1

dr hab. Wojciech Rybicki Wyższa Szkoła Oficerska Wojsk Lądowych

im. generała Tadeusza Kościuszki we Wrocławiu, wojciech.rybicki@wp.pl

RZECZ O DYSKONTOWANIU CZYLI MEANDRY EKONOMII BEHAWIORALNEJ,

ETYKI I TEORII ZRÓWNOWAŻONEGO (TRWAŁEGO) ROZWOJU

W artykule rozważa się formalne implikacje postulatów etyczno-pragmatycznych w zakresie wyceny strumieni

wielkości ekonomicznych, ściśle związane z subtelnościami „handlu czasem”. Imperatyw respektowania idei trwałości

rozwoju społeczno-gospodarczego i bogata dokumentacja empiryczna zachowań podmiotów decyzyjnych (ewolucji w

sekwencjach dokonywanych przez nie wycen przyszłych zdarzeń – celów, odwracanie zwrotu preferencji), prowadzi do

podważenia paradygmatu zdyskontowanej (geometrycznie) użyteczności. Uchylenie założenia stałości stopy

dyskontowej (stacjonarnej niecierpliwości) skutkuje (formalną) niezgodnością dynamiczną programów. Z kolei,

implementacja dyskonta wykładniczego do tzw. modelu D-H-S (ograniczone zasoby, „słaba trwałość”) skutkuje

paradoksalnymi konsekwencjami i ewidentnym pogwałceniem idei sprawiedliwości międzypokoleniowej (niezależnie

od jej – licznych, formalnych definicji, interpretacji i filozoficznych umocowań – od Rawlsa i Sena po von Hayeka).

Po omówieniu nie-klasycznych formuł dyskontowania (hiperboliczne, sub-addytywne, quasi-geometryczne),

przedstawia się (własną) koncepcje dyskontowania log-normalnego. Podkreśla się rolę agregacji dyskontowania –

agregacja indywidualnych czynników dyskontujących „buduje pomost” między „piko-ekonomią” zadań ekonomii

behawioralnej, a wyznaczaniem „właściwej” między-pokoleniowej stopy dyskontowej (skala „makro”). Wspomina się

dalej o interakcjach biologii i ekonomii – akcentując aspekt „naśladownictwa mechaniki ogólno-przyrodniczej” przez

rzeczywistość ekonomiczno-społeczną. Załączona (dość obszerna) bibliografia ma – w intencji autora – spełniać ważną

rolę: stanowi wręcz „ the building block” całego przekazu, istotnie uzupełniając panoramę zagadnień poruszanych w

pracy. Nie pretenduje ona, rzecz jasna, do kompletności (nie czas i miejsce na to, a i sens – wątpliwy).

Słowa kluczowe: dyskontowanie geometryczne, dyskontowanie hiperboliczne, współczynnik niecierpliwości,

sprawiedliwość międzypokoleniowa, altruizm, krótkowzroczność, agregacja, społeczna (międzypokoleniowa) stopa

dyskontowa, rozwój zrównoważony.

ON DISCOUNTING OR MEANDERS OF A BEHAVIORAL ECONOMICS,

ETHICS AND A SUSTAINABLE DEVELOPMENT THEORY

In the article the formal implications of ethical and pragmatic postulates regarding the evaluation of economic quan-

tities streams (these questions are strictly connected with “time trading” or the “time-money trade off”) are discussed.

There are two important spheres involving the increasing (recently) interest in the above mentioned problems: the first

one of them concerns the general ideas of sustainability of socio-economic development. The second one , in turn,

finds its roots in the domain of psychology and inferences based on the large empirical material, evidencing the behav-

ior of decision makers (subjects, market (near, as well as, far – distant ones). s’ participants). The special emphasis

have been put on the description, explanation and ways of formalization of changes in perception, and (implied) evolu-

tions of evaluation of the “validity” of future events and acts (near, as well as, far – distant ones), when the time passes.

In the extreme cases the preference reversal is observed. These findings lead to rejecting the classic Samuelson-Bergson

paradigm of exponentially discounted sums of “one-dimensional” utilities (DU) and substituting them by the different

methodologies. The main point is questioning the idea of stationary (constant) discount rate (or a rate of impatience).

However such a change results in drawback of loosing of the dynamic consistency of multi-period plans, which, in turn,

might be viewed as a proper price for an adequacy in describing of the real decision processes. It should be pointed out,

that implementation of the geometrical discounting into the classic growth models (like DHL-Dasgupta-Heal-Solow

model, seeking for the ethical preferences in the presence of resources constraints and assuming the weak form of a

sustainability) results in the violation of intergenerational equity (the “technical” details regarding concrete definitions

do not matter in this case) and involve paradoxical consequences concerning long-term consumption paths).

After describing non-classic discounting formulas (hyperbolic, sub-additive, quasi-geometric) the so called log-

normal discounting conception is presented (the author’s own proposal). Subsequently the role of aggregation of indi-

viduals’ discount rates aimed to obtaining the social discount rates is stressed. This type of operations enables to built a

bridge joining the micro- and macroeconomic areas. The interaction between economic behavior and biological bench-

marks are also mentioned – the phenomenon of (some kind of) mimics biological processes by socio-economic process-

es (and their theoretical models) is noticed. The relatively large bibliography is added, which is aimed to play a signifi-

cant role as a complement of the presented thoughts and facts. Anyway it does not pretend to completeness (such a

role disagrees with the purpose and character of the paper).

Keywords and phrases: geometric discounting, hyperbolic discounting, coefficient of impatience, intergenerational

equity, altruism, myopia, aggregation, social (intergenerational) discount rate, sustainable development

IX Kongres Ekonomistów Polskich

2

„Two development pose dilemmas for well established discounting techniques: (1) The extremely long time horizons

associated with recently prominent environmental policy problems, such as climate change and nuclear waste storage,

have made it important to take seriously both benefits to future generations and extreme uncertainties in projecting the

returns to policies and future well being. (2) Findings in the burgeoning field of behavioral economics have made it

clear that individuals routinely depart significantly from rational perspectives when making choices over time, thus

undermining a bulwark of the discounting approach”

Richard J. Zeckhauser, W. Kip Viscussi, „Discounting Dilemmas” (2008)

1. Wstęp

Naturalne i ścisłe są związki idei trwałego rozwoju, dylematów natury etycznej oraz procesów ze sfery psychologii

percepcji (zmian – w czasie – perspektywy postrzegania oraz „ważenia”) przyszłych zdarzeń czy celów, z filozofią i

technikami wyceny tzw. projektów daleko-okresowych („programów”). Od strony formalnej, są to nieskończone ciągi

„obiektów matematycznych” o zróżnicowanym stopniu ogólności. Odpowiadają one sekwencjom stanów (wielkości) o

rozmaitej wykładni ekonomicznej – na przykład wektorom czynników determinujących procesy wzrostu (konsumpcja,

inwestycje-oszczędności). Mogą to być także funkcje czasu ciągłego argumentu „czasowego”, procesy losowe. W ra-

mach jednego z głównych nurtów badań zakłada się istnienie jednowymiarowych reprezentacji numerycznych tych

wielkości (użyteczności chwilowych) oraz ich porównywalność w planie horyzontalnym (czasowym). Następnie po-

szukuje się formuł ewaluacji tych nieskończonych strumieni, spełniających postulaty paradygmatu „sustainability”:

międzypokoleniowej sprawiedliwości i efektywności typu Pareto. Dylematy (fundamentalnej natury) pojawiają się już

na etapie definicji, postulatów „pierwotnych” oraz interpretacji samej kategorii sprawiedliwości międzypokoleniowej.

W artykule nacisk położony jest na (powszechnie znany) formalny „wzajemny konflikt” owych postulatów, a także

jego implikacje dla metodyki dyskontowania, w tym kolejne „konflikty”: między zgodnością czasową (preferencji oraz

wykładniczych funkcji dyskontujących), a adekwatnością opisu dynamiki procesu ewolucji preferencji, a także – rażącą

dyskryminacją znaczenia tzw. dalekiej przyszłości w stosunku do wyceny wielkości obecnych (nominalnie identycz-

nych). Istotne jest, iż kwestie te – o zgoła odmiennej „proweniencji i wymiarze” – znajdują wspólny mianownik w

dyskontowaniu, co zasygnalizowali bardzo wyraźnie autorzy przytoczonego motta.

W opozycji do dyskontowania wykładniczego pojawiły się – w ostatnim półwieczu – liczne propozycje funkcji

(ciągów) dyskontujących, malejących do zera znacznie wolniej, charakteryzujące się zmienną stopą dyskontowania i

tzw. malejąca niecierpliwością. Były to przede wszystkim funkcje hiperboliczne, dla których (poza potwierdzeniem

empirycznym) znaleziono także umocowanie aksjomatyczne. Trzeba podkreślić, że właśnie uchylenie założenia stałości

stopy dyskontowej (postulat zastąpienia stacjonarnej niecierpliwości odpowiednim parametrem – zmieniającym się

odwrotnie proporcjonalnie do czasu), prowadzi do niezgodnego dynamicznie, lecz zgodnego z wieloma realnymi

procesami (ewolucji preferencji – aż do „odwracania ich zwrotu” ), dyskontowania typu hiperbolicznego.

Z kolei próba implementacji dyskontowania eksponencjalnego do modelu Dasgupty-Heala-Solowa (1974) ( wzrostu

gospodarczego w warunkach ograniczonych zasobów, spełniającego założenia „słabej trwałości”) prowadzi do

paradoksalnych konsekwencji – w sferze daleko-okresowej konsumpcji (por. także Asheim 1996).

W dalszym ciągu pracy przedstawione będą, krótko, zagadnienia agregacji dyskontowania indywidualnych stóp

(czynników, funkcjonałów dyskontujących). Jest to problem niezwykłej wagi: ogólna kwestia agregacji preferencji nie

doczekała się dotychczas zadawalającego rozwiązania (począwszy od klasycznych negatywnych ustaleń K.J. Arrowa ,

w tej materii). Powiązanie piko-ekonomicznych zjawiskami ze sfery ekonomii behawioralnej, problematyki

„rynkowego dyskonta” oraz – ewentualnie – zagadnień struktury terminowej z makroekonomią „stanowienia

właściwej” stopy dyskontowej międzypokoleniowej (społecznej), oznacza szukanie wspólnej „technologii dla różnych

światów”. Przybliżone będzie pojęcie dyskontowania pod-addytywnego, niektóre miary i typologia dyskontowania

(częściowo wzorowane na formalizacji postaw względem ryzyka). Przedstawi się też własne propozycje (porównując

je z „benchmarkami”): tzw. dyskontowanie log-normalne („pomiędzy wykładniczym a hiperbolicznym”) i

progresywnie odwrotnie proporcjonalnego (bardziej „przyjaznego przyszłości”, niż hiperboliczne!).

Dodajmy jeszcze krótką wzmiankę o formach występowania ”elementów stochastycznych”: losowy charakter mogą

mieć czasy (momenty) realizacji wycenianych zdarzeń, ich ”kaliber”, wielkości stóp dyskontowych (stałych!), proces

ewolucji stóp, wreszcie – czas trwania świata (ekonomii). Warto zwrócic uwagę na nie-komutatywność operacji

wyznaczania pewnego ekwiwalentu (także wartości oczekiwanej) oraz dyskontowania. Rozbieżności w wynikach

ewaluacji mogą być znaczące – w części przypadków „odpowiada za to” nierówność Jensena.

3

2. Wybrane studia własne tematyki przedmiotu

a) Rybicki W. – „Modelowanie preferencji a zagadnienia zrównoważonego (trwałego) rozwoju” – referat

wygłoszony podczas obrad IX Ogólnopolskiej Konferencji Naukowej „Modelowanie preferencji a ryzyko’13”, Ustroń,

17-19 marca 2013 r., Organizator: Katedra Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach (artykuł,

po recenzjach, przyjęty do druku w „Studiach ekonomicznych” UEK).

b) Rybicki W. – „Problemy dynamicznej niezgodności i dyskontowania długo-okresowych projektów inwestycyjnych

w kontekście zarządzania ekonomicznym bezpieczeństwem „dalekiej przyszłości”, referat wygłoszony podczas obrad

konferencji naukowej „Dylematy współczesnego zarządzania” , Będlewo, 17-19 października 2012 r., Organizatorzy:

Instytut Spraw Publicznych Uniwersytetu Jagiellońskiego, Wydział Zarządzania Wyższej Szkoły Oficerskiej Wojsk

Lądowych imienia generała Tadeusza Kościuszki we Wrocławiu

c) Rybicki W. – „Discounting and ideas of intergenerational equity and sustainability, Operations Research and

Decisions, Wrocław University of Technology, 2012, No.1, p.63-84

d) Rybicki W. – „Sprawiedliwość międzypokoleniowa i kłopoty z dyskontowaniem przyszłości”, Prace i Materiały

Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego, nr 4/8, 2011, s. 151-165

e) Rybicki W. – „Sprawiedliwość międzypokoleniowa i sekwencyjne modelowanie preferencji”, w B. Fiedor,

Z. Hockuba (red.), Nauki ekonomiczne wobec wyzwań współczesności, PTE, Warszawa 2009, s.175-187

f) Rybicki W. – „Some thoughts on intergenerational equity and related problems”, in Quality of Life Improvement

through Social Cohesion, W. Ostasiewicz (ed.), Proceedings of the Fourth International Conference on Quality of Life

Research, p. 159-163, Department of Statistics, Wroclaw University of Economics, may 2008, Wroclaw

3. Pięć cytatów

a)“The time of which a man exists cannot affect the value of his happiness from universal point... the interests of

posterity must concern a Utilitarian as much as those of his contemporaries”

H. Sidgwick (1874)

b),,...mocny, etyczny wymóg jednakowego traktowania wszystkich pokoleń, sam w sobie racjonalny, stoi w

sprzeczności z równie mocnym, intuicyjnym przekonaniem, że niemoralne jest oczekiwanie nadmiernie wysokiej stopy

oszczędności wobec jednego pokolenia czy wobec wszystkich kolejnych pokoleń...”

K.J. Arrow (1995)

c) “While there is uncertainty about almost everything in the distant future, perhaps the most fundamental

uncertainty of all concerns the discount rate itself”

M.L. Wietzman (1998)

d) “ The individual may die, but the nation lives on” (proverb)

S.A. Marglin (1962)

e) “Jak porównać przyszły dobrobyt z dzisiejszą biedą,….”

Z. Czerwiński (1992)

4. Dwanaście książek

,,Obligations for Future Generations” (1978) – Sikora, Barry

Parfit D. (1984) – ”Reasons and Persons”, Oxford University Press

Choice over time (1992) – Loewenstein, Elster; New York, Russel Sage Foundation

Justice between Age Groups and Generations Peter Laslett and James S. Fishkin, eds. New Haven: Yale University

Press, 1992

Price C. (1993). Time, Discounting and Value, Oxford

“Resources for the Future” – Washington DC >Discounting and intergenerational equity< (1999)

Atkinson G., Dietz S., Neumayer E., 2006. Handbook of Sustainable Development, Measuring sustainability

The Economics of Climate Change. The Stern Review, N. Stern (ed.), Cambridge 2007

,,Intergenerational Equity and Sustainability” (2007) Roemer J., Suzumura K.: Palgrave Macmillan, Houndmils–

Basingstoke–Hampshire 2007.

Journal of Risk and Uncertainty, vol. 37 No. 2/3 (2008) “Special Issue on Discounting Dilemmas”

Cowen T. (2008). Social Discount Rate, In. The New Palgrave Dictionary of Economics

Mathematical Social Sciences vol. 59 (2010) (Special Issue on Sustainability)

4

5. XX i XXI wiek – „Nowe” : jakości, realia, pytania; „stare” problemy

Uświadomienie wyczerpywania zasobów, zaniku różnorodności i degradacji – oraz akceleracji tych procesów,

ujawnia się nowy wymiar (relatywizacja) pojęcia rzadkości, zanik dóbr wolnych sensu stricte (sam problem oczywiście

nie jest nowy, sięga prehistorii – a i obecnie można wspomnieć o praktykach gospodarowania Karenów czy

buszmenów). W warstwie sformalizowanej dobrym modelem okazuje się być – także sekwencja gier (pomiędzy

kolejnymi ,,wcieleniami” lub między generacjami). Pojawiająca się konieczność ,,myślenia horyzontalnego” –

prowadzi do nowego ujęcia zagadnień wyboru międzyokresowego – w nowej (”far distant”) perspektywie. Godne

podkreślenia jest też, że imperatyw międzypokoleniowej sprawiedliwości wynika, już nie tylko z pobudek

„idealistycznych”, lecz – bardzo pragmatycznego celu przetrwania – dla trwałości rozwoju („ekonomiczny Darwinizm”

dopatruje się mechanizmów zwiększających szansę zachowania gatunku, jako determinant „zachowań ekonomicznych”

– stąd też pojawia się potrzeba rewizji filozofii wyceny i reguł dyskontowania, „w duchu „zazielenienia”). Nakładają

się na to obserwacje wynikające ze studiów psychologii zachowań podmiotów – co doprowadziło do rozsadzenie

klasycznego, samuelsonowskiego „paradygmatu stacjonarnej niecierpliwości”.

W tym kontekście należy wymienić co najmniej cztery nazwiska („muszkieterów – koryfeuszy”) – z całą

świadomością, iż jest to „minimum minimorum pocztu zasłużonych.” Są to: Ramsey, Samuelson, Koopmans i Strotz.

A oto ich „wizytówki”:

F.P. Ramsey (1928) – ,,The Mathematical Theory of Saving”.

P. Samuelson (1937) – wycena strumieni poprzez dyskontowanie geometryczne (paradygmat zdyskontowanej –

wykładniczo – użyteczności, DU; zyskał rangę „kanonu racjonalności”

( ), ( )t t

t td u x e u x

T.C. Koopmans (1960) – aksjomatyzacja (w języku preporządków w przestrzeniach nieskończonych ciągów),

,,sankcjonująca” powyższe stacjonarne dyskontowanie (stałe czynniki dyskonta, miary niecierpliwości, preferencji

czasowych.

R. Strotz (1955) – niezgodność dynamiczna preferencji o stałej „stopie niecierpliwości”, pionierskie koncepcje w

zakresie dyskonta hiperbolicznego

6. Znamienna cezura

Historia: „przed Koopmansem i Strotzem”

Współczesność: „po Koopmansie i Strotzu

Pięć lat przed teoretycznym uporządkowaniem kwestii (klasycznej) metodyki ewaluacji strumieni użyteczności

przez Koopmansa , w 1955 roku miało miejsce odkrycie R. Strotza, którego istotą jest zanegowanie – na gruncie empi-

rii – adekwatności (do realiów) ,,ideologii” DU, wraz z wykazaniem niezgodności dynamicznej takich preferencji, oraz

pionierskie ustalenia w zakresie dyskontowania hiperbolicznego. A oto – klasyczny już – przykład (tego Autora)

Na początku roku kalendarzowego wielu ludzi planuje zachować określone środki finansowych na okolice Bożego

Narodzenia. Jednak w miarę upływu czasu (w lecie) pojawia się okazja wydania części z nich na wakacje i wielu z nich

decyduje o zmianie przeznaczenia tych pieniędzy. Następnie rozpoczyna się rok szkolny i znów ludzie zmieniają (co

najmniej – modyfikują) pierwotne preferencje i wydają część pieniędzy na wyposażenie szkolne (,,wyprawka” oraz

odzież). Tak więc stają się bardziej niecierpliwi niż w styczniu. Stopa niecierpliwości (stopa dyskonta) ,,kurczy się”,

gdy czas do realizacji jest większy (w rozpatrywanym przypadku musimy ,,podążać za czasem wstecz”), jej zmienność

skutkuje odwracaniem zwrotu preferencji, co z kolei, znajduje wyraz z hiperbolicznej (odwrotnie proporcjonalnej do

czasu) funkcji dyskontującej

Hiperboliczne funkcje dyskontujące postaci ( ) ,a

h tb t

przypisują znacznie większe znaczenie przyszłym wiel-

kościom niż geometryczne g(t) = dt. Spektakularny przykład numeryczny dotyczy sytuacji kiedy stopa dyskontowa

wynosi 10% (w skali roku). Wówczas zdyskontowana w sposób klasyczny wartość wynika równego nominalnie dzi-

siejszemu, po okresie 100 lat jest 14 000 razy mniejsza od wartości dzisiejszej. Dyskontowanie hiperboliczne o iden-

tycznej stopie początkowej (następnie – ,,programowo” malejącej) prowadzi do wyceny jedynie 11 razy ,,mniej waż-

nej” za 100 lat niż obecna (Harvey, 1996).

T. O’Donoghue i M. Rabin w pracy z 1999 roku podają następujący przykład. Decydenci stojący na początku lutego

przed wyborem wykonania nieprzyjemnego zadania, które ma im zająć 7 godzin (na przykład – wypełnienie PIT-u) w

dniu 15 kwietnia albo takiego samego typu zadania przez 8 godzin, w dniu 30 kwietnia, będą w większości preferowali

pierwszy wariant. Natomiast, stojąc wobec tejże alternatywy tuż przed 15 kwietnia, na ogół zmienią swoje preferencje.

Zakładając, milcząco, ciągłość (w czasie) owego ,,mentalnego” eksperymentu, dochodzi się ponadto do wniosku o

istnieniu takiej chwili, w której podmiot decyzyjny jest indyferentny w stosunku do przedstawionych wariantów – hi-

perbole ich dyskonta się przecinają.

Jeszcze inny przykład, związany z elementem niepewności, który implikuje ewolucję – w czasie – postawy decy-

denta wobec alternatywnych możliwości podają D. Dasgupta i E. Maskin (praca z 2005 roku) Załóżmy, że decydentowi

5

proponuje się wybór pomiędzy małą (dodatnią) wypłatą relatywnie szybko (,,projekt P”) a dużą wypłatą – relatywnie

późno (,,projekt P”). Załóżmy ponadto, że istnieje niewielkie (lecz – dodatnie) prawdopodobieństwo P lub P będzie

zrealizowany w pewnej chwili (t) wcześniejszej niż przewiduje regulamin wyjściowy. Można przyjąć, że podmiot de-

cyzyjny będzie początkowo preferował P (większa wypłata, a ponadto szansa na jej wcześniejszą realizację). W miarę

upływu czasu prawdopodobieństwo wcześniejszej wypłaty zmniejsza się (o ile P się nie realizuje). Pomimo, że rów-

nież szansa na ,,przedterminową” wypłatę P też maleje – atrakcyjność jej rośnie, bo prawie na pewno będzie zrealizo-

wana przed P i to już niebawem. Może to prowadzić do ,,odwrócenia” wyjściowych preferencji.

W tej samej pracy Dasgupta i Maskin podają przykład ,,dyskontowania instynktowego”. Kos decyduje się

,,zawisnąć” nad krzakami malin w oczekiwaniu na moment, kiedy dojrzeją. W międzyczasie maliny mogą jednak paść

łupem stada wron, które ,,nie wybrzydzając” zjedzą wszystkie owoce. Kos musi przeprowadzić na bieżąco rachunek

kosztów i korzyści, dyskontując wartość (kaloryczną) owoców V w stosunku do zagrożenia przylotem wron: jego

,,naturalną” stopę dyskontową może być tzw. stopa hazardowa dla ,,procesu nalotów wron” czyli (w chwili t), prawdo-

podobieństwo warunkowe przybycia wron w przedziale ∆t czasowym (t, t + ∆t) podzielone przez długość przedziału ∆t.

Tylko dla poissonowskiego procesu ,,odwiedzin przez wrony” ta stopa jest stała, co ,,upoważniałoby kosa” do dyskon-

towania wykładniczego wartości V, wyceniającego wartość obecną jako .rte VBardziej realistyczne wydaje się jednak

rozważanie zmiennej (zależnej od czasu) stopy r(t). Jej malenie (na przykład) może, po części, wiązać się kosztami

alternatywnymi (zmęczenie organizmu). Tak więc instynkt może w pewnej chwili zmusić (nie kształconego w teorii

dyskontowania) kosa do odlotu.

Na jeszcze inny aspekt wyceny strumieni wielkości w czasie zwraca uwagę G. Asheim w pracy z 1996 r. Załóżmy,

że kolejne pokolenia, „biorąc sobie do serca” ogólne wytyczne trwałości rozwoju i zarządzają kapitałem oraz zasobami

naturalnymi zgodnie z subiektywnymi preferencjami, które z kolei ,,rekomendują” pewien stopień altruizmu w stosun-

ku do potomnych. Okazuje się, że – wbrew intencjom decydentów – ów altruizm może nie wystarczyć do zagwaranto-

wania przyszłym pokoleniom bezpieczeństwa ekonomicznego. Załóżmy, że subiektywny dobrobyt generacji t (wt) zale-

ży od poziomu jego własnej ,,użyteczności statusu” (ut), oraz w pewnym stopniu od subiektywnego (odczucia) dobro-

bytu przez jej bezpośrednich potomków

1 0 1t t tw u bw b

łatwo zauważyć, że powyższa rekurencja prowadzi do określenia explicite poziomu dobrobytu

.s t

t t

s t

w b u

Jest to formuła zdyskontowanej utylitarystycznej wyceny (o której będzie mowa w następnym punkcie), która w

oczywisty sposób zaniża znaczenie użyteczności przyszłych pokoleń, w stosunku do wartości obecnej.

7. Kilka uwag o etycznych, ekonomicznych i matematycznych aspektach określania preferencji

w przestrzeniach przeliczanych strumieni wielkości ekonomicznych

,{ }, { , }, { }, { }t tX x x x t T U u u u t T

Tradycja utylitarna:

,

( ) ( ), ( ) ( ) ( )

t g

t t t t

U u U u

U x u x U x d t u x

0

( ) 1t

t

t

U x u x

(DU)

ρ –stała stopa preferencji czasowych (niecierpliwości)

-( ) = (1+ )

td t ρ – funkcja dyskontująca (czynnik dyskontujący)

ρ – Ramsey, stopa dyskontowa ρ > 0 jest niedopuszczalne etycznie

u ↑ – wklęsła (użyteczność chwilowa)

Wybór planu konsumpcyjnego (na przykład) jest zdeterminowany optymalizacją ( funkcjonału U).

Definicja

6

Relacja preferencji w l nazywa się międzypokoleniowo skończenie bezstronna, jeśli permutacji :f l l

niezmienniczej dla prawie wszystkich współrzędnych

, f fx y l x y x y

Definicja

Relacja preferencji nazywa się słabo monotoniczna (Paretowska, efektywna), jeśli zachodzi implikacja

t tt N x y x y

Definicja (Asheim, 1996 )

Relację preferencji spełniającą postulaty międzypokoleniowej skończonej bezstronności oraz efektywności nazywa

się preferencjami etycznymi (termin wprowadził W 1955 r. J. Harsanyi – w opozycji do: „subjective” – w kontekście

porównań interpersonalnych, 1955)

Przypomnijmy raz jeszcze, że „rewoltę”, prowadzącą do podważenia paradygmatu Samuelsona – w ekonomii – roz-

począł R. Strotz, w obszarze psychologii i biologii, równolegle również odnotowywane były tzw. anomalie i niekonse-

kwencje (w stosunku do „normatywnych, racjonalnych” zachowań w procesach wieloetapowych). Od lat 60-tych ubie-

głego wieku liczne badania: Herrnstein, Ainslie, Phelps-Pollak, Loewenstein, Laibson, Mazur, Harvey, Cowen, Price,

Weitzman, Gollier, Baucells, Sarin, Bleichardt, Read („front dyskontowy”). Z perspektywy ekonomicznej – za pionier-

skie należy uznać artykuły:

– Phelps E., Pollak R.A.: On Second-Best National Saving and Game-Equilibrium Growth. ,,Review of Economic

Studies” 1968, No 35(2) oraz

– Kydland, Prescot (JPE, 1977, vol. 85) ,,Rules Rather then Discretion: The Inconsistency of Optimal Plans”.

W pierwszym z nich zaproponowano teorio-growy model dla zagadnienia wyboru międzyokresowego (konsumpcja

vs oszczędności), co doprowadziło, miedzy innymi, do quasi-geometrycznego funkcjonału wyceny (dyskretnego –

w czasie- pierwowzoru dyskontującej funkcji hiperbolicznej) w którym różnica w stopie niecierpliwości czasowej

występuje tylko pomiędzy pierwszym etapem a wszystkimi pozostałymi, co prowadzi do niezgodności dynamicznej

programów, z jednej strony; zaś drugiej strony bardzo prosto ją formalizuje.

Rozważmy (za Harveyem, 1995) model, w którym występują ciągi par („wynik, czas”)

0 0 1 1( , ) ( , ), ( , )... , ,n

i ix t x t x R t R x t ,

oraz reguła dyskontowania:

0

( , ) ( ) ( );t

t

d t u x

W x t (standardowe założenia o funkcji u).

Powyższy międzypokoleniowy funkcjonał społecznego dobrobytu (W) generuje preferencje na zbiorze par

strumieni, przy czym

d – „niechętne” wobec czasu (timing averse)

d const – „neutralne” wobec czasu (timing neutral)

d – „przychylna” wobec czasu (timing prone)

Przypadki te odpowiadają własnościom: „niecierpliwości”, „cierpliwości” oraz „altruizmowi względem

potomnych”.

Preferencje stacjonarne: ( ) ,td t d (Samuleson!)

Wersja ciągła: ( ) ,td t e

Stały współczynnik niecierpliwości ( ).d

Są to jedyne funkcje dyskontujące, gwarantujące zgodność czasową („dynamiczną”) preferencji – co jest

bezpośrednią konsekwencją własności funkcji wykładniczych („geometrycznych”)

( ), (0, ) ,t s t s t s s tt s d d d e e e

„Siła dyskontowania” zależy tylko od długości przedziału

,t s , a nie od jego „położenia” na osi czasu (ogólniejszy warunek – zasada zgodności procesów akumulacji

kapitału).

Warunek stacjonarności „w oryginalnym języku preferencji” w przestrzeni ciągów par: („stany, czasy”)

( , ) ~ ( , ) ( , ) ~ ( , ). 0h h h x t y t x t y t

Względna czasowa neutralność

7

0 : ( , ) ~ ( , ) 0

, ( ) ~ , ( )

b x s y t m

x s m b s y m b t

Warunek analityczny na funkcję dyskontującą: ( ) ; 0,

rb

d t b rb t

0 ( )r d t dyskontuje znacznie wolniej niż wykładniczo)

Szczególny przypadek stanowi „proporcjonalne traktowanie” czasu (Harvey, 1995; aksjomatyczny ,,fundament

formalny” dla dyskontowania hiperbolicznego, (dla uogólnionego hiperbolicznego –nieco wcześniej (w pracach z lat

1989 oraz 1992) aksjomatykę sformułował Prelec oraz Loewenstein i Prelec (nieco inaczej).

Istotę hiperbolicznej funkcji dyskontującej stanowi malejąca stopa dyskontowa – stopa niecierpliwości czasowej:

0 0

0 0 0 0

, 0, ,

( , ) ~ ( , ), 0, 0, / / ( , ) ~ ( , )

( )

x y s t

x s y t s t t s y x x s s y t t

bd t

b t

A w konsekwencji – także zmienność ilorazów

( 1)

( )

d t

d t

(lub

( )

( )

d t

d t

)

Prześledźmy dalsze przeplatanie się aksjomatów z wynikowymi funkcjami dyskontującymi

Bezwzględna malejąca awersja względem czasu

( , ) ~ ( , ) ( , ) ( , ) 0x s y t x s h y t h h

(Jeśli s t oraz 0 x y ).

Warunek analityczny: log ( )d t ściśle wypukłe

Wspomniane wcześniej dyskontowanie quasi-geometryczne (nazywane też quasi-hiperbolicznym) zapisane jest

wzorem (Phelps-Pollak 1968; Sorger 2004)

1 0

( )0;10,t

dla td t

dla t

Dyskontowanie uogólnione hiperboliczne – Prelec, Loewenstein 1992, Laibson 1997: („anomalies”, „golden eggs”).

/( ) (1 ) ; , , 0

( ) (1 ) ; 0

d t t

d t t

.

We wcześniejszej pracy Harveya wprowadzone jest pojęcie rozciągliwości: podmiot przedkładający wypłatę x w

chwili s nad wypłatę y w chwili t, dokona takiego samego wyboru dla okresów, odpowiednio,

( 1) 1 oraz ( 1) 1D s D t , gdzie D oznacza opóźnienie ( , ) ( , ) ( , ( 1) 1) ( ,( 1) 1)x s x t x D s y t .

Istotę owych preferencji przybliża przekonywujący przykład (Cieślak. 2005):

,,Odmiennie, niż w przypadku aksjomatu stacjonarności, rozciągliwości jest wrażliwa na przesunięcie w czasie.

Wyobraźmy sobie osobę, która woli 100 j.p. (jednostek pieniężnych) dziś od 110 j.p. jutro. Rozciągliwość oznacza, że

preferencje te nie ulegają zmianie w sytuacji wyboru między 100 j.p. za 10 dni a 110 j.p. za 21 dni (parametr d = 11).

Jednak ta sama osoba, postawiona przed alternatywą 100 j.p. za 10 dni lub 100 j.p. za 11 dni, może zmienić swe upodo-

bania na korzyść wypłaty wyższej i późniejszej”. Upraszczając wywody przytoczyć można (cząstkową, lecz bardzo

istotną) konkluzję: w addytywnej reprezentacji funkcjonału wyceny wagi mają postać funkcyjną

( ) ; 0

rb

d t tb t

(dla pewnych wartości parametrów b > 0 oraz t),wtedy i tylko wtedy gdy preferencje mają własność Relative Time

Preferences.

8

Uwaga: Kolejne (ważne!) punkty pracy (8-11, traktujące o agregacji, elementach stochastycznych w „filozofii dys-

kontowania”, dyskontowaniu pod-addytywnym oraz logarytmiczno-normalnych funkcjach dyskontujących) zaawizo-

wane są w niniejszym materiale w formie hasłowej. Część z nich może być objaśniona i skomentowania w trakcie wy-

głaszania komunikatu (jeśli taka okazja się nadarzy). Większość – po koniecznej selekcji – będzie „ucywilizowana

redakcyjnie” w artykule przygotowanym do recenzji (na bazie tegoż materiału, stanowiącego „draft” finalnej wersji).

8. Agregacja

Model Weitzmana (1) (1998)

n ,,scenariuszy” (j = 1, 2, …, n), n – stóp dyskont

rj(t) (j = 1, …, n), rozkład (p1, p2, …, pn) * lim ( )j j

tr r t

mocne założenie stabilności

0

( ) exp ( )

t

j ja t r d

(czynnik dyskontujący)

( ) ( )i jA t a t (C-EDF)

( )( )

( )

A tR t

A t (C–E IDR)

*( ) lim ( )t

R t R t

(C–E F–D–F DR)

* *

min minimum{ }jj

r r

TWIERDZENIE * *

minR r

Model Weitzmana (2) (2001)

(,,Gamma discounting”)

( ) jx t

jA t e

Gamma ( , )jx

1( )( )

xf x x e

1 ( )

0

( )( )

t xA t x e dx

( )A tt

,

Reinschmidt (2002)

ρj – constans (w czasie)

ρj ~ N(μ, σ) (w populacji n-elementowej)

(1) SDR < ADR

(2) SDR(t)↓

(3) jte

At zagregowany zysk w chwili t

1( ) jt

t t

j

PV A A en

Dla ,,dużych”

( ) ( )t

t tPV A A E e

te – logarytmiczno-normalny

Ważniejsze w tym kontekście – konsekwencja. 21

2( )t ttEe e , a stąd ,,nowa” (zagregowana)

2

2

tSDR

9

Nocetti-Jouini-Napp (2008) – uogólnienia, krytyczny komentarz (także stochastyczne dominacje).

9. Wpływ „elementu stochastycznego”

Zestawienie (Baucells, Sarin 2007)

METODA

E(NPV)

DU

DCE

U(NPV)

CE

$ 413.636

$ –56.334

$4.437

$ 35.451

u(x) = ln(x + 100 000)

1 000 000, 90 000

1 1,

2 2

r = 0,1

Przykład (Newell, Pizer 2003)

T0 = 0, T = 200, $1000,

r = 4% (r1 = 1%, r2 = 7%; 1

2p )

PVB1(P) = ($1000 · e–0,04 · 200

) = $0.34

PVB2(P) = 12 ($1000 · e

–0,01 · 200) +

12 ($1000 · e

–0,07 · 200 = $68

Model

t tr , niezależne; 2( , )N

1t t t ; 2i.i.d. (0, )t N

1

expt

t s

s

P r

E(Pt)

( ) /

( )

tt

t

dE P dtr

E P

2 2 ( , )tr t t

2 1 1

3

1 2log( ) (1 )( , )

2(1 ) (1 )

t t

t

( 1) , 21

2lim ( , ) (1 )t

t

10. Dyskontowanie subaddytywne (Read 2001)

Na inny rodzaj subtelności w ,,filozofii dyskonta” zwrócił uwagę Read (2001), który wprowadził pojęcie

dyskontowania subaddytywnego. Opisowo, idea tej metodyki (również poparta badaniami empirycznymi) sprowadza

się do spostrzeżenia, że dyskontowanie w skali całych przedziałów (opóźnień czasowych) jest mniejsze dla ,,aktów

jednorazowych” niż w przypadku rozbicia przedziału na pod-przedziały, ,,dyskontowania na raty”.

Czas dyskretny

Funkcja dyskontująca D(t) = Δt

( 1)j j jV V [ ( ) ]jPV V

0

1

T

T j

j

V V

0 0 0

1 1 1 1

[ ]T T T T

T T T i i i T

i T i i T i

V V V V V

10

Malejąca niecierpliwość:

1 .i i

Czynnik dyskontujący dla dyskontowania hiperbolicznego (najprostszy wariant)

1 ( 1)

1j

k j

kj

0 0

1 1 1

1 1 1T T T

kTV V V V

kT kT kT

Frakcja dyskonta: TT T

T

Vf

V

Dla dyskonta hiperbolicznego: 1

1T T

kTf

kT

Podaddytywność: f0→T > f0→T ′→T

11. Dyskonto log-normalne i super-hiperboliczne 2(ln )

21

( )z

f z ez

; z >0

(1) czas dyskretny

( 1) ( )

( )

f z f zz

f z

(2) czas ciągły

( )

( )

f zz

f z

,

( )

(0)

f zz

f

(3) ( ) ( ) ( )w z f z h z ,

2(logz)

21 1sze ez z

; z > 1.

(4) g(z) > h(z) , ( ) ( )a

g z zb z

, ( ) ( ) ( )g z h z z

( ) qz z , 0 < q < 1, lim ( )z

z

, ( ) 1, 0z z

12. Zakończenie

„Akademickie” sugestie dotyczące stosowania określonych funkcjonałów wyceny, przekładają się na decyzje o wy-

borze strategii (inwestycyjnej, redystrybucyjnej) – pośrednie „sterowanie” wzrostem (ukierunkowanym, na przykład, na

magistrale zrównoważonego i efektywnego rozwoju, ścieżki prowadzące do konwergencji), a w konsekwencji – na

decyzje polityczne w sferze gospodarowania. Regulacje natury interwencyjnej – w skali regionalnej – nieraz wspoma-

gały „niewidzialną rękę” (nie obcinając jej!) – częściowo zależą od „korekt dyskont” – dokonywanych przy nieco uchy-

lonej „zasłonie niewiedzy” Johna Rawlsa. Z kolei odniesienie do elementów ekonomii behawioralnej, ze szczególnym

naciskiem na psychologiczne motywy zachowań inwestycyjnych: z perspektywy podmiotów decyzyjnych oraz „kapry-

sów” spersonalizowanych makro-podmiotów – rynków finansowych,można wpisać w ogólniejszą sferę skojarzeń. Cho-

dzi o uwzględnienie interakcji „na linii” ekonomia-biologia, które znakomicie wzbogacają również sferę poznawczą

identyfikacji źródeł oraz (ewentualnego) uzasadniania formalno-modelowego (obiektywnych i subiektywnych) uwa-

runkowań procesów dyskontowania – co, samo w sobie, funduje ich znaczenie, zarówno w perspektywie indywiduali-

stycznej jak holistycznej. Tradycja sięga fizjokratów, Smitha, Malthusa, Darwina i Wallace’a – po współczesnych:

Hirschleifera, Robsona, popularyzowany ostatnio „ekonomiczny darwinizm” i psychologię ekonomiczną.

Literatura

[1] Ainslie G., Impulse Control in Pigeons, “Journal of Experimental Analysis of Behavior”, 1974, 21, 485-489.

[2] Arrow K.J., Discounting, Morality, and Gaming, [w:] Discounting and Intergenerational Equity, P.R., Portney,

J.P. Weyant (eds.), Resources for the Future, Washington, DC 1999.

[3] Asheim G., Ethical preferences in the presence of resource constraints, “Nordic Journal of Political Economy”

1996, No 23, 55-67.

[4] Asheim G., Mitra T., Sustainability and discounted utilitarianism in models of economic growth, “Math. Soc. Sci-

ences” 2010, No 59, 148-169.

11

[5] Asheim G., Zuber S., Justifying social discounting: The rank-discounted utilitarian approach, “Journal of Eco-

nomic Theory” 2012, No 147, 1572-1601.

[6] Banerjee K., On the equity-efficiency trade-off in aggregatiing utility streams, “Economic letters” 2006, No 93,

63-67.

[7] Becker G., Altruism, Egoism and Genetic Fitness: Economics and Sociobiology, “Journal of Economic Literature”

1976, vol. 14, pp. 817-826.

[8] Berbeka K., Problemy stosowania międzypokoleniowej stopy dyskontowej, ,,Ekonomista” 2008, s. 233-242.

[9] Bleichrod H., Rohde K., Wakker P., Non-hyperbolic Time Inconsistency, ,,Game and Economic Behavior” 2009

No. 66, 27-38.

[10] Chichilnisky G., What is Sustainable Development, “Land Economics” 1997, No 74(4), 467-491.

[11] Cieślak A., Behawioralna ekonomia finansowa. Modyfikacja paradygmatów funkcjonujących w nowoczesnej teo-

rii finansów, Materiały i Studia NBB, z. 165, Warszawa 2003. Październik 2003, Wyd. Narodowego Banku Pol-

skiego.

[12] Cowen T., Discounting and Restitution. Philosophy and Public Affairs, Spring 1997, No 26, 2, pp. 168-185.

[13] Czerwiński Z., Jak porównać jutrzejszy dobrobyt z dzisiejszą biedą czyli o optymalnej intensywności inwestowa-

nia, w. „Dylematy ekonomiczne”. PWE, Warszawa 1992.

[14] Dasgupta P., Heal G.M., The optimal depletion of exhaustible resources, “Review of Economic Studies” 1974, No

38 (Symposium), 331-339.

[15] Dasgupta P., Maskin E., Uncertainly and Hyperbolic Discounting, “The Americal Economic Review” 2005, No

95(4), 1290-1299.

[16] Axiomic, „Quarterly Journal of Economics” 1961, vol. 75, 643-669.

[17] Fiedor B., Wzrost zrównoważony w ekonomii głównego nurtu i w ujęciu ekonomii środowiska, [w:] Zrównoważony

rozwój w teorii ekonomii i w praktyce, red. A. Graczyk, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej im. Oskara Lan-

gego we Wrocławiu nr 1190, 2007, s. 40-64.

[18] Fiedor B., Kociszewski K., Ekonomia rozwoju, Wyd. Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, Wrocław

2010.

[19] Fiedor B., Czaja S., Graczyk A., Jakubczyk Z., Podstawy ekonomii środowiska i zasobów naturalnych, C.H. Beck,

Warszawa 2002.

[20] Fishburn P., Rubinstein A., Time Preferences, “Internat. Economics Review” 1982, vol. 23, 677-694.

[21] Fishburn P., Edwards W., Discount Neutral Utility Models for Denumerable Time Streams, ,,Theory and Deci-

sion” 1997, No 43, 136-167.

[22] Gollier R., Zeckhauser R., Aggregation of Heterogeneous Preferences, ,,Journal of Political Economy 2005, No

113(4), 878-896.

[23] Gollier Ch., Discounting with Fat-tailed Economic Growth, ,,Journal of Risk and” 2008, No. 37, 171-186.

[24] Gollier C., Ecological discounting, „Journal of Economic Theory” 2010, No 145, pp. 812-829.

[25] Proportional Discounting of Future Costs and Benefits, ,,Mathematics of Operation Research” 1995, No. 20, 381-

399.

[26] Harvey Ch., Value functions for infinite period planning, “Management Science” 1986, No 32, 1123-1139.

[27] Herrnstein R., Relative and absolute strength of response as a function of frequency of reinforcements, ,,Journal of

Exper. and. Behav.” 1961, No 4, pp. 267-272.

[28] Hirshleifer J., Economics from a Biological Viewpoint, Journal of Law and Economics 1977, vol. 20, pp. 1-52.

[29] Kahneman D., Tversky A., Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, “Econometrica” 1979, vol. 47,

No. 2, 363-391.

[30] Kirby K.N., Herrnstein, Preference Reversals Due to Myopic Discounting of Delayed Reward, “Psychological

Science” 1995, No 6(2), pp. 83-89.

[31] Klimczak B., Etyka gospodarcza, Wyd. Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2006.

[32] Koopmans T.C., Stationary Ordinal Utility and Impatience, ,,Econometrica” 1960 No 28, 287-309.

[33] Kostro K., Koncepcja sprawiedliwości F.A. von Hayeka, 1997, w: Wilkin J., (red.) Efektywność a sprawiedliwość,

s. 73-100.

[34] Kot S., Malawski A., Wegrzecki A., Dobrobyt społeczny, nierówności i sprawiedliwość dystrybutywna,

Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004.

[35] Krusell P., Smith A., Consumption – savings Decisions with Quasi-geometric Discounting, ,,Econometrica” 2003,

No 71, 365-375.

[36] Kydland F., Prescot E., Rules Rather than Discretion: The Inconsistency of Optimal Plans, ,,Journal of Political

Economy” 1977 No 85(3), 473-491.

[37] Laibson D., Golden eggs and hyperbolic discounting, ,,Quarterly Journal of Economics” 1997, No 62, pp. 443-

479.

[38] Lauwers L., Liedekerke L.V., Sacrificing the Patrol: Utilitarianism, Future Generations and Infinity. [39] Liberda B., Oszczędzanie w gospodarce polskiej. Teorie i fakty, PTE-Bellona, Warszawa 2000.

[40] Loewenstein G., Prelec D., Anomalies in intertemporal choice: Evidence and an interpretation, ,,Quarterly Journal

of Economics” 1992, No 107, pp. 573-597.

12

[41] Machina M., Expected Utility Analysis without Independence Axiom, “Econometrica” 1983, No 50, 227-323.

[42] Marglin S., The social rate of discount and the optimal rate of investment, Quarterly Journal of Economics,1962,

pp. 95-111

[43] Mathematical Social Sciences 2010, No 59 (Special Issue on Sustainability).

[44] Mazur J., An Adjusting Procedure for Studying Delayed Reinforcement, [in:] M. Commins, J. Mazur, J. Nevin,

H. Rachlin (eds.)”, “Quantitative Analyses of Behaviour” 1987, No 5, pp. 55-73.

[45] Neumann, von J., Morgenstern O., Theory of Games and Economic Behavior, “Princeton Univ. Press” 1944,

Princeton NJ.

[46] Nocetti D. i in.: Properties of the Social Discount Rate in a Benthamite Framework with Heterogeneous Degrees

of Impatience, “Management Science” 2008, No 54(10), 1882-1886.

[47] O’Donog’hue T., Rabin M., Doing It Now or Later, “The Americal Economic Review” 1999, no 89(1), 103-124.

[48] Palczewski A., Modele stopy procentowej, Matematyka stosowana 3, (2002), s. 52-70.

[49] Phelps E., Pollak R.A., On Second-Best National Saving and Game-Equilibrium Growth, ,,Review of Economic

Studies” 1968, No 35(2).

[50] Pitman E., Subexponential distribution functions, ,,Journal of Australian Math. Society” (Series A) 1980, No 29,

pp. 337-347.

[51] Portney P.R., Weyant J.P. (eds.): Discounting and Intergenerational Equity, “Resources for the Future”, Wash-

ingon, DC 1999.

[52] Prelec D., Decreasing Impatience: A Criterion for Non-stationary Time Preference and ,,Hyperbolic” Discount-

ing, ,,Scand. Journal of Economics” 2004, No. 106, pp. 511-532.

[53] Prelec D., Loewenstein G., Decision-making over Time and under Uncertainty: A Common Approach, “Manage-

ment Science” 1991, No. 37, pp. 770-786.

[54] Price C., Hyperbole, hypocrisy and discounting that slowly fades away, Scandinavian Forest Economics 2004, No

40, 343-59.

[55] Price C., How sustainable is discounting? In Kant, S. and Berry, R.A. (eds). Economics, Natural Resources, and

Sustainability: Economics of Sustainable Forest Management. Kluwer, Dordrecht 2005, pp. 106-35.

[56] Quiggin J., Horowitz J., Time and Risk, “Journal of Risk and Uncertainty” 1995, No 10, pp. 37-55.

[57] Rachlin H., Green L., Commitment, Choice and Self-Control, “Journal of Experimental Analysis and Behavior”

1972, No. 17, pp. 15-22.

[58] Ramsey F.P., A Mathematical Theory of Saving, ,,Economics Journal” 1928, No. 38, pp. 543-559.

[59] Rawls J., The Theory of Justice, Oxford University Press, Oxford 1970.

[60] Read D., Is Time-Discounting Hyperbolic or Subadditive? ,,Journal of Risk and Uncertainty” 2001, No. 23, s. 5-

32.

[61] Reinschmidt K., Aggregate Social Discount Rate Derived from Individual Discount Rates, “Management Science”

2002, No 48(2), 307-312.

[62] Robson A., The Biological Basis of Economic Behavior, “Journal of Econ. Literature” 2001, No 39, 11-23.

[63] Roemer J., Suzumura K., Intergenerational Equity and Sustainability, Palgrave Macmillan, Houndmils–

Basingstoke–Hampshire 2007.

[64] Rybicki W., Sprawiedliwość międzypokoleniowa i sekwencyjne modelowanie preferencji, w: B. Fiedor, Z. Hocku-

ba (red.), Nauki ekonomiczne wobec wyzwań współczesności, PTE, Warszawa 2009, s. 175-187.

[65] Rybicki W., O realokacji dóbr i sprawiedliwości międzypokoleniowej, (red.) M. Kulesza, W. Ostasiewicz, „Prag-

mata Tes Oikonomias”, AJD, Częstochowa 2010, vol. IV, s. 110-132.

[66] Rybicki W., O sprawiedliwości międzypokoleniowej (nota bibliograficzna), Studia Prace Uniwersytetu Ekono-

micznego w Krakowie nr 10; J. Pociecha (red.), Aktualne zagadnienia modelowania i prognozowania zjawisk spo-

łeczno-gospodarczych, Wyd. Uniwersytetu Ekonomicznego, Kraków 2010, s. 141-155.

[67] Rybicki W., Sprawiedliwość międzypokoleniowa i „kłopoty z dyskontowaniem przyszłości” w: Modelowanie i

prognozowanie gospodarki narodowej, Prace i materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego, 2011,

z. 4/8, s. 151-165.

[68] Rybicki W., Discounting and ideas of intergenerational equity and sustainability, Operations Research and Deci-

sions 2012, No. 22(1), s.63-84

[69] Samuelson P., A Note on Measurement of Utility, “Review of Economic Studies” 1937, IV, 2, 155-161.

[70] Sen A.K., Freedom of choice. Concept and contents, “Eur. Econ. Review” 1988, vol. 32, 269-294.

[71] Schmeidler D., Subjective probability and expected utility without additivity, “Econometrica” 1987, No 57, 571-

587.

[72] Sidgwick H., The Methods of Ethics, Macmillan, London 1907 (7-th edition).

[73] Sikora R.J., Barry B., Obligations to Future Generations, Temple, Philadelphia 1978.

[74] Solow R.M., Intergenerational Equity and Exhaustible Resources. “The Review of Economic Studies”, Symposi-

um 1974, s. 29-45.

[75] Special Issue on Discounting Dilemmas, “Journal of Risk and Uncertainty” 2008, vol. 37, No. 2/3.

[76] Strotz R.M., Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximization, ,,Rev. Econ. Studies” 1955, No. 23, s.

165-180.

13

[77] Śleszyński J., Rola wskaźników realizacji trwałego rozwoju, w „Zrównoważony rozwój w teorii i praktyce”, Gra-

czyk A. (red.), Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2007.

[78] Thaler R., Some Empirical Evidence on Dynamic Inconsistency, “Econ. Letters” 1981, No. 8, pp. 201-207.

[79] Tyszka T., Psychologia ekonomiczna, Gdańskie Wydawnictwo Psychologiczne, Gdańsk 2004.

[80] Warneryd K.E., Oszczędzanie, 2004, w Psychologia ekonomiczna, Tyszka T. (red.).

[81] Weitzman M., A review of the Stern Review of the economics of climate change, “Journal of Econ. Literature”

2007, No. 45, 703-724.

[82] Weitzman M., Gamma Discounting, “American Economic Review” 2001, No. 91, 260-271.

[83] Weitzman M., Why the Far – Distant Future Should Be Discounted at Its Lowest Possible Rate, “Journal of Envi-

ronmental Economic and Management” 1998, No. 36, 201-208.

[84] Weizsäcker von C.C., Existence of Optimal Programs of Accumulation for an Infinite Time Horizon.

[85] Wilkin J. (red.), Efektywność a sprawiedliwość, Wyd. Key Text, Warszawa 1977.

[86] Wilkin J., Efektywność a sprawiedliwość jako problem ekonomiczny, w: Wilkin J.,(red.), Efektywność a

sprawiedliwość, 1997, s. 23-48.

[87] Zechauser R., Kip Viscussi W., Discounting dilemmas: Editor’s introduction, in.: ”Journal of Risk and Uncer-

tainy”, vol. 37, Ns 2/3,2008, Special Issue on Discounting Dilemmas, pp. 96-106.

[88] Zielonka P., Finanse behawioralne, 2004, w: „Psychologia ekonomiczna”, Tyszka T. (red.).

[89] Żylicz T., Wiara i nauka a sprawiedliwość międzypokoleniowa, w: U progu trzeciego tysiąclecia, A. Białecka, J.J.

Jadacki red., Wyd. Naukowe Semper, Warszawa 2001.

[90] Żylicz T., Ekonomia środowiska i zasobów naturalnych, PWE, Warszawa 2004.