Inny przykład: Firma produkuje dwa typy maszynek do golenia w ilości x i y sztuk. Koszt produkcji tych maszynek wynosi C(x, y)=0,02x2+0,01xy+0,01y2+30 000Maszynki te sprzedawane są odpowiednio w cenach 300 i 200 zł.Miesięczna produkcja wynosi x=5000 sztuk i y=7000 szt.Obliczyć1. Miesięczny koszt produkcji i koszty krańcowe2. Miesięczny zysk i zyski krańcowe

Miesięczny koszt produkcji C(5000, 7000)= 500000+350000+490000+30000=1 370 000

Koszty krańcowe

Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji dodatkowej (pięć tysięcy pierwszej) maszynki pierwszego typu wyniesie270, a dodatkowej (siedem tysięcy pierwszej) maszynki drugiego typu – 190 złPrzychód R(x, y)=300x+200y=1500000+1400000=2 900 000 Zysk P(x, y)=R(x, y)-C(x, y)=300x+200y-(0,02x2+0,01xy+0,01y2+30 000) Przy podanej produkcji P(5000, 7000)=1 530 000

Zyski krańcowe

Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji zysk z wyprodukowania dodatkowej (pięć tysięcy pierwszej) maszynki pierwszego typu wyniesie 30, a z wyprodukowania dodatkowej (siedem tysięcy pierwszej) maszynki drugiego typu – 10 zł

190)7000,5000(

270)7000,5000(

y

C

x

C

yxy

yxCyx

x

yxC02,001,0

),( 01,004,0

),(

yxy

yxPyx

x

yxP02,001,0200

),( 01,004,0300

),(

10)7000,5000(

30)7000,5000(

y

P

x

P

14.3. Maksymalizacja zysku

Przykład poprzedni:Czy warto zwiększać nieograniczenie produkcję maszynek obu typów? Czy nasz zysk będzie wtedy rósł?

Zysk P(x, y)=300x+200y-(0,02x2+0,01xy+0,01y2+30 000) jest funkcją dwóch zmiennych. Czy ma ona maks?Warunkiem koniecznym istnienia maksimum jest zerowanie się obu pochodnych cząstkowych

Przyrównanie ich do zera daje układ równań 300-0,04x-0,01y=0 200-0,01x-0,02y=0

Rozwiązaniem tego układu są liczby x0=5 714,28 i y0=7 142,86Tu może być maksimum, lecz nie musi.

Żeby było ekstremum, musi być

Obliczmy zatem pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Stąd W=(-0,04)(-0,02)-(-0,01)2=0,0007>0, zatem jest tu ekstremum. Tylko czy jest to maksimum?

TAK!!!Ale uwaga – jeszcze tylko trochę zwiększymy produkcję, a zaczniemy tracić zamiast zarabiać!

yxy

yxPyx

x

yxP02,001,0200

),( 01,004,0300

),(

0 22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

xy

P

y

P

x

P

y

P

yx

Pxy

P

x

P

W

02,0 01,0- 04,0- 2

22

2

2

y

P

yy

P

x

P

yyx

P

x

P

xx

P

0 04,0- 2

2

x

P

14.4. Funkcje Cobb-Douglasa

Przykład 1Popyt D na pewien towar zależy głównie od jego ceny p, ale też od wydatków na reklamę tego towaru R i od dochodu na rodzinę I D=f(p, R, I). Jak ta zależność może wyglądać?Np.

stale - ,, , gdzie 0

0

IRpD

IRpDD IRp

Przykład 2Produkcja P pewnego towaru zależy od kosztów osobowych (płace z pochodnymi) L i od wielkości zainwestowanego kapitału K P=f(L, K). Np.

Zwiększenie jednego czynnika powoduje zmniejszenie drugiego i na odwrót – można zastąpićjeden czynnik drugim

KaLP

Funkcje o postaci nazywamy funkcjami Cobb-Douglasannxxaxy ...21

21

,...,nkxxxax

xxxxxa

y

x

x

yyE k

nk

knkk

k

kx nk

nk

k1 ;

............

21

21

21

)1(21

Elastyczność cząstkowa funkcji Cobb-Douglasa

Dla przykładu 2 zwiększenie kosztów osobowych o 1% powoduje wzrost produkcji o λ %,

a zwiększenie wartości sprzętu o 1% powoduje wzrost produkcji o κ %

14.5. Funkcje CES

Przykład 2 z poprzedniego punktuProdukcja P pewnego towaru zależy od kosztów osobowych (płace z pochodnymi) L i od wielkości zainwestowanego kapitału K P=f(L, K). Tę zależność można próbować wyrazić też innym wzorem, poprzez funkcję CES

1

2211 )...( nn xaxaxay

CES- Constant Elastity of Substitution – stała elastyczność substytucji

gdzie stałe a>0, b>0, ω≠ 0

Ogólna postać funkcji CES n zmiennych

1)( bKaLP

III. Równania różniczkowe

zwyczajne

1. WprowadzenieRównania różniczkowe to równania funkcyjne –

poszukiwaną niewiadomą nie jest liczba lecz funkcja

Jeżeli z tego równania da się wyznaczyć y(n)(x), to można je zapisać w postaci normalnej y(n)(x)= f(x, y(x), y’(x), y’’(x),…y(n-1)(x))

Def. 71 (rozwiązania równania różniczkowego)Rozwiązaniem równania różniczkowego (całką szczególną, rozwiązaniem szczególnym) nazywamy każdą funkcję klasy Cn, która podstawiona do tego równania zamienia je w tożsamość.Przedział zmiennej niezależnej x, w którym to zachodzi, nazywamy obszarem istnieniarozwiązania równania różniczkowego

Przykład 1 y’’+y=0Rozwiązaniem jest y=cosx bo y’=(cosx)’=-sinx; y’’=(-sinx)’=-cosx. Istnieje na całej osi liczb.

Przykład 2 y’=y2+1Rozwiązanie y=tgx istnieje tylko w przedziale półotwartym [0, π/2)

Def. 70 (równania różniczkowego zwyczajnego)Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie

F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…y(n)(x))=0w którym niewiadomą jest funkcja f(x) zmiennej x i w którym występuje pochodna tej funkcji

Jeżeli niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej y=f(x) – równanie różniczkowe zwyczajneJeżeli niewiadomą jest funkcja wielu zmiennych – równanie różniczkowe cząstkowe

Przykłady y’=y+x y’’=1+y2 x2y’’=y(4)

Interesuje nas:1. Istnienie rozwiązania2. Znajdowanie rozwiązań3. Badanie niektórych własności rozwiązań

Def. 72 (całki ogólnej równania różniczkowego)Całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania różniczkowego n-tego rzędu nazywamy funkcję zawierającą n niezależnych parametrów taką, że ustalając dowolnie te parametry otrzymujemy rozwiązanie (szczególne).

Przykład y’’+y=0Całką ogólną jest y=acosx+bsinx bo y’=-asinx+bcosx; y’’=-acosx-bsinxPrzyjmując a=1, b=0 otrzymujemy poprzednie rozwiązanie (całkę szczególną) tego równania

Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania różniczkowego n-tego rzędu nazywamy następujące zagadnienie:Znaleźć całkę szczególną danego równania, która spełnia warunki początkowey(x0)=y0; y'(x0)=y1; y’’(x0)=y2; … ; y(n-1)(x0)=yn-1

przy czym liczby y0; y1; … ; yn-1 zwane warunkami początkowymi, są dane

Krzywa całkowa – wykres każdego rozwiązania szczególnego równania różniczkowego

Dla n=1 warunek ten sprowadza się do y(x0)=y0

Interpretacja geometryczna r.r. pierwszego rzędu

Def. 73 (izokliny)Izoklina jest to zbiór punktów płaszczyzny, w których styczna do krzywej całkowejma stały kierunek y’(x)=m=const. Przykład 1 y’ +y=0Izoklinami są proste o równaniach m+y=0 czyli y=-m

Pole elementów stycznych

Przykład 2 y’ =-x/yIzoklinami są proste o równaniach y=-x/m oraz x=0

Pole elementów stycznych

yx

yx

dx

dy

Nie istnieją ogólne metody rozwiązywania równań różniczkowych.Potrafimy rozwiązać tylko specyficzne typy równań różniczkowych

Przykład 3 Znaleźć krzywe całkowe równania różniczkowego

Izoklinami są proste o równaniach oraz x=01

1

m

my