KATEDRA I ZAKŁAD CHEMII LEKÓWPRACOWNIA BIOFIZYKIPRACOWNIA BIOFIZYKI

Kierownik Katedry: Prof. dr hab. Aleksander P. Mazurek

Kierownik Pracowni Biofizyki: dr Marek Wasek

SPRAWY ORGANIZACYJNE:

• materiały do odbicia na xero

• dostępne są także na stronie internetowej

www.farm.amwaw.edu.pl

• możliwość przesłania via e-mail. Mój adres:

mwasek@farm.amwaw.edu.pl

• lub zapisać na cd (należy mieć własną płytkę)

WAŻNE DATY:

(1)16-20 kwietnia 2007 r. – kolokwium: ćwiczenie statystyczne ( 45 min.) + co najmniej 5 pytań dotyczących wykładów z biofizyki ( 1 godz.)

(2) 26 czerwca 2007 r. – kolokwium poprawkowe: 4x7=28 pytań dotyczących wykonywanych ćwiczeń + ćwiczenie statystyczne + co najmniej 5 pytań dotyczących wykładów z biofizyki ( 2 godz. 15 min)

(3) 7 września 2007 r. – kolokwium poprawkowe

(jak w punkcie 2)

Co należy mieć do studiowania :Co należy mieć do studiowania :

• skrypt: METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

• instrukcje do wykonania 4 ćwiczeń laboratoryjnych

• notatki z wykładów

Literatura:

1. Biofizyka, Podręcznik dla studentów pod redakcją Feliksa Jaroszyka, Wydawnictwo Lekarskie PZWL, Warszawa 20012. Podstawy biofizyki, Podręcznik dla studentów pod redakcją Andrzeja Pilawskiego, Państwowy Zakład Wydawnictw Lekarskich3. Fizyczne metody diagnostyki medycznej i terapii, A.Z. Hrynkiewicz, E. Rokita, Wydawnictwo Naukowe PWN 2000oraz 3. Literatura cytowana na dalszych wykładach

A najlepiej być na wykładach i robić własne notatki.

METODYKA POMIARÓW WIELKOŚCI FIZYCZNYCH. PODSTAWY TEORII NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

WIELKOŚCI PROSTYCH I ZŁOŻONYCH.

NIEPEWNOŚCI TYPU „A” I TYPU „B”.

WYKŁAD 1 14 lutego 2007 rWYKŁAD 1 14 lutego 2007 r

Nic nie wymaga większej dokładnościprzy roztrząsaniu spraw ludzkich jak ścisłe rozróżnienie, co jest wynikiem przypadku, a co działaniem przyczyn”DAVID HUMEEsej: „Powstanie i postęp sztuk i nauk”

Celem wykładu jest: Zapoznanie ze współczesnym podejściem do

zastosowań statystyki matematycznej w naukach przyrodniczych

Uświadomienie roli pomiarów we współczesnym świecie

Zapoznanie z modelem procesu pomiarowego Poznanie przyjętego systemu miar i ich wzorców Opanowanie umiejętności szacowania niepewności

pomiarowych typu A i typu B Opanowanie umiejętności przedstawiania wyników

pomiarów Zrozumienie pojęć precyzja - dokładność

STATYSTYKASTATYSTYKA STATYSTYKA STATYSTYKA MATEMATYCZNAMATEMATYCZNA

STATYSTYKA STATYSTYKA STOSOWANASTOSOWANA

Statystyka to nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska masowe.Statystyka stosowana to dział statystyki, do obszaru zainteresowań którego należą zastosowania statystyki w innych dziedzinach wiedzy. Metody statystyczne mogą posłużyć każdemu, kto używa empirycznej obserwacji do opisu otaczającego nas świata. Dlatego statystyka jest wykorzystywana nie tylko w naukach przyrodniczych, ale także na przykład w historii lub sztuce.

Statystyka matematyczna to dział Statystyka matematyczna to dział statystyki, używający teorii statystyki, używający teorii prawdopodobieństwa i innych prawdopodobieństwa i innych działów matematyki do rozwijania działów matematyki do rozwijania statystyki z czysto matematycznego statystyki z czysto matematycznego punktu widzenia. Statystyka punktu widzenia. Statystyka matematyczna zapewnia matematyczna zapewnia teoretyczne podstawy dla metod teoretyczne podstawy dla metod używanych w statystyce używanych w statystyce stosowanej. stosowanej.

„„Dane należy torturować tak długo, aż Dane należy torturować tak długo, aż zaczną zeznawać”zaczną zeznawać”**

* - Napotkane w sieci internetowej

METROLOGIA - nauka o pomiarach (metron – miara, logos – słowo, nauka)

Metrologia, jej rola w dzisiejszym świecie:• weryfikacja praw i modeli stosowanych w

fizyce, chemii i biologii; • zastosowanie w naukach medycznych

(diagnostyka medyczna, analityka medyczna itp.);

• wzorcowanie aparatury pomiarowej; • zastosowanie w farmacji, kontrola jakości;• ekonomiczny sukces większości przemysłów

wytwórczych jest bezpośrednio zależny od jakości wytworzonych produktów - wymagania w którym metrologia spełnia kluczową rolę;

• wymiana handlowa;• ochrona środowiska w zakresie krótko- i

długotrwałych destrukcyjnych efektów działalności przemysłu (człowieka) może być tylko zapewniona na podstawie dokładnych i wiarygodnych pomiarów;

Staroegipska waga dźwigniowa z ok. 5000 r. p. Chr.

Źródłozjawiska

Przyrząd pomiarowy Obserwator

Wzorzec

Pomiar - doświadczalne porównanie określonej wielkości mierzalnej z wzorcem tej wielkości przyjętym za jednostkę miary, którego wynikiem jest przyporządkowanie wartości liczbowej mówiącej ile razy wielkość mierzona jest większa lub mniejsza od wzorca.

Cechy pomiaru:Cechy pomiaru:• • wiarygodność,wiarygodność,• • dokładność,dokładność,• • jednolitość w skali krajowej i międzynarodowej,jednolitość w skali krajowej i międzynarodowej,• spójność pomiarowaspójność pomiarowa

KONIECZNOŚĆ WALIDACJI METOD ANALITYCZNYCH

AKREDYTACJA, SYSTEMY JAKOŚCI

GLOBALIZACJA W ZASTOSOWANIACH STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Guide to Expression of Uncertainty in Mesurement – 1995 r. Międzynarodowe Biuro Miar (BIPM)

Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO)

Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna (IEC)

Międzynarodowa Federacja Chemii Klinicznej (IFCC)

Międzynarodowa Unia Chemii Czystej i Stosowanej (IUPAC)

Międzynarodowa Unia Fizyki Czystej i Stosowanej (IUPAP)

Międzynarodowa Organizacja Metrologii Prawnej (OIML)

Wyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodnik. GŁÓWNY URZĄD MIAR 1999 r.

POWODY „GLOBALIZACJI”

1.1. Wymogi w zastosowaniach medycznych i Wymogi w zastosowaniach medycznych i ochrony środowiskaochrony środowiska

2. Normalizacja w zastosowaniach statystyki w chemii analitycznej.

3. Normalizacja procesów akredytacyjnych metod pomiarowych i metod badawczych

4. Walidacja metod analitycznych

5. Spójność pomiarowa

Teoria niepewności pomiarów

Każdy pomiar może być wykonany tylko z ograniczoną dokładnością (precyzją)

Ważąc kilkakrotnie to samo ciało za pomocą tychsamych odważników i na tej samej wadze analitycznejotrzymuje się na ogół za każdym razem inny wynik.Jeszcze większe różnice wystąpią między wynikamiważenia na różnych wagach, albo przy użyciu różnychodważników.

Źródła „omyłek”Źródła „omyłek”• niepełna definicja wielkości mierzonej

• niereprezentatywne pobieranie próbek

• niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej (pomiar g)

• niepełna znajomość wpływu warunków środowiskowych na procedurę pomiarową lub niedoskonały pomiar parametrów charakteryzujących te warunki

• subiektywne błędy w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych (np. błąd paralaksy)

Źródła „omyłek” c.d.Źródła „omyłek” c.d.• skończona rozdzielczość lub próg pobudliwości przyrządu

• niedokładne znane wartości przypisywane wzorcom i materiałom odniesienia

• niedokładne znane wartości stałych

• upraszczające przybliżenia i założenia stosowane w metodach i procedurach pomiarowych

ZAWSZE:WYNIK KOŃCOWY NIEPEWNOŚĆ

(jednostka)

Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub estymatą (oszacowaniem) wartości wielkości mierzonej

Przykłady:

87 12 m

36,2 0,1 oC

1,23 0,11 s

PRAWIDŁOWO: 36,35 0,04 0C

2,5 0,4 kg

3,7110-2 0,02 10-2

m

NIEPRAWIDŁOWO: 36,35 0,04

2,51 0,4 kg

3,7110-2 0,023 10-2

m

12,34567 0,22643 Bq

BŁĄD NIEPEWNOŚĆOmyłka, uchyb, błąd*), niepewnośćSYNONIMY?

* - Asystent zwraca się do studentki:

A z jakim błędem wyznaczyła Pani grubość próbki?

Studentka:

No, wie Pan! Ja nie robię błędów

Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:

Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I Pracowni Fizycznej

BŁĄD NIEPEWNOŚĆBłąd – różnica między daną wartością zmierzoną i wartością rzeczywistąNiepewność ( ang. uncertainty) – związany z rezultatem parametr charakteryzujący rozrzut wyników, który można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej

Błąd – pojęcie abstrakcyjne, nie można wyrazić liczbą, można operować jedynie przy uwzględnianiu ew. źródeł jego popełnienia

Niepewność – parametr (wartość liczbowa) , pokazuje rozrzut wyników pomiarów wokół np. wartości średniej arytmetycznej wszystkich wyników.

A czy rozkład Gaussa dobrze opisuje wszystkie przypadki eksperymentalnych?

BŁĄD (NIEPEWNOŚĆ)

Bezwzględny Względny

B ł ą d b e z w z g l ę d n y pomiaru, x, jest to różnicamiędzy rzeczywistą wartością x0 mierzonej wielkości awartością x uzyskaną z pomiaru, czyli :

xx=x 0 B ł ą d w z g l ę d n y to stosunek błędubezwzględnego do rzeczywistej wartości mierzonejwielkości, czyli :

0xx lub 100%

xx

0

A co się stanie, gdy mierzona wartość x0 jest bliska zeru? Na przykład pomiar masy neutrino w fizyce jądrowej.

Błąd bezwzględny ma miano wielkości mierzonej iwyraża się w jej jednostkach. Informuje on nas, o ile(mniej więcej) jednostek prawdziwa wartośćmierzonej wielkości może się różnić od wynikupomiaru.

Błąd względny jest wielkością niemianowaną.Informuje on o tym, j a k ą c z ę ś c i ą rzeczywistejwartości jest błąd, który obciąża wynik pomiaru.Posługując się błędem względnym możemyporównywać dokładność (precyzję) pomiarów zupełnieróżnych wielkości.

BŁĘDY (NIEPEWNOŚCI)

Systematyczne Przypadkowe

Błędy (niepewności) przypadkowe

xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )

x0 – wartość prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i przestrzenne wielkości nie mierzonej. Charakter losowy. Źródłem błędów przypadkowych są tzw. oddziaływania przypadkowe:

Oddziaływania przypadkowe:

niedokładność odczytu (niedokładna ocena części działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych) fluktuacja warunków pomiaru (temperatura, ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej) obecność źródeł zakłócających; nieokreśloność mierzonej wielkości; niedoskonałość zmysłów obserwatora;

Błędy (niepewności) systematyczne

xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )

x0 – wartość prawdziwa

Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest mały. Błędy te są powodowane oddziaływaniami systematycznymi

Oddziaływania systematyczne:

niedoskonałość przyrządów pomiarowych błędne wyskalowanie, niewyzerowanie błąd paralaksy w analityce – złe wzorce nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków skalowania (inne warunki pomiaru próbki i wzorca)

Błąd paralaksy

*) - Przykład z „Elementarza rachunku błędu pomiarowego” – dr Piotr Jaracz - Wydział Fizyki U.W.)

23,3 ppm; 24,5 ppm; 27,9 ppm ; 33,5 ppm; 0,02 ppm

ppm = g/g

W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować czasami skomplikowane testy statystyczne !!!!

Błędy grube

xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )

x0 – wartość prawdziwabłąd gruby

BŁĘDY „GRUBE” ODRZUCAMY

WIELKOŚCI MIERZONE

W pomiarach bezpośrednich W pomiarach pośrednich

Pomiar jednej wielkości (np. pomiar masy ciała, pomiar temperatury, itd.

Pomiar kilku wielkości x1,x2,…xn

Obliczenie wielkości pośredniej zgodnie ze wzorem funkcyjnym:

y=f(x1,x2,…xn)Na przykład pomiar okresu drgańi długości wahadła matematycznego. Obliczenie wartości przyspieszeniaziemskiego g.

l, T – wielkości wejściowe, zmierzone w pomiarach bezpośrednich, mają swoje niepewności

Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych warunkach?Jak policzyć niepewność g?

Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiarwielkości l (wielkości nieskorelowane)

2

2

Tl4g

gl2T

Zgodnie z Przewodnikiem niepewnościklasyfikujemy na dwie kategorie

w zależności od metody ich obliczania:

TYPU A TYPU B

METODA TYPU A

Metoda szacowania niepewności, która opiera się na obliczeniach statystycznych(statystyczna analiza serii pomiarów – n 4)

METODA TYPU B

Metoda szacowania niepewności, która Wykorzystuje inne metody niż statystyczne: doświadczenie eksperymentatora porównanie z wcześniej wykonywanymi podobnymi pomiarami certyfikat producenta wykorzystywanych w pomiarach przyrządów analiza materiału wzorcowego (odniesienia)

Najczęściej pomiar jednokrotny

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH

1. Wykonujemy serię (skończoną) pomiarów 2. Wielkością najbardziej prawdopodobną jest średnia arytmetyczna :

3. Niepewność standardowa pojedynczego pomiaru u(x) (tzw. odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru Sx)

n

xx

n

1ii

n

1i

2ix xx

1n1S)x(u

Niepewność u(x) charakteryzuje każdy pomiar z osobna

W chemii analitycznej (tzw. „ilościówka”) częściej używa siępojęcia : odchylenie standardowe (ang. standard deviation) Sx określa precyzję pomiaru ( w chemii analitycznej)

W chemii analitycznej używa się pojęcia względne odchylenie standardowe (współczynnik zmienności) (RSD – z ang. relative standard deviation)

lub x

SRSD x 100x

SRSD x

INTERPRETACJA GRAFICZNA u(x)

- poziom ufności; prawdopodobieństwo , że wynik dowolnego pomiaru będzie się znajdował w przedziale )Skx( x

Dla k=1 =0,683; k=2 = 0,954; k=3 =0,997

Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność wyniku czyli wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

1nn

xx

nSSxu

n

1i

2i

xx

Tej wielkości nie ma w kalkulatorach ( ale jest Sx)

Zgodnie z Przewodnikiem [1] ( rozdz. 6.1 , str. 32) : „ chociaż niepewność standardowa może być powszechnie stosowana do wyrażania niepewności wyniku pomiaru, to w pewnych handlowych, przemysłowych i prawnych zastosowaniach, jak również wtedy, gdy chodzi o zdrowie i bezpieczeństwo, często konieczne jest podawanie takiej miary niepewności, która określa przedział wokół wyniku pomiaru, od którego to przedziału można oczekiwać, że obejmuje dużą część rozkładu wartości, które w uzasadniony sposób można przypisać wielkości mierzonych”.

Konsekwencją powyższego było wprowadzenie

pojęcia niepewności rozszerzonej U:

xukU U [ expanded uncertainty]; k [coverage factor]

k – współczynnik rozszerzenia , zwykle 2 ≤ k ≤ 3Jak dobierać współczynnik k? (ćwiczenia laboratoryjne)

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH POŚREDNICH

)x,...x,x(fy K21

K21 x,...x,x)x(u),...x(u),x(u K21

x1, x2,…,xK – wielkości wejściowe nieskorelowane, każde określone w pomiarach bezpośrednich. Znamy: oraz niepewności standardowe średnich:

PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?

PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową wielkości y ?

(*)

PYTANIE 3. Jak obliczyć niepewność rozszerzoną wielkości y ?

K21 x,...,x,xfy

1x

2x

Kx

y

1.

Schemat przenoszenia wielkości wejściowych

2. Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością standardową (ang. combined standard uncertainty)

K

1ii

22

ic )x(u

xf)y(u

)x(u 1

)x(u 2

)x(u K

)y(uc

Schemat przenoszenia niepewności wielkości wejściowych

3. Niepewność rozszerzoną policzymy ze wzoru:

yukU c

Dobór współczynnika k jest czasami trudny np. wtedy, gdy każda z wielkości wejściowych ma różną krotność wykonywanych pomiarów.

METODA TYPU B

Metoda szacowania niepewności wykorzystująca inne metody niż statystyczne: wcześniejsze doświadczenie eksperymentatora specyfikacja producenta odnośnie używanego w pomiarach przyrządu (klasa przyrządu) z kalibracji (wcześniej wykonanej) badania na materiale odniesienia (chemia analityczna)

Najczęściej jeden lub dwa pomiary

Parametry metrologiczne aparatury:Klasa przyrządu K (dana przez producenta)Niepewność pomiaru wynikająca z klasy przyrządu kx:

Dla woltomierza klasy 0,2 na zakresie 50 Vpopełniamy „błąd” kx = 0,1 V

100pomiaru zakresKxk

Rozdzielczość przyrządu : Dla pomiarów długości:1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla suwmiarki;0,01 mm dla śruby mikrometrycznej

Dla pomiarów temperatury:0,1 0C dla termometru lekarskiego;10C dla termometru „zaokiennego”

Dla mierników wychyłowych – „odstęp” pomiędzy kreskami (ew. połowa)

Rozdzielczość przyrządu: Dla mierników analogowych - zmiana ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 0,01 V)Niepewność wynikająca z rozdzielczości aparatury d

Maksymalna (graniczna) niepewnośćpomiaru szacowana metodą typu B wynosi:

xxx kdg

Niepewność standardowa szacowana metodą typu B wynosi:

Niepewność rozszerzona UB: UB = k()uB(x)

Dla poziomu ufności , współczynnik k()

3x

xu gB

3k

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B W POMIARACH POŚREDNICH

x1

y

x2

xK

K21 x,...,x,xfy

x1, x2, …,xK – wielkości pomiarów jednokrotnych

Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru g(y)może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej

gx1

gx2

gxK

g(y)ig

K

1i ig x

xfy

UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do zawyżonych wyników niepewności (zwłaszcza dla K> 3)

A w jaki sposób obliczyć niepewność wielkości, która uzależniona jest od oddziaływań systematycznych iprzypadkowych ?

2B

2Ac uu)x(u Standardowa niepewność

całkowita

A jak liczyć niepewność rozszerzoną?

PAMIĘTAJ !!! Do obliczania wielkości pośrednich i niepewności używaj wielkości niezaokrąglonych

DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI KOŃCOWEBŁĘDY I WYNIKI KOŃCOWE::

PRZYKŁAD:PRZYKŁAD:

Pewien eksperymentator wykonał kilkaset Pewien eksperymentator wykonał kilkaset pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:

100,543100,543667877872234134111 5,800 5,8002234134177894894443 3 mm

rozmiar atomurozmiar atomurozmiar jądrarozmiar jądra

rozmiar kwarkarozmiar kwarka

Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc zlewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.

ZAPAMIĘTAJ POJĘCIE: CYFRA ZNACZĄCA!

0,12501 - 5 cyfr znaczących0,012501 - 5 cyfr znaczących0,0125010 - 6 cyfr znaczących12501000 - co najmniej 5 cyfr znaczących

PRZEPIS „KUCHENNY” ZAOKRĄGLANIA :

1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności ZAWSZE W GÓRĘ DO JEDNEGO LUB

DWÓCH MIEJSC ZNACZĄCYCH

Do jednego miejsca znaczącego, gdyna skutek zaokrąglenia błąd ten nie

zwiększy się nie więcej niż o 10%

0,12501 może być tylko 0,2 lub 0,13

Którą wybieramy?Sprawdzamy:

(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)

Zatem niepewność = 0,13

1. Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np. 123,37602

0,13 2. Patrzymy na cyfrę:

3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy

według następujących zasad: Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół

tzn. gdyby wynik był 123,37 489 to dostaniemy

123,37 0,13

Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy wgórę tzn. dla wyniku 123,37 602 zostanie:123,38 0,13

Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, apo niej następują jakiekolwiek cyfry różne odzeraW sytuacji np. wyniku 123,3750000001lub 123,3753210023zaokrąglamy do 123,38 0,13

Sytuacja się trochę komplikuje ( ale nie takstrasznie) gdy mamy wynik:123,375 lub 123,37500000000000000

CO ROBIMY?Patrzymy na cyfrę :Jeżeli jest nieparzysta to w górę czyli123, 380,13Jeżeli parzysta to w dół :123,345 zatem pozostanie 123,34 0,13

WNIOSEK PRAKTYCZNY:

W TAKIEJ SYTUACJI ZOSTAJE ZAWSZE CYFRA PARZYSTA

ZAPAMIĘTAJ ! PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:

WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ SAMĄ ILOŚĆ

MIEJSC DZIESIĘTNYCH !

NIE !!!

R = 123, 35602 0,12501

TAK !!!!

R = 123,36 0,13

BARDZO WIELE PRZYKŁADÓW ZAOKRĄGLANIA BŁĘDÓW I WYNIKÓW KOŃCOWYCH PRZEROBIMY NA PIERWSZYCH ZAJĘCIACH LABORATORYJNYCH

Porównanie wyników

Często zachodzi potrzeba porównania dwóch wartości liczbowych danej wielkości fizycznej. Oznaczmy wartości porównywanych wielkości przez x1 i x2, ich niepewności przez x1 i x2. Sprawdzamy

x1 - x2 x1 + x2

Jeżeli nierówność jest spełniona:WNIOSEK:

Wielkości są sobie równe w granicach błędux1 i x2

w1+w1w1- w1 w1

w2 - w2 w2 w2+w2

|w1 – w2| < w1+ w2

w1+w1w1- w1 w1

w2 - w2 w2 w2+w2

|w1 – w2| > w1+ w2

PRZY PORÓWNANIU WYNIKÓW UŻYWAMYOSTATECZNYCH, ZAOKRĄGLONYCH, WARTOŚCIX i X

Na przykład grubość włosa zmierzona za pomocą mikroskopu dla dwóch różnych obiektywów :

100 100 m m 8 8 m oraz 87 m oraz 87 m m 4 4 mm

| 100 -87 | = 13 > 8 + 4 = 12 | 100 -87 | = 13 > 8 + 4 = 12

Wniosek: wielkości zmierzone nie mieszczą się w Wniosek: wielkości zmierzone nie mieszczą się w granicach błędu ( dlaczego ?)granicach błędu ( dlaczego ?)

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓWMETODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

W doświadczeniach często się zdarza, że jedna mierzona przez nas wielkość y jest funkcją drugiej wielkości x, przy czym mierzymy równolegle wartości xi i yi. Zmierzone wartości przedstawiamy następnie na wykresie i próbujemy znaleźć krzywą odpowiadającą funkcji y = f(x), która najlepiej opisywałaby przebieg punktów doświadczalnych.

Bardzo często znamy postać funkcyjną y = f(x) np. Bardzo często znamy postać funkcyjną y = f(x) np. funkcja liniowa, wykładnicza, logarytmiczna, funkcja liniowa, wykładnicza, logarytmiczna, kwadratowa, wielomianowa itp..kwadratowa, wielomianowa itp..

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6

zmienna x

zmie

nna

y

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6zmienna x

zmie

nna

y

d1

d2

d3

d12 + d2

2 + d32 + ..... = min.

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6zmienna x

zmie

nna

y

METODA ALGEBRAICZNAMETODA ALGEBRAICZNA

NALEŻY DO DANYCH DOŚWIADCZALNYCH NALEŻY DO DANYCH DOŚWIADCZALNYCH xxii , y , yii DOPASOWAĆ LINIĘ PROSTĄ DOPASOWAĆ LINIĘ PROSTĄ y = a + b y = a + bxx

2

i2

i

i2

iiii

xnxyxyxxa

2

i2

i

iiii

xnxyxnyxb

2i

2i

2i

2i

iiii

yn1yx

n1x

yxn1yx

R

gdzie n jest liczbą punktów doświadczalnych.Wszystkie sumowania rozciągają się od i=1do i=n.

Wszystkie niezbędne wzory ( na obliczenie niepewności SWszystkie niezbędne wzory ( na obliczenie niepewności Saai i SSbb) można znaleźć : ) można znaleźć : Henryk Szydłowski: „ Pracownia Fizyki”Henryk Szydłowski: „ Pracownia Fizyki”

PRZYKŁAD.

Posługując się programem ORIGIN oblicz współczynniki a,b, R, Sa i Sbdla regresji liniowej dla następujących danychdoświadczalnych:

L.p. xi yi

1 0,2 100,0

2 3,0 82,2

3 5,9 70,3

4 10,0 64,15 13,1 39,2

6 17,1 33,0

7 19,8 12,1

8 23,9 3,0

a = 97,55422 ; b = - 4,04875

Sa = 3,31696 ; Sb = 0,23669

Dla = 0,05 i n = 8 tn, = 2,4

960704,7Sskora 568056,0Sskor

b

R = -0,9899

a = 98 8 b = - 4,0 0,6

Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * X---------------------------------ParamValue sd---------------------------------A -1,63448 1,83986B 0,13979 0,02726---------------------------------R = 0,94742SD = 1,57667, N = 5P = 0,01436

Sa

Sb

Współczynnik regresji

Liczba pomiarów

JAK RYSOWAĆ WYKRESY ?

2txtx

U[mv]

t[0C]

Ux

METODA GRAFICZNA

(niepewności pomiarów znane)

METODA GRAFICZNA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25WARTOŚĆ X

WA

RTO

ŚĆ Y

X1

22yy

PRECYZJA A DOKŁADNOŚĆ ?

STRZELAMY DO TARCZYNieprecyzyjnie i niedokładnie Precyzyjnie ale niedokładnie

Nieprecyzyjnie ale dokładnie Precyzyjnie i dokładnie

PRECYZJA I DOKŁADNOŚĆ TO NIE TE SAME POJĘCIA

PRECYZJA I DOKŁADNOŚĆ TO NIE TE SAME POJĘCIA

Przykład.

Wykonano oznaczenia zawartości azotu w próbkach zboża ( w celu oznaczenia zawartości białka) dwiema niezależnymi metodami: Metodą Kjeldahla (chemia „mokra”) Metodą analizy aktywacyjnej (tzw. GAA)

Uzyskano następujące wyniki:

Metoda Kjeldahla (%)

Metoda GAA (%)

1,89 1,84

1,93 1,78

2,01 1,68

1,76 1,80 1,82 1,73

2,19 1,70

xśr = 1,9333333 xśr = 1,755

SX = 0,15266521 SX = 0,06188993 RSD = 7,8964 % RSD = 3,5263%

SXśr = 0,06232531 SXśr = 0,025265259

SXśrSKOR=0,1620458 SXśr

SKOR=0,0656896

X1 = 1,93 0,17 (%) X2 = 1,76 0,07 (%)

x1 - x2 x1 + x2

|1,93 – 1,76|=0,17 < 0,17 + 0,07 = 0,24 %

Wielkości mierzone mieszczą się w granicach błędu!

„Prawdziwą” wartość uzyskuje się poprzez tzw. atestację.

Wartość atestowana próbki zboża wynosiła:

1,96 0,08 %

Wnioski:

METODA - KJELDAHLA: WYSOCE DOKŁADNA , MAŁO PRECYZYJNA

METODA - GAA:WYSOCE PRECYZYJNA, MAŁODOKŁADNA