Dr Stanisław Łuczyński

e-mail sluczynaghedupl

MECHANIKA PŁYNOacuteW

Podstawowe podręczniki

1 Gryboś R Podstawy mechaniki płynoacutew Warszawa PWN 1998

2 Bukowski J Mechanika płynoacutew Warszawa PWN 1968

3 Wacławik J Mechanika płynoacutew i termodynamika Krakoacutew Wydawnictwo

AGH 1993

4 Orzechowski Z Prywer J Zarzycki R Mechanika płynoacutew w inżynierii

środowiska Warszawa PWN 1997

5 Tuliszka E Mechanika płynoacutew Warszawa PWN 1980

6 Mitosek M Mechanika płynoacutew w inżynierii i ochronie środowiska Warszawa

PWN 2001

Dodatkowe

7 Batchelor GK An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press

1970

8 Schlichting H Grenzschicht-Theori Karlsruhe G Braun 1964

9 Ландау ЛД Лифшиц ЕМ Гидродинамика Москва Наука 1986

10 Лойцянский ЛГ Механика жидкости и газа Москва Наука 1970

3

Przedmiot mechaniki płynoacutew

Przedmiotem mechaniki płynoacutew są prawa rządzące ruchem i stanem

spoczynku płynoacutew

Wielkości masy i energii podlegają prawom zachowania

Mechanika płynoacutew nazywana też mechaniką cieczy i gazoacutew

Dzieli się na hydromechanikę i aerodynamikę

Działy te obejmują zagadnienia

statyki kinematyki dynamiki

Metody badań w mechanice płynoacutew dzielą się na

- metody doświadczalne (obserwacja eksperyment)

- metody analityczne (roacutewnania warunki początkowe i brzegowe)

- metody poacutełempiryczne

- metody komputerowego modelowania (symulacji)

4

Wiadomości wstępne

Stany skupienia substancji

bull Ciała stałe

bull Ciecze

bull Gazy

bullT - topnienie - przejście z fazy stałej

do fazy ciekłej

bullK ndash krzepnięcie - przejście od fazy

ciekłej do fazy stałej

bullP ndash parowanie wrzenie - przejście

od fazy ciekłej do gazowej

bullSk - skraplanie - przejście od fazy

gazowej do ciekłej

bullS - sublimacja - przejście od fazy

krystalicznej do gazowej

bullR - resublimacja - przejście od fazy

gazowej do krystalicznej

5

bull Siły spoacutejności lub kohezji (przyciągania cząsteczek tej samej substancji)

bull Siły przylegania lub adhezji (przyciągania cząsteczek roacuteżnych substancji)

O stanie skupienia danej substancji decyduje bilans oddziaływania energii kinetycznej drobin oraz sił kohezji [46]

Siły działające w płynach

Napięcie powierzchniowe

Woda Rtęć

θ lt 90ordm θ gt 90ordm

kFjFiFF zyx

Siły masowe

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił

Siły te są proporcjonalne do całej masy płynu Można do nich zaliczyć

- siły grawitacji (ciężar płynu)

- siły bezwładności (drsquoAlemberta)

- siły odśrodkowe (np w naczyniu)

- siły o naturze elektromagnetycznej

Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa przypadająca na

m = V

m

RF

m

0lim

Fz = -g

F

z

y

x

i j

k

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

Podstawowe podręczniki

1 Gryboś R Podstawy mechaniki płynoacutew Warszawa PWN 1998

2 Bukowski J Mechanika płynoacutew Warszawa PWN 1968

3 Wacławik J Mechanika płynoacutew i termodynamika Krakoacutew Wydawnictwo

AGH 1993

4 Orzechowski Z Prywer J Zarzycki R Mechanika płynoacutew w inżynierii

środowiska Warszawa PWN 1997

5 Tuliszka E Mechanika płynoacutew Warszawa PWN 1980

6 Mitosek M Mechanika płynoacutew w inżynierii i ochronie środowiska Warszawa

PWN 2001

Dodatkowe

7 Batchelor GK An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press

1970

8 Schlichting H Grenzschicht-Theori Karlsruhe G Braun 1964

9 Ландау ЛД Лифшиц ЕМ Гидродинамика Москва Наука 1986

10 Лойцянский ЛГ Механика жидкости и газа Москва Наука 1970

3

Przedmiot mechaniki płynoacutew

Przedmiotem mechaniki płynoacutew są prawa rządzące ruchem i stanem

spoczynku płynoacutew

Wielkości masy i energii podlegają prawom zachowania

Mechanika płynoacutew nazywana też mechaniką cieczy i gazoacutew

Dzieli się na hydromechanikę i aerodynamikę

Działy te obejmują zagadnienia

statyki kinematyki dynamiki

Metody badań w mechanice płynoacutew dzielą się na

- metody doświadczalne (obserwacja eksperyment)

- metody analityczne (roacutewnania warunki początkowe i brzegowe)

- metody poacutełempiryczne

- metody komputerowego modelowania (symulacji)

4

Wiadomości wstępne

Stany skupienia substancji

bull Ciała stałe

bull Ciecze

bull Gazy

bullT - topnienie - przejście z fazy stałej

do fazy ciekłej

bullK ndash krzepnięcie - przejście od fazy

ciekłej do fazy stałej

bullP ndash parowanie wrzenie - przejście

od fazy ciekłej do gazowej

bullSk - skraplanie - przejście od fazy

gazowej do ciekłej

bullS - sublimacja - przejście od fazy

krystalicznej do gazowej

bullR - resublimacja - przejście od fazy

gazowej do krystalicznej

5

bull Siły spoacutejności lub kohezji (przyciągania cząsteczek tej samej substancji)

bull Siły przylegania lub adhezji (przyciągania cząsteczek roacuteżnych substancji)

O stanie skupienia danej substancji decyduje bilans oddziaływania energii kinetycznej drobin oraz sił kohezji [46]

Siły działające w płynach

Napięcie powierzchniowe

Woda Rtęć

θ lt 90ordm θ gt 90ordm

kFjFiFF zyx

Siły masowe

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił

Siły te są proporcjonalne do całej masy płynu Można do nich zaliczyć

- siły grawitacji (ciężar płynu)

- siły bezwładności (drsquoAlemberta)

- siły odśrodkowe (np w naczyniu)

- siły o naturze elektromagnetycznej

Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa przypadająca na

m = V

m

RF

m

0lim

Fz = -g

F

z

y

x

i j

k

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

3

Przedmiot mechaniki płynoacutew

Przedmiotem mechaniki płynoacutew są prawa rządzące ruchem i stanem

spoczynku płynoacutew

Wielkości masy i energii podlegają prawom zachowania

Mechanika płynoacutew nazywana też mechaniką cieczy i gazoacutew

Dzieli się na hydromechanikę i aerodynamikę

Działy te obejmują zagadnienia

statyki kinematyki dynamiki

Metody badań w mechanice płynoacutew dzielą się na

- metody doświadczalne (obserwacja eksperyment)

- metody analityczne (roacutewnania warunki początkowe i brzegowe)

- metody poacutełempiryczne

- metody komputerowego modelowania (symulacji)

4

Wiadomości wstępne

Stany skupienia substancji

bull Ciała stałe

bull Ciecze

bull Gazy

bullT - topnienie - przejście z fazy stałej

do fazy ciekłej

bullK ndash krzepnięcie - przejście od fazy

ciekłej do fazy stałej

bullP ndash parowanie wrzenie - przejście

od fazy ciekłej do gazowej

bullSk - skraplanie - przejście od fazy

gazowej do ciekłej

bullS - sublimacja - przejście od fazy

krystalicznej do gazowej

bullR - resublimacja - przejście od fazy

gazowej do krystalicznej

5

bull Siły spoacutejności lub kohezji (przyciągania cząsteczek tej samej substancji)

bull Siły przylegania lub adhezji (przyciągania cząsteczek roacuteżnych substancji)

O stanie skupienia danej substancji decyduje bilans oddziaływania energii kinetycznej drobin oraz sił kohezji [46]

Siły działające w płynach

Napięcie powierzchniowe

Woda Rtęć

θ lt 90ordm θ gt 90ordm

kFjFiFF zyx

Siły masowe

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił

Siły te są proporcjonalne do całej masy płynu Można do nich zaliczyć

- siły grawitacji (ciężar płynu)

- siły bezwładności (drsquoAlemberta)

- siły odśrodkowe (np w naczyniu)

- siły o naturze elektromagnetycznej

Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa przypadająca na

m = V

m

RF

m

0lim

Fz = -g

F

z

y

x

i j

k

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

4

Wiadomości wstępne

Stany skupienia substancji

bull Ciała stałe

bull Ciecze

bull Gazy

bullT - topnienie - przejście z fazy stałej

do fazy ciekłej

bullK ndash krzepnięcie - przejście od fazy

ciekłej do fazy stałej

bullP ndash parowanie wrzenie - przejście

od fazy ciekłej do gazowej

bullSk - skraplanie - przejście od fazy

gazowej do ciekłej

bullS - sublimacja - przejście od fazy

krystalicznej do gazowej

bullR - resublimacja - przejście od fazy

gazowej do krystalicznej

5

bull Siły spoacutejności lub kohezji (przyciągania cząsteczek tej samej substancji)

bull Siły przylegania lub adhezji (przyciągania cząsteczek roacuteżnych substancji)

O stanie skupienia danej substancji decyduje bilans oddziaływania energii kinetycznej drobin oraz sił kohezji [46]

Siły działające w płynach

Napięcie powierzchniowe

Woda Rtęć

θ lt 90ordm θ gt 90ordm

kFjFiFF zyx

Siły masowe

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił

Siły te są proporcjonalne do całej masy płynu Można do nich zaliczyć

- siły grawitacji (ciężar płynu)

- siły bezwładności (drsquoAlemberta)

- siły odśrodkowe (np w naczyniu)

- siły o naturze elektromagnetycznej

Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa przypadająca na

m = V

m

RF

m

0lim

Fz = -g

F

z

y

x

i j

k

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

5

bull Siły spoacutejności lub kohezji (przyciągania cząsteczek tej samej substancji)

bull Siły przylegania lub adhezji (przyciągania cząsteczek roacuteżnych substancji)

O stanie skupienia danej substancji decyduje bilans oddziaływania energii kinetycznej drobin oraz sił kohezji [46]

Siły działające w płynach

Napięcie powierzchniowe

Woda Rtęć

θ lt 90ordm θ gt 90ordm

kFjFiFF zyx

Siły masowe

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił

Siły te są proporcjonalne do całej masy płynu Można do nich zaliczyć

- siły grawitacji (ciężar płynu)

- siły bezwładności (drsquoAlemberta)

- siły odśrodkowe (np w naczyniu)

- siły o naturze elektromagnetycznej

Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa przypadająca na

m = V

m

RF

m

0lim

Fz = -g

F

z

y

x

i j

k

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

kFjFiFF zyx

Siły masowe

Siły masowe działają na każdy element płynu znajdującego się w polu tych sił

Siły te są proporcjonalne do całej masy płynu Można do nich zaliczyć

- siły grawitacji (ciężar płynu)

- siły bezwładności (drsquoAlemberta)

- siły odśrodkowe (np w naczyniu)

- siły o naturze elektromagnetycznej

Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa przypadająca na

m = V

m

RF

m

0lim

Fz = -g

F

z

y

x

i j

k

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są

proporcjonalne do tej powierzchni Do sił powierzchniowych należy zaliczyć

- siłę ciśnieniową

- siły tarcia wewnętrznego w płynie

- siły tarcia płynu o ściany sztywne

- siły parcia hydrostatycznego (np napoacuter cieczy na ścianę zbiornika)

- siła spowodowana napięciem powierzchniowym

Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa

będąc granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na

ktoacuterą działa

A

Pp

A

0lim Pn

Ps

z

x

y

P

Siły powierzchniowe

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

8

Tensor naprężeń

Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do

elementu powierzchni A jest nazywana naprężeniem normalnym

Składowa wektora na kierunku stycznym jest nazywana naprężeniem

stycznym

Stan naprężeń w płynie lepkim można zapisać w postaci tensora naprężeń

albo

Dla płynoacutew poruszających się ciśnieniem p określa się średnie

arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie przestrzeni

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

ppp

ppp

ppp

p

33

zzyyxxzzyyxx pppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

1 MPa 106 Pa

1 bar 1 105 Pa = 01 MPa

1 atmosfera fizyczna (1atm) 101325 105 Pa

1 atmosfera techniczna (1at) 0981 105 Pa

1 kGm2 ~ 1 mm H2O 981 Pa

1 tor [Tr] = 1 mm Hg 133 Pa

Ciśnienie jest sumarycznym efektem zderzeń molekuł z powierzchnią ściany

lub ciała zanurzonego

Ciśnienie jest stosunkiem normalnej składowej siły działającej na element do

powierzchni tego elementu

Ciśnienie jest skalarem

Podstawową jednostką ciśnienia jest Pascal [ Nm2 ]

A

Fp n

Blaise Pascal (1623-1662)

Francuski filozof matematyk i

fizyk

Barometr

Ciśnienie bezwzględne (absolutne) - względem proacuteżni doskonałej

Ciśnienie atmosferyczne (pa = 101325 hPa)

Nadciśnienie (p - pa gt 0 )

Podciśnienie (p - pa lt 0 )

Evangelista Torricelli

(1608 ndash 1647) Włoski

fizyk i matematyk odkrył

w 1643 roku zasady

działania barometru

Temperatura

Temperatura jest wielkością określającą średnią energię kinetyczną atomoacutew

lub molekuł płynu

Skala Celsjusza [1oC]

Skalą Kelwina [1K]

15273TT CK

Lord Kelvin właściwie William Thomson ( 1824 ndash

1907 ) ur w Belfaście fizyk matematyk angielski oraz

przyrodnik Sformułował drugą zasadę

termodynamiki badacz elektryczności i magnetyzmu

Celsjusz Anders (1701-1744) szwedzki astronom

geodeta i fizyk W 1742 r zaproponował 100-

stopniową skalę termometryczną oraz zbudował

swoacutej pierwszy termometr rtęciowy

Skala Fahrenheita [1F]

Skala Rankinersquoa [1R]

325

9CF TT

KR TT5

9

Fahrenheit Gabriel Daniel (1686-1736) osiadły w

Niderlandach mieszczanin gdański członek Royal

Society pionier badań termodynamicznych

(Fahrenheita skala) Konstruował termometry

(alkoholowy i rtęciowy) odkrył zjawisko przechłodzenia

cieczy i zależność temperatury wrzenia od ciśnienia

Rankine William John Macquorn (1820-1872)

szkocki fizyk i mechanik Autor prac z dziedziny

termodynamiki (opisał cykl termodynamiczny

silnika parowego znany dziś jako cykl Rankinea

wprowadził bezwzględną skalę temperatur) oraz

budownictwa

Płyn jako ośrodek ciągły (continuum)

Najmniejsza objętość płynu dla ktoacuterej cechy zawartego w niej ciała nie

zmieniają się nazywana jest elementem płynu

1 mm3 powietrza zawiera 27 1016 molekuł

1 mm3 wody - 3 1019 molekuł

Gaz można traktować jako ośrodek ciągły jeżeli liczba Knudsena Kn lt 001

(z wyjątkiem zagadnień dotyczących silnie rozrzedzonych gazoacutew)

lu ndash średnia droga swobodna molekuł

L ndash długość charakterystyczna przedmiotu opływanego

Liczba ta nazwana jest na cześć duńskiego

fizyka Martina Knudsena (1871 ndash 1949)

L

lKn u

Gęstość płynu (o masie roacutewnomiernie rozłożonej)

Gęstość lokalną [ kgm3]

dV

dm

V

m

Ciężar właściwy [Nm3]

g

Gęstość płynu i ciężar właściwy

Gęstość wody

Gęstość powietrza

dm

dV

14

t

Ściśliwość płynu - zdolność do zmiany objętości w danej temperaturze

przy zmianie ciśnienia

T = const

p - wspoacutełczynnik ściśliwości dp

V

dVp

t

Rozszerzalność cieplna - zdolność płynu do zmiany swej objętości przy

danym ciśnieniu pod wpływem zmian temperatury

p = const

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej Wspoacutełczynnik rozszerzalności

cieplnej przyjmuje z reguły dodatnie wartości Dla wody od 0 do 4degC wartość

jest ujemna [46]

dTV

dVt

Płyn ktoacuterego gęstość jest stała lub zależna tylko od ciśnienia czyli = f(p)

nazywa się barotropowym

Przeciwieństwem tego płynu jest płyn baroklinowy jego gęstość bowiem zależy

nie tylko od ciśnienia lecz także od innych czynnikoacutew np od temperatury

Cylinder ręcznej prasy dla cechowania manometroacutew

sprężynowych wypełniony jest olejem ktoacuterego ściśliwość

Obliczyć ile obrotoacutew korby należy

wykonać aby podnieść ciśnienie o 5 bar jeżeli pojemność

cylindra V = 0628 l średnica trzpienia d = 20 mm skok

gwintu s = 2 mm

11010256 Pap

Zadanie

Roacutewnanie stanu gazu

Dla gazoacutew doskonałych roacutewnanie stanu gazu ma postać

pV = nRT pM = RT

lub

p = R T pV = mR T

gdzie n ndash liczba moli

M ndash masa molowa gazu [kgkmol]

R ndash uniwersalna stała gazowa R=83143 kJ(kmol K)

R ndash indywidualna stała gazowa [J(kgK)]

Benoicirct Paul Eacutemile Clapeyron (1799 - 1864) fizyk i

matematyk francuski Był jednym z twoacutercoacutew podstaw

wspoacutełczesnej termodynamiki

Zadania

W zbiorniku o objętości V = 36 m3 znajduje się powietrze o

temperaturze T = 23oC pod ciśnieniem P = 25 bar Określić

masę powietrza jeżeli jego indywidualna stała gazowa Rrsquo =

287 J(kgK)

Jak się zmieni masa i ciśnienie gazu o temperaturze T =12oC

w zbiorniku o objętości V = 40 m3 jeżeli temperatura gazu

wzrośnie do 60oC

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

Gęstość płynu (o masie roacutewnomiernie rozłożonej)

Gęstość lokalną [ kgm3]

dV

dm

V

m

Ciężar właściwy [Nm3]

g

Gęstość płynu i ciężar właściwy

Gęstość wody

Gęstość powietrza

dm

dV

14

t

Ściśliwość płynu - zdolność do zmiany objętości w danej temperaturze

przy zmianie ciśnienia

T = const

p - wspoacutełczynnik ściśliwości dp

V

dVp

t

Rozszerzalność cieplna - zdolność płynu do zmiany swej objętości przy

danym ciśnieniu pod wpływem zmian temperatury

p = const

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej Wspoacutełczynnik rozszerzalności

cieplnej przyjmuje z reguły dodatnie wartości Dla wody od 0 do 4degC wartość

jest ujemna [46]

dTV

dVt

Płyn ktoacuterego gęstość jest stała lub zależna tylko od ciśnienia czyli = f(p)

nazywa się barotropowym

Przeciwieństwem tego płynu jest płyn baroklinowy jego gęstość bowiem zależy

nie tylko od ciśnienia lecz także od innych czynnikoacutew np od temperatury

Cylinder ręcznej prasy dla cechowania manometroacutew

sprężynowych wypełniony jest olejem ktoacuterego ściśliwość

Obliczyć ile obrotoacutew korby należy

wykonać aby podnieść ciśnienie o 5 bar jeżeli pojemność

cylindra V = 0628 l średnica trzpienia d = 20 mm skok

gwintu s = 2 mm

11010256 Pap

Zadanie

Roacutewnanie stanu gazu

Dla gazoacutew doskonałych roacutewnanie stanu gazu ma postać

pV = nRT pM = RT

lub

p = R T pV = mR T

gdzie n ndash liczba moli

M ndash masa molowa gazu [kgkmol]

R ndash uniwersalna stała gazowa R=83143 kJ(kmol K)

R ndash indywidualna stała gazowa [J(kgK)]

Benoicirct Paul Eacutemile Clapeyron (1799 - 1864) fizyk i

matematyk francuski Był jednym z twoacutercoacutew podstaw

wspoacutełczesnej termodynamiki

Zadania

W zbiorniku o objętości V = 36 m3 znajduje się powietrze o

temperaturze T = 23oC pod ciśnieniem P = 25 bar Określić

masę powietrza jeżeli jego indywidualna stała gazowa Rrsquo =

287 J(kgK)

Jak się zmieni masa i ciśnienie gazu o temperaturze T =12oC

w zbiorniku o objętości V = 40 m3 jeżeli temperatura gazu

wzrośnie do 60oC

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

14

t

Ściśliwość płynu - zdolność do zmiany objętości w danej temperaturze

przy zmianie ciśnienia

T = const

p - wspoacutełczynnik ściśliwości dp

V

dVp

t

Rozszerzalność cieplna - zdolność płynu do zmiany swej objętości przy

danym ciśnieniu pod wpływem zmian temperatury

p = const

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej Wspoacutełczynnik rozszerzalności

cieplnej przyjmuje z reguły dodatnie wartości Dla wody od 0 do 4degC wartość

jest ujemna [46]

dTV

dVt

Płyn ktoacuterego gęstość jest stała lub zależna tylko od ciśnienia czyli = f(p)

nazywa się barotropowym

Przeciwieństwem tego płynu jest płyn baroklinowy jego gęstość bowiem zależy

nie tylko od ciśnienia lecz także od innych czynnikoacutew np od temperatury

Cylinder ręcznej prasy dla cechowania manometroacutew

sprężynowych wypełniony jest olejem ktoacuterego ściśliwość

Obliczyć ile obrotoacutew korby należy

wykonać aby podnieść ciśnienie o 5 bar jeżeli pojemność

cylindra V = 0628 l średnica trzpienia d = 20 mm skok

gwintu s = 2 mm

11010256 Pap

Zadanie

Roacutewnanie stanu gazu

Dla gazoacutew doskonałych roacutewnanie stanu gazu ma postać

pV = nRT pM = RT

lub

p = R T pV = mR T

gdzie n ndash liczba moli

M ndash masa molowa gazu [kgkmol]

R ndash uniwersalna stała gazowa R=83143 kJ(kmol K)

R ndash indywidualna stała gazowa [J(kgK)]

Benoicirct Paul Eacutemile Clapeyron (1799 - 1864) fizyk i

matematyk francuski Był jednym z twoacutercoacutew podstaw

wspoacutełczesnej termodynamiki

Zadania

W zbiorniku o objętości V = 36 m3 znajduje się powietrze o

temperaturze T = 23oC pod ciśnieniem P = 25 bar Określić

masę powietrza jeżeli jego indywidualna stała gazowa Rrsquo =

287 J(kgK)

Jak się zmieni masa i ciśnienie gazu o temperaturze T =12oC

w zbiorniku o objętości V = 40 m3 jeżeli temperatura gazu

wzrośnie do 60oC

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

Cylinder ręcznej prasy dla cechowania manometroacutew

sprężynowych wypełniony jest olejem ktoacuterego ściśliwość

Obliczyć ile obrotoacutew korby należy

wykonać aby podnieść ciśnienie o 5 bar jeżeli pojemność

cylindra V = 0628 l średnica trzpienia d = 20 mm skok

gwintu s = 2 mm

11010256 Pap

Zadanie

Roacutewnanie stanu gazu

Dla gazoacutew doskonałych roacutewnanie stanu gazu ma postać

pV = nRT pM = RT

lub

p = R T pV = mR T

gdzie n ndash liczba moli

M ndash masa molowa gazu [kgkmol]

R ndash uniwersalna stała gazowa R=83143 kJ(kmol K)

R ndash indywidualna stała gazowa [J(kgK)]

Benoicirct Paul Eacutemile Clapeyron (1799 - 1864) fizyk i

matematyk francuski Był jednym z twoacutercoacutew podstaw

wspoacutełczesnej termodynamiki

Zadania

W zbiorniku o objętości V = 36 m3 znajduje się powietrze o

temperaturze T = 23oC pod ciśnieniem P = 25 bar Określić

masę powietrza jeżeli jego indywidualna stała gazowa Rrsquo =

287 J(kgK)

Jak się zmieni masa i ciśnienie gazu o temperaturze T =12oC

w zbiorniku o objętości V = 40 m3 jeżeli temperatura gazu

wzrośnie do 60oC

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

Roacutewnanie stanu gazu

Dla gazoacutew doskonałych roacutewnanie stanu gazu ma postać

pV = nRT pM = RT

lub

p = R T pV = mR T

gdzie n ndash liczba moli

M ndash masa molowa gazu [kgkmol]

R ndash uniwersalna stała gazowa R=83143 kJ(kmol K)

R ndash indywidualna stała gazowa [J(kgK)]

Benoicirct Paul Eacutemile Clapeyron (1799 - 1864) fizyk i

matematyk francuski Był jednym z twoacutercoacutew podstaw

wspoacutełczesnej termodynamiki

Zadania

W zbiorniku o objętości V = 36 m3 znajduje się powietrze o

temperaturze T = 23oC pod ciśnieniem P = 25 bar Określić

masę powietrza jeżeli jego indywidualna stała gazowa Rrsquo =

287 J(kgK)

Jak się zmieni masa i ciśnienie gazu o temperaturze T =12oC

w zbiorniku o objętości V = 40 m3 jeżeli temperatura gazu

wzrośnie do 60oC

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

Zadania

W zbiorniku o objętości V = 36 m3 znajduje się powietrze o

temperaturze T = 23oC pod ciśnieniem P = 25 bar Określić

masę powietrza jeżeli jego indywidualna stała gazowa Rrsquo =

287 J(kgK)

Jak się zmieni masa i ciśnienie gazu o temperaturze T =12oC

w zbiorniku o objętości V = 40 m3 jeżeli temperatura gazu

wzrośnie do 60oC

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

18

W przypadku cieczy brak jest odpowiednich roacutewnań stanu ktoacutere można

wykorzystać do praktycznych obliczeń Do empirycznego opisu tej fazy

wykorzystuje się trzy podstawowe wspoacutełczynniki

- wspoacutełczynnik ściśliwości cieczy p

- wspoacutełczynnik rozszerzalności cieplnej (termicznej) t

- wspoacutełczynnik prężności termicznej

)( constVdladTp

dp

pp

t

)( constTdladpd

p

)( constpdladTd

t

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

Zbiornik po napełnieniu woda został zamknięty hermetycznie Zaniedbując

rozszerzalność sprężystą i cieplną ścian zbiornika obliczyć przyrost

ciśnienia spowodowany podgrzaniem wody o 40ordmC jeżeli wspoacutełczynnik

rozszerzalności termicznej wody a średni wspoacutełczynnik

ściśliwości

141081 Kt11010194 Pap

Zadanie

Kawitacja

Kawitacja

- kinematyczny wspoacutełczynnik lepkości [m2s]

n

o

oT

T - dynamiczny wspoacutełczynnik lepkości [Pabulls]

Lepkością nazywa się zdolność płynu do przenoszenia naprężeń stycznych przy

wzajemnym przemieszczaniu jego elementoacutew z roacuteżnymi prędkościami

dn

duxPrawo (wzoacuter) Newtona

Isaac Newton (1642 ndash 1727) angielski fizyk matematyk

astronom filozof historyk badacz Biblii i alchemik

(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)

Wspoacutełczynniki lepkości wyznacza się doświadczalnie za pomocą

lepkościomierzy (wiskozymetroacutew)

- wypływowe (lepkościomierz Englera)

- rotacyjne (lepkościomierz Couettersquoa Hatscheka)

- kulkowe (lepkościomierz Hopplera)

- kapilarne (przepływ Poiseuillersquoa)

Dla pseudoplastycznych tiksotropowych (krew polimery hellip farby emulsyjne płuczki wiertnicze hellip)

Dla plastycznolepkie (ciała Binghamowskie)

(roztwory gliny cementu lakieroacutew past hellip)

n

gr

Przewodność cieplna płynoacutew jest związana z transportem energii

cieplej wywołanym nieroacutewnomiernym rozkładem temperatury Parametrem

opisującym tę właściwość płynu jest wspoacutełczynnik przewodnictwa cieplnego

[W(m K)]

Zgodnie z prawem Fouriera szybkość przewodzenia ciepła w płynie jest

wprost proporcjonalna do gradientu temperatury

gdzie qc - gęstość strumienia ciepła T - temperatura l ndash odległość [46]

dl

dTqc

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) francuski

matematyk

Wspoacutełczynniki lepkości wyznacza się doświadczalnie za pomocą

lepkościomierzy (wiskozymetroacutew)

- wypływowe (lepkościomierz Englera)

- rotacyjne (lepkościomierz Couettersquoa Hatscheka)

- kulkowe (lepkościomierz Hopplera)

- kapilarne (przepływ Poiseuillersquoa)

Dla pseudoplastycznych tiksotropowych (krew polimery hellip farby emulsyjne płuczki wiertnicze hellip)

Dla plastycznolepkie (ciała Binghamowskie)

(roztwory gliny cementu lakieroacutew past hellip)

n

gr

Przewodność cieplna płynoacutew jest związana z transportem energii

cieplej wywołanym nieroacutewnomiernym rozkładem temperatury Parametrem

opisującym tę właściwość płynu jest wspoacutełczynnik przewodnictwa cieplnego

[W(m K)]

Zgodnie z prawem Fouriera szybkość przewodzenia ciepła w płynie jest

wprost proporcjonalna do gradientu temperatury

gdzie qc - gęstość strumienia ciepła T - temperatura l ndash odległość [46]

dl

dTqc

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) francuski

matematyk

Dla pseudoplastycznych tiksotropowych (krew polimery hellip farby emulsyjne płuczki wiertnicze hellip)

Dla plastycznolepkie (ciała Binghamowskie)

(roztwory gliny cementu lakieroacutew past hellip)

n

gr

Przewodność cieplna płynoacutew jest związana z transportem energii

cieplej wywołanym nieroacutewnomiernym rozkładem temperatury Parametrem

opisującym tę właściwość płynu jest wspoacutełczynnik przewodnictwa cieplnego

[W(m K)]

Zgodnie z prawem Fouriera szybkość przewodzenia ciepła w płynie jest

wprost proporcjonalna do gradientu temperatury

gdzie qc - gęstość strumienia ciepła T - temperatura l ndash odległość [46]

dl

dTqc

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) francuski

matematyk

Przewodność cieplna płynoacutew jest związana z transportem energii

cieplej wywołanym nieroacutewnomiernym rozkładem temperatury Parametrem

opisującym tę właściwość płynu jest wspoacutełczynnik przewodnictwa cieplnego

[W(m K)]

Zgodnie z prawem Fouriera szybkość przewodzenia ciepła w płynie jest

wprost proporcjonalna do gradientu temperatury

gdzie qc - gęstość strumienia ciepła T - temperatura l ndash odległość [46]

dl

dTqc

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) francuski

matematyk

dl

dcDI a

a

Dyfuzja molekularna w płynach jest to proces molekularnego

wyroacutewnywania stężeń [46]

Zgodnie z pierwszym prawem Ficka szybkość procesu dyfuzji jest

proporcjonalna do gradientu stężenia

gdzie Ia - natężenie strumienia dyfuzji (szybkość dyfuzji) składnika A

ca - masowe stężenie składnika A

l - odległość

D - wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywany wspoacutełczynnikiem

dyfuzji molekularnej [m2s]

Fick Adolf Eugen (1829 ndash 1901) niemiecki

matematyk fizyk medyczny

26

Uproszczone modele cieczy i gazoacutew

Uproszczenia polegają na pomijaniu niektoacuterych własności fizycznych

płynoacutew rzeczywistych W rozważaniach stosuje się następujące modele

płynoacutew

- płyn nielepki w ktoacuterym pomija się siły styczne = 0

- płyn nieściśliwy = const

- ciecz doskonała pomija się lepkość ( = 0) ściśliwość ( = const)

rozszerzalność cieplną ( t = 0) oraz napięcie powierzchniowe ( = 0 )

- gaz doskonały pomija się objętość molekuł siły spoacutejności oraz lepkość

gaz ten ściśle spełnia roacutewnanie stanu gazu Clapeyrona

27

dAPdVFdVdt

d

V AV

Podstawowe roacutewnanie ruchu płynu

Według zasady zachowania pędu (ilości ruchu) pochodna pędu płynu zawartego

wewnątrz obszaru V względem czasu jest roacutewna sumie sił zewnętrznych

działających na ten obszar

siły bezwładności = siły masowe + siły powierzchniowe

gradpFdt

d

siły siły siły

bezwładności masowe powierzchniowe

28

Hydrostatyka

Statyka płynoacutew jest działem mechaniki płynoacutew zajmującym się płynami w

stanie spoczynku

Rozpisując roacutewnanie dla osi x y z układu wspoacutełrzędnych otrzymuje się

gdzie Fx Fy Fz - składowe jednostkowej siły masowej

Mnożąc te roacutewnania odpowiednio przez dx dy dz i dodając stronami

otrzymuje się podstawowe roacutewnanie statyki płynoacutew

0gradF

x

pFx

y

pFy

z

pFz

dpdzFdyFdxF zyx )(

29

Roacutewnowaga bezwzględna płynu

Roacutewnowaga bezwzględna cieczy (ρ = const) znajdującej się pod działaniem

sił grawitacyjnych Fx = 0 Fy = 0 Fz = g

dla z = 0 p = po

ph - ciśnienie hydrostatyczne

Piezometr jest to rurka u goacutery otwarta a u dołu połączona z obszarem

mierzonego ciśnienia przy wykorzystaniu tej samej cieczy jako cieczy

manometrycznej

dzgdp

oho pppgzp

Papp ao

5100131

30

Piezomerty

211 gzpgzp mbm

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

26

Uproszczone modele cieczy i gazoacutew

Uproszczenia polegają na pomijaniu niektoacuterych własności fizycznych

płynoacutew rzeczywistych W rozważaniach stosuje się następujące modele

płynoacutew

- płyn nielepki w ktoacuterym pomija się siły styczne = 0

- płyn nieściśliwy = const

- ciecz doskonała pomija się lepkość ( = 0) ściśliwość ( = const)

rozszerzalność cieplną ( t = 0) oraz napięcie powierzchniowe ( = 0 )

- gaz doskonały pomija się objętość molekuł siły spoacutejności oraz lepkość

gaz ten ściśle spełnia roacutewnanie stanu gazu Clapeyrona

27

dAPdVFdVdt

d

V AV

Podstawowe roacutewnanie ruchu płynu

Według zasady zachowania pędu (ilości ruchu) pochodna pędu płynu zawartego

wewnątrz obszaru V względem czasu jest roacutewna sumie sił zewnętrznych

działających na ten obszar

siły bezwładności = siły masowe + siły powierzchniowe

gradpFdt

d

siły siły siły

bezwładności masowe powierzchniowe

28

Hydrostatyka

Statyka płynoacutew jest działem mechaniki płynoacutew zajmującym się płynami w

stanie spoczynku

Rozpisując roacutewnanie dla osi x y z układu wspoacutełrzędnych otrzymuje się

gdzie Fx Fy Fz - składowe jednostkowej siły masowej

Mnożąc te roacutewnania odpowiednio przez dx dy dz i dodając stronami

otrzymuje się podstawowe roacutewnanie statyki płynoacutew

0gradF

x

pFx

y

pFy

z

pFz

dpdzFdyFdxF zyx )(

29

Roacutewnowaga bezwzględna płynu

Roacutewnowaga bezwzględna cieczy (ρ = const) znajdującej się pod działaniem

sił grawitacyjnych Fx = 0 Fy = 0 Fz = g

dla z = 0 p = po

ph - ciśnienie hydrostatyczne

Piezometr jest to rurka u goacutery otwarta a u dołu połączona z obszarem

mierzonego ciśnienia przy wykorzystaniu tej samej cieczy jako cieczy

manometrycznej

dzgdp

oho pppgzp

Papp ao

5100131

30

Piezomerty

211 gzpgzp mbm

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

27

dAPdVFdVdt

d

V AV

Podstawowe roacutewnanie ruchu płynu

Według zasady zachowania pędu (ilości ruchu) pochodna pędu płynu zawartego

wewnątrz obszaru V względem czasu jest roacutewna sumie sił zewnętrznych

działających na ten obszar

siły bezwładności = siły masowe + siły powierzchniowe

gradpFdt

d

siły siły siły

bezwładności masowe powierzchniowe

28

Hydrostatyka

Statyka płynoacutew jest działem mechaniki płynoacutew zajmującym się płynami w

stanie spoczynku

Rozpisując roacutewnanie dla osi x y z układu wspoacutełrzędnych otrzymuje się

gdzie Fx Fy Fz - składowe jednostkowej siły masowej

Mnożąc te roacutewnania odpowiednio przez dx dy dz i dodając stronami

otrzymuje się podstawowe roacutewnanie statyki płynoacutew

0gradF

x

pFx

y

pFy

z

pFz

dpdzFdyFdxF zyx )(

29

Roacutewnowaga bezwzględna płynu

Roacutewnowaga bezwzględna cieczy (ρ = const) znajdującej się pod działaniem

sił grawitacyjnych Fx = 0 Fy = 0 Fz = g

dla z = 0 p = po

ph - ciśnienie hydrostatyczne

Piezometr jest to rurka u goacutery otwarta a u dołu połączona z obszarem

mierzonego ciśnienia przy wykorzystaniu tej samej cieczy jako cieczy

manometrycznej

dzgdp

oho pppgzp

Papp ao

5100131

30

Piezomerty

211 gzpgzp mbm

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

28

Hydrostatyka

Statyka płynoacutew jest działem mechaniki płynoacutew zajmującym się płynami w

stanie spoczynku

Rozpisując roacutewnanie dla osi x y z układu wspoacutełrzędnych otrzymuje się

gdzie Fx Fy Fz - składowe jednostkowej siły masowej

Mnożąc te roacutewnania odpowiednio przez dx dy dz i dodając stronami

otrzymuje się podstawowe roacutewnanie statyki płynoacutew

0gradF

x

pFx

y

pFy

z

pFz

dpdzFdyFdxF zyx )(

29

Roacutewnowaga bezwzględna płynu

Roacutewnowaga bezwzględna cieczy (ρ = const) znajdującej się pod działaniem

sił grawitacyjnych Fx = 0 Fy = 0 Fz = g

dla z = 0 p = po

ph - ciśnienie hydrostatyczne

Piezometr jest to rurka u goacutery otwarta a u dołu połączona z obszarem

mierzonego ciśnienia przy wykorzystaniu tej samej cieczy jako cieczy

manometrycznej

dzgdp

oho pppgzp

Papp ao

5100131

30

Piezomerty

211 gzpgzp mbm

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

29

Roacutewnowaga bezwzględna płynu

Roacutewnowaga bezwzględna cieczy (ρ = const) znajdującej się pod działaniem

sił grawitacyjnych Fx = 0 Fy = 0 Fz = g

dla z = 0 p = po

ph - ciśnienie hydrostatyczne

Piezometr jest to rurka u goacutery otwarta a u dołu połączona z obszarem

mierzonego ciśnienia przy wykorzystaniu tej samej cieczy jako cieczy

manometrycznej

dzgdp

oho pppgzp

Papp ao

5100131

30

Piezomerty

211 gzpgzp mbm

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

30

Piezomerty

211 gzpgzp mbm

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

31

gH)zz(gppp 1221

Manometry U-rurkowe

sinlz

32

Ciąg kominowy

Hgp spalpow )(

12 ppp

Określić wysokość komina

ktoacutery wywołuje ciąg

naturalny o wartości ΔP = 120

Pa jeśli gęstość powietrza

ρpow = 125 kgm3 a gęstość

spalin ρspal = 065 kgm3

o

33

Roacutewnowaga względna

xg

az

z

g

rzz

2

22

0

Zadania

Otwarte naczynie napełnione wodą do wysokości h = 60 cm

porusza się w kierunku poziomym ze stałym przyśpieszeniem

a = 2 ms Jaka musi być wysokość naczynia aby woda nie

wylała się jeżeli długość naczynia L = 2m

Naczynie o średnicy D = 50 cm napełnione do wysokości h =

80 cm cieczą o gęstości ρ = 085 kgl obraca się dookoła osi

pionowej ze stałą prędkością kątową ω Jaka może być wartość

maksymalna prędkości obrotowej n przy ktoacuterej ciecz zawarta

w naczyniu nie przeleje się jeżeli wysokość naczynia H = 1 m

35

g

RC

p

p

C

Tzz

1

2112 1

dz

dTCgdzie

constdz

dTTroposfera

2

1

1

112

p

pln

g

pzz

Izosfera T = const

36

37

Kinematyka płynoacutew

Zadaniem kinematyki płynoacutew jest opis i analiza ruchu płynoacutew bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch czyli bez wnikania w istotę działania sił

Pola fizyczne

Pole jednorodne i niejednorodne

Pole ustalone (stacjonarne) H = f (x y z)

Pole nieustalone (niestacjonarne) H = f (x y z t)

Pole troacutejwymiarowe (przestrzenne)

Przepływy dwuwymiarowe Przepływ płaski i osiowosymetryczny

Przepływ jednowymiarowy

0t

H

0t

H

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

33

Roacutewnowaga względna

xg

az

z

g

rzz

2

22

0

Zadania

Otwarte naczynie napełnione wodą do wysokości h = 60 cm

porusza się w kierunku poziomym ze stałym przyśpieszeniem

a = 2 ms Jaka musi być wysokość naczynia aby woda nie

wylała się jeżeli długość naczynia L = 2m

Naczynie o średnicy D = 50 cm napełnione do wysokości h =

80 cm cieczą o gęstości ρ = 085 kgl obraca się dookoła osi

pionowej ze stałą prędkością kątową ω Jaka może być wartość

maksymalna prędkości obrotowej n przy ktoacuterej ciecz zawarta

w naczyniu nie przeleje się jeżeli wysokość naczynia H = 1 m

35

g

RC

p

p

C

Tzz

1

2112 1

dz

dTCgdzie

constdz

dTTroposfera

2

1

1

112

p

pln

g

pzz

Izosfera T = const

36

37

Kinematyka płynoacutew

Zadaniem kinematyki płynoacutew jest opis i analiza ruchu płynoacutew bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch czyli bez wnikania w istotę działania sił

Pola fizyczne

Pole jednorodne i niejednorodne

Pole ustalone (stacjonarne) H = f (x y z)

Pole nieustalone (niestacjonarne) H = f (x y z t)

Pole troacutejwymiarowe (przestrzenne)

Przepływy dwuwymiarowe Przepływ płaski i osiowosymetryczny

Przepływ jednowymiarowy

0t

H

0t

H

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

Zadania

Otwarte naczynie napełnione wodą do wysokości h = 60 cm

porusza się w kierunku poziomym ze stałym przyśpieszeniem

a = 2 ms Jaka musi być wysokość naczynia aby woda nie

wylała się jeżeli długość naczynia L = 2m

Naczynie o średnicy D = 50 cm napełnione do wysokości h =

80 cm cieczą o gęstości ρ = 085 kgl obraca się dookoła osi

pionowej ze stałą prędkością kątową ω Jaka może być wartość

maksymalna prędkości obrotowej n przy ktoacuterej ciecz zawarta

w naczyniu nie przeleje się jeżeli wysokość naczynia H = 1 m

35

g

RC

p

p

C

Tzz

1

2112 1

dz

dTCgdzie

constdz

dTTroposfera

2

1

1

112

p

pln

g

pzz

Izosfera T = const

36

37

Kinematyka płynoacutew

Zadaniem kinematyki płynoacutew jest opis i analiza ruchu płynoacutew bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch czyli bez wnikania w istotę działania sił

Pola fizyczne

Pole jednorodne i niejednorodne

Pole ustalone (stacjonarne) H = f (x y z)

Pole nieustalone (niestacjonarne) H = f (x y z t)

Pole troacutejwymiarowe (przestrzenne)

Przepływy dwuwymiarowe Przepływ płaski i osiowosymetryczny

Przepływ jednowymiarowy

0t

H

0t

H

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

35

g

RC

p

p

C

Tzz

1

2112 1

dz

dTCgdzie

constdz

dTTroposfera

2

1

1

112

p

pln

g

pzz

Izosfera T = const

36

37

Kinematyka płynoacutew

Zadaniem kinematyki płynoacutew jest opis i analiza ruchu płynoacutew bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch czyli bez wnikania w istotę działania sił

Pola fizyczne

Pole jednorodne i niejednorodne

Pole ustalone (stacjonarne) H = f (x y z)

Pole nieustalone (niestacjonarne) H = f (x y z t)

Pole troacutejwymiarowe (przestrzenne)

Przepływy dwuwymiarowe Przepływ płaski i osiowosymetryczny

Przepływ jednowymiarowy

0t

H

0t

H

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

36

37

Kinematyka płynoacutew

Zadaniem kinematyki płynoacutew jest opis i analiza ruchu płynoacutew bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch czyli bez wnikania w istotę działania sił

Pola fizyczne

Pole jednorodne i niejednorodne

Pole ustalone (stacjonarne) H = f (x y z)

Pole nieustalone (niestacjonarne) H = f (x y z t)

Pole troacutejwymiarowe (przestrzenne)

Przepływy dwuwymiarowe Przepływ płaski i osiowosymetryczny

Przepływ jednowymiarowy

0t

H

0t

H

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

37

Kinematyka płynoacutew

Zadaniem kinematyki płynoacutew jest opis i analiza ruchu płynoacutew bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch czyli bez wnikania w istotę działania sił

Pola fizyczne

Pole jednorodne i niejednorodne

Pole ustalone (stacjonarne) H = f (x y z)

Pole nieustalone (niestacjonarne) H = f (x y z t)

Pole troacutejwymiarowe (przestrzenne)

Przepływy dwuwymiarowe Przepływ płaski i osiowosymetryczny

Przepływ jednowymiarowy

0t

H

0t

H

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

Metoda Lagrangea

Metoda Lagrangea nazywana też metodą analizy wędrownej

a b c t - zmienne Lagrangea

Składowe prędkości poszczegoacutelnych elementoacutew

Składowe przyspieszenia

)tcba(ff

)( tcbaxx)( tcbayy)tcba(zz

dt

dxx

dt

dyy

dt

dzz

2

2

dt

xdax 2

2

dt

yda y 2

2

dt

zdaz

Joseph Louis Lagrange

(1736 ndash 1813) matematyk i

astronom włoskiego

pochodzenia pracujący

we Francji i w Berlinie

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

Metoda Eulera

Metoda Eulera nazywana też metodą analizy lokalnej

x y z t - zmienne Eulera

Przyspieszenie elementu płynu w zmiennych Eulera

pochodną

substancjalną pochodną lokalną

(materialną pochodną konwekcyjną

lub indywidualną)

)tzyx(

)tzyx(TT

)tzyx(

zyxtdt

dzyx

Leonhard Euler (1707-1783)

szwajcarski matematyk i fizyk

Większą część życia spędził w

Rosji i Prusach

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

xzyttx zyx 2232

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć prędkość i przyspieszenie w punkcie M (110) w

chwili czasu t = 2

Zadanie

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

Tor (trajektoria) elementu płynu

Torem nazywa się drogę ktoacuterą opisuje dany element płynu

lub

Linia i powierzchnia prądu

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego prędkości ktoacutera w danej chwili

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego

temu punktowi

Linie prądu przecinające dowolną linię L nie będącą linią prądu tworzą

powierzchnię prądu

Jeśli linia L jest zamknięta to powierzchnia prądu jest nazywana rurką prądu

dtdz

dtdy

dtdx

z

y

x

dtdzdydx

zyx

zyx

dzdydx

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

42

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

43

Roacutewnanie ciągłości przepływu

Zasada zachowania masy

Całkową postać roacutewnania ciągłości

Roacuteżniczkowe roacutewnanie ciągłości

albo

Dla płynu nieściśliwego

V

constdVm

A

n

V

dAdVt

0zyx

div zyx

0)(divt

0

div

dt

d

)const(

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

1Q1 = 2Q2 + 3Q3

4

2DAQV śrśr

AQVm śr

2211 AA śrśr

Natężenie przepływu i prędkość średnia

Przekroacutej 1

Przekroacutej 2

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ ściśliwy

ztyttx zyx 4353 2222

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

46

Prędkość deformacji i prędkość kątowa elementu płynu

Chwilowy ruch elementu płynu można traktować jako skręt chwilowy na ktoacutery

składa się

- ruch postępowy (translacja) w kierunku osi centralnej

- obroacutet wokoacuteł osi

- deformacje czyli odkształcenia postaciowe i objętościowe

Tensor prędkości względnej

zyx

zyx

zyx

T

zzz

yyy

xxx

ij

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

47

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

48

Składowe prędkości odkształcenia objętościowego i postaciowego

x

xxx

xy

yx

xy2

1

xyyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Symetryczny tensor prędkości deformacji

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

49

0

0

0

xy

xz

yz

ij

zy

yzx

2

1

xz

zx

y2

1

yx

xy

z2

1

Składowe prędkości kątowej obrotu elementu płynu

Antysymetryczny tensor prędkości kątowej

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

50

Przepływy wirowe i potencjalne

Wirowym nazywamy przepływ ktoacuterego pole prędkości jest wszędzie lub prawie

wszędzie wirowe

Linia wirowa w danej chwili w każdym swym punkcie jest styczna do prędkości

kątowej

Roacutewnania roacuteżniczkowe linii wirowych

Strumieniem wirowości

Cyrkulacją wzdłuż łuku AB

Przepływ potencjalny (bezwirowy)

Funkcję φ(xyz) nazywamy potencjałem prędkości jeżeli

0

rot

zyx

dzdydx

dsS

ns 2

dzdydx zy

AB

xAB

0

rot

grad

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232

Przepływ opisany jest funkcjami

Zbadać czy jest to przepływ potencjalny

zyxzyx zyx

222 3

Dane jest pole prędkości w przepływie

Obliczyć składowe prędkości kątowej ω w punkcie M (101) w

chwili czasu t = 2

ytyttx zyx 2232