Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

27

IV. WPROWADZENIE DO MES

Poszukiwanie rozwiązań przybliżonych bazujących na metodach residualnych i wariacyjnych napotyka na trudności w doborze funkcji bazowych określonych na całym obszarze.

Metoda elementów skończonych pokonuje te trudności – w MES stosuje się zlokalizowane funkcje bazowe.

1. Sformułowanie algorytmu MES dla przestrzennego/płaskiego/liniowego

zagadnienia teorii sprężystości

Założenie: – sformułowanie Rayleigha-Ritza, – szczegóły algorytmy pokazano na przykładzie zagadnienia dwuwymiarowego.

1. Obszar Ω dzielimy na elementy skończone Ωe e=1,2,....,E

– proste geometryczne kształty, – wyróżniamy punkty węzłowe a1, a2,....., aN, ogólnie ),( 21 iii aa=a i=1,2,...,N, N - liczba

punktów węzłowych.

2. Element skończony

Geometria elementu – może być zdefiniowany lokalny układ dla każdego elementu. Będziemy przyjmowali,

że ie

i xx =)( . Punkty węzłowe – zwykle w narożach ),( )(

2)(

1)( eee aa ααα =a α =1,2,..., Ne

Rys. 4.1. Schemat statyczny i model dyskretny obszaru Ω

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

28

Aproksymacja przemieszczenia – dobieramy funkcje bazowe

φ(x)(e) = [φ1(e), φ2

(e),..., φNe(e)], (4.1)

– parametry węzłowe

q(e) =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

(e)Ne

(e)2

(e)1

q

qq

M, (4.2)

– aproksymacja przemieszczenia u(e)(x)= φ(e)(x) q(e) = φα

(e) qα(e), (4.3)

– funkcje bazowe

φα(e)(aβ(e))=

⎩⎨⎧

β≠αβ=α

dla dla

0I

(4.4)

są klasy Cn-1 gdzie n jest rzędem najwyższej pochodnej występującej w wyrażeniu energii potencjalnej Пp[u(x)] (ogólnie: w funkcjonale opisującym zagadnienie),

– dla zagadnienia dwuwymiarowego

)()(

)(

3

2

1)(

333231

232221

131211)(

3

2

1)( ee

eee

e

qqq

uuu

αα

αα

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧= qu ϕ . (4.5)

Odkształcenie ε(e) = Du(e) = Dφα

(e)qα(e) = Bα

(e)qα. (4.6)

Naprężenie σ(e) = C ε(e) = C Bα

(e)qα. (4.7)

3. Funkcjonał - energia potencjalna układu

Zapisujemy energię potencjalną układu pokazanego na rys. 4.3.

Rys. 4.2. Element skończony

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

29

Πp[u]= )(dˆd]ˆ21[ TTT Ω∂−Ωρ−∫ ∫

Ω Ω∂

tufu σε . (4.8)

Energię potencjalną zapisujemy jako sumę energii potencjalnej z poszczególnych elementów. Jest to konsystentnie równoważne jeżeli całka po wspólnych brzegach podobszarów )(eΩ∂ jest równa zeru. Tak jest, jeżeli funkcje kształtu są odpowiedniej klasy ciągłości.

Tak więc

∑=

Π≅ΠE

e

ee

1

)()(p ][u , (4.9)

gdzie – energia potencjalna pojedynczego elementu skończonego

Πp(e)[u(e)]= ∫

Ω

=Ωρ− d]ˆ21[ )e(T(e)T(e) fuσε =Ωρ−⋅Ω ∫∫

Ωαα

Ωββαα

ee

dqd eTeTeeeTeT fqCBBq ˆ21 )()()()()()( ϕ

=−= ααβαβα)()()()()(

21 eeTeeeT Qqqkq ][ )()( ee qΠ , (4.10)

– macierz sztywności elementu ∫

Ωβααβ Ω=

e

eee d)()(T)( CBBk , (4.11)

– wektor równoważników statycznych obciążenia ∫

Ωαα Ωρ=

e

ee dˆ)(T)( fQ ϕ . (4.12)

4. Agregacja układu ES

Globalny wektor parametrów węzłowych q = [q1, q2,...,qi,..., qN]T (4.13)

Macierz incydencji

Rys. 4.3.

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

30

q(e)α=Λ(e)

αi qi, (4.14)

gdzie Λ (e)αi=

⎩⎨⎧ =α

przypadku przeciwnym w jeżeli

0aaI i

e)( (4.15)

Funkcjonał Πp[u] = Πp[q] =

= ∑∑∑∑=

αα=

βαβα==

−=Π=ΠE

e

eeii

E

ej

ej

eeii

E

e

eeeE

e

ee

1

)()(TT

1

)()()(TT

1

)()()(

1

)()( ][][ QΛqqΛkΛqqΛq =

∑=

−=E

eiijiji

1

TT QqqKq , (4.16)

gdzie

∑ βαβα=e

ej

eeiij ,)()()(T ΛkΛK ∑ αα=

e

eeii

)()(T QΛQ . (4.17)

Minimalizacja funkcjonału

ijiji

p QqKq

=⇒=∂

Π∂0 lub QKq = . (4.18)

Jeżeli u(e) nie są kinematycznie dopuszczalne, wówczas na układ powyższy należy dodatkowo nałożyć warunki brzegowe kinematyczne.

Przykład – ściskanie pręta prostego - zagadnienie jednowymiarowe.

Element skończony e-ty

- wektor parametrów )(

2

1)(e

e

qq

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=q ,

Rys. 4.4. Schemat statyczny zagadnienia jednowymiarowego pręta

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

31

- funkcje bazowe: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=ϕϕ=e

e

e

eeeee

lx

lxxx

)()()()(2

)(1

)( ,1)(),(φ ,

- wektor przemieszczenia: u(e) = φα(x(e))q(e)α = φ(e)q(e),

- wektor odkształcenia: )(

2

1)()()()()( ]11[e

e

ee

eeee

qq

llu

x ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==∂∂

= αα qBε ,

- wektor naprężenia: )()()()()()( eeeeee AEAEAE αα==== qBεεCεσ )()( ee N=σ

- macierz sztywności:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−== ∫ 11

1111

111,1

1

1

22

22

0

)()()(

e

ee

eeee

ee

e

el

eeTe

lEA

ll

llEAllll

l

lAEe

CBBk ,

- wektor równoważników statycznych obciążenia:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

== ∫∫ 11

22

22

22

)()( e

e

ee

el

e

el

ee pll

ll

lpdx

xxl

lppdx

ee

φQ ,

- macierz koincydencji dla elementu e=1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0000001000000001)1(Λ

transformacja do układu globalnego – agregacja układu:

q(e)=Λ(e) q,

Globalny układ równań MES:

Kq = Q w szczególności:

8

12221

11121

121121

11

4

5

4

3

2

1

pl

qqqqq

lEA

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−

,

Po podstawieniu warunku kinematycznego: q5=0, rozwiązujemy układ równań otrzymując:

[ ] .7,12,15,16

32T

2

EApl

=q

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

32

2. Sformułowanie algorytmu MES dla zagadnienia linowej dynamiki

Wykorzystujemy zasadę Hamiltona:

Kinematycznie dopuszczalne pole przemieszczeń u(x) przyjmujące rzeczywiste wartości w chwilach tp i tk minimalizuje funkcjonał

0)( =Πδ⇒τΠ−=Π ∫ H

t

tpH

k

p

dK (4.19)

gdzie:

energia kinetyczna: Ωρ= ∫Ω

dTuu &&

21K , (4.20)

energia potencjalna: )(ˆ]ˆ21[ Ω∂−Ωρ−=Π ∫∫

Ω∂Ω

dd TTT tufuσεp . (4.21)

Po zapisaniu poszczególnych składników

,21

21

d21d

21

T

1

)()()(T

1

)()()(T)(T

1

)()()(T)(T

qMqqmq

qqqq

&&&&

&&&&

==

=Ωρ=Ωρ=

∑

∑ ∫∑ ∫

=

= Ω= Ω

E

e

eee

E

e

eeeeE

e

eeee

ee

K ϕϕϕϕ

(4.22)

QqKqq TT −=Π21

p . (4.23)

Podstawiając do zasady Hamiltona, mamy

0d)(0 TTT =τδ+δ−δ⇒=Πδ ∫k

p

t

tH QqKqqqMq && . (4.24)

Całkujemy pierwszy składnik przez części

0d)(|d TTT 2

1=τδ+δ−+δ+τδ− ∫ ∫

k

p

k

p

t

t

t

t

tt QqKqqqqMqMq &&& , (4.25)

gdzie drugie wyrażenie jest równe zeru ponieważ z założenia 02

1 ≡δ==ttttq .

Stąd

0d)(( T =τ+−−δ∫k

p

t

t

QKqqMq && , (4.26)

QKqqM =+&& . (4.27)

W przypadku uwzględnienia tłumienia

Rys. 4.5

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

33

QKqqCqM =++ &&& , (4.28)

gdzie macierz tłumienia zwykle przyjmowana jest w postaci: C=α1M+α2K, (4.29)

α1, α2 – współczynniki zależne od częstości dragań ω.

Zagadnienie linowej dynamiki sprowadzone zostało do układu równań różniczkowych zwyczaj-nych drugiego rzędu. Opracowanych jest szereg metod całkowania numerycznego tego układu równań z warunkami początkowymi

.ˆ)0(

,ˆ)0(

qq

qq

&& =

= (4.30)

Agregacja macierzy mas przedstawia się następująco

∑=

=E

e

eee

1

)()()( ΛmΛM T , (4.31)

gdzie macierz mas dla elementu wyznacza się jako – macierz konsystentna:

Ωρ= ∫Ω

dT )()()( eee

e

φφm , (4.32)

– macierz niekonsystentna (przyjmuje się masy rozłożone w węzłach)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

eN

e

m

mm

L

MOMM

L

L

00

0000

2

1

)(m . (4.33)