Jak mierzyć asymetrię zjawiska?

Jak mierzyć asymetrię Jak mierzyć asymetrię zjawiska?zjawiska?

Wykład 5Wykład 5

Miary jednej cechyMiary jednej cechy

Miary poziomu Miary poziomu Miary dyspersji (zmienności, Miary dyspersji (zmienności, zróżnicowania, rozproszenia)zróżnicowania, rozproszenia) Miary asymetrii (skośności) Miary asymetrii (skośności)

Szereg symetrycznySzereg symetryczny

● ● to szereg, w którym liczba jednostek rozłożona jest to szereg, w którym liczba jednostek rozłożona jest równomiernie po obu stronach wartości dominującejrównomiernie po obu stronach wartości dominującej

● ● w szeregu takim miary tendencji centralnej, a więc w szeregu takim miary tendencji centralnej, a więc średnia arytmetyczna, mediana i dominanta mają średnia arytmetyczna, mediana i dominanta mają jednakową wartość, czyli:jednakową wartość, czyli:

x

DMx e

Wykres rozkładu normalnegoWykres rozkładu normalnego

Kształt tego rozkładu może być różny w zależności od 2-óch Kształt tego rozkładu może być różny w zależności od 2-óch parametrów: od średniej i wariancji Sparametrów: od średniej i wariancji S22 (względnie odchylenia (względnie odchylenia standardowego S).standardowego S).

Zawsze jednak jest to Zawsze jednak jest to krzywa symetrycznakrzywa symetryczna względem swojej względem swojej wartości średniej wartości średniej z charakterystycznym kształtem „dzwonu”z charakterystycznym kształtem „dzwonu” oraz o mniejszym lub większym spłaszczeniu zależnie od oraz o mniejszym lub większym spłaszczeniu zależnie od odchylenia standardowegoodchylenia standardowego. .

●● Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s.Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s.● ● Krzywa N2 różni się od niej tym, że przy tej samej wartości średniej ma Krzywa N2 różni się od niej tym, że przy tej samej wartości średniej ma mniejsze odchylenie standardowe (krzywa staje się bardziej wysmukła).mniejsze odchylenie standardowe (krzywa staje się bardziej wysmukła).●●Krzywa N3 różni się od N1 tym, że przy tym samym odchyleniu standardowym Krzywa N3 różni się od N1 tym, że przy tym samym odchyleniu standardowym ma większą wartość średnią, czyli jest przesunięta w prawo.ma większą wartość średnią, czyli jest przesunięta w prawo.

N1

N2

N3

Dla zbiorów w większości symetrycznych lub umiarkowanie Dla zbiorów w większości symetrycznych lub umiarkowanie symetrycznych rozkłady empiryczne przyjmują kształt symetrycznych rozkłady empiryczne przyjmują kształt „dzwonu”„dzwonu”

wszystkie wartości w zbiorze są rozproszone wszystkie wartości w zbiorze są rozproszone („rozrzucone”) wokół średniej(„rozrzucone”) wokół średniej

w celu określenia „rozpiętości” wokół w celu określenia „rozpiętości” wokół średniej możemy użyć w bardzo precyzyjny średniej możemy użyć w bardzo precyzyjny sposób odchylenia standardowego.sposób odchylenia standardowego.

Dla zbiorów danych o rozkładach mających kształt „dzwonu” Dla zbiorów danych o rozkładach mających kształt „dzwonu” empiryczna regułaempiryczna reguła określa jak blisko dane wartości są do średniej określa jak blisko dane wartości są do średniej

1. W przybliżeniu 1. W przybliżeniu 68%68% liczebności populacji znajduje się w liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 1-go odchylenia przedziale zmienności równym wartości 1-go odchylenia standardowego od średniejstandardowego od średniej

2. Prawie 2. Prawie 95%95% liczebności populacji znajduje się w przedziale liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 2-óch odchyleń standardowych zmienności równym wartości 2-óch odchyleń standardowych od średniej.od średniej.

3. Prawie 3. Prawie 99.7%99.7% liczebności populacji znajduje się w liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 3-ch odchyleń przedziale zmienności równym wartości 3-ch odchyleń standardowych od średniej.standardowych od średniej.

Empiryczna zasadaEmpiryczna zasada

68%

95%

99,7%

Szeregi asymetryczneSzeregi asymetryczne

Rozkład prawostronnyRozkład prawostronny

Rozkład lewostronnyRozkład lewostronny

Dx

Dx

Miary asymetriiMiary asymetrii (skośności) (skośności)

wskaźnik asymetrii (skośności):wskaźnik asymetrii (skośności):

wartość wskaźnika asymetrii większa od zera informuje o wartość wskaźnika asymetrii większa od zera informuje o dodatnim (prawostronnym) dodatnim (prawostronnym) kierunku asymetriikierunku asymetrii rozkładu rozkładu

WWss równy zero oznacza rozkład symetryczny równy zero oznacza rozkład symetryczny WWss mniejsze od zera wskazuje asymetrię ujemną (lewostronną) mniejsze od zera wskazuje asymetrię ujemną (lewostronną)

DxWs


współczynnik asymetrii (skośności)współczynnik asymetrii (skośności)

informuje jaka częśćinformuje jaka część odchylenia standardowego stanowi różnica między odchylenia standardowego stanowi różnica między średnią arytmetyczną a dominantąśrednią arytmetyczną a dominantą

znak współczynnika określa kierunek a moduł siłę asymetriiznak współczynnika określa kierunek a moduł siłę asymetrii AAs s zawarty w granicachzawarty w granicach

wskazuje na umiarkowaną asymetrięwskazuje na umiarkowaną asymetrię w przypadku asymetrii prawostronnej Aw przypadku asymetrii prawostronnej Ass przyjmuje wartości przyjmuje wartości

dodatnie,dodatnie, w przypadku asymetrii lewostronnej Aw przypadku asymetrii lewostronnej Ass przyjmuje wartości przyjmuje wartości

ujemne.ujemne.

S

DxAs

11 sA


Jeżeli dany szereg wymaga użycia miar pozycyjnychJeżeli dany szereg wymaga użycia miar pozycyjnych (np. (np. otwarte przedziały klasowe, nierówne rozpiętości otwarte przedziały klasowe, nierówne rozpiętości przedziałów), do opisania asymetrii rozkładu należy użyć przedziałów), do opisania asymetrii rozkładu należy użyć pozycyjnej miary asymetrii pozycyjnej miary asymetrii opartej na kwartylach:opartej na kwartylach:

lublub

określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w 2-iej i 3-ej określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w 2-iej i 3-ej ćwiartce obszaru zmiennościćwiartce obszaru zmienności

13

1223 )()(

QQ

QQQQAs

Q

QQQAs 2

2 123


MomentyMomenty definiuje się jako średnie arytmetyczne odchyleń definiuje się jako średnie arytmetyczne odchyleń wartości cechy (zmiennej) od liczby wartości cechy (zmiennej) od liczby aa podniesione do potęgi podniesione do potęgi rr::

gdzie:gdzie:

- wykładnik potęgi - wykładnik potęgi r r określa rząd momentu, a więc gdy r = 1 mówimy o określa rząd momentu, a więc gdy r = 1 mówimy o momencie rzędu pierwszego, gdy r = 2 o momencie rzędu drugiego itd.,momencie rzędu pierwszego, gdy r = 2 o momencie rzędu drugiego itd.,

- liczba - liczba aa określa rodzaje momentów, gdy a = 0 mówimy o momentach określa rodzaje momentów, gdy a = 0 mówimy o momentach zwykłych (zerowych) oraz gdy o momentach centralnych.zwykłych (zerowych) oraz gdy o momentach centralnych.

i

i

r

i

n

nax )(

Xa


Momenty zwykłeMomenty zwykłe (oznaczamy symbolem (oznaczamy symbolem mm):):

Xn

nxmr

i

ii

1:1

22

2:2 Xn

nxmr

i

ii

.:3 33

3 itdXn

nxmr

i

ii


Momenty centralneMomenty centralne (oznaczamy symbolem (oznaczamy symbolem ee):):

0)(

:1 1

i

ii

n

nXxer

)()(

:2 22

2 XSn

nXxer

i

ii

.)(

:33

3 itdn

nXxer

i

ii

kurtozan

nXxer

i

ii

4

4

)(:4


Do określenia asymetrii rozkładu stosuje się Do określenia asymetrii rozkładu stosuje się moment centralny moment centralny trzeci etrzeci e33, informujący o kierunku skośności., informujący o kierunku skośności.

- jeśli rozkład jest symetryczny to e- jeśli rozkład jest symetryczny to e33 = 0, = 0,

- w przypadku asymetrii prawostronnej e- w przypadku asymetrii prawostronnej e33 > 0; > 0;

- w przypadku asymetrii lewostronnej e- w przypadku asymetrii lewostronnej e33 < 0. < 0. Siłę zjawiska przedstawia moment centralny trzeci wyrażony w Siłę zjawiska przedstawia moment centralny trzeci wyrażony w

jednostkach odchylenia standardowego:jednostkach odchylenia standardowego:

Jako Jako miarę względną kurtozymiarę względną kurtozy stosuje się współczynnik: stosuje się współczynnik:

)(3

33 XS

e

)(4

44 XS

e

Jak mierzyć asymetrię zjawiska?

Documents

Transcript of Jak mierzyć asymetrię zjawiska?