Language: Polish - EGMO · 2020. 4. 18. · Language: Polish Czas pracy: 4 godziny i 30 minut Za...
1
EGMOnd aan Zee Netherlands 2020 European Girls’ Mathematical Olympiad Kwiecień 2020 r. Zadanie 1. Dodatnie liczby calkowite a 0 , a 1 , a 2 ,..., a 3030 spelniają warunki 2a n+2 = a n+1 +4a n dla n =0, 1, 2,..., 3028. Udowodnić, że co najmniej jedna spośród liczb a 0 , a 1 , a 2 ,..., a 3030 jest podzielna przez 2 2020 . Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie ciągi (x 1 ,x 2 ,...,x 2020 ) nieujemnych liczb rzeczywistych, dla któ- rych spelniony jest każdy z następujących trzech warunków: (i) x 1 x 2 ... x 2020 ; (ii) x 2020 x 1 + 1; (iii) istnieje taka permutacja (y 1 ,y 2 ,...,y 2020 ) ciągu (x 1 ,x 2 ,...,x 2020 ), że 2020 i=1 ( (x i + 1)(y i + 1) ) 2 =8 2020 i=1 x 3 i . Permutacja ciągu to ciąg o tej samej dlugości i tych samych wyrazach, przy czym wyrazy te mogą wystąpić w dowolnej kolejności. Przykladowo, ciąg (2, 1, 2) jest permutacją ciągu (1, 2, 2), i oba te ciągi są permutacjami ciągu (2, 2, 1). Odnotujmy, że każdy ciąg jest swoją wlasną permutacją. Zadanie 3. W sześciokącie wypuklym ABCDEF zachodzi < ) A = < ) C = < ) E oraz < ) B = < ) D = < ) F , a dwusieczne kątów (wewnętrznych) < ) A, < ) C , < ) E przecinają się w jednym punkcie. Wykazać, że dwusieczne kątów (wewnętrznych) < ) B, < ) D, < ) F również przecinają się w jednym punkcie. Przyjmujemy < ) A = < ) F AB. Podobną konwencję stosujemy też dla pozostalych kątów wewnętrznych sześciokąta. Language: Polish Czas pracy: 4 godziny i 30 minut Za każde zadanie można otrzymać 7 punktów Aby ten konkurs byl sprawiedliwy i przyjemny dla wszystkich uczestniczek, nie udostęp- niaj nikomu treści zadań ani nie odnoś się do nich w internecie czy mediach spoleczno- ściowych do soboty 18 kwietnia, do godz. 23:59. Language: Polish Day: 1
Transcript of Language: Polish - EGMO · 2020. 4. 18. · Language: Polish Czas pracy: 4 godziny i 30 minut Za...
EGMOnd aan Zee Netherlands 2020
European Girls’ Mathematical Olympiad
Kwiecień 2020 r.
Zadanie 1. Dodatnie liczby całkowite a0, a1, a2, . . . , a3030 spełniają warunki
2an+2 = an+1 + 4an dla n = 0, 1, 2, . . . , 3028.
Udowodnić, że co najmniej jedna spośród liczb a0, a1, a2, . . . , a3030 jest podzielna przez 22020.
Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie ciągi (x1, x2, . . . , x2020) nieujemnych liczb rzeczywistych, dla któ-rych spełniony jest każdy z następujących trzech warunków:
(i) x1 6 x2 6 . . . 6 x2020;
(ii) x2020 6 x1 + 1;
(iii) istnieje taka permutacja (y1, y2, . . . , y2020) ciągu (x1, x2, . . . , x2020), że
2020∑
i=1
((xi + 1)(yi + 1)
)2 = 82020∑
i=1x3
i .
Permutacja ciągu to ciąg o tej samej długości i tych samych wyrazach, przy czym wyrazy te mogąwystąpić w dowolnej kolejności. Przykładowo, ciąg (2, 1, 2) jest permutacją ciągu (1, 2, 2), i oba teciągi są permutacjami ciągu (2, 2, 1). Odnotujmy, że każdy ciąg jest swoją własną permutacją.
Zadanie 3. W sześciokącie wypukłym ABCDEF zachodzi <) A = <) C = <) E oraz <) B = <) D = <) F ,a dwusieczne kątów (wewnętrznych) <) A, <) C, <) E przecinają się w jednym punkcie.Wykazać, że dwusieczne kątów (wewnętrznych) <) B, <) D, <) F również przecinają się w jednym punkcie.
Przyjmujemy <) A = <) FAB. Podobną konwencję stosujemy też dla pozostałych kątów wewnętrznychsześciokąta.
Language: Polish Czas pracy: 4 godziny i 30 minutZa każde zadanie można otrzymać 7 punktów
Aby ten konkurs był sprawiedliwy i przyjemny dla wszystkich uczestniczek, nie udostęp-niaj nikomu treści zadań ani nie odnoś się do nich w internecie czy mediach społeczno-ściowych do soboty 18 kwietnia, do godz. 23:59.
Language: Polish
Day: 1
