Logarytmy

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

LOGARYTMY

Definicje

Najwazniejsze w caej zabawie z logarytmami to zrozumiec, co to jest logarytm.

Wyrazenie loga b jest rwne odpowiedzi na pytanie:do jakiej potegi nalezy podniesc a, zeby otrzymac b?

To zdanie nalezy traktowac jako definicje logarytmw i koniecznie trzeba je zapamietac jest to klucz do wszystkich ich wasnosci. Przy pomocy wzorkw zapisuje sie to w postaci

loga b = x b = ax

Od reki mozemy policzyc kilka prostych przykadw w kazdym z nich sprbujcie samo-dzielnie zgadnac odpowiedz i nie potrzebujemy do tego zadnych wzorw!

log2 23 = 3

log3 81 = 4log4 4 = 1log3 1 = 0

log515= 1

log2

2 =12

log 13

9 = 2log0,5 8 = 32log2 19 = 19.

Jezeli ktos nie rozumie powyzszych rwnosci to ma mae szanse na sprawne posugiwaniesie logarytmami, dlatego radze sie poprzygladac do skutku.

Jezeli rozumiemy juz te wzorki, to powinny byc jasne odrobine oglniejsze rwnosci:

loga a = 1loga 1 = 0

aloga b = b

loga1b= loga b

log 1ab = loga b.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Tego typu wzory bywaja bardzo uzyteczne, ale jezeli pamietamy (i rozumiemy) definicjelogarytmu, to nie trzeba ich sie uczyc na pamiec, sa one wtedy dosc oczywiste.

Dla przykadu popatrzmy na trzeci wzorek: loga b to jest taka liczba, ze jak podniesiemydo niej a to wyjdzie b. I co robimy? podnosimy do niej a, wiec wychodzi b.

Dla treningu przeczytajmy jeszcze czwarty wzorek. Wiemy, ze jak podniesiemy a do po-tegi loga b to wyjdzie b. Jezeli wiec podniesiemy a do potegi loga b to wyjdzie b1 = 1b .

Obliczmy a3b6 jezeli log2 a = 1 i log3 b = 13 .Z definicji logarytmu wiemy, ze 21 = a i 3 13 = b. Zatem

a3b6 =(

21)3 (3 13)6 = 32

23=

98

.

Wzorki

W przypadku bardziej skomplikowanych wyrazen, np. log2 3 nie jestesmy w stanie obliczyctej liczby dokadnie jest to po prostu potega do jakiej trzeba podniesc 2, zeby wyszo 3. Jestto pewna liczba niewymierna, mniej wiecej rwna 1,58496... (powinno byc jasne, ze musibyc miedzy 1 a 2, bo 21 = 2 i 22 = 4). Symbol log2 3 nalezy traktowac jako oznacznie tejliczby. Pomimo, ze nie znamy jej dokadnej wartosci, mozemy jednak o niej cos powiedziec,np. bezposrednio z definicji wiemy, ze 2log2 3 = 3. Sa tez ciekawsze wasnosci.

Sprawdzmy ze log2 6 = 1+ log2 3.Myslimy o tym nastepujaco: do jakiej potegi trzeba podniesc 2, zeby wyszo 6? Po-niewaz 6 = 2 3, musimy podniesc 2 do potegi 1 (dwjka w rozkadzie) i jeszcze dolog2 3 (trjka w rozkadzie).

Sytuacja jest podobna jak z pierwiastkami: mao kto potrafi podac nawet przyblizona war-tosc

213, ale jest jasne, ze (

213)2 = 213 czy 2

213 =

852.Pomimo, ze takie kombinowanie nie jest bardzo trudne, mozna to zrobic szybciej korzy-

stajac z nastepujacych wzorw:

loga(bc) = loga b+ loga c

loga1b= loga b

logabc= loga b loga c

loga bn = n loga b

loga b =logc blogc a

loga b =1

logb a.



Nie bedziemy tych wzorkw uzasadniac, zamiast tego krtko je omwimy. Pierwszy wzr,ktry jest natychmiastowa konsekwencja wzoru xm+n = xmxn, jest zdecydowanie najwaz-niejsza wasnoscia logarytmw. Mozna go czytac tak: suma logarytmw to logarytm ilo-czynu. Wzr ten pojawia sie w wiekszosci zadan z logarytmami zapamietac nalezy, zelogarytmy dobrze zachowuja sie przy dodawaniu.

log6 2+ log6 3 = log6 6 = 1.

Drugi wzr to prosta konsekwencja definicji (mozna tez go traktowac jako przypadek szcze-glny 4 wzoru).

log16 0, 25 = log16 4 = 12

.

Trzeci wynika natychmiast z pierwszych dwch i z grubsza mwi, ze logarytmy dobrze siezachowuja przy odejmowaniu.

log7635 log7

95= log7

63595= log7 7 = 1.

Czwarty wzr, wynikajacy z rwnosci (xm)n = xmn, bywa bardzo uzyteczny w rachunkach,bo pozwala wyciagac potegi przed logarytm.

log7 32log7 8

=log7 2

5

log7 23=

5 log7 23 log7 2

=53

log2 3 log9 2 = log9 2log2 3 = log9 3 =12

Przedostatni wzr to tzw. wzr na zmiane podstawy logarytmu. Jak nazwa wskazuje po-zwala dowolnie zmieniac podstawe logarytmu.

log9 27 =log3 27log3 9

=32

.

Jeszcze jeden przykad na ostatni wzr.

1log2 6

+1

log3 6= log6 2+ log6 3 = log6 6 = 1.



Logarytm dziesietny i naturalny

Jak zrobic tablice logarytmw? w zasadzie sie nie da, bo loga b ma dwa argumenty i ta-kie tablice byyby ogromne. Z drugiej strony, mamy wzr na zmiane podstawy logarytmu iwystarczy znac logarytmy przy jednej ustalonej podstawie. Dlatego wyrznia sie dwie pod-stawy: 10 i e = 2, 718 . . .. Logarytm przy podstawie 10 nazywa sie dziesietnym i oznaczalog b = log10 b, a przy podstawie e naturalnym i oznacza ln b = loge b.

O ile nie trzeba specjalnie tumaczyc dlaczego logarytm przy podstawie 10 jest wyrz-niony, to aby dobrze zrozumiec fenomen logarytmu naturalnego trzeba znac pochodne poniewaz pochodne znikney ze szkoy, logrytm naturalny tez w zasadzie jest w niej margi-nalizowany, warto jednak wiedziec, ze taki jest.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Pamietajmy, ze wzory na sume i rznice logarytmw wymagaja, aby logarytmy miay tesama podstawe. Jezeli nie maja, to mozemy sprbowac ja zmienic ze wzoru na zamianepodstawy logarytmu.

log2 5+ log4 5 = log2 5+log2 5log2 4

= log2 5+12

log2 5 =

= log2 5+ log2 512 = log2 5

5.

2Czasem moze spotkac sie z potrzeba uproszczenia wyrazenia, w ktrym mamy iloczynylogarytmw, np.

log212 4+ log12 3 log12 48.Poniewaz nie ma wzoru na iloczyn logarytmw w takiej sytuacji staramy sie wyaczycwsplny czynnik przed nawias i skorzystac ze wzoru na sume logarytmw.

log212 4+ log12 3 log12 48 = log212 4+ log12 3 log12(4 12) == log212 4+ log12 3 (log12 4+ log12 12) == log212 4+ log12 3 log12 4+ log12 3 == log12 4 (log12 4+ log12 3) + log12 3 == log12 4 log12 12+ log12 3 == log12 4+ log12 3 = log12 12 = 1.



3

Wprawdzie wzr na logarytm iloczynu zwykle podaje sie tylko dla dwch liczb, ale jest onprawdziwy dla dowolnej liczby czynnikw.

loga(x1x2 xn) = loga x1 + loga x2 + + loga xn.

Obliczmy sume

log1

100+ log

299

+ log3

98+ . . . + log

992+ log

1001

.

Ze wzoru na logarytm iloczynu, suma ta jest rwna:

log(

1100 2

99 3

98 . . . 98

3 99

2 100

1

)= log 1 = 0.

4

Duza liczba wzorkw z logarytmami sprawia, ze mamy podobna sytuacje jak z funkcjamitrygonometrycznymi: ta sama liczba moze byc zapisana na wiele rznych sposobw.

W poprzednim podpunkcie sprawdzilismy, ze

log2 5+ log4 5 = log2 5

5,

ale moglismy tez liczyc tak

log2 5+ log4 5 =1

log5 2+

1log5 4

=1

log5 2+

12 log5 2

=3

2 log5 2.

5

Wiekszosc szkolnych kalkulatorw/tablic pozwala znalezc tylko wartosci logarytmw dzie-sietnych. Jak w takim razie wyliczyc inny logarytm? korzystamy ze wzoru na zamianepodstawy logarytmu

loga b =log blog a

.

log2 3 =log 3log 2

0, 480, 3 1, 6.



Tu zaczynamy dotykac delikatnego problemu szacowania bedu obliczen: jezeli dzielimydwie liczby, ktre znamy z dokadnoscia do 0,01 to trudno jest przewidziec z jaka dokad-noscia znamy wynik (zalezy to od wartosci liczby, przez ktra dzielimy). Aby to zrozumiec,wystarczy wziac przyblizenie pi 3, 14 i podzielic przez 10. Wtedy wynik znamy z dokad-noscia do 0,001. Ale jak podzielimy przez 110 (czyli pomnozymy przez 10), to wynik znamytylko z dokadnoscia do 0,1. W naszym przykadzie dzielilismy przez 0,3, wiec wyniku napewno nie znamy z dokadnoscia do dwch miejsc po przecinku.

6Jest sporo zadan typu uprosc wyrazenie, w ktrych wystepuja logarytmy o rznych pod-stawach zwykle pierwsza rzecza do zrobienia jest sprowadzenie wszystkich logarytmwdo wsplnej podstawy im mniejszej tym lepiej. Np. jezeli w zadaniu sa logarytmy o pod-stawie 2,3,6,9 to za wsplna podstawe najlepiej wziac 2 lub 3. Jezeli nie widac jaka wziacwsplna podstawe, to zawsze mozemy pozamieniac wszystko na logarytmy dziesietne lubnaturalne.

Obliczmy wartosc wyrazenia log27 0, 8 jezeli log4 3 = a i log5 3 = b.Liczba ktra sie wyrznia w podanej tresci to 3 (jest w kazdym skadniku, bo 27 =33), wiec zamieniamy podstawe wszystkich logarytmw na 3.

a = log4 3 =1

log3 4 log3 4 =

1a

b = log5 3 =1

log3 5 log3 5 =

1b

log2745=

log345

log3 27=

log3 4 log3 53

=1a 1b

3=

b a3ab

.

Sprawdzmy, kiedy liczby log0,64 5, logx 45 i log0,8 3 sa kolejnymi wyrazami ciaguarytmetycznego.Interesujacy nas warunek bedzie speniony jezeli srodkowa liczba bedzie sredniaarytmetyczna pozostaych dwch. Liczmy (zamieniamy wszystkie logarytmy nadziesietne).

2 logx 45 = log0,64 5+ log0,8 32 log 45

log x=

log 5log 0, 82

+log 3

log 0, 8=

log 52 log 0, 8

+log 3

log 0, 82 log 45

log x=

log 5+ 2 log 32 log 0, 8

=log (5 9)2 log 0, 8

2 log 45log x

=log 45

2 log 0, 8

log x = 4 log 0, 8 = log(0, 8)4 x = 0, 4096.

7Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

6


Jedno z popularnych zastosowan logarytmw, to zdejmowanie na d wykadnikw, czylilogarytmowanie stronami.

Rozwiazmy rwnanie 2x = 81.Logarytmujemy rwnanie stronami logarytmem przy podstawie 2.

log2 2x = log2 3

4

x = 4 log2 3.

Uzasadnijmy, ze liczby 7log11 5 i 5log11 7 sa rwne.

7log11 5 = 5log11 7 / log11()

log11(

7log11 5)= log11

(5log11 7

)log11 5 log11 7 = log11 7 log11 5.

Otrzymana rwnosc jest oczywiscie prawdziwa.

Ile cyfr ma liczba 21000?Pytanie mozna przeformuowac tak: dla jakiej liczby cakowitej k, mamy nierw-nosc

10k1 6 21000 < 10k

(np. liczby trzycyfrowe to te, ktre sa nie mniejsze od 100 i mniejsze od 1000). Jezelizlogarytmujemy te rwnosc stronami (logarytmem dziesietnym) to mamy

log 10k1 6 21000 < 10k

k 1 6 1000 log 2 < k.Pytanie zatem brzmi jak jest czesc cakowita liczby 1000 log 2. Poniewaz mnozymyprzez 1000 potrzebujemy do tego wartosc log 2 z dokadnoscia do 0,001. Oczywiscieto zaden problem dla kalkulatora i mamy

1000 log 2 1000 0, 301 = 301.Zatem liczba 21000 ma 302 cyfry (bo w nierwnosci ma byc 1000 log 2 < k).

8

Zeby nie zaciemniac obrazka nie przejmowalismy sie na razie dziedzina logarytmu, ale war-to pamietac, ze w wyrazeniu loga b musi byc a, b > 0 i a 6= 1. Takie rzeczy zaczynaja bycbardzo wazne, gdy mamy parametry i nie wiemy dokadnie jaki maja znak.



Rozwiazmy rwnanie xx = 1x , gdzie x > 0. Logarytmujemy stronami logarytmemprzy podstawie x.

xx =1x

logx xx = logx

1x

x = 1.Mielismy szukac tylko dodatnich rozwiazan, wiec rwnanie jest sprzeczne.Na pewno? Logarytmowac przy podstawie x moglismy tylko dla x 6= 1, wiec x = 1musimy sprawdzic osobno. I tak sie skada, ze to akurat jest rozwiazanie.

Sprbujmy rozwiazac rwnanie log[x(x+ 3)] log[x(x+ 2)] = log 2.Liczymy

logx(x+ 3)x(x+ 2)

= log 2

x+ 3x+ 2

= 2

x+ 3 = 2x+ 40 = x+ 1 x = 1.

Rachunek wyglada niewinnie, ale x = 1 wcale nie jest rozwiazaniem rwnania!(Bo argumenty logarytmw wychodza ujemne.) Z drugiej strony, x = 1 jest roz-wiazaniem rwnania log x(x+3)x(x+2) = log 2. Po prostu lewa i prawa strona rwnosci

log[x(x+ 3)] log[x(x+ 2)] = log x(x+ 3)x(x+ 2)

maja rzne dziedziny.

9

Widzielismy przed chwila, ze trzeba bardzo ostroznie uzywac wzorw z logarytmami, gdyzna og zmieniaja one dziedzine przeksztacanego wyrazenia. W niektrych sytuacjach wy-godne jest poaczenie wzorw z logarytmami razem z wartoscia bezwzgledna, co znaczniezwieksza mozliwosci ich zastosowania.

Dziedzina prawej strony wzoru log(xy) = log x + log y jest znacznie mniejsza oddziedziny lewej strony. Jezeli jednak zapiszemy ten wzr w postaci

log |xy| = log |x|+ log |y|

to dziedziny obu stron sa dokadnie takie same.



Podobnie jest z wzorem log xn = n log x. Jezeli n = 2k jest liczba cakowita parzysta,to lewa strona ma sens dla dowolnych niezerowych liczb x, a prawa tylko dla liczbdodatnich. Jezeli jednak napiszemy ten wzr w postaci

log x2k = 2k log |x|,

to dziedziny obu stron sa identyczne. O wzorze tym nalezy myslec jak o odpowied-niku wzoru

2kx2k = |x|.

Rozwiazmy rwnanie log2(3x+ 4)4 = 4.

Mamy4 log2 |3x+ 4| = 4log2 |3x+ 4| = 1|3x+ 4| = 23x+ 4 = 2 3x+ 4 = 2x = 2

3 x = 2.

10

Czesto wykorzystywany motyw w zadaniach szkolnych to fakt, ze logarytm zamienia ciaggeometryczny na arytmetyczny.

Jezeli ciag (an) jest geometryczny, to ilorazan+1an nie zalezy od n. Jezeli te rwnosc

zlogarytmujemylog

an+1an

= log an+1 log an,to widzimy, ze rznica ta nie zalezy od n, czyli ciag (log an) jest ciagiem arytme-tycznym.

11

Niezwyka uzytecznosc logarytmu wynika z faktu, ze zamienia on mnozenie na dodawa-nie. Jezeli popatrzymy na wzr log(ab) = log a+ log b to widac, ze jezeli umiemy zamieniacliczby na logarytmy i odwrotnie (np. mamy tablice logarytmw), to zamiast mnozyc liczbya i b mozemy dodac ich logarytmy. I co z tego? Zeby to zrozumiec trzeba sie przeniesc w cza-sy przedkalkulatorowe: proponuje sprbowac pisemnie wymnozyc 10 liczb 3 cyfrowych, awtedy bedzie jasne dlaczego dodawanie jest o wiele prostsze od mnozenia. Nawet w cza-sach wspczesnych procesorw, mnozenie jest bardzo czasochonna operacja i zamiana gona dodawanie dramatycznie przyspiesza obliczenia.



Policzmy 45, 21 21, 43.Sprawdzamy w tablicach (na kalkulatorze :)), ze

log 45, 21 1, 65523log 21, 43 1, 33102.

Dodajmy te liczby i mamy 2,98625. Teraz szukamy jakiej liczby to jest logarytm(czyli liczymy 102,98625). Wychodzi 968,84. Osobny problem to szacowanie jaki po-peniamy bad, ale nie bedziemy sie tym zajmowac.

Tego typu rachunki miay fundamentalne znacznie w czasach rewolucji przemysowej, asuwak logarytmiczny jeszcze nie tak dawno temu by nieodacznym atrybutem kazdegoinzyniera.

12Przed chwila przekonywaem, ze logarytmy pozwalaja atwo mnozyc liczby, ale to nie wszyst-ko. Dzieki wzorowi

log an = n log a

pozwalaja tez szybko liczyc wartosci funkcji wykadniczych oraz pierwiastkw.

Policzmy 7

37.Zamiast liczyc interesujaca nas liczbe, liczymy jej logarytm.

log 7

37 = log 3717 =

17

log 37.

Teraz odszukujemy wartosc log 37 w tablicach (na suwaku), dzielimy przez 7

17

log 37 0, 224.

Na koniec szukamy liczby, ktrej jest to logarytm. Wyjdzie

7

37 1, 675.

Oczywiscie takie rachunki sa dosc archaiczne w dzisiejszych czasach i pozostaja ciekawost-ka historyczna.


Logarytmy

Documents

Transcript of Logarytmy