1

INFORMACJA!• Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu

Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach.

• Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników.

• Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl.

PLASTYCZNOŚĆ

3

RH

Materiały niesprężyste

Materiały sprężyste – po zdjęciu obciążenia wracają do stanu pierwotnego (znikają odkształcenia wywołane obciążeniem)

Są to odkształcenia trwałe, które pozostają po zdjęciu obciążenia

Po przekroczeniu pewnego poziomu obciążenia powstają odkształcenia plastyczne

RH

Rm

Re

Liniowy materiał sprężysty

Materiał sprężysto-plastyczny

Materiał kruchy

Trwałe odkształcenie plastyczne

arctgE

4

RH

materiał

liniowo sprężysty

Re

materiał sprężysto- idealnie plastyczny

Idealizacja wykresu rozciągania dla materiałów sprężysto-plastycznych

Re

materiał sprężysto- plastyczny z umocnieniem

Re

materiał sztywno-plastyczny z umocnieniem

Re

materiał sztywno- idealnie plastyczny

RH

materiał rzeczywisty

5

Zginanie – materiał sprężysto-plastyczny

dla

dla

dla

E

eR

eR

plpl

pl

pl

eH RR

pl

eR

pl

Mx

z

zEz

Zakres sprężysty

z

MM MM eRmax

eRmax

y

z

A

Widok z boku

Oś obojętna naprężeń

Przekrój poprzeczny

zmax

Oś obojętna

Środek ciężkości

6

Zginanie – materiał sprężysto-plastyczny

zEz

Zakres poza-sprężysty

MM

eRmaxy

z

A

Przekrój poprzeczny

zmax

Oś obojętna w zakresie sprężystym

Środek ciężkości

Graniczny stan

sprężysty

eR

eR eR

eR

eR

eR

Graniczny stan plastyczny

MM MM MMM z’

y’

z’

x’

Oś obojętna w granicznym stanie plastycznym

z

7

Zginanie – materiał sprężysto-plastycznyZakres poza-sprężysty

Przekrój poprzeczny

eR

eR

Graniczny stan plastyczny

MM z’

y’

z’

x’A

A1

A2

z1’z2’

Śr.c. pow. A1

N1

Śr.c. pow. A2

N2 MM

0N

ee

A

RARANNdAzN 2121'0 2/21 AAA

2122112211 '''''''' SSRzARzARzNzNdAzzM eee

A

2/'''2

'2

'' 212121 zzARzA

zA

RSSRM eee

z’

y’

plee WRAzzRM 2/'' 21

8

Graniczny stan sprężysty

Plastyczna nośność przekroju

MM

eRmaxMM

sprWM /max

max/ zJW yspr

y

z

A

Graniczny stan plastyczny

spre WRM 2/'' 21 AzzWpl

kWWMM sprpl //

eR

eR

eRmaxz’

y’

z1’z2’

A/2

A/2

ple WRM

k1 – współczynnik kształtu

9

Przykłady obliczania k (J.German)

yc= yo

z

A1

A2

d

W S A b h h b hpl yc 2 2

2 4 41

2

Wb h

spr 2

6

W S A S A b h h b h h b h

pl yo yo

1 2

2

2 4 2 4 4

yc= yo

z

b

h

A1

A2 M R

b he

2

6 M R

b he

2

4

kM

M

W

W

pl

spr

1 5.

Wd

spr 3

32

W S Ad d d

pl yc 2 2 12 4

4 2

3 61

2 3

kW

W

pl

spr

32

61 7

.

10

Przykładowe wartości k (J.German)

6

2

2 2 2

k = 1.76

5 5 5

5

5

20k = 1.42

3 4 3

2

7

3

k = 1.52

11

6

4

910k = 2.38

1

8

2

5

9

1k = 1.45

12

15 k = 2.34

k=1,5

k=?

Zagadka MC:

k=k()=?

Płaszczyzna obciążenia

11

Graniczna nośność

sprężysta

Graniczna nośność plastyczna

Stosunek nośności gran.

pl/spr k

Rozciąganie

Zginanie

Nośność graniczna przekroju

spreWRM

1/ NN

pleWRM

eH RR

pl

eR

pl

ARN e

1/ kMM

ARN e

Materiał speżysto-idealnie plastyczny

Statycznie niewyznaczalne

Statycznie wyznaczalne

12

Nośność graniczna konstrukcji prętowych

Długość i przekrój prętów: l, A

Rozwiązanie sprężyste

cos2A

PRe

cos21

PN

cos2 eARP

cos21 A

P

11

P

Z równania równowagi:

rozwiązanie plastyczne

1. Konstrukcje statycznie wyznaczalne

Naprężenia w obu prętach:

W granicznym stanie sprężystym:

Graniczna nośność sprężysta:

cos2 eARP Graniczna nośność plastyczna:

PP

13

Nośność graniczna konstrukcji prętowych

Długość i przekrój prętów: l, A

Rozwiązanie sprężyste

Z równania nierozdzielności odkształceń:

Z równania równowagi: PNN 21 cos2

cos21 ll cos21

EA

lN

EA

lN cos21 NN

21 cos21

cos

PN

2cos21 eARP

Graniczna nosność sprężysta - uplastycznienie pręta #2

eARN 2

eARNN 21 PARAR ee cos2 )cos21( eARP

22 cos21

PN

Graniczna nośność plastyczna - uplastycznienie prętów #1 i #2

1

2

1

P

1cos21

cos21/

2

PP

2. Konstrukcja statycznie niewyznaczalne

PP

14

0 20 5030 40 60 70 80 901,00

1,20

1,3651,40

1,10

10

67,5o1,30

Zapas nośności wynikający ze statycznej niewyznaczalności konstrukcji

PP /

15

Nośność graniczna zginanych belek

1. Koncepcja przegubu plastycznego

eR

eR

z’

x’

eR

eR

eR

eR

Ślad płaszczyzny przekroju poprzecznego (hipoteza pł. prz.)

x

zz

x

0

1

oś belki

Przegub plastyczny: MM

16

2. Związek momentu i krzywizny

W zakresie sprężystym:

1

EJ

M

W zakresie poza-sprężystym:

MM

/

MM /

1

1

)(?

fM

MM EJ

M kMM /

k

Nośność graniczna zginanych belek

17

Nośność graniczna zginanych belek

3. Konstrukcje statycznie wyznaczalne

P PP

4/lPM

EJPl 4/ EJlP 4/

4/lPM

kllpl /11

Moment

Krzywizna

Widok strefy plastycznej

Przegub plastyczny

4/PlM

kM

M

lM

lMPP

/4

/4/

18

PPP PPP

P

Nośność graniczna zginanych belek4. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

P P

Graniczny moment sprężysty Graniczny moment plastyczny

Zamiana w mechanizm!

lMlMlMP /6/2/4

16/3Pl

16/5,2 Pl16/3 lPM

kM

M

M

l

l

MPP 125,1

16

18

16

36/

Wykres sił poprzecznych

lM /4

lM /2lMP 316

19

Nośność graniczna zginanych belek5. Wyznaczanie granicznej nośności plastycznej metodą prac przygotowanych

W granicznym stanie plastycznym znany jest rozkład momentów, odpowiadający danemu mechanizmowi zniszczenia, np..: P

M

M

l/2l/2

MM

P

M

PMM 22/3 lPM

lMP /6

Metoda ta nie pozwala na ocenę stosunku granicznej nośności plastycznej do sprężystej, ale umożliwia szybkie wyznaczenie granicznej nośności plastycznej

W przypadku bardziej skomplikowanych obciążeń lub schematu statycznego, konieczne jest rozważenie wszystkich możliwych mechanizmów zniszczenia i wybranie tego, któremu odpowiada najmniejsza wartość nośności granicznej.