Klasyfikacja systemów

System ciągły System dyskretny

Przykłady

t

xkty0

d 2

1 nxnxny

Właściwości systemów

Addytywność )()()()( 2121 txftxftxtxf

)()()()( 2121 nxfnxfnxnxf Jednorodność

)()( txkftkxf

)()( nxkfnkxf Liniowość

)()( 2221112211 txfktxfktxktxkf

)()( 2221112211 nxfknxfknxknxkf

Przykład 1

nx1

nx2

253 nxnxny

253 111 nxnxny

253 222 nxnxny

2253 22112211 nxknxknxknxkny

System jest liniowy

nxknxknx 2211

)2(5)(3)2(5)(3 222111 nxnxknxnxk

.nyknyk 2211

Przykład 2

System jest nieliniowy

2)(50 tx.ty

tx1

tx2

211 )(50 tx.ty

222 )(50 tx.ty

.txtxkk

txk.txk.txktxk.ty

2121

22

22

21

21

22211 )(50)(50)()(50

tytx.ktx.ktyktyk 222

2112211 )(50)(50

txktxktx 2211

Stacjonarność

System ciągły

System dyskretny

tx ty

hty htx dla wszystkich t i dowolnego h

nx ny

Nny Nnx dla wszystkich n i dowolnego N

Przykład

ttxty 0cos3

thtxhtx 0cos3

)(cos3 0 hthtxhty

System jest niestacjonarny

Bezinercyjność

System ciągły

System dyskretny

System nie jest bezinercyjny, czyli jest inercyjny

y(t) w chwili t zależy od x(t) określonego wyłącznie w tej samej chwili t

y(n) zależy od x(n) wyłącznie dla tego samego n

Przykład

12 nxnxny

Stabilność

System ciągły

System dyskretny

,tx xKtx ,ty yKty

,K x yK

dla wszystkich t

dodatnie stałe

,nx xKnx ,ny yKny

,K x yK

dla wszystkich n

dodatnie stałe

Odpowiedź ciągłego systemu LTI

kk

k tttx

0

(1.32)

tht

kk

k tthtx

0

ε (1.33)

(1.34)

d0t

thxty

dthxty (1.35)

0 tt thth

nhn

k

knkxnx (1.38)

Odpowiedź dyskretnego systemu LTI

nhn

knhkn

knhkxknkx

kk

knhkxknkx

k

knhkxny (1.39)

tftftf 21

d21 tfftf

tftftftf 1221

d2121 tfftftf

(1.40)

(1.41)

Splot ciągły

vt vt vdd

v

v

tftfvvtfvf

vvfvtftftf

1212

2121

d

d

dthxty

dtxhty

(1.42)

(1.43)

Rys. 1.23

d2121 tfftftftf (1.44)

Graficzna interpretacja splotu ciągłego

01 tf 0tdla

d2

0

1 tfftf

Rys. 1.24

Rys. 1.25

Rys. 1.26 Rys. 1.27

57d4d444

0

212

0

1 .fffff

Rys. 1.28

Rys. 1.29

Rys. 1.30

Rys. 1.31

Rys. 1.33

Rys. 1.32

t negative 0 1 2 3 4 5 greater than 5

f(t) 0 0 0.5 2 4.5 7.5 10.5 10.5

Rys. 1.34

nfnfnf 21

knfkfnfk

21

nfnfnfnf 1221

knfkfnfnfk

2121

(1.46)

Splot dyskretny

mkn

mnk

mk

mk

k

knxkhny

k

knhkxny

(1.47)

nfnfmnfmf

mfmnfnfnf

m

m

1212

2121

f1(n)

n0 1

1

2 3 4

2

3

f2(n)

n0 31

1

42

Rys. 1.37

k

knfkfnf 21 (1.48)

Interpretacja graficzna splotu dyskretnego

f2(n-k)

k0 1-1

2

1

3

2 3

n = 2

f1(k) f2(n-k)

k0 1

2

1

3

2 3

n = 2

Rys. 1.38 Rys. 1.39

Rys. 1.40

knfkfnfk

21

Rys. 1.41

Rys. 1.42

f(n)

n0 31

1

2

4

3

2

5

6

4 5 6-1

Rys. 1.43

32211000 212121 fffffff

51201101 212121 fffffff

60211202 212121 fffffff

31221303 212121 fffffff

12231404 212121 fffffff

0nf

0nf 0n

4n