Lekcje ze statystyki - ZS Krzepice · TEORIA i ZADANIA dla klasy II Technikum . Lekcje ze...

TTEECCHHNNIIKKUUMM

ZZEESSPPÓÓŁŁ SSZZKKÓÓŁŁ ww KKRRZZEEPPIICCAACCHH

PPRRAACCOOWWNNIIAA EEKKOONNOOMMIICCZZNNAA

TTEEOORRII AA ii ZZAADDAANNII AA

ddllaa kkllaassyy II II TTeecchhnniikkuumm

Lekcje ze statystyki Marek Kmiecik Zespół Szkół Technikum w Krzepicach

Strona 2 z 24

WWpprr oowwaaddzzeenniiee ddoo ssttaattyyssttyykkii

Lekcja 1

Statystyka - określa zbiór informacji liczbowych, dotyczących celowo wybranej grupy lub kategorii zjawisk (do-starcza informacji o podstawowych dziedzinach życia i funkcjonowania państwa), dyscyplina naukowa, traktująca o metodach liczbowego opisu i wnioskowania o prawidłowościach występujących w procesach masowych, nowo-czesna statystyka dostarcza metod (narzędzi) do podejmowania decyzji w warunkach niepewności.

Statystyka matematyczna - dostarcza metod wyboru prób losowych i reguł wnioskowania, czyli pozwala na uogólnienia wniosków wynikających z obserwacji części zbiorowości taj aby ryzyko popełnienia błędu było małe (rachunek prawdopodobieństwa)

Statystyka opisowa - dostarcza metod i procedur gromadzenia, opracowania i prezentacji danych statystycznych, celem jest zwięzły opisy materiału statystycznego.

Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Zbiorowości statystyczne lub populacje statystyczne - zbiór dowolnych elementów (osób, przedmiotów, fak-tów), podobnych pod względem określonych cech (ale nie identycznych) i poddanych badaniom statystycznym.

Podział zbiorowości statystycznych: • skończenie lub nieskończenie liczne, • statyczne (elementy obserwowane są w danym momencie) lub dynamiczne (w pokreślonym przedziale

czasu), • jednowymiarowe (badanie pod względem jednej cechy), wielowymiarowe (wielu cech), • jednorodne lub niejednorodne.

Jednostka statystyczna - elementy składowe zbiorowości poddawane bezpośredniej obserwacji lub pomiarowi (obiekt badania – uczeń klasy pierwszej).

Zbiorowość (populacja) generalna - wszystkie elementy, będące przedmiotem badania, co do których formuło-wane są wnioski ogólne (zbiór wszystkich uczniów Zespołu Szkół w Krzepicach).

Zbiorowość próbna (próba) - podzbiór populacji generalnej, obejmujący część jej elementów - wybranych w określony sposób. Próba podlega badaniu statystycznemu, a wynik jest uogólniany na zbiorowość generalną (Ba-

daniem objęci są uczniowie klas pierwszych Zespołu Szkół w Krzepicach).


Strona 3 z 24

Lekcja 2

Badania statystyczne

Badanie statystyczne - ogół prac mających na celu poznanie struktury określonej zbiorowości statystycznej.

Obserwacja statystyczna - proces zbierania informacji statystycznej.

Określenie przedmiotu i zakresu badania statystycznego polega na dokładnym ustaleniu zbiorowości, jednostki staty-

stycznej i cech statystycznych.

Cechy statystyczne - właściwości charakteryzujące jednostki statystyczne (obiekty):

Cechy stałe Cechy zmienne

Są wspólne dla wszystkich jednostek danej zbiorowości i nie podlegają badaniu, a jedynie decydują o zaliczeniu jednostki do określonej zbiorowości:

• rzeczowe - właściwości, które charakteryzują określony zbiór osób, rzeczy lub zjawisk,

• przestrzenne - gdzie badamy,

• czasowe - jaki okres obejmuje badanie lub w ja-kim momencie się ono odbywa.

Są to właściwości, które różnią poszczególne jednostki statystyczne (głównie one podlegają obserwacji),

• mierzalne - (ilościowe, kwantytatywne) - wła-ściwości które można zmierzyć i wyrazić za po-mocą odpowiednich jednostek fizycznych (np. w kilometrach, centymetrach), zalicza się również do nich cechy quasi-ilościowe (porządkowe), kwantyfikują natężenie badanej właściwości przedstawionej w sposób opisowy, porządkując w ten sposób zbiorowość (np. oceny studentów: bdb, db, itp.),

• niemierzalne - (jakościowe, kwalitatywne) - zwykle określane słownie (np. płeć).

Cechy mierzalne - (nazywane zmiennymi) - oznaczenie: X, Y, Z, ich wartości: x, y, z: • skokowe (dyskretne) - przyjmują skończony lub przeliczalny zbiór wartości na danej skali liczbowej, naj-

częściej jest to zbiór liczb całkowitych dodatnich (np. liczba osób w rodzinie, liczba usterek, itp.). • ciągłe - mogą przyjąć każdą wartość z określonego przedziału liczbowego [a,b], przy czym liczba miejsc po

przecinku jest uzależniona od dokładności dokonywanych pomiarów (np. waga detalu). W przypadku badań zbiorowości wielowymiarowych zmienne (cechy mierzalne) dzielimy na:

• stymulanty - te cechy, których wyższe wartości pozwalają zakwalifikować daną jednostkę statystyczną ja-ko lepszą z punku widzenia realizowanego badania,

• dominanty - cechy, których wysokie wartości świadczą o niskiej pozycji jednostki w zbiorze.

Skale pomiarowe

Pomiar - czynność przyporządkowania liczb przedmiotom (obiektom) lub wydarzeniom zgodnie z pewnym zbio-rem reguł. Wynikiem pomiaru są dwa rodzaje wielkości, te które mówią o liczebności zbioru obiektów, i te, które charakteryzują stopień nasilenia zjawiska. Skale pomiarowe ze względu na relacje dzielimy na:

• nominalne - relacja: równe różne; pomiar polega na zastosowaniu liczby jako nazwy, czyli grupowaniu jednostek w klasy (kategorie), którym przypisuje się nazwy czy liczby, np. studenci wg rodzaju studiów, szczególny przypadek - skala dychotomiczna (dwupunktowa),

• porządkowe - relacja: większe lub mniejsze; pomiar polega na grupowaniu jednostek w klasy (kategorie), którym przypisuje się nazwy lub liczby i porządkuje się te klasy ze względu na stopień natężenia, w jakim posiadają one badaną cechę,

• przedziałowe - relacja: większe o tyle; pomiar występuje wtedy, gdy uporządkowany zbiór wartości cechy składa się z liczb rzeczywistych, Zero w tej skali ustalone jest dowolnie, np. skala Celsjusza i Fahrenheita, skala pozwala stwierdzić tylko o ile jest coś wyższe,

• stosunkowe (ilorazowe) - relacja: tyle razy większe; spełnia wszystkie aksjomaty liczb, pomiary w tej skali charakteryzują się stałymi ilorazami i zerem bezwzględnym, tylko w tej skali możliwe jest porównywanie jednostek za pomocą względnych charakterystyk: np. jeden obiekt jest dwa razy cięższy od drugiego.


Strona 4 z 24

Lekcja 3

Grupowanie materiału statystycznego

Rodzaje grupowania: • typologiczne - (np. wg cech terytorialnych, rzeczowych, czasowych) mające na celu wyodrębnienie grup

różnych jakościowo, • wariacyjne - mające na celu uporządkowanie badanej zbiorowości i poznanie jej struktury, które polega na

łączeniu w klasy jednostek statystycznych o odpowiednich wartościach cech statystycznych.

Szereg statystyczny - ciąg wielkości statystycznych, uporządkowanych wg określonego kryterium.

Sposób grupowania cech zależy od: rodzaju badania (przekrojowe, czasowe), rodzaju cechy statystycznej, sposo-bu pomiaru oraz liczby obserwacji (szczegółowe, rozdzielcze).

Szereg szczegółowy - uporządkowany ciąg wartości badanej cechy statystycznej, stosowany, gdy przedmiotem

badania jest niewielka liczba jednostek, np. zmienna X przyjmuje wartości: , wartości cechy porządku-

jemy rosnąco: lub malejąco .

Szereg rozdzielczy - stanowi zbiorowość statystyczną, podzieloną na części (klasy) według określonej cechy jako-ściowej lub ilościowej z podaniem liczebności lub częstości każdej z wyodrębnionych klas.

Rozkład empiryczny - zestawienie wyników w postaci szeregu rozdzielczego z cechą mierzalną, odzwierciedla strukturę badanej zbiorowości z punku widzenia określonej cechy statystycznej.

Szeregi statystyczne

szczegółowe przykłady

rozdzielcze z cechą mierzalną (ilo-ściową): - punktowe (proste, skumulowane), - przedziałowe (proste, skumulowa-ne), rozdzielcze z cechą niemierzalną (jakościową: - geograficzne - inne)

czasowe - momentów - okresów

Stosowanie szeregów statystycznych:

• szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi - dla cech ciągłych • szeregi rozdzielcze bez przedziałów klasowych lub z przedziałami klasowymi - dla cech mierzalnych sko-

kowych - zależnie od możliwości wartości (wariantów) cech: dla niewielkiej liczby wariantów: szereg roz-dzielczy punktowy, dla dużej szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi.

• szereg rozdzielczy z cechą niemierzalną - szereg geograficzny (terytorialny) - przedstawia rozmieszczenie pewnych zjawisk w przestrzeni (np. zestawienie liczby gmin w Polsce).

• szereg czasowy - (dynamiczny chronologiczny) powstaje w wyniku grupowania typologicznego i wariacyj-nego, gdy podstawą grupowania jest zmiana badanego zjawiska w czasie: - szereg czasowy okresów - zawiera informację o rozmiarach zjawiska w krótszych lub dłuższych okresach. - szereg czasowy momentów - ujmuje wielkość zjawiska w danym momencie, najczęściej na początku lub końcu np. miesiąca.

Podstawowe oznaczenia, podstawowe wielkości

n - liczebność próby (zbiorowości próbnej), xi - wariant cechy statystycznej (i = 1, 2 , ... , n), ni - liczba jednostek o i-tym wariancie cechy, k - liczba klas (wariantów cechy),

przy czym:


Strona 5 z 24

11.. GGrr aaff iicczznnaa pprr eezzeennttaaccjj aa ddaannyycchh ssttaattyyssttyycczznnyycchh Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią: • Porządkować i grupować dane statystyczne, • Sporządzać wykresy statystyczne z wykorzystaniem kreatora wykresów arkusza kalkulacyjnego Excel, • Poszukiwać i wykorzystywać informacje statystyczne pochodzące z Internetu.

Lekcja 4

PPoorr zząąddkkoowwaanniiee ii ggrr uuppoowwaanniiee ddaannyycchh ssttaattyyssttyycczznnyycchh W tym ćwiczeniu naleŜy zapoznać się ze sposobami porządkowania i grupowania danych statystycznych z wykorzysta-niem arkusza kalkulacyjnego Excel Materiał statystyczny uzyskany w toku obserwacji statystycznej stanowi nieuporządkowany zbiór szczegółowych infor-macji o poszczególnych jednostkach statystycznych. Zgromadzony, lecz nie opracowany materiał statystyczny nazywa się materiałem surowym. Taki materiał nie nadaje się do analiz, porównań, a tym bardziej do wnioskowania, zanim nie zostanie uporządkowany i pogrupowany. ZałóŜmy, Ŝe w klasie jest 20 uczniów, a liczba ich rodzeństwa jest następująca:

Dane w wierszu drugim przedstawione są w postaci nieuporządkowanej – kaŜdemu uczniowi reprezentowanemu przez przypisany mu numer od 1 do 20 odpowiada rzeczywista liczba rodzeństwa. Zadanie 1 Wprowadź powyŜsze dane do arkusza kalkulacyjnego Excel. Utwórz trzeci wiersz w tabeli, w którym zamieść dane z wiersza drugiego posortowane w porządku rosnącym. Analogicznie utwórz czwarty wiersz z danymi posortowanymi w porządku malejącym. UŜyj narzędzia Sortuj w menu Dane. Czynność prowadząca do uzyskania takiego ciągu szczegółowego nosi nazwę porządkowania danych statystycznych. Porządkowanie zawsze prowadzone jest według określonego kryterium. W powyŜszym przykładzie zastosowano porząd-kowanie (sortowanie) w układzie rosnącym (malejącym) i od lewej do prawej. Taki sposób porządkowania moŜna stoso-wać jedynie w przypadku cechy mierzalnej.

Porządkowanie w przypadku cechy niemierzalnej wymaga wcześniejszego uporządkowania wariantów (właściwości) badanej cechy. Następnie zlicza się jednostki zbiorowości posiadające dany wariant cechy. Na przykład w pewnej szkole uczy się 500 uczniów, przy czym dziewczęta stanowią 60% zbiorowości uczniowskiej. Porządkowanie w tym przypadku moŜna przeprowadzić przy zastosowaniu kryterium „płeć”. Porządkowanie danych na podstawie wariantów cechy jakościowej (niemierzalnej) wiąŜe się z tworzeniem pewnych grup lub klas, róŜniących się określonymi właściwościami. Dlatego w takim przypadku porządkowanie nazwano grupowaniem lub klasyfikowaniem. Wynik grupowania stanowi uogólniony opis zbiorowości statystycznej lub próby. Zadanie 2 Dokonaj grupowania przedsiębiorstw według liczby zatrudnionych w nich pracowników, wiedząc, Ŝe liczba pracowników w poszczególnych przedsiębiorstwach wynosi: 100,125,170, 140, 140, 100, 230, 180, 125, 125, 200, 100, 200, 170, 135. Zadanie 3 Dokonaj grupowania przedsiębiorstw według kosztów, jakie poniosły one w roku 2001. Utwórz szereg statystyczny strukturalny z przedziałami liczbowymi o rozpiętości 20 tys. Zł. Koszty badanych przedsiębiorstw (w tys. Zł) były nastę-pujące: 66, 42, 95, 92, 26, 50, 34, 41, 96, 83, 71, 47, 60, 89, 87, 100, 27, 45, 64, 51, 92, 105, 49, 62, 94, 87, 104, 82, 105, 51, 99, 87, 27, 91, 82, 97, 96, 73, 103, 58.


Strona 6 z 24

Lekcja 5 WWyykkrr eessyy ssttaattyyssttyycczznnee

W tym ćwiczeniu naleŜy zapoznać się z elementami wykresu statystycznego oraz rodzajami wykresów oferowanych w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Wykres jest wizualną formą rejestracji, prezentacji i analizy zarówno szczegółowych danych oraz uogólnionych informacji statystycznych. Na wykre-sach zbiorowości lub zjawiska opisywane są za pomocą obrazu graficznego. KaŜdy wykres powi-nien zawierać następujące elementy: tytuł, pole wykresu, skalę, legendę, źródła i w miarę potrzeb inne objaśnienia.

Wykresy statystyczne klasyfikuje się według kilku kryteriów, takich jak: załoŜone cele, jakie mają zostać osiągnięte przez wykorzystanie wykresu, rodzaje prezentowanych szeregów, czy rodzaj ob-razu graficznego.

Postać wykresu powinna być dobierana adekwatnie do charakteru analizowanych zbiorowości z punktu widzenia celów jakie mają zostać osiągnięte. Kreator wykresów programu Excel oferuje szeroką gamę wykresów standardowych i nie-standardowych z moŜliwością wyboru typu i podtypu wykresu. Zadanie 1 Przejrzyj standardowe i niestandardowe typy wykresów oferowanych przez arkusz kalkulacyjny Excel. Przed-staw dane nieuporządkowane i uporządkowane z zadania 1 w ćwiczeniu 1.1, stosując wykres typu liniowego. Następnie przedstaw na wykresie kołowym liczbę uczniów z rozbiciem na liczbę dziewcząt i liczbę chłopców (dane z tabeli w tym samym ćwiczeniu).


Strona 7 z 24

Zadanie 2 Na podstawie poniŜszego histogramu odpowiedz na pytania: a) Ile samochodów spala co najmniej 5,8 l paliwa na 100 km? b) Jaki procent samochodów ma zuŜycie paliwa większe niŜ 6 l paliwa? c) Jakie jest średnie zuŜycie paliwa dla samochodu model1?

Zadanie 3 Na podstawie poniŜszego histogramu odpowiedz na pytania:

a) Ile samochodów spala co najmniej 5,8 l paliwa na 100 km? b) Jaki procent samochodów ma zuŜycie paliwa większe niŜ 6 l paliwa? c) Jakie jest średnie zuŜycie paliwa dla samochodu model2?

Co jeszcze naleŜałoby obliczyć dla zadania 1 i 2, aby porównać oba modele samochodów? Oblicz brakującą miarę i zdecyduj, który model jest korzystniejszy pod względem zuŜycia paliwa


Strona 8 z 24

Lekcja 6 Wykresy - ćwiczenia Zadanie 1 Korzystając ze wskazanego źródła http://europa.eu/abc/keyfigures/sizeandpopulation/howmany/index_pl.htm sporządź wykres przedstawiający ludność państw Unii Europejskiej. Zadanie 2 Korzystając ze wskazanego źródła http://europa.eu/abc/keyfigures/sizeandpopulation/howbig/index_pl.htm sporządź wykres przedstawiający powierzchnię państw Unii Europejskiej.

Zadanie 3 Korzystając z tego samego źródła sporządź wykresy przedstawiające ludność i powierzchnię sąsia-dów Polski (z wyłączeniem Rosji!?). Jak na rysunku obok.

Zadanie 4 Korzystając z baz danych FAO (http://apps.fao.org) spo-rządź wykres przedstawiający liczbę mieszkańców miast i wsi w Polsce w latach 1965-2000. Jak na rysunku obok.

Zadanie 5 Korzystając z wykresu punktowego(XY) sporządź w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji dla x∈ <-5, 5>:

a) y = |x – 1| + |x| - 2, b)xe

xy

2

= , c)22

2

+=

x

xy

Odczytaj miejsca zerowe powyŜszych funkcji.


Strona 9 z 24

22.. MM iiaarr yy tteennddeennccjj ii cceenntt rr aallnneejj Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z arkusza kalkulacyjnego Excel:

• przeprowadzić analizę natęŜenia, • wyznaczać współczynniki struktury, • obliczać średnie arytmetyczne, • wyznaczać medianę i dominantę.

Lekcja 7

WWyyzznnaacczzaanniiee wwssppóółłcczzyynnnniikkaa nnaattęęŜŜeenniiaa W tym ćwiczeniu naleŜy wyznaczyć współczynniki natęŜenia dla zadanych danych statystycznych.

Wskaźniki natężenia - są to wielkości stosunkowe, wyrażające kształtowanie się wielkości jednego zjawiska na tle innego, logicznie z nim związanego.

Współczynnik natęŜenia, określony wzorem 2

1

N

NWn= , gdzie N1 i N2 oznaczają odpowiednio liczebności pierwszej i

drugiej zbiorowości, jest liczbą mianowaną, określającą liczbę jednostek jednej zbiorowości przypadającą na jednostkę drugiej zbiorowości. Zadanie 1 Korzystając z Internetu wyznacz gęstość zaludnienia (liczba mieszkańców/1 km2) państw sąsiadujących z Pol-ską. Otrzymane współczynniki natęŜenia zilustruj na wykresie kołowym. Zadanie 2 Korzystając z Internetu wyszukaj pięć przykładów współczynnika natęŜenia. Zadanie 3 Przedsiębiorca, przed podjęciem decyzji o modernizacji przedsiębiorstwa porównał nakłady na modernizację z przewidywanymi jej efektami. Który z poniŜszych wariantów powinien wybrać, jako najbardziej korzystny? Odpowiedź uzasadnij wykresem kołowym.

Wariant Nakłady w zł Przewidywane efekty w zł Wn 1 40000 10000 2 52500 15000 3 30000 10000

Zadanie 4 Oceń wydajność pracy trzech brygad wytwarzających ten sam wyrób, mając dane:

Brygada Liczba wyrobów Liczebność brygady Wn A 480 8 B 630 9 C 354 6

Przykładowe współczynniki natężenia:

• stopa bezrobocia - stosunek liczby bezrobotnych do liczby ludności czynnej zawodowo, • gęstość zaludnienia - liczba ludności przypadająca na 1 km2 powierzchni, • wskaźnik umieralności - liczba zmarłych do średniej liczby ludności, • wskaźnik rozwoju gospodarczego - produkt krajowy brutto (netto) do liczby ludności kraju, • wskaźnik wydajności pracy - wielkość produkcji do czasu pracy, • wskaźnik spożycia i usług - wielkość spożycia i usług do liczby ludności, • wskaźnik rentowności - zysk do wielkości sprzedaży, • wskaźnik efektywności - zysk do zaangażowanego kapitału, • wskaźnik produktywności - sprzedaż do zaangażowanego kapitału.


Strona 10 z 24

Lekcja 5 WWyyzznnaacczzaanniiee wwsskkaaźźnniikkaa sstt rr uukkttuurr yy

W tym ćwiczeniu naleŜy wyznaczyć wskaźniki struktury dla zadanych danych statystycznych.

Wskaźnik struktury to stosunek liczebności cząstkowej do liczebności całej zbiorowości N

nWsi i= lub

N

nWsi i= x100%,

który określa udział poszczególnych części w całej zbiorowości, gdzie ni – liczebność pewnej części ogółu, N – liczebność całej zbiorowości. Zadanie 1 Na podstawie danych (Rocznik statystyczny 1995, Tab. 18 (306), s. 241) oblicz wskaźniki struktury dla wszystkich typów szkół. Przedstaw interpretację graficzną wyników obliczeń.

Liczba nauczycieli Liczba szkół Wsi 1-5 1846 6-10 5185 11-15 3572 16-20 1146 21-25 1116 26-30 755 31-35 659 36 i więcej 2342 RAZEM

RozwiąŜ zadanie ponownie dla danych z 2000 roku. Zadanie 2 Na podstawie poniŜszych danych wybierz dwie uczelnie, w których struktura studentów według formy kształ-cenia jest najbardziej porównywalna. Przedstaw strukturę zbiorowości statystycznej na wykresach kołowych.

Forma kształcenia Liczba studentów

Uczelnia A Uczelnia B Uczelnia C Dzienna 2800 3000 4200

Wieczorowa 2000 1300 3000 Zaoczna 1200 1200 3800 RAZEM

Wskazówki: 1. W miejsce liczby studentów wstaw formuły do obliczania wskaźnika struktury. 2. Po obliczeniu wskaźników struktury oblicz wskaźniki porównywalności struktur dla kaŜdej pary uczelni, czyli

wskaźniki porównywalności struktur uczelni A z uczelnią B WP(A/B), uczelni A z uczelnią C WP(A/C), i uczelni B z uczelnią C WP(B/C).

3. Najlepszą porównywalność wykazują te uczelni, których wskaźnik porównywalności osiąga najwyŜszą wartość (w zadaniu jest to WP(A/B)=84,83%).

Zadanie 3 Badając odsetek studentów mających problemy z zaliczeniem przedmiotu Matematyka stwierdzono, Ŝe w losowej próbie 2450 studentów 524 miało kłopoty z zaliczeniem tego przedmiotu. Wyznacz wskaźniki struktury, studen-tów mających kłopoty z zaliczeniem i nie mających takich kłopotów. Zadanie 4 W roku szkolnym 2004/2005 w bibliotece szkolnej liceum ekonomicznego dokonano 4200 wypoŜyczeń. Licz-ba uczniów w badanym liceum wynosi 380, przy czym 30 uczniów nie korzystało z biblioteki. Oblicz i zinterpretuj dwa współczynniki natęŜenia charakteryzujące wypoŜyczenia ksiąŜek. Zadanie 5 Przedsiębiorca przed podjęciem modernizacji swojej fabryki dokonał porównania nakładów na modernizację z przewidywanymi efektami tej modernizacji. Oblicz współczynniki natęŜenia, wpisz je do ostatniej kolumny tablicy, a następnie wybierz i wpisz pod tablicą najkorzystniejszy wariant.

Tablica 39. Przewidywane nakłady i efekty planowane j modernizacji fabryki

Wariant Nakłady w zł Przewidywane efekty (rocznie) w zł Współczynnik nat ęŜenia I 40 000 10 000

II 52 500 15 000

III 30 000 10 000 Źródło: dane umowne


Strona 11 z 24

Lekcja 8 – 11 WWyyzznnaacczzaanniiee śśrr eeddnniicchh aarr yyttmmeettyycczznnyycchh

W tym ćwiczeniu naleŜy wyznaczyć średnie arytmetyczne dla zadanych danych statystycznych. Średnie arytmetyczne wyznaczamy z wzorów:

a) N

x

x

n

ii

śr

∑== 1

dla indywidualnego szeregu wartości cechy, (szereg szczegółowy)

gdzie: xi - oznacza wartość cechy statystycznej poszczególnych jednostek statystycznych, N- jest liczebnością całej zbiorowości statystycznej.

b)

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

śr

n

nxx

1

1 dla cechy mierzalnej ze zmiennością skokową, (szereg punktowy)

gdzie: i = 1, 2, ..., n oznacza numery kolejnych klas szeregu statystycznego, xi - jest wartością cechy w klasie szeregu rozdzielczego o numerze i, ni - oznacza liczebność klasy szeregu rozdzielczego o numerze i.

Zadanie 1 W sześcioosobowej grupie pracowników wpłaty do urzędu skarbowego z tytułu podatku dochodowego od osób fizycznych za rok 2001 były następujące: 1878,45 zł, 1988,35 zł, 2476,00 zł, 2663,20 zł, 3003,35 zł, 3860,50 zł. Jaka była przeciętna wpłata podatku? Wskazówka: Zadanie rozwiąŜ z wykorzystaniem odpowiedniej funkcji statystycznej Excela. Zadanie 2 Oblicz i zinterpretuj średnią arytmetyczną ocen końcowych z przedmiotu Komputerowe programy uŜytkowe, uzyskanych przez studentów GiFS w trzecim semestrze:

Ocena xi Liczba studentów ni Kolumna robocza xini 2 1 3 15

3,5 19 4 13

4,5 9 5 6

RAZEM Przedstaw interpretację graficzną na wykresie liniowym. Zadanie 3 Na podstawie poniŜszych danych oblicz średni poziom wynagrodzenia pracowników pewnej spółki:

Wynagrodzenie w zł

(xd, xg>>>> Liczba pracowników

ni

Środek przedziału

)(2

1gdo xxx +=

Kolumna robocza xoni

1250-1270 260 1270-1290 850 1290-1310 1200 1310-1330 800 1330-1350 400 RAZEM

Zadanie 4 Wykonaj obliczenia średnich dla dowolnych danych, stosując funkcje arkusza kalkulacyjnego.


Strona 12 z 24

Wskazówki: Składnia funkcji jest następująca: ŚREDNIA (liczba1;liczba2;...), gdzie Liczba1 ; liczba2 ;... to od 1 do 30 argumentów liczbowych, dla których naleŜy wyznaczyć średnią. Argumenty powinny stanowić liczby, nazwy, tablice lub adresy komórek zawierających liczby. Jeśli argument w postaci tablicy lub adresu zawiera tekst, wartości logiczne lub puste komórki, wartości te są zignorowane, jednakŜe komórki z wartością zerową są uwzględniane. Przy obliczaniu średniej z komórek, naleŜy pamiętać o róŜnicy pomiędzy pustymi komórkami a zawierającymi wartości zerowe, szczególnie, jeśli nie zostało zaznaczone pole Wartości zerowe na karcie Widok (menu Narzędzia polecenie Opcje). Nie uwzględnia się w obliczeniach pustych komórek, natomiast uwzględnia się te z wartościami zerowymi. Przykłady: Jeśli zakres A1:A5, zawierający liczby 10, 7, 9, 27 i 2 nazwano Wyniki , to:

� ŚREDNIA(A1:A5) wynosi 11 � ŚREDNIA(Wyniki) wynosi 11 � ŚREDNIA(A1:A5;5) wynosi 10 � ŚREDNIA(A1:A5) jest równe SUMA(A1:A5)/ILE.LICZB(A1:A5) i wynosi 11 � Jeśli zakres C1:C3 nazwano InneWyniki i zawiera liczby 4, 18 i 7, to: � ŚREDNIA(Wyniki;InneWyniki) jest równe 10,5.

Funkcja ŚREDNIA.A podaje wartość średniej arytmetycznej argumentów z listy. Oprócz liczb, w obliczeniach mogą być

brane pod uwagę teksty oraz wartości logiczne PRAWDA i FAŁSZ.

Składnia: ŚREDNIA.A (wartość1;wartość2;...), gdzie wartość1; wartość2; ... to od 1 do 30 komórek, zakresów komó-rek lub wartości, dla których naleŜy wyznaczyć średnią. Argumentami powinny być liczby, nazwy, tablice lub adresy. Jeśli argument w postaci tablicy lub adresu zawiera tekst, to jego wartość jest równa 0 (zero). Tekst pusty ("") równieŜ ma wartość 0 (zero). Jeśli w obliczeniach wartości tekstowe powinny być pomijane, naleŜy stosować funkcję arkusza ŚREDNIA. Wartość liczbowa argumentów zawierających wartość logiczną PRAWDA wynosi 1; wartość liczbowa argumentów za-wierających wartość logiczną FAŁSZ wynosi 0 (zero).

Lekcja 12

WWyyzznnaacczzaanniiee mmeeddiiaannyy ii ddoommiinnaannttyy W tym ćwiczeniu naleŜy wyznaczyć medianę i dominantę dla zadanych danych statystycznych. Mediana (wartość środkowa) Mx jest to wartość wyrazu środkowego w uporządkowanym szeregu statystycznym. Me-diana jest liczbą w środku zbioru liczb tzn., Ŝe połowa liczb ma wartości większe niŜ mediana i połowa ma wartości mniejsze. Funkcja statystyczna podająca wartość mediany ma składnię: MEDIANA (liczba1;liczba2;...), gdzie Liczba1; liczba2;... to od 1 do 30 liczb, dla których naleŜy wyznaczyć medianę. Argumentami powinny być liczby lub nazwy, tablice lub adresy, zawierające liczby. Arkusz kalkulacyjny Excel porów-nuje wszystkie liczby podane w postaci kaŜdego argumentu adresu lub tablicy. Jeśli argument w postaci tablicy lub adre-su zawiera tekst, wartości logiczne lub puste komórki, wartości takie zostaną pominięte (komórki z wartościami zerowy-mi zostaną uwzględnione). Jeśli liczba danych liczbowych w zbiorze jest parzysta, to MEDIANA oblicza średnią dwóch liczb środkowych. Przykłady: MEDIANA(1; 2; 3; 4; 5) jest równe 3 MEDIANA(1; 2; 3; 4; 5; 6) jest równe 3,5, średnia z 3 i 4 Dominanta (wartość modalna, moda) Dx jest to wartość cechy, która najczęściej występuje w danej zbiorowości. Do wyznaczania dominanty stosuje się funkcję statystyczną WYST.NAJCZĘŚCIEJ o składni: WYST.NAJCZĘŚCIEJ (liczba1;liczba2;...), gdzie Liczba1; liczba2;... to od 1 do 30 argumentów, dla których naleŜy wyznaczyć wartość modalną. Zamiast listy argumentów rozdzielonych przecinkami moŜna wykorzystać takŜe pojedynczą tablicę lub jej adres. Argumentami powinny być liczby lub nazwy, tablice lub adresy zawierające liczby. Jeśli argument w postaci tablicy lub adresu zawiera tekst, wartości logiczne lub puste komórki, wartości te zostaną pomi-nięte (komórki zawierające wartości zerowe zostaną wzięte pod uwagę). Jeśli zbiór danych nie zawiera danych powtarzających się, funkcja WYST.NAJCZĘŚCIEJ podaje wartość błędu #N/D!. Zadanie Wydatki (w zł) na zakup prasy w badanej grupie 21 osób były następujące: 10,00; 12,50; 17,00; 14,40; 14,40; 23,50; 30,10; 10,00; 14,40; 10,00; 17,00; 14,40; 23,50; 10,00; 30,10; 17,00; 30,10; 12,50; 12,50; 23,50; 14,40. Wyznacz dominantę i medianę.


Strona 13 z 24

Lekcja 13

ZZaalleeŜŜnnoośśccii mmiięęddzzyy mmiiaarr aammii tteennddeennccjj ii cceenntt rr aallnneejj W tym ćwiczeniu naleŜy wyznaczyć relacje między miarami tendencji centralnej. Pomiędzy miarami tendencji centralnej mogą zachodzić następujące relacje:

� Xśr = Mx = Dx ⇒ rozkład symetryczny, � Xśr > Mx > Dx ⇒ rozkład o asymetrii prawostronnej, � Xśr < Mx < Dx ⇒ rozkład o asymetrii lewostronnej.

Ustalenie, w jaki sposób wartości cechy statystycznej rozłoŜone są wokół średniej arytmetycznej, jest określane jako ba-danie asymetrii rozkładu wartości cechy. Zadanie 1 Na podstawie informacji o wynagrodzeniu pracowników trzech sklepów naleŜących do pewnej spółki określ i zinterpretuj asymetrię rozkładów wynagrodzenia wśród pracowników kaŜdego z tych sklepów.

Wynagrodzenie w zł Liczba pracowników Średnia

Sklep A Sklep B Sklep C Sklep A Sklep B Sklep C 1300 2 1 3 1400 4 7 4 Mediana 1500 7 5 4 1600 4 3 6 Dominanta (Moda) 1700 2 3 2

RAZEM

xśr<D (D-dominanta) xśr=D

xśr>D


Strona 14 z 24

33.. MM iiaarr yy rr oozzpprr oosszzeenniiaa Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z arkusza kalkulacyjnego Excel:

• obliczać odchylenie średnie, • obliczać odchylenie standardowe.

Lekcja 14

OObbll iicczzaanniiee ooddcchhyylleenniiaa śśrr eeddnniieeggoo ii ssttaannddaarr ddoowweeggoo W tym ćwiczeniu naleŜy obliczyć odchylenia średnie i standardowe dla podanych danych statystycznych. Wzory podstawowe:

∑=

−=n

iśri xx

ndx

1

||1

- odchylenie średnie, obliczane przez funkcję statystyczną Excela

ODCH.ŚREDNIE (liczba1;liczba2;...)

∑=

−=n

iśrii xxn

ndx

1

||1

- odchylenie średnie waŜone,

∑

∑

=

=

−=

n

ii

n

iśri

n

xxSx

1

1

2)( - odchylenie standardowe proste (definicja),

∑

∑

=

=

−=

n

ii

n

iśroii

n

xxnSx

1

1

2)(- odchylenie standardowe waŜone (definicja),

21 1

22 )(

n

xxnSx

n

i

n

iii∑ ∑

= =

−= - odchylenie standardowe populacji (wzór realizowany przez

funkcję statystyczną Excela ODCH.STANDARD.POPUL(liczba1;liczba2;...)

)1(

)(1 1

22

−

−=

∑ ∑= =

nn

xxnSx

n

i

n

iii

- odchylenie standardowe dla próby (wzór realizowany przez funkcję statystyczną Excela

ODCH.STANDARDOWE. (liczba1;liczba2;...) Przykład ZałóŜmy, Ŝe mamy 10 narzędzi wykonanych na tej samej maszynie w jednym cyklu produkcji, wziętych jako przypad-kowa próbka. Dla narzędzi tych zmierzono wytrzymałość na pękanie. Wartości próbki (1345; 1301; 1368; 1322; 1310; 1370; 1318; 1350; 1303; 1299) są zapisane odpowiednio w komórkach A2:E3. Funkcja ODCH.STANDARDOWE ocenia standardowe odchylenie wytrzymałości wszystkich tych narzędzi na pękanie.

Przykład obliczeń w Excelu:

ODCH.STANDARDOWE(A2:E3) jest równe 27,46 ODCH.STAND.POPUL(A2:E3) jest równe 26,05 ODCH.ŚREDNIE(A2:E3) jest równe 23,72


Strona 15 z 24

Lekcja 15 – 17 Miary rozproszenia - ćwiczenia

Zadanie 1 Obliczyć odchylenie średnie dx i odchylenie standardowe Sx dla danych: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, posługu-jąc się tabelą roboczą, zawierającą kolumny: Dane Xi, Odchylenie od średniej (Xi – Xśr), wartość bezwzględną |Xi – Xśr| oraz kwadrat odchylenia (X i – Xśr)

2. Xi X i – Xśr |Xi – Xśr| (X i – Xśr)

2 10 11 12 13 14 15 16

RAZEM RozwiąŜ zadanie ponownie, stosując funkcje statystyczne Excela. Zadanie 2 RozwiąŜ zadanie 1 dla następujących danych: 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36. Zadanie 3 Oblicz średnią, odchylenie średnie i odchylenie standardowe dla poniŜszego rozkładu częstości ocen z testu:

Ocena 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Częstość 1 2 3 5 6 7 4 3 2 1 0

Zadanie rozwiąŜ metodą tabeli roboczej oraz z wykorzystaniem funkcji statystycznych Excela. Zadanie 4 RozwiąŜ zadanie 3 dla następujących danych:

Wzrost w cm 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172

Częstość 1 3 9 13 18 20 12 11 7 4 2 Zadanie 5 Oblicz wartość średnią, odchylenie średnie i i odchylenie standardowe dla danych:

Ocena 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 Częstość 0 2 4 11 20 10 5 3 2 1

Wskazówka: Gdy obliczenia wykonujemy na podstawie danych zgrupowanych, to uŜywamy punktów środkowych prze-działu klasowego do reprezentacji danych naleŜących do grupy. Zadanie 6 Oblicz wartość średnią, odchylenie średnie i odchylenie standardowe dla danych:

Masa w kg 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 Częstość 1 6 9 9 6 4 3 0 1 1

Zadanie 7 Stopa podatkowa obliczana od ceny 80 domów została określona z dokładnością do jednego funta ang. i jest dana w poniŜszej tabeli. Oblicz średnią i odchylenie standardowe dla tego rozkładu danych:

Stopa podatkowa 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-119 Częstość 2 10 20 24 12 11 1


Strona 16 z 24

Lekcja 19 – 20 Współczynniki zmienności

Zadanie 8

Na podstawie danych z tabeli oblicz średnią arytmetyczną dla obu zakładów, a następnie dokonaj analizy odchyleń, obliczając współczynniki zmienności Vx. Które z miar byłyby uŜyteczne przy kompleksowej analizie wypłaconych premii?

Wzory do obliczania współczynnika zmienności:

%100śrx

dxVx = , %100

śrx

SxVx =

Odp. Zakład 1: Sx = 131,49, Vx = 6,71 Zakład 2: Sx = 322,56, Vx = 17,2

Zadanie 9 Na odstawie danych zamieszczonych w tabeli przeprowadź analizę zapasów w badanej grupie 75 firm. Oblicz wskaźniki struktury Wsi (Wsi = ni / N), średnią arytmetyczną, odchylenie standardowe oraz współczynnik zmienności.

Przedstaw graficznie infor-macje z tabeli.

Odp. Ws = 6,7; 20; 33,3; 13,3; 26,7; X = 766,67; Sx = 249,44; Vx = 32,54 Zadanie 10 Na podstawie danych zamieszczonych w tabeli przeprowadź kompleksową analizę statystyczną. Polecenia:

a) dokonaj analizy struktury i tendencji centralnej obliczając właściwe miary statystyczne i dokonując ich interpretacji,

b) przeprowadź analizę rozproszenia, c) dokonaj prezentacji graficznej materiału.

Premia w tys. zł

Liczba pracowników

Zakład 1 Zakład 2 1,2 – 1,4 1,4 – 1,6 1,6 – 1,8 1,8 – 2,0 2,0 – 2,2 2,2 – 2,4 2,4 – 2,6 2,6 – 2,8

- -

10 43 37 - - -

2 7 15 32 25 21 12 6

RAZEM

Zapasy w zł (xio, xit>

Liczba sklepów ni

Wsi xi xi*n i (xi-xśr)2 (xi-xśr)

2*n i

200 – 400 400 – 600 600 – 800 800 – 1000 1000 - 1200

5 15 25 10 20

300

RAZEM

Wiek Liczba kobiet Liczba męŜczyzn

do 25 lat 25 – 34 35 – 44 45 – 54

ponad 55

409,7 390,1 309,2 99,4 12,0

353,8 311,8 271,1 110,3 29,3

RAZEM


Strona 17 z 24

ZADANIA

1. Na zakończenie I semestru uczniowie klasy drugiej technikum uzyskali następujące oceny:

Ocena 6 5 4 3 2 1 Ilość 6 58 92 99 143 24

Dokonaj analizy statystycznej ocen uczniów klasy drugiej (mediana, modalna, średnia, odchylenie standardowe i ich interpretacja). 2. Przeprowadzono badania, dotyczące liczby osób jadących w samochodach osobowych w godzinach rannych, w kierunku centrum pewnego miasta. Wyniki badań przedstawione są na diagramie kołowym.

Oblicz średnią liczbę osób jadących w samochodzie osobowym w godzinach rannych w kierunku centrum. Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym samochodzie osobowym, w godzinach rannych, w kierunku cen-trum, były więcej niż 3 osoby. Wiedząc, że samochodów osobowych, w których były 4 osoby, zaobserwowano o 350 więcej, niż samochodów w których było 5 osób, oblicz, ile wszystkich samochodów obserwowano w trakcie badań. 3. Zważono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.

Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła

16 1

18 15

19 24

20 68

21 26

22 16

Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. http://www.zadania.info/d170/1741005 4. Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzy-mało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piątkę? http://www.zadania.info/d896/1958294


Strona 18 z 24

5. W pewnym liceum, wśród uczniów 30 osobowej klasy (każdy uczeń pochodzi z innej rodziny), zebrano dane na temat posiadanego rodzeństwa. Wyniki badań przedstawiono na diagramie.

Wychowawczyni wybrała 3 osoby z tej klasy. Oblicz prawdopodobieństwo, że jedna z nich ma dwoje rodzeństwa, a dwie pozostałe nie mają rodzeństwa. Wynik zaokrąglij do części setnych. Oblicz średnią liczbę dzieci w jednej badanej rodzinie, odchylenie standardowe i medianę. http://www.zadania.info/d483/2268121 6. W pewnej szkole przeprowadzono ten sam sprawdzian z matematyki w trzech klasach 1a, 1b i 1c. Na poniższym diagramie przedstawiono wyniki tego sprawdzianu z wyszczególnieniem liczby osób, które uzyskały poszczególne oceny.

Ilu uczniów pisało sprawdzian w poszczególnych klasach? Która z ocen była wystawiana najczęściej? W której klasie średnia ocen ze sprawdzianu była najwyższa? http://www.zadania.info/d483/2330353 7. Na podanym wykresie przedstawiono stan wody w rzece Bug w okresie od 25 lutego do 15 marca 2009.

W których dniach stan wody w rzece nie przekraczał 207 cm? Jaki był średni stan wody w rzece w dniach 1-10 marca 2009? O ile procent podniósł się stan wody w rzece między 6 a 12 marca? Wynik podaj z dokładnością do jednego punktu procentowego. http://www.zadania.info/d483/2414742


Strona 19 z 24

8. Właściciel kiosku notował liczbę biletów komunikacji miejskiej sprzedanych w kolejnych godzinach. Wyniki obserwacji zapisał w tabeli.

Oblicz średnią liczbę biletów sprzedawanych w ciągu 1 godziny. Wynikiem „typowym” nazywamy wynik, który różni się od średniej o mniej niż jedno odchylenie standardowe. Podaj wszystkie godziny, w któ-rych liczba sprzedanych biletów nie była „typowa”. http://www.zadania.info/d170/3194483

9. Na diagramie poniżej przedstawiono procentowy podział miesięcznych zarobków w pewnej firmie.

Podaj medianę tych zarobków. Wyznacz średnią kwotę miesięcznych zarobków w tej firmie. Oblicz prawdopodo-bieństwo, że losowo wybrany pracownik tej firmy zarabia miesięcznie więcej niż 3000 zł. http://www.zadania.info/d483/3194688 10. Oblicz z dokładnością do 0,1 odchylenie standardowe następujących danych: a). b). - 2; 0; 1; 4; 7; 14. http://www.zadania.info/d170/3384875 11. Uczeń otrzymał pięć ocen:5; 3; 6; x; 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz x i medianę tych pięciu ocen. 12. Wyniki klasówki z matematyki, której średnia ocen była równa 3,5 przedstawiono w tabeli.

Oceny 1 2 3 4 5 6

Liczba uczniów 2 2 9 3 2

Oblicz . Oblicz medianę danych.

Czas obserwacji Liczba biletów

5:00–6:00 2

6:00–7:00 3

7:00–8:00 9

8:00–9:00 8

9:00–10:00 6

10:00–11:00 4

11:00–12:00 3

12:00–13:00 3

13:00–14:00 3

14:00–15:00 5

15:00–16:00 8

16:00–17:00 6

Wartość -3 -1 0 4 6

Liczebność 10 6 4 2 3


Strona 20 z 24

13. Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenione-go w sześciostopniowej skali ocen).

Dziewczęta Chłopcy

liczba osób 11 14

średnia ocen 4,0 3,8

odchylenie standardowe 1,1 1,8

Oblicz średnią ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy. Wyniki podaj z zaokrągle-niem do dwóch miejsc po przecinku. 14. Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 3. 15. Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości

http://www.zadania.info/d393/4675461 16. Jarek waha się, który obóz letni wybrać. Aby podjąć najlepszą decyzję sporządził tabelkę i obliczył średnie wa-żone. Który obóz powinien wybrać?

Koszt (waga 0,4)

Termin (waga 0,1)

Towarzystwo (waga 0,3)

Atrakcyjność (waga 0,2)

Średnia

Obóz wędkarski 8 2 8 4

Obóz żeglarski 4 4 6 7

Obóz rowerowy 7 6 5 5

http://www.zadania.info/d170/4866276 17. Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

Liczba błędów 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Liczba zdających 8 5 8 5 2 1 0 0 1

Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągle-niu do całości. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. 18. Pewna maszyna wykonuje śruby o średnicy 14 mm. Dokonano kontroli jakości wykonywanych śrub i jej wyniki zebrano w tabeli.

Średnica w mm 13,8 13,9 14 14,1 14,2

Liczba śrub 8 17 48 13 14

Opierając się na podanych danych. Oblicz średnią średnicę śruby.

Oblicz prawdopodobieństwo wyprodukowania śruby o średnicy z przedziału . Oblicz odchylenie standardowe średnicy śruby. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.


Strona 21 z 24

19. Sprzedawca kwiatów notował w tabeli ilość otrzymanych banknotów z podziałem według ich nominałów.

1 dzień 2 dzień 3 dzień 4 dzień 5 dzień

10 zł 2 7 4 6 1

20 zł 5 5 2 4 3

50 zł 2 3 0 3 5

100 zł 1 3 1 1 2

Podaj, w których dniach jego przychody były wyższe niż średni dzienny przychód w ciągu tych pięciu dni. Oblicz odchylenie standardowe liczby otrzymanych banknotów w ciągu tych pięciu dni. Wynik podaj z dokładno-ścią do 0,1. http://www.zadania.info/d170/7600547 20. Oblicz medianę następujących danych:

a) 13,2; 15; 12,225; 14; 16,8; 42,7; 22,1; 31,4; 20,6; 18,4

a)b) 21. Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności

Wartość 0 1 2 3

Liczebność 4 3 1 1

22. Na poniższym diagramie przedstawiono zbiorcze wyniki z egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym w 2008 roku. Dia-gram przedstawia rozkład wyników pogrupowanych w zależności od pro-centowego wyniku egzaminu.

Wiedząc, że egzamin na poziomie rozszerzonym zdawało 40598 maturzy-stów oblicz, ilu maturzystów uzyskało wynik w przedziale 0%–30%. Wie-dząc, że 60% maturzystów uzyskało z egzaminu co najmniej 47% punktów oblicz, jaki procent maturzystów uzyskał wynik w przedziale 31%–46%. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany maturzysta uzyskał wynik poniżej 47%. http://www.zadania.info/d393/8337780 23. Na pewnym przejściu granicznym celnicy odprawiają codziennie 200 samochodów ciężarowych. Na wykresie pokazano liczby ciężarówek oczekujących na odprawę celną o godzinie 24.00 każdego z pierwszych ośmiu dni lutego.

Wymień te dni, w których stanęło w kolejce do odprawy celnej co najmniej 200 samochodów ciężarowych. Pewnego dnia o północy związkowcy z Samoobrony zablokowali na 24 godziny dojazd do przejścia granicznego. Kiedy to było?

Dziedziną funkcji jest zbiór . Funkcja każdemu argumentowi przyporządkowuje liczbę cię-żarówek, które w danym dniu stanęły w kolejce do odprawy celnej. Podaj wartości tej funkcji. http://www.zadania.info/d483/9331767

Wartość 0,2 1 1,4 2 2,5 3

Liczebność 2 1 2 2 3 12


Strona 22 z 24

SŁOWNICZEK:

x – symbol średniej arytmetycznej;

xi – warianty cechy mierzalnej;

N – liczebność badanej zbiorowości;

N – suma liczebności (szeregi przedziałowe);

i

o

x - środek przedziału;

iw - procentowy wskaźnik udziału (odsetki);

H – symbol średniej harmonicznej;

D - symbol dominanty;

Dx - dolna granica klasy, w której znajduje się dominanta;

Dn - liczebność przedziału dominanty;

1−Dn - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty;

1+Dn - liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty;

Di - interwał, czyli rozpiętość przedziału dominanty;

eM - symbol mediany;

321 ,, QQQ - symbole kwartyli;

321 ,, QQQ xxx - granice przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i

trzeci;

N – ogólna liczebność danej zbiorowości;

∑−

=

1

1

k

iin - suma liczebności od klasy pierwszej do tej, w której znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi

(mediana) i trzeci;

31 ,, QMeQ nnn - liczebności przedziałów, w których, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi

(mediana) i trzeci;

31 ,, QMeQ iii - interwały (rozpiętość) przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi

(mediana) i trzeci;

d – symbol odchylenia przeciętnego; 2s - symbol wariancji;

s – symbol odchylenia standardowego;

V – symbol współczynnika zmienności.


Strona 23 z 24

BRUDNOPIS


Strona 24 z 24

BRUDNOPIS

Lekcje ze statystyki - ZS Krzepice · TEORIA i ZADANIA dla klasy II Technikum . Lekcje ze...

Documents

Transcript of Lekcje ze statystyki - ZS Krzepice · TEORIA i ZADANIA dla klasy II Technikum . Lekcje ze...