2 → N; f(n, k) = nk; f({2}×2N−1) f(2N×2N) f−1{1}, f−1{3}, f−1{2N}

2. f : N2 → N; f(n, k) = min(n, k); f{(2, 28)}, f{2N× 2N}, f−1{1} −1{2N}

Zadanie 9.9. Zbadaj czy funkcja f : R→ R określona wzorem

f(x) =

{2x+ 4 dla x < 0

x− 2 dla x ≥ 0

jest różnowartościowa i "na"R. Wyznacz f((−3, 3)), f((0, 3)), f−1((0, 4)) oraz f−1((−3, 0)).


f(x) =

{1− x dla x < −1x− 1 dla x ≥ −1

jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f((−2, 1)), f((−2,−1]), f−1([−3, 0)) orazf−1(−4,−2)).


f(x) =

{4− x dla x < 2

3− 2x dla x ≥ 2

jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f−1([0, 3]) oraz f([−3, 0]).


f(x) =

{3x+ 1 dla x > −2x− 3 dla x ≤ −2

jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f−1([0, 3]) oraz f([−3, 0]).

Renata Wiertelak 10

Wstęp do matematyki –Ćwiczenia 2015

Zestaw 10. Działania uogólnione

Zadanie 10.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów oraz ich do-pełnień

An =

(− 1

n+ 1, 1 +

1

n

]Bn =

[1

n+ 1, 2− 1

n

)Cn = [0, n);

Dt =

((−1)n, 2− 1

n+ 2

]Et =

(1− 1

4n, 3− 1

n

)Fn = [−n, n+ 1);

Gn = {1, 2, . . . , n} Hn =

[(−1)n

n, 5

)In = (n, n+ 1];

Zadanie 10.2. Oblicz⋃

n∈NAn,⋂

n∈NAn,⋃

n∈N(R \ An),⋂

n∈N(R \ An).

a) An = {x ∈ R : x > 2n}, n ∈ Z

b) An = {x ∈ R : |x| ≥ n}, n ∈ N

c) An = {x ∈ R : |x+ 3| < n}, n ∈ N

d) An =

{x ∈ R : 1 + (−1)n ≤ x ≤ 3 +

(−1)n

n

}, n ∈ N

e) An ={x ∈ R : (−1)n

n < x < n}, n ∈ N

f) At ={x ∈ R : (−1)n < x < 3

n

}, n ∈ N

g) An = {x ∈ R : n ≤ x < n+ 1}, n ∈ N

h) An = {x ∈ R : n ≤ x ≤ n+ 1}, n ∈ Z

Zadanie 10.3. Wyznacz⋃

n∈NAn,⋂

n∈NAn jeżeli

a)⋃

n∈N(R \ An) = [−3, 0),⋂

n∈N(R \ An) = (−2,−1]

b)⋃

n∈N(R \ An) = (0,∞),⋂

n∈N(R \ An) = [5,∞)

c)⋃

n∈N(R \ An) = R,⋂

n∈N(R \ An) = R \ N

d)⋃

n∈N(R \ An) = R \ N,⋂

n∈N(R \ An) = ∅

e)⋃

n∈N(R \ An) = Z,⋂

n∈N(R \ An) = N

Renata Wiertelak 11

Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia

Documents

Transcript of Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia