1

dr Urszula Konieczna-Spychała

Instytut Matematyki i Fizyki UTP

imif.utp.edu.pl

Literatura:

M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych.

M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1

M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2.

Pomocnicze symbole.

Spójniki logiczne:

i

lub

jeżeli to

wtedy i tylko wtedy gdy

Symbole kwantyfikatorów:

ogólny (dla każdego)

2

np. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

02

xRx

szczególny ( istnieje )

np. Nierówność x2-9>0 ma rozwiązanie.

092

xRx

Funkcje jednej zmiennej.

Podstawowe definicje.

Def.1

Funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze XR o wartościach ze zbioru YR

nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego

elementu yY.

Oznaczenie: f: XY, y=f(x),

3

Def.2.

Dziedziną funkcji f:XY nazywamy zbiór X i oznaczamy Df.

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną.

Z kolei zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy

Wf.

Def.3.

Wykresem funkcji f, f: XY nazywamy zbiór

.

Wybrane własności funkcji

Def.4.

Funkcja f: XR jest okresowa jeżeli istnieje taka wartość T0, że

(x+T)X oraz f(x)=f(x+T).

Inaczej

)()(0

xfTxfXTxXxT

Def.5.

Funkcja f: XR jest parzysta jeżeli

)()( xfxfXxXx

.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.

4

Funkcja f: XR jest nieparzysta jeżeli

)()( xfxfXxXx

.

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0).

Def.6.

Funkcja f jest rosnąca na zbiorze ADf , jeżeli

)()( 2121, 21

xfxfxxAxx

.

Def.7

Funkcja f jest malejąca na zbiorze ADf , jeżeli

)()( 2121, 21

xfxfxxAxx

.

Def.8.

Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru R przy czym YZ oraz niech f: XY, g:

ZW.

Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f: XW określoną wzorem:

.

Def.9.

Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze ADf jeżeli

5

)()( 2121, 21

xfxfxxAxx

Lub

2121,

()21

xxxfxfAxx

Uwaga:

Jeżeli funkcja jest rosnąca lub malejąca na zbiorze A to jest na nim

różnowartościowa.

Def.10.

Niech funkcja f: XY będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie . Funkcję

odwrotną do f nazywamy funkcję f-1:YX określoną przez warunek:

Wykres funkcji odwrotnej x=f-1(y) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x)

odwzorowując go symetrycznie względem prostej y=x.

Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej także jest rosnąca.

Funkcja odwrotna do funkcji malejącej także jest malejąca.

Def.11.

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:

stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i

cyklometryczne.

6

Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za

pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji

nazywamy funkcjami elementarnymi.

Przegląd funkcji elementarnych.

Funkcja stała

wykresem jest prosta równoległa do osi Ox

Funkcja liniowa

a-współczynnik kierunkowy

a>0 funkcja rosnąca

a<0 funkcja malejąca

Funkcja kwadratowa

Wyróżnik:

brak miejsc zerowych

Postać iloczynowa:

7

Postać kanoniczna:

,

Wykresem jest parabola, -to wierzchołek paraboli

Wielomian W(x)

n- stopień wielomianu,

miejsca zerowe W(x)=0

Równanie algebraiczne:

W(x)=0 tzn.

Tw.( Bézouta).

Liczba a jest pierwiastkiem równania jeżeli wielomian W(x) jest podzielny

przez dwumian (x-a).

8

Tw.

Jeżeli liczba wymierna

(ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem

równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych (przy czym

ana00) to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem

współczynnika an.

Wniosek:

Pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach

całkowitych wystarczy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego a0.

Schemat Hornera:

anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0= (x-x0)( bn-1 xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0)

gdzie współczynniki bi wyznaczamy w tabeli:

an an-1 an-2 ... a1 a0

x0 bn-1=an bn-2=x0bn-1+an-1 bn-3=x0bn-2+an-2 b0=x0∙b1+a1 x0b0+a0=0

Uwaga:

Jeśli w ostatniej kolumnie wartość jest różna od 0

to x0 nie jest pierwiastkiem wielomianu

9

Funkcja wymierna

, to wielomiany o różnych miejscach zerowych

Ułamki proste:

I rodzaju

II rodzaju

, dla trójmianu w mianowniku

Funkcja potęgowa.

Dziedzina i własności zależą od wykładnika:

Funkcja pierwiastkowa

Dziedzina zależy od parzystości stopnia n.

Jeśli n jest parzyste to

Jeśli n jest nieparzyste to

10

Funkcja wykładnicza

, a>0

,

funkcja rosnąca, gdy a>1

funkcja malejąca, gdy

xey

gdzie e jest liczba niewymierną

e=2,718281828…≈2,72