I. ELEMENTY TEORII MODELOWANIA

1. WST�P Słowo "model" powstało z łaci�skiego słowa "modus" - "modulus", co znaczy: miara,

obraz, sposób. Jego pierwotne znaczenie było zwi�zane z budownictwem i u�ywano go dla oznaczenia wzorca, lub przedmiotu podobnego do innego przedmiotu [14,26] .

Pogl�dowe obrazy rzeczywisto�ci, hipotetycznie odtwarzaj�ce rozmaite obiekty, zjawiska i sytuacje istniej�ce w realnym �wiecie, towarzyszyły badaczom od dawna. W ci�gu ostatnich dwóch wieków, modelowanie stało si� podstaw� badania systemów w matematyce, fizyce, chemii, biologii, ekonomii i in. W ostatnim półwieczu modelowanie jest szeroko wykorzystywane równie� w cybernetyce oraz w analizie dynamicznej maszyn [11,12,23, 43].

Opisywane w literaturze procedury bada� naukowych i ich weryfikacji na drodze eksperymentu wykazuj�, �e terminu "model" u�ywa si� w dwóch ró�nych znaczeniach, a mianowicie [43]: - dla oznaczenia teorii, która jest strukturalnie podobna do innej, co umo�liwia

przechodzenie od jednej teorii do innej za pomoc� zwykłej zmiany terminologii; w tym znaczeniu model jest �rodkiem poznania;

- dla oznaczenia systemu, do którego odnosi si� pewna teoria praktyczna lub teoretyczna dla uproszczonego odzwierciedlenia badanego systemu naturalnego; taki model jest przedmiotem poznania.

Model jest realnie istniej�cym lub wyobra�onym obrazem, zast�puj�cym badany system naturalny (atom, cz�steczk�, mechanizm, system słoneczny itp.). Ten obraz odzwierciedla pewne, rzeczywiste lub hipotetyczne własno�ci badanego systemu, jego budow� i jest do niego podobny pod wzgl�dem wybranych przez badacza osobliwo�ci strukturalnych. Elementy i relacje zachodz�ce w modelowanym systemie s� odzwierciedlone w postaci innych elementów i relacji, typowych dla danej dziedziny bada�.

Model jest zatem z zało�enia pewn� idealizacj� lub uproszczeniem rzeczywisto�ci. Sam charakter i stopie� uproszczenia zale�y od wiedzy, potrzeb i �wiadomo�ci badacza i mo�e si� zmienia� w zale�no�ci od celu bada�. Wspóln� dla teorii i modelu jest wła�ciwo�� odnoszenia si� do rzeczywisto�ci, postrzeganej w uproszczonej, abstrakcyjnej formie.

Opis sformalizowany, w którym s� dokładnie ustalone: skład, struktura, elementy wej�ciowe i reguły przekształcania staj� si� synonimem ilo�ciowego zapisu, badanego systemu naturalnego. Je�eli uda si� uto�sami� opis sformalizowany z do�wiadczalnie potwierdzon� rzeczywisto�ci�, to otrzymujemy model logiczno - matematyczny, lub po prostu model matematyczny, który odzwierciedla badany obiekt, zjawisko lub sytuacj�. W naukach technicznych i ekonomicznych taki model bywa coraz cz��ciej wykorzystywany do komputerowego symulowania funkcjonowania systemu, którego odzwierciedla dany model.

W procesie poznania poszukuje nowych praw, przechodz�c od hipotez do teorii, wykorzystuj�c przy tym wiedz�, do�wiadczenie, intuicj� oraz fantazj� naukow�. Modele buduje si� i stosuje głównie wtedy, kiedy poznanie zmierzaj�ce od hipotezy do sformułowania teorii nie ogranicza si� do zbierania i opisywania poszczegó1nych izolowanych faktów, lecz uwzgl�dnia równie� przemy�lany i dobrze zaprogramowany eksperyment.

Jedna z definicji mówi, �e: model jest to taki daj�cy si� pomy�le� lub materialnie zrealizowa� układ, który odzwierciedlaj�c lub odtwarzaj�c przedmiot badania, zdolny jest zast�powa� go tak, �e jego badanie dostarcza nam nowej informacji o tym przedmiocie.

Inna definicja mówi, �e: model jest zast�puj�c� oryginał, przyj�t� form� reprezentacji, wykorzystywan� do wyja�nienia i przewidywania zachowania si� oryginału w sposób adekwatny z punktu widzenia celu rozwa�a�.

Wspó1n� cech� wszelkiego rodzaju modeli jest ich zdolno�� odzwierciedlania

systemów naturalnych. Istota modelowania zasadza si� na relacji równowa�no�ci mi�dzy systemem a modelem. W metodyce modelowania rozró�nia si� dwa podstawowe sposoby odzwierciedlenia: homomorficzne i izomorficzne. Homomorfizm zapewnia podobie�stwo składu i struktury modelu i systemu modelowanego, które pozwala na jednoznaczne odwzorowanie systemu badanego w model, podobny do niego pod wzgl�dem działania. Izomorfizm za� gwarantuje wzajemnie jednoznaczne podobie�stwo składu i struktury modelu i systemu. Oznacza to, �e na podstawie systemu mo�na zbudowa� model, a na podstawie modelu mo�na odtworzy� system. Takie podobie�stwo odniesione do sposobu działania modelu i systemu modelowanego nazywa si� izofunkcjonalizmem [26]. 2. KLASYFIKACJA MODELI

W ka�dej działalno�ci człowieka, szczególnie w projektowaniu, wytwarzaniu i eksploatacji wykorzystuje si� modele. Istnieje wiele definicji modeli. Oto niektóre z nich:

1) przez model rozumie si� taki daj�cy si� pomy�le� lub materialnie zrealizowa� układ, który odzwierciedlaj�c lub odtwarzaj�c przedmiot badania zdolny jest zast�powa� go tak, ze jego badanie dostarcza nam nowej wiedzy o tym przedmiocie [17];

2) model jest to narz�dzie za pomoc� którego mo�na opisa� system i jego zachowanie si� w ró�nych warunkach zewn�trznych [5];

3) model jest teoretycznym opisem badania obiektów, który charakteryzuje si� nast�puj�cymi cechami, tzn. jest [6]:

- pewnym uproszczeniem rzeczywisto�ci; - w sensie pewnego kryterium zbie�ny z rzeczywisto�ci�; - na tyle prosty, �e mo�liwa jest jego analiza dost�pnymi metodami obliczeniowymi; - �ródłem informacji o obiekcie bada�.

Budow� modeli zajmuje si� dyscyplina nauki nazywana identyfikacja [5,6]. Klasyfikacja modeli pozwala ustali�, jak sposób modelowania zale�y od celu bada� i

specyfiki badanego systemu. Klasyfikacja jest podstaw� do okre�lenia zasadniczych funkcji spełnianych przez modele, a mianowicie: - funkcji praktycznej, któr� spełniaj� modele jako przedmioty poznania naukowego; - funkcji teoretycznej, któr� modele pełni� jako szczególny obraz rzeczywisto�ci,

jednocz�cy elementy logiczne i intuicyjne, konkretne i abstrakcyjne oraz ogó1ne i szczegółowe.

Przyst�puj�c do tworzenia modelu nale�y: - okre�li� cel modelowania, zwi�zane z tym wymagania i �rodki u�yte do budowy modelu; - ustali� jaki segment, jakiego systemu, ma odzwierciedla� model. Podj�te decyzje s� podstaw� dla ustalenia postaci modelu, a w rezultacie dla okre�lenia jego klasy. Proponuje si� wyró�nia� dwie główne klasy modeli: 1. modele strukturalne, które odzwierciedlaj� wybrane elementy systemu oraz relacje mi�dzy nimi; takie modele ukazuj� lokalizacj� geometryczn� elementów oraz ich powi�zania i słu�� do badania poprawno�ci konstrukcji; maj� one na ogół posta� rysunków zło�eniowych lub schematów organizacyjnych; 2. modele funkcjonalne, które odzwierciedlaj� wpływ wybranych elementów i relacji na sposób funkcjonowania i sterowania systemu; te modele mog� przybiera� ró�ne postacie, niekiedy zupełnie innej natury fizycznej ni� modelowany system.

Z praktycznego punktu widzenia, bardziej przydatny jest drugi rodzaj klasyfikacji. Przynale�no�� do danej klasy zale�y od �rodków wykorzystanych do budowy modelu, przy uwzgl�dnieniu sposobu odzwierciedlenia wybranych własno�ci, procesów i zwiqzk6w zachodz�cych w modelowanym systemie oraz celu bada�, któremu jest podporz�dkowany charakter poszukiwanych informacji. Według takich kryteriów, modele mo�na podzieli� na cztery klasy:

1. modele materialne (działaj�ce, rzeczywiste), mog� by� utworzone, specjalnie w celu wykonania bada�, z istniej�cych obiektów o okre�lonym przeznaczeniu u�ytkowym, przy zachowaniu ich fizycznej to�samo�ci z oryginałem. Podczas funkcjonowania, w wybranym segmencie własno�ci, procesów i zwi�zków, generuj� one informacje poszukiwane przez badacza, a po zako�czeniu bada� mog� by� nadal wykorzystywane zgodnie z ich przeznaczeniem. 2. modele idealne, które nie posiadaj� tej samej co badany system natury fizycznej i nie s� do niego podobne ani w sensie fizycznym, ani geometrycznym. Nazwa tych modeli nie wyra�a �ci�le ich charakteru i wynika z istniej�cej tradycji. Jako szczególny rodzaj takiego modelu idealnego mo�na wyró�ni� model cybernetyczny. Jednak model cybernetyczny jest zbyt skomplikowany aby stanowi� przedmiot bezpo�redniego poznania, mo�e jednak stanowi� podstaw� do utworzenia innego, bardziej uproszczonego modelu idealnego. 3. modele sformalizowane, które s� reprezentacj� modeli fizycznych na jeszcze wy�szym poziomie abstrakcji. Tak� reprezentacj� mo�na utworzy� wtedy, gdy poj�cia wyst�puj�ce w modelu fizycznym dadz� si� wyrazi� za pomoc� znaków i relacji matematycznych lub logicznych. Cech� modelu sformalizowanego jest zatem kompletny brak podobie�stwa mi�dzy elementami i relacjami, z których go zbudowano, a składem i struktur� modelowanego systemu. Model jest umowny a nie pogl�dowy i nie ma nic wspólnego z charakterem elementów i relacji tworz�cych modelowany system [26].

Rozwój matematyki i fizyki przyczynił si� do tego, �e w naukach �cisłych i technicznych, modele sformalizowane, zwane po prostu modelami matematycznymi, stanowi� najbardziej reprezentatywn� grup� modeli abstrakcyjnych. S� one zapisywane w postaci równa� ró�niczkowych, całkowych, deterministycznych lub probabilistycznych. Modelowanie matematyczne pozwala wnika� w istot� badanych systemów i udost�pnia szczegółowemu badaniu wiele własno�ci, procesów i zwi�zków, które dot�d wymykały si� analizie. Badanie modeli matematycznych umo�liwia uzyskanie warto�ciowych informacji o systemach technicznych, niezb�dnych m.in. do ich projektowania, wytwarzania i eksploatacji. 4. modele energetyczne s� od niedawna uwzgl�dniane jako oddzielna klasa ze wzgl�du na "tworzywo", z którego s� budowane. Taki model jest budowany w oparciu o przemiany energetyczne zachodz�ce w systemie. Z uwagi na du�e mo�liwo�ci i niski koszt, modele energetyczne s� coraz powszechniej stosowane, zwłaszcza w naukach �cisłych i technice. Rozwój komputeryzacji prac badawczych spowodował znaczne zwi�kszenie mo�liwo�ci technik obliczeniowych. Pozwala to na badanie du�ych modeli energetycznych oraz komputerow� symulacj� funkcjonuj�cych systemów. 3. MODEL BLOKOWY

Schematy blokowe, maj�ce na celu przedstawienie kolejno�ci zdarze� lub wzajemne ich powi�zania, maj� wa�ne zastosowanie zarówno w dziedzinie techniki jak i organizacji. Przy pracy na modelu fizycznym lub matematycznym skomplikowanego układu cz�sto wygodnie jest uwidoczni� za pomoc� schematu blokowego zale�no�ci i zwi�zki mi�dzy podukładami stanowi�cymi składowe rozwa�anego systemu. Umo�liwiaj� one łatwiejszy opis działania układu, uwydatniaj� kolejno�� przyczyn i skutków, wskazuj�c na mo�liwo�� podziału analizy układu mi�dzy podukłady studiowane oddzielnie [20].

Analiza dynamiczna w uj�ciu schematów blokowych i ich modeli matematycznych w ko�cowej fazie musi by� skumulowana, zespalaj�c modele matematyczne dla potrzeb oceny własno�ci dynamicznych całego układu.

Podstaw� do tworzenia szczegółowych modeli blokowych obiektów rzeczywistych jest model cybernetyczny, przedstawiony schematycznie na rys.1.1, umo�liwiaj�cy analiz� zmian zachodz�cych w systemie.

U(t) ZMIANY STANU Y(t) DYNAMICZNEGO BADANEGO OBIEKTU S(t) Rys.1.1 Model cybernetyczny systemu W badaniach systemów technicznych w czasie "krótkim", wielko�ci opisuj�ce skład i

struktur�, zapisane symbolem S, traktuje si� na ogół jako parametry, które podczas bada�, pozostaj� stałe. Iloczyny kartezja�skie, które wyst�puj� w opisie modelu cybernetycznego s� uporz�dkowanymi zbiorami n-tek (par, trójek itd.), reprezentuj�cych zdarzenia zachodz�ce w systemie. Kolejne przej�cia od jednego do nast�pnego zdarzenia, tworz� transformacje. W modelu s� to transformacje wielko�ci fizycznych, które odzwierciedlaj� zmiany w czasie własno�ci procesów i zwi�zków zachodz�cych w systemie.

Z modelu cybernetycznego (rys.2) mo�na wyprowadzi� nast�puj�ce uproszczone relacje odwzorowania: G(t) : U(t) x S → X(t) (1) Φ(t) : U(t) x S → Y(t) (2) F(t) : X(t) x S → Y(t) (3) Relacja (1) reprezentuje ogó1n� notacj� modelu cybernetycznego typu "wej�cie - stan", natomiast relacje (2) i (3) reprezentuj� ogó1ne notacje modeli typu "wej�cie - wyj�cie" oraz "stan-wyj�cie".

W modelu cybernetycznym systemu technicznego wielko�ci fizyczne, które charakteryzuj� wej�cie, stan i wyj�cie, s� opisane za pomoc� zmiennych, które najcz��ciej s� liniowo niezale�nymi funkcjami czasu. Argument funkcji t∈T, reprezentuje o� czasu "krótkiego", w przedziale T. Dla celów bada� empirycznych oraz niekiedy - teoretycznych (np. w badaniach modeli układów automatycznej regulacji) te zmienne dzieli si� na trzy zbiory, a mianowicie: 1). zmienne wej�ciowe: u1(t), u2(t), ..., uN(t) – przedstawiaj�ce wymuszenia na wej�ciu modelu systemu, zapewniaj�ce jego funkcjonowanie; 2). zmienne wewn�trzne: x1(t), x2(t), ..., xn(t) - za pomoc� których mo�na opisa� badane stany lub własno�ci systemu; 3). zmienne wyj�ciowe: y1(t), y2(t), ..., yp(t) - opisuj�ce objawy funkcjonowania na wyj�ciu modelu systemu.

Podczas funkcjonowania systemu wewn�trzne �ródła zaburze� o sko�czonej wydajno�ci, wytwarzaj� reakcje systemu, które ujawniaj� si�, mi�dzy innymi, w postaci zmian stanu w czasie. Ten stan mo�na zapisa� za pomoc� wektora, którego współrz�dnymi s� zmienne wewn�trzne modelu. Sko�czony zbiór wszystkich mo�liwych stanów tworzy przestrze� stanów badanego systemu. Równocze�nie, zmiany stanu wewn�trznego powoduj�, �e na wyj�ciu modelu pojawiaj� si� zewn�trzne objawy funkcjonowania systemu, które mo�na zapisa� w postaci wektora i przestrzeni wyj�cia modelu cybernetycznego. Wzi�te razem zmienne wej�ciowe, wewn�trzne oraz wyj�ciowe całkowicie opisuj� badany system i tworz� zbiór zmiennych modelu.

Zwi�zek przyczynowo-skutkowy pomi�dzy wej�ciem, stanem i wyj�ciem, uwzgl�dniony w modelu cybernetycznym, mo�na przedstawi� w postaci: G (t) [ u (t), s ] = x (t) (4) ΦΦΦΦ (t) [ u (t), s ] = y (t) (5) F (t) [ x (t), s ] = y (t) (6) Relacje (4), (5) i (6) reprezentuj� ró�ne postacie modelu cybernetycznego. Ka�da z nich mo�e

by� podstaw� do utworzenia modelu fizycznego i matematycznego, badanego systemu technicznego. Relacja (5) okre�la zale�no�� wej�cia od wyj�cia i jest typowym zadaniem dotycz�cym badania "czarnej skrzynki", natomiast relacja (6) przedstawia ogóln� posta� zadania diagnostycznego.

Zwi�zek przyczynowo-skutkowy, który istnieje pomi�dzy wej�ciem oraz stanami i wyj�ciem powoduje, ze dla celów modelowania matematycznego, a tak�e dla identyfikacji i symulacji systemów technicznych, wielko�ci stanu i wyj�cia modelu cybernetycznego s� traktowane ł�cznie jako jedna kategoria. W takim przypadku, stany i wyj�cie s� reakcj� systemu na wymuszenia wej�ciowe; ta reakcja bywa niekiedy nazywana ogólnie stanem. 4. ZASADY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO Model fizyczny

Skład i struktura modelu fizycznego odzwierciedla w uproszczonej formie fragmenty składu i struktury systemu, uwzgl�dnione w modelu cybernetycznym i nale��ce do badanego segmentu systemu. Model cybernetyczny systemu jest opisywany przez szereg zmiennych, znanych i nieznanych. W rezultacie wyboru badanego segmentu systemu oraz uproszcze� dokonanych przez badacza, liczba zmiennych, i co za tym idzie reguł interakcji w modelu fizycznym, zostaje ograniczona. To ograniczenie mo�e by� dokonane poprzez [2,17]: 1. pomijanie niektórych zmiennych i reguł interakcji. W badaniach systemów naturalnych wpływ pewnych zmiennych i ich wzajemnej zale�no�ci jest bardziej znacz�cy, ni� innych. Zakładaj�c, �e te drugorz�dne czynniki w niewielkim stopniu wpływaj� na funkcjonowanie systemu w badanym segmencie, mo�na je pomin�� w ostatecznej wersji modelu fizycznego. 2. zast�powanie kilku zmiennych deterministycznych przez jedn� zmienn� losow�. W pierwszym etapie modelowania przyjmuje si� model, w którym reguły interakcji s� deterministyczne, a nast�pnie wprowadza si� czynnik losowy. 3. uogó1nienie zakresu jednej lub kilku zmiennych. W opisie modelu fizycznego uwzgl�dnia si� warto�� zmiennej dla pewnej chwili oraz zakres okre�lony przez zbiór wszystkich warto�ci jakie ta zmienna ma�e przyjmowa�. 4. grupowanie elementów modelu cybernetycznego w zbiory i opis ka�dego zbioru przez jedn� zmienn� uogólnion�. Oznacza to, �e zmienne modelu fizycznego b�d� okre�la� pewne zbiory elementów modelu cybernetycznego. Zakresy tych zmiennych s� na ogół mniejsze ni� zakresy podstawowych zmiennych opisowych.

Wykorzystuj�c prawa fizyki oraz zasady modelowania te zmienne oraz elementy składu i struktury nale�y zestawi� w relacjach matematycznych, które uwzgl�dni� reguły interakcji. W ten sposób mo�na utworzy� sformalizowany opis modelu fizycznego, który jest ilo�ciow� reprezentacj�: 1). własno�ci, procesów i zwi�zków uwzgl�dnionych w modelu cybernetycznym, nale��cych do badanego segmentu systemu; 2). fragmentów składu i struktury systemu odpowiedzialnych za ich realizacj�.

Utworzenie modelu fizycznego systemu technicznego wymaga gruntownej znajomo�ci jego funkcjonowania, bez wzgl�du na to, czy system istnieje w postaci materialnej, czy te� jest tylko produktem wyobra�ni twórcy. Model fizyczny jest abstrakcyjn� modyfikacj� modelu cybernetycznego, która odzwierciedla system tylko w badanym segmencie. Opis sformalizowany zawsze dotyczy takiego modelu fizycznego. Model matematyczny

Zmienno�� w czasie obserwowanych w naturze zjawisk, obiektów i sytuacji jest obecnie powszechnie akceptowana. Konsekwencj� tego jest dynamika systemów, która ujawnia si� w postaci zmienno�ci ich własno�ci, składu i struktury oraz zachodz�cych w nich

procesów i zwi�zków. Oznacza to, �e zmienne wyst�puj�ce w modelach tych systemów, s� zale�ne od czasu. Ta zale�no�� ma na ogół posta� funkcji, w których czas jest zmienn� niezale�n�. Okre�lenie czasu jako zmiennej niezale�nej nie ma nic wspó1nego z fizycznymi przyczynami lub skutkami zmiennych zale�nych, ale jest po��dane dla odzwierciedlenia dynamiki modelowanego systemu.

Sposób odzwierciedlenia dynamiki w modelu matematycznym zale�y od fizycznego charakteru własno�ci procesów i zwi�zków zachodz�cych w modelowanym segmencie. Dynamiczny model matematyczny pozwala bada� zachowanie systemu, zarówno w stanie równowagi jak i po zadziałaniu jakiego� zaburzenia, np. wymuszenia na wej�ciu, które spowoduje, �e system przejdzie do innego stanu równowagi. Model dynamiczny, jako odzwierciedlenie systemu technicznego, jest szczegó1nie u�yteczny, gdy badania dotycz�: 1). stabilno�ci, 2). procesów przejsciowych, takich jak np. rozruch czy zatrzymanie, 3). niestabilno�ci, b�d�cej rezultatem zmian struktury systemu, a nie wymusze� na wej�ciu.

W wi�kszo�ci przypadków uwzgl�dnienie dynamiki systemu w opisie sformalizowanym jest konieczne dla zachowania wymaganej prawdziwo�ci modelu matematycznego. Jednak w pewnych okoliczno�ciach dynamika mo�e zosta� pomini�ta. Utworzony wtedy model statyczny jest uproszczeniem, które jest dopuszczalne pod warunkiem, ze badacz pragnie prze�ledzi� tylko pewne stany równowagi, osi�gane w specyficznych warunkach.

Czasoprzestrze�, w której istniej� i funkcjonuj� systemy naturalne mo�e by� modelowana w sposób ci�gły lub dyskretny. Czas, który jest zmienn� niezale�n� w funkcjach stanu, wej�cia i wyj�cia, jest wielko�ci� ci�gł� z natury. Tym niemniej, w modelach matematycznych systemów dynamicznych, czas mo�e by� przedstawiony w sposób ci�gły lub dyskretny. Poj�cie "ci�gły" oznacza, �e wspomniane funkcje s� okre�lone w ka�dej chwili, w ka�dym punkcie na osi czasu. Poj�cie "dyskretny" odnosi si� do zbiorów warto�ci okre�lonych tylko dla pewnych chwil. Konsekwencj� tego jest pewna sko�czona odległo�� na osi czasu, mi�dzy ró�nymi elementami zbiorów stanu, wej�cia lub wyj�cia.

Modelami matematycznymi systemów dyskretnych i ci�głych s� najcz��ciej układy równa�. Własno�ci, procesy i zwi�zki, które zostały odzwierciedlone w modelu fizycznym, s� zapisywane w tych równaniach w postaci zale�no�ci matematycznych. Najprostsz� zale�no�ci� jest proporcjonalno��, która da si� zapisa� w postaci funkcji liniowej. Obrazem funkcji f(t) w układzie prostok�tnych współrz�dnych kartezja�skich jest linia prosta. Ogó1nie bior�c mo�na stwierdzi�, �e je�eli sformalizowany opis modelu fizycznego jest utworzony z funkcji liniowych, to uzyskany model matematyczny jest tak�e liniowy.

Liniowo�� pozwala na utworzenie modelu matematycznego w postaci układu równa� liniowych (algebraicznych lub ró�niczkowych), zapewnia mo�liwo�� wykonywania podstawowych operacji algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mno�enie i dzielenie) oraz pozwala na wybór elementu zerowego, przy wektorowym opisie wej�cia, stanu lub wyj�cia systemu. Dlatego, model liniowy jest stosunkowo łatwy do rozwi�zania na drodze analitycznej.

Zło�ono�� badanych systemów powoduje jednak, �e zapisanie zale�no�ci za pomoc� funkcji liniowych, przy równoczesnym zachowaniu wymaganego poziomu prawdziwo�ci modelu, jest cz�sto trudne lub wr�cz niemo�liwe. W konsekwencji model matematyczny musi byt nieliniowy i jego rozwi�zanie mo�e nastr�cza� powa�ne trudno�ci. Aby uzyska� rozwi�zanie i osi�gn�� cel bada�, konieczna jest wtedy linearyzacja modelu, polegaj�ca na zast�powaniu, zale�no�ci nieliniowych - liniowymi.

Zmienne opisowe modelu mo�na sklasyfikowa� według dwóch kryteriów: fizycznego i matematycznego.

Według kryterium fizycznego, mo�na wyró�ni� trzy grupy zmiennych, przy czym

dwie pierwsze grupy opisuj� własno�ci, procesy i zwi�zki zachodz�ce w systemie, jego dynamik� i wzajemne oddziaływanie systemu i �rodowiska. Te trzy grupy zmiennych to: 1. zmienne wej�ciowe opisuj�ce wymuszenia działaj�ce na system; mo�na je dodatkowo podzieli� na zmienne kontrolowane, zwane równie� decyzyjnymi, na które badacz ma wpływ i niezale�ne od badacza zmienne sytuacyjne, 2. zmienne stanu i wyj�cia; niezale�nie od "lokalizacji" w modelu fizycznym, charakteryzuj� one nieznane reakcje systemu (ł�cznie zwane niekiedy stanem), które interesuj� badacza ze wzgl�du na cel bada�, 3. zmienne pomocnicze, opisuj�ce po�rednie zale�no�ci mi�dzy zmiennymi wej�ciowymi oraz reakcjami, a słu�� do uproszczenia zapisu zale�no�ci wyst�puj�cych w modelu.

Według kryterium matematycznego, zmienne opisowe modelu mo�na podzieli� na dwie grupy, a mianowicie: 1. funkcje czasu Zr(t), b�d� innej zmiennej niezale�nej, które w sensowny sposób przyporz�dkowuj� ka�demu zdarzeniu wielko�� o ustalonej nazwie i reprezentuj� zmienne wej�cia, wyj�cia i stanu. Maj� one bezpo�redni wpływ na zachowanie badanego segmentu systemu; odpowiednio uporz�dkowane w szereg, funkcje te tworz� wektor: z(t) = [z1(t), z2(t), ..., zr(t), ..., zΓ1(t)]T (7) W zale�no�ci ad fizycznego charakteru modelowanego systemu i przyj�tego sposobu opisu, współrz�dne zr(t), mog� by� funkcjami zdeterminowanymi, probabilistycznymi lub stochastycznymi. Do opisu sformalizowanego dynamicznych zmian wielko�ci fizycznych, zachodz�cych podczas funkcjonowania systemu, wykorzystuje si� pochodne po czasie wektora z(t) lub jego współrz�dnych zr(t); 2. parametry sξ, które s� wielko�ciami odgrywaj�cymi szczegó1n� rol� w sformalizowanym opisie modelu fizycznego. Ich natura fizyczna czyni je zmiennymi, ale w danym modelu matematycznym pozostaj� stałe. W badaniach systemów technicznych parametry te tworz� zbiór wielko�ci, które opisuj� skład i struktur� badanego segmentu systemu. Mo�na z tych wielko�ci utworzy� wektor:

Tsssss ],...,,...,,[ 21 Θ= ξ (8)

gdzie: ξ = 1 ,2, ..., Θ - sko�czony ci�g indeksów. Przytoczona klasyfikacja jest konsekwencj� fizycznego charakteru modelowanego

segmentu i celu bada� oraz uproszcze� poczynionych przy budowie modelu fizycznego. Zakładaj�c, �e istnieje operator Ψ(t), dla którego zmienne oraz parametry mo�na

zapisa� w postaci wektorów, to ogó1n� posta� modelu matematycznego mo�na przedstawi� jako zmodyfikowan� form� w postaci:

0],,)(

,)(

),()[( 2

2

=Ψ tsdt

tzddt

tdztzt (9)

Wyra�enie to przedstawia ogóln�, ró�niczkow� posta� zapisu modelu matematycznego, który jest odzwierciedleniem modelu fizycznego, badanego segmentu systemu technicznego.

W zale�no�ci od postaci zmiennych opisowych, operatora Ψ(t) oraz parametrów sξ, model mo�e by� równaniem lub układem równa�: algebraicznych, ró�niczkowych zwyczajnych lub cz�stkowych, pierwszego lub wy�szego rz�du; mo�e to by� model deterministyczny, losowy, stochastyczny, statyczny lub dynamiczny, dyskretny lub ci�gły, liniowy lub nieliniowy itd.

U�yteczny model matematyczny, powinien zapewnia�[26]: - istnienie i jednoznaczno�� rozwi�zania równa�, z których jest zbudowany, - mo�liwo�� uzyskania wyników ilo�ciowych, - mo�liwo�� empirycznego porównania tych wyników z wielko�ciami wytwarzanymi przez

modelowany system. Modele matematyczne, uzyskane w rezultacie omówionego procesu modelowania,

pozwalaj� rozwi�zywa� zadania analizy, identyfikacji i syntezy. Zadania analizy polegaj� na wyznaczeniu zmiennych stanu i wyj�cia modelu

fizycznego w zale�no�ci od zmiennych wej�ciowych. W praktyce s� to zadania: 1). wyznaczania warto�ci i przebiegów charakterystyk, okre�laj�cych zachowanie modelowanego systemu, 2). wyznaczania pewnych charakterystyk w funkcji parametrów lub zmiennych decyzyjnych, 3). badania stabilno�ci i czuło�ci modelu na zakłócenia; w rezultacie otrzymuje si� informacje o wpływie oddziaływania wybranych wielko�ci wej�ciowych na charakterystyki systemu, 4). ocena systemu, która polega na porównaniu rzeczywistych charakterystyk z postawionymi wymaganiami, 5). badania poznawcze, maj�ce na celu wykrycie nieznanych dot�d praw i zale�no�ci, zachodz�cych pomi�dzy oddziaływaniem �rodowiska i reakcj� systemu.

Zadania identyfikacji polegaj� na wyznaczeniu takich parametrów i struktury modelu matematycznego, które dla danych zmiennych wej�ciowych umo�liwi� otrzymanie przebiegów zmiennych stanu i wyj�cia takich samych jak te, które wytwarza system. Informacje a rzeczywistych wielko�ciach wej�cia, stanu i wyj�cia badanego systemu uzyskuje si� na drodze empirycznej.

Zadania syntezy polegaj� na wyznaczaniu optymalnych warto�ci parametrów i struktur modelu matematycznego lub zmiennych decyzyjnych oraz na sterowaniu procesami zachodz�cymi w modelu. Zadania syntezy dostarczaj� informacji dla zaprojektowania systemu technicznego, który b�dzie realizowa� zadanie eksploatacyjne w sposób optymalny. Pewna grupa zada� syntezy zajmuje si� sterowaniem procesami eksploatacji istniej�cych systemów. Rezultatem rozwi�zywania zada� nale��cych do tej grupy s� informacje, które umo�liwiaj� podejmowanie racjonalnych decyzji podczas sterowania systemu oraz zapewniaj� optymalny sposób jego obsługiwania. 5. MODELE MATEMATYCZNE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH

Wielko�ci charakteryzuj�ce model fizyczny, wyra�one za pomoc� znaków oraz symboli matematycznych i zapisane w postaci odpowiednio sformułowanych warunków równo�ci lub nierówno�ci, stanowi� jego opis sformalizowany. Te warunki to s� dane i niewiadome zgodnie z prawami fizyki, które okre�laj� zachowanie systemu w wybranym do bada� segmencie.

Ogólnie bior�c, opis sformalizowany modelu fizycznego systemu mechanicznego, polega na zapisaniu zgodnie prawami mechaniki, zale�no�ci które ł�cz� przyspieszenia z poło�eniami oraz z pr�dko�ciami uogólnionymi i równocze�nie wi��� ruch systemu z oddziaływaniami mechanicznymi, które gwarantuj� realizacj� tego ruchu.

Wielko�ci tworz�ce współrz�dne uogólnione oraz ich pochodne, a tak�e siły i momenty s� elementami podzbioru, który okre�la przestrze� zmiennych w modelu fizycznym. Ogóln� posta� modelu matematycznego takiego systemu mo�na zapisa� w postaci:

0),,,,,,,,,,,( 2

2

2

2

=Ψ tsMMRPdtd

dtd

dtqd

dtdq

q RP

ϕϕϕ (10)

W zale�no�ci od celu bada�, model mo�e zosta� zapisany dla całego systemu lub dla poszczególnych elementów. Mo�e on odzwierciedla� system mechaniczny uwzgl�dniaj�c statyk�, kinematyk� lub dynamik� własno�ci, procesów lub zwi�zków. Dla odzwierciedlenia statyki systemu, model (10) jest na ogół układem równa� algebraicznych. Dla odzwierciedlenia kinematyki i dynamiki potrzebne s� równania ró�niczkowe pierwszego lub drugiego rz�du, zwane równaniami ruchu.

Aby wyznaczy� stan badanego systemu, model musi si� składa� z tylu równa� ruchu ile jest niewiadomych; rozwi�zywanie modelu polega na całkowaniu tych równa�. Rezultatem całkowania s� funkcje czasu, które okre�laj� zmiany poszukiwanych wielko�ci.

Znaj�c warunki pocz�tkowe lub brzegowe mo�na wyznaczy� ich warto�ci. Całkuj�c równania (10) mo�na rozwi�zywa� dwa typy zada�. Zadania, których celem

jest wyznaczenie głównego wektora oddziaływa� dla danego ruchu systemu, nosz� one miano pierwszego zadania mechaniki. W tym zadaniu, poszukiwane siły i momenty s� nieznanymi zmiennymi. Dane s� poło�enia i pr�dko�ci wzgl�dem współrz�dnych uogólnionych elementów badanego systemu, które zostały uwzgl�dnione w modelu fizycznym. Drugie zadanie mechaniki dotyczy przypadków wyznaczania ruchu systemu, gdy dane s� oddziaływania. W tym zadaniu dane s� siły i momenty, a poszukiwane poło�enia i pr�dko�ci [20].

Zmienno�� w czasie jest jedn� z najwa�niejszych własno�ci, która okre�la dynamik� systemów naturalnych. Istota dynamicznego zachowania polega na tym, �e na wyj�cie i stan systemu w chwili bie��cej, maj� wpływ wielko�ci wej�cia w chwilach wcze�niejszych. System "pami�ta" to co dzieje si� wcze�niej. Na przykład, wzrost ro�liny w danej chwili lub przedziale czasu zale�y od nasłonecznienia i opadów w okresie poprzedzaj�cym obserwacj�. Model matematyczny odzwierciedla t� zdolno�� do "magazynowania" energii lub informacji i do ich "zwrotu" z pewnym opó�nieniem.

Badanie systemów naturalnych (a w szczególno�ci - technicznych), z uwzgl�dnieniem ich dynamiki, jest podstawowym zadaniem modelowania. Ze wzgl�dów praktycznych, takie systemy s� najcz��ciej modelowane w uj�ciu deterministycznym. Ta klasa matematycznych modeli technicznych systemów dynamicznych, które potocznie s� nazywane modelami dynamicznymi, a tak�e klasa modeli statycznych, które s� specyficznym uproszczeniem modeli dynamicznych, b�dzie tematem dalszych rozwa�a�. 5.1 Modele dynamiczne

Zmienne uwzgl�dnione w modelu fizycznym, tworz� zbiór zmiennych opisowych modelu matematycznego. W rezultacie uproszcze� poczynionych przy przej�ciu od modelu cybernetycznego do fizycznego, liczno�� tego podzbioru b�dzie mniejsza. Wektory wej�cia, stanu i wyj�cia w modelu matematycznym b�d� utworzone ze znacznie mniejszej liczby współrz�dnych. Postulat kompletno�ci modelu matematycznego wymaga aby te zmienne oraz zbiory , do których one nale�� były dokładnie opisane [26].

Podział zmiennych opisowych modelu według kryterium fizycznego na: wej�ciowe, stanu i wyj�ciowe, wynika nie tylko z kierunku przepływu strumieni materiałów czy energii. W badaniach systemów dynamicznych ten podział jest konsekwencj�: zdolno�ci do "magazynowania" energii lub informacji i do ich "zwrotu" z opó�nieniem oraz zale�no�ci przyczynowo-skutkowych własno�ci, procesów i zwi�zków.

Postulat obserwowalno�ci, który zapewnia mo�liwo�� weryfikacji modelu na podstawie pomiarów wykonywanych na modelowanym systemie wymaga, aby zmienne wyj�ciowe mo�na było obja�nia�, obserwowa� i mierzy� (np. w badaniach dynamiki systemów technicznych mo�na mierzy� siły, odkształcenia, przyspieszenia itp.).

Modele matematyczne dynamicznych systemów technicznych s� tworzone przy wykorzystaniu uznanych w fizyce praw lub zasad zachowania. Te prawa i zasady okre�laj� reguły interakcji i s� podstaw� układania równa�, które przedstawiaj� wzajemne zale�no�ci zmiennych wej�cia, stanu i wyj�cia. Deterministyczny model matematyczny składa si� na ogół z układu równa� i zawsze reprezentuje jedn� lub kilka relacji odwzorowania wej�cia, stanu i wyj�cia. Postulat u�yteczno�ci modelu wymaga aby istniało jednoznaczne rozwi�zanie takiego układu równa�.

Posta� równa� jest zale�na od celu modelowania, od składu i struktury modelu fizycznego, od własno�ci, procesów i zwi�zków, które zostały w nim odzwierciedlone, ale równie� od przewidywanego sposobu ich rozwi�zywania. Równania tworz�ce model mog� by� algebraiczne lub ró�niczkowe, zwyczajne lub cz�stkowe, pierwszego lub wy�szego rz�du,

zawieraj�ce funkcj� niewiadom� jednej lub wi�cej zmiennych. 5.2 Modele statyczne

Zale�no�� systemu od czasu nie przes�dza o tym, �e jego model b�dzie dynamiczny; wystarczy uwzgl�dni� zale�no�ci tylko mi�dzy wielko�ciami u�rednionymi i w opisie sformalizowanym czas mo�e w ogó1e nie wyst�powa�. Podstawiaj�c pochodne zmiennych niezale�nych od czasu, równe zero równanie (8) mo�na przekształci� do postaci reprezentuj�cej model statyczny:

φ { z , s } = 0 (11) Modele statyczne wykorzystuje si� do bada� systemów o ci�głym, powolnym

przepływie materiałów i energii jak np.: funkcjonuj�ce w cyklu rocznym systemy zbiorników retencyjnych zasilane opadami i odprowadzaj�ce wod� do rzek, systemy produkcji masowej itp. Modele statyczne dobrze odzwierciedlaj� systemy zmienne w czasie, ale pozostaj�ce w równowadze, np. konstrukcje mechaniczne. S� one wykorzystywane w badaniach operacyjnych, słu��cych do podejmowania decyzji w systemach sieciowych, np.: obsługi masowej, podziału ograniczonych zasobów, wyznaczania �cie�ek krytycznych przemieszczania si� w sieci tak, aby koszty lub czas były minimalne. W modelach takich systemów zamiast zmiennych wej�cia i wyj�cia stosuje si� zazwyczaj zmienne decyzyjne i funkcje celu. 5.3 Notacje modeli dynamicznych

Podstaw� opisu stanu dynamicznego jest tworzenie mo�liwych typów modeli, a mianowicie: "wej�cie - stan - wyj�cie", który jest równowa�ny typowi "wej�cie-reakcja" oraz "wej�cie-stan", "wej�cie-wyj�cie" i "stan-wyj�cie". Ogóln� notacj� modelu typu "wej�cie- stan -wyj�cie" dla systemu dynamicznego, mo�na uzyska� zapisuj�c odpowiednio relacj� : ],),(),([)( sttxtuty ψ= (12) W zale�no�ci tej, ψ - jest macierz�, niezale�n� od czasu, która reprezentuje odwzorowanie współrz�dnych wektora stanu i wej�cia we współrz�dne wektora wyj�cia. W systemach technicznych parametrami s� wielko�ci opisuj�ce skład i struktur� systemu takie, jak np.: wymiary konstrukcyjne, współczynniki i warto�ci charakteryzuj�ce zachodz�ce procesy itp.

Zakładaj�c, �e zale�no�� od parametrów zostanie w sposób niejawny uwzgl�dniona w niezale�nej od czasu macierzy ψs równanie to mo�na zapisa� w postaci:

y(t) = ψs [u(t),x(t)] (13) W postaci skalarnej równanie to przedstawia układ równa�, którego charakter jest zale�ny od postaci macierzy ψs i współrz�dnych wektorów.

Aby utworzy� model typu "wej�cie - stan", nale�y okre�li� taki najmniejszy zbiór zmiennych stanu, który w danej chwili t niesie cał� informacj� o przeszło�ci systemu; niezmiennikiem jest liczba elementów tego zbioru. Ogó1n� posta� modelu "wej�cie - stan" mo�na przedstawi� w postaci układu równa� ró�niczkowych rz�du pierwszego:

],),(),([)(

sttutxGdt

tdx = 0)0( xx = (14)

gdzie: G - jest macierz� odwzorowania pochodnych współrz�dnych wektora stanu we współrz�dne tego wektora oraz wektora wej�cia.

Po prawej stronie równa� nie wyst�puj� pochodne po czasie zmiennych modelu. Mog� natomiast wyst�powa� pochodne tych zmiennych wzgl�dem zmiennych przestrzennych.

Zakładaj�c, �e zale�no�� od parametrów jest w sposób niejawny uwzgl�dniona w macierzy Gs układ równa� (14) mo�na upro�ci� do postaci:

)](),([)(

tutxGdt

tdxs= 0)0( xx = (15)

Ze wzgl�du na wyst�powanie pochodnych (mog� to by� równie� pochodne rz�du wy�szego ni� pierwszy), układ równa� (15) dobrze odzwierciedla dynamik� systemu. Jako cało��, układy równa� (15) i (13) tworz� kompletny, deterministyczny model matematyczny badanego systemu dynamicznego.

Model matematyczny typu "wej�cie - wyj�cie" zakłada, �e system przekształca wektor wej�cia w wektor wyj�cia. Zakładaj�c, �e operator Φ działa jak funkcja ϕ(.) niezale�na od czasu, model dla relacji "wej�cie - wyj�cie" mo�na zapisa� w postaci równania ró�niczkowego, wektorowego:

2102120 :],,[:)(],,[:)(, tttgdziettttysttttudtdu

��∈=���

��� ∈φ (16)

Zgodnie z tym równaniem przebieg zmiennej wej�ciowej w przedziale czasu [t0, t2] ma wpływ na przebieg zmiennej wyj�ciowej w przedziale czasu [t1, t2], przy czym chwila t0 jest czasami du�o wcze�niejsza od chwili t1 .

Zale�no�� (16) zapisana za pomoc� wielko�ci skalarnych, przyjmuje posta� układu równa� ró�niczkowych, które poddaje si� niekiedy przekształceniu Laplace'a, uzyskuj�c ich algebraiczn� reprezentacj�, łatwiejsz� do rozwi�zania. Rezultat tego ma na ogół posta� transmitancji, która dobrze opisuje własno�ci dynamiczne systemu.

Model ten mo�na równie� bada� w dziedzinie cz�stotliwo�ci, wykorzystuj�c transformacj� Fouriera. Rozwi�zanie modelu przedstawia wtedy funkcj� transmitancji w dziedzinie cz�stotliwo�ci. Ta funkcja umo�liwia wyznaczenie charakterystyk amplitudowych i fazowych w funkcji cz�stotliwo�ci, które dobrze opisuj� zachowanie systemu dynamicznego.

Model "wej�cie - wyj�cie" jest wykorzystywany w badaniach systemów typu "czarna skrzynka". Ten typ modelu mo�e równie� by� utworzony w postaci statycznej. 6. ZAŁO�ENIA DO BADA� MODELI

Rzeczywiste układy mechaniczne to układy masowo – dyssypacyjno - spr��yste opisywane za pomoc� przemieszcze�, ich pochodnych zwi�zanych z odkształceniami oraz wywołuj�cymi je siłami. Wielko�ci opisuj�ce s� ze sob� sprz��one, s� zmienne w czasie i nazywane s� w dynamice maszyn sygnałami. Sygnały przemieszcze�, pr�dko�ci i przyspiesze� oraz działaj�cych sił maj� charakter uogólniony, tzn. przemieszczenia s� zarówno translacyjne jak i rotacyjne, a siły s� skupione i pary sił s� reprezentowane przez ich momenty. Równania ruchu, opisuj�ce drgania dyskretnego modelu fizycznego, maj� w ogólnym przypadku posta� [20,26,36,54]:

0),,...,...,,,,...,,...,,,,...,,...,,,,...,,( 21

....

2

..

1

...

2

.

1

.

21 =tRRRRqqqqqqqqqqqF wininink (17) gdzie: n - liczba stopni swobody, w – liczba wi�zów, t – czas, Rj – j-ta nieznana siła

uogólniona (reakcja), qi – i-te przemieszczenie, iq.

- i-ta pr�dko�� uogólniona, iq..

- i-te przy�pieszenie uogólnione. Przy modelowaniu dynamicznych własno�ci układów mechanicznych stosuje si� szereg uproszcze� w zakresie opisu i zasad budowy modeli fenomenologicznych.

W celu modyfikacji własno�ci dynamicznych układów mechanicznych buduje si� modele strukturalne, które odzwierciedlaj� organizacj� wewn�trzn� i zachowuj� własno�ci transformacyjne układu.

Ka�dy układ mechaniczny zło�ony jest z elementów: masowych (punkty materialne, nieodkształcalne lub odkształcalne bryły), spr��ystych (spr��yny) i tłumi�cych (np. tłumiki). Mówi si� wi�c o układach m, k, c (masowo – dyssypacyjno - spr��ystych). Tylko w uproszczeniu mo�na mówi� o modelu masowym, masowo-spr��ystym lub masowo-

dyssypacyjnym. Ka�dy układ (model), posiadaj�cy własno�ci spr��yste wytr�cony z poło�enia równowagi, b�dzie realizował ruch przemienny wokół poło�enia równowagi. Taki ruch nazywamy drganiami mechanicznymi.

Drgania mechaniczne w zale�no�ci od: liczby stopni swobody układu, równania (równa�) opisuj�cego ruch, sposobu wytr�cenia z poło�enia równowagi (sposobu wymuszenia), modelu układu, charakteru sygnału przemieszcze� i kierunku ruchu dzielimy na [7,14,36,54]: - drgania układów o jednym stopniu swobody, o wielu stopniach swobody - drgania układów dyskretnych: o niesko�czonej liczbie stopni swobody - drgania układów ci�głych; - drgania liniowe; nieliniowe; - drgania autonomiczne (swobodne); nie autonomiczne (wymuszone: zewn�trznie lub wewn�trznie); - drgania zachowawcze (bez tłumienia); nie zachowawcze (z dyssypacj� energii; lub z tłumieniem); - drgania zdeterminowane; stochastyczne; - drgania wzdłu�ne, poprzeczne, translacyjne, rotacyjne (gi�tne, skr�tne), itp.

Kluczem do okre�lenia dynamiki obiektów czyli drga� obiektów mechanicznych jest zatem znajomo�� mo�liwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego mo�na zredukowa� badany obiekt. 6.1 Drgania translacyjne i skr�tne W praktycznych zastosowaniach na pocz�tku rozwa�a� modelowane obiekty bada� przedstawiane s� jako elementarne modele drgaj�ce o jednym stopniu swobody. Przykłady takich układów z wymuszeniem siłowym lub momentowym przedstawiono na rys.1.2 [a).model o wymuszeniu siłowym, b). model o wymuszeniu momentowym]. Czy wnioski płyn�ce z analizy drga� typu skr�tnego s� takie same jak dla drga� typu translacyjnego?

Rys.1.2 Schematy modeli fizycznych o jednym stopniu swobody dla drga� translacyjnych a). oraz dla drga� skr�tnych b).

Stosuj�c zasad� d’Alemberta dla ka�dego z modeli otrzymuje si� równania: model translacyjny a). model skr�tny b). � =+ 0bezwli FF � =+ 0bezwlsili MM

.

..

0)( =−−− xmxckxtF 0)(...

=−−− ϕϕϕ ICKtM ostatecznie za�:

)(...

tFkxxcxm =++ )(...

tMKCI =++ ϕϕϕ (18) Otrzymane równania, słuszne nie tylko dla układu o jednym stopniu swobody, s�

identyczne, a wi�c wnioski płyn�ce z analizy ich rozwi�za� b�d� równie� identyczne.

6.2 Wymuszenie siłowe i kinematyczne Dla tej samej ogólno�ci rozwa�a� rozpatrzmy wymuszenia siłowe i kinematyczne przedstawione na rys.1.3. W pierwszym przypadku wymuszenie pochodzi od zadanej zewn�trznej siły b�d� momentu, za� w drugim przypadku mamy zadany ruch na torze (wymuszenie kinematyczne) [5]. Oba przypadki wymuszenia s� modelowo równowa�ne, a zadane przemieszczenie z(t) działaj�c poprzez spr��yn� k i tłumik c jest �ródłem siły równowa�nej F(t), przy czym

.

)( zckztF += . Wiedz�c o tym mo�na dalsze rozwa�ania ograniczy� do drga� translacyjnych z wymuszeniem siłowym, a wnioski przenosi� na dowolny ruch z dowolnym typem wymuszenia.

Rys.1.3 Ilustracja równowa�no�ci wymuszenia siłowego a). i kinematycznego b) [5]. 6.3 Wyznaczanie parametrów zast�pczych

Podstawowe metody wyznaczania parametrów (cech) strukturalnych modeli układów mechanicznych to metody identyfikacji; prostej dla układów prostych i zło�onej dla układów o wielu stopniach swobody.

W przypadku prostych układów mechanicznych, niekoniecznie o małej liczbie stopni swobody, ale z łatwym podziałem na dyskretne elementy masowe, spr��yste i tłumi�ce najbardziej efektywna jest metoda analityczna oparta na znajomo�ci geometrii i własno�ci materiałowych elementów konstrukcyjnych układu.

Metoda analityczna zawiera si� w kilku etapach. Najpierw dokonuje si� my�lowej dyskretyzacji rzeczywistego układu mechanicznego. Ł�czy si� elementy w grupy o zbli�onych cechach dominuj�cych, np. o wyra�nie przewa�aj�cych cechach masowych nad spr��ystymi lub tłumi�cymi. Elementy masowe traktuje si� wi�c jako nieodkształcalne bryły lub punkty materialne. Elementy bezmasowe ((spr��yste i tłumi�ce) najcz��ciej traktowane jednocze�nie jako spr��ysto-tłumi�ce s� ujmowane jako odkształcalne. Tak poł�czone elementy w grupy przedstawia si� tylko jednym elementem zwanym zast�pczym lub zredukowanym. Jest on reprezentowany tylko jednym parametrem zredukowanym, b�d�cym albo wprost parametrem strukturalnym, albo elementem pewnej kombinacji parametrów zredukowanych.

Parametry zast�pcze wyznacza si� dla potrzeb analizy dynamiki układu, najcz��ciej przy zało�eniu równowa�no�ci dynamicznej grupy elementów konstrukcyjnych i elementu zast�pczego. Równowa�no�� dynamiczna oznacza równowa�no�� energii ruchu elementów układu rzeczywistego i elementów zast�pczych, co oznacza ich równowa�no�� energii kinetycznej, potencjalnej i funkcji dyssypacji energii. 6.4 Wyznaczanie mas zast�pczych Rzeczywiste elementy masowe s� w ogólno�ci bryłami nieodkształcalnymi, wi�c ich energia kinetyczna jest sum� energii kinetycznej ruchu post�powego z pr�dko�ci� Vs �rodka

masy oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego dookoła osi chwilowego obrotu, przechodz�cej przez �rodek masy.

22

21

21

iiiikz JVmE ω+= (19)

Zast�pczymi elementami masowymi mog� by� albo punkty materialne, albo bryły doskonale sztywne. Zakłada si� najcz��ciej, �e punkty materialne wykonuj� ruch prostoliniowy, a bryły ruch obrotowy dookoła stałej osi. Dokonuj�c redukcji masy korbowodu mechanizmu korbowo-tłokowego (rys.1.4) do dwóch punktów A i B pokrywaj�cych si� z osi� sworznia wału korbowego O oraz z osi� sworznia tłokowego przyjmuje si� oznaczenia: - masa korbowodu mk, - długo�� korbowodu lk, - moment bezwładno�ci Js wzgl�dem osi przechodz�cej przez �rodek masy S odległy od osi

A o a = A S oraz od osi B o b = B S, przy czym a + b = lk.

Rys.1.4 Schemat mechanizmu korbowo - tłokowego. Równowa�no�� dynamiczna energii zachodzi� musi dla dowolnych warto�ci Vs ruchu

post�powego oraz ω ruchu obrotowego, a wi�c równie� dla ich szczególnych warto�ci równych niejednocze�nie zeru. Wynikaj� st�d równania równowa�no�ci mas oraz równowa�no�ci momentów bezwładno�ci wzgl�dem osi przechodz�cej przez �rodek masy S: BAk mmm += dla ω = 0 (20)

22 bmamJ BAS += dla VS = 0 (21) a st�d warto�ci mas zast�pczych mA i mB :

22

2

babmJ

m kSA −

−= (22)

22

2

abamJ

m kSB −

−= (23)

Warunek równowa�no�ci statycznej oznacza równowa�no�� momentów statycznych układu rzeczywistego i zast�pczego: 0=− bmam BA (24) Spełnienie jednocze�nie trzech warunków równowa�no�ci statycznej i dynamicznej wymaga zast�pienia korbowodu trzema punktami materialnymi (A,S,B) i wówczas równania równowagi s� nast�puj�ce:

SBAk mmmm ++= 22 bmamJ BAS += (25)

0=− bmam BA Masy zast�pcze w układzie tym przyjmuj� posta�:

;k

SA al

Jm = ;

k

SB bl

Jm =

abJ

mm SkS −= (26)

6.5 Zast�pcze sztywno�ci modelowanych układów Je�eli w układzie wyst�puj� ró�ne elementy spr��yste, nale�y wówczas wyznaczy� zast�pczy współczynnik spr��ysto�ci. Mo�na tu rozwa�y� dwa przypadki poł�cze� spr��ystych – poł�czenie równoległe i szeregowe. Zast�pczy współczynnik spr��ysto�ci wyznacza si� z warunku równowagi energii potencjalnych. Jak wynika z rys.1.5 energia potencjalna poł�czenia równoległego przy przesuni�ciu o x wynosi:

22

21 2

121

xkxkEP += (27)

Rys.1.5 Poł�czenia spr��yste: równoległe a). i szeregowe b). oraz sztywno�� zast�pcza.

Energia potencjalna układu zast�pczego przy tym samym przesuni�ciu wynosi:

2

21

xkE zP = (28)

Po porównaniu tak opisanych energii otrzymuje si� dla poł�czenia równoległego:

21 kkzk += (29)

Dla poł�cze� szeregowych nadajemy przesuni�cie x na ko�cu spr��yny o współczynniku k2. Spr��yna o współczynniku spr��ysto�ci k1 zostanie odkształcona o z i energia potencjalna obu spr��yn wynosi:

22

21 )(

21

21

zxkzkEP −+= (30)

Poniewa� w punkcie A jest równowaga dwóch sił: k1z = k2(x-z) , mo�na wyznaczy�:

xkk

kz

21

2

+= (31)

Po podstawieniu (4.14) do (4.13) i przekształceniu otrzymuje si�:

2

21

21

21

xkk

kkEP +

= (32)

Porównuj�c dalej (27) i (32) otrzymuje si� zast�pczy współczynnik spr��ysto�ci dla poł�czenia szeregowego:

21

21

kkkk

k z += (33)

6.6 Oszacowanie zast�pczego tłumienia obiektu Parametr ten jest niezb�dny przy oszacowaniu amplitudy odpowiedzi rezonansowej modelu b�d� szybko�ci zaniku drga�. Do jego wyznaczenia nale�y z eksperymentu wyznaczy� logarytmiczny dekrement tłumienia ∆, b�d� stopie� tłumienia ξ oraz cz�sto�� własn� ω0, co cz�sto wykorzystuje si� do weryfikacji modelu.

Realizacja eksperymentu testem impulsowym, polegaj�cym na uderzeniowym wymuszeniu obiektu w punkcie spodziewanego działania wymuszenia i odbiorze odpowiedzi w punkcie redukcji R. Jako wynik uzyskuje si� obraz drga� zanikaj�cych, przedstawiony na rys.1.6.

ξΠ==∆ 2ln3

1

AA

∆=lnA1/A3=2Πξ Rys.1.6 Ilustracja do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia ∆ i zast�pczego tłumienia cz.

Wynikiem eksperymentu jest tu logarytmiczny dekrement tłumienia ∆, b�d� stopie� tłumienia ξ oraz cz�sto�� własna ω0, co słu�y do weryfikacji oblicze� i badanego modelu.

Drgania tłumione przedstawione na rys.4.5 s� nieokresowe, jednak kolejne poło�enia �rodkowe i kolejne wychylenia s� osi�gane po jednakowych odst�pach czasu. Zatem, okres drga� tłumionych mo�na wyznaczy� z zale�no�ci:

22

0

1

22

nT

−==

ωπ

ωπ

(34)

który jest wi�kszy od okresu drga� tłumionych:

0

01

2ω

π=TT (35)

Dekrement logarytmiczny tłumienia, definiowany jako stosunek warto�ci dwóch kolejnych maksymalnych amplitud, przyj�to za miar� tłumienia drga�:

11)(

)(ln nT

Ttxtx =

+=∆ (36)

Stopie� tłumienia dla ułatwienia dalszej analizy mo�na zapisa� w postaci:

0ω

ξ hcc

kr

== oraz 1,2 === ξgdymkcc kr (37)

Dla rys. 1.6 mo�na napisa�:

zz

z

zkr

z

kr km

ccc

cc

2===ξ (38)

W takim razie dekrement logarytmiczny tłumienia wynosi:

zz

z

zz

z

km

c

km

c πππξ ===∆2

22 (39)

a z tego tłumienie zast�pcze:

zzz kmcπ∆= (40)

Znaj�c zatem z eksperymentu dekrement logarytmiczny tłumienia ∆ oraz z dalszych oblicze� zast�pcz� mas� i sztywno�� (mz, kz) mo�na wyznaczy� warto�� zast�pczego tłumienia cz w badanym modelu. Zagadnienia modelowania s� specyficzne dla ró�nych zastosowa�, st�d w dalszej cz��ci tej ksi��ki wielokrotnie przytaczane b�d� ró�ne aspekty podziału i zasad modelowania, co stanowi doskonałe uzupełnienie podanych wcze�niej zasad i specyfiki modelowania. 7. PODSUMOWANIE

Modelowanie stanowi pierwszy etap formalnego uj�cia zagadnie� zwi�zanych zarówno z analiz� działania jak i syntez� obiektów technicznych. Pozwala ono z okre�lonym przybli�eniem odtworzy� zasady organizacji i funkcjonowania obiektu, co dalej umo�liwia uzyskanie informacji o samym modelowanym obiekcie.

Celem modelowania jest uzyskanie wiarygodnego modelu matematycznego, który umo�liwia prze�ledzenie sposobów zachowania si� obiektu w ró�nych warunkach. Przy budowie modelu korzysta si� głównie z praw i aksjomatów fizyki, wyra�aj�cych równowag� sił, momentów, opisuj�cych bilans sił, wydatków, przepływów, z równa� ci�gło�ci i z zale�no�ci geometrycznych. Ka�dy model fizyczny ma odpowiadaj�cy mu model matematyczny. Modelem matematycznym obiektu mechanicznego jest najcz��ciej układ równa� ró�niczkowych o pochodnych cz�stkowych, a tak�e równania całkowe, które opieraj� si� na bilansie energetycznym, materiałowym lub równaniach procesów fizyko-chemicznych. S� one trudne do rozwi�zania zarówno analitycznego jak i przybli�onego (numerycznego). W modelach dyskretnych układów wyst�puj� równania ró�niczkowe zwyczajne i st�d te� s� one cz��ciej stosowane w praktyce. Rzeczywiste układy mechaniczne s� z reguły nieliniowe, gdzie o nieliniowo�ci decyduj� własno�ci reologiczne materiału, wyst�powanie luzów, nieliniowy charakter sił dyssypacyjnych i charakterystyk spr��ystych elementów.

Ograniczone mo�liwo�ci analizy nieliniowych równa� ró�niczkowych skłaniaj� do stosowania modeli liniowych lub wykorzystania procedur linearyzacji. Rozpatrywanie układów jako liniowych ma sens z uwagi na to, �e istnieje du�a klasa obiektów mechanicznych, które z dopuszczaln� dla praktyki dokładno�ci� mog� by� reprezentowane przez modele liniowe. Istnieje wiele sposobów tworzenia modeli obiektów, w wyniku czego powstaj� ró�ne modele, w�ród których wymieni� nale�y: modele strukturalne, modele funkcjonalne oraz modele badawcze (modele ideowe, modele analityczne). Najogólniej podobie�stwo mi�dzy modelem a oryginałem mo�e polega� na podobie�stwie strukturalnym, ukazuj�cym wspólne cechy budowy wewn�trznej modelu i obiektu, lub na podobie�stwie funkcjonalnym, w którym istotna jest zbie�no�� ich wła�ciwo�ci. Zasadno�� działa� zwi�zanych z budow� i wykorzystaniem modeli zale�y od ich jako�ci, czym zajmuje si� dyscyplina nauki nazywana identyfikacj�, która mo�e dotyczy� zarówno budowy modeli obiektu jak i odtworzenia stanu badanego obiektu. LITERATURA 1. Awrejcewicz J.: Drgania deterministyczne układów dyskretnych. WNT, Warszawa 1996. 2. Bendat J.S., Piersol A.G.: Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. PWN, Warszawa, 1996. 3. Bishop R.D., Gladwell G.M., Michaelson S.: Macierzowa analiza drga�. PWN, Warszawa, 1972. 4. Bishop R.E.D., Johnson D.C.: The mechanics of vibration. Cambridge University Press, 1960. 5. Cempel C.: Drgania mechaniczne - wprowadzenie. Politechnika Pozna�ska, 1982.

6. Cempel C.: Wibroakustyka stosowana. Warszawa, PWN, 1989. 7. Cempel C.: Podstawy wibroakustycznej diagnostyki maszyn. WNT, Warszawa, 1982. 8. Cempel C.: Modele diagnostyki wibroakustycznej. DMRiP, Borówno,1994 (s.25-44). 9. Cempel C.: Niezawodno�� symptomowa i jej zastosowanie w drganiowej diagnostyce

maszyn. Zeszyty Naukowe, Politechnika Pozna�ska, Nr 34, 1990 (s.157-169). 10. Cempel C.: Vibroacoustical Condition Monitoring. Ellis Hor. Ltd., Chichester, New York, 1991. 11. Cempel C.: Teoria In�ynierii Systemów, skrypt, Zakład Dynamiki i Wibroakustyki Systemów,

Politechnika Pozna�ska, 2000. 12. Cholewa W., Kici�ski J.: Diagnostyka techniczna. Odwrotne modele diagnostyczne.

Wydawnictwo Politechniki �l�skiej, Gliwice 1997. 13. Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki budowli. Arkady, Warszawa 1998. 14. Dietrych J.: System i konstrukcja. WNT, Warszawa, 1985. 15. Dietrych M. ii : Podstawy konstrukcji maszyn. WNT, Warszawa 1995, tom 1. 16. Dobry M. W.: Optymalizacja przepływu energii w systemie człowiek - narz�dzie - podło�e.

Politechnika Pozna�ska, Rozprawy nr 330, Pozna�, 1998. 17. Eykhoff P. : Identyfikacja w układach dynamicznych. BNIn�. Warszawa.1980. 18. Fritzen C. P., Kiefer T.: Lokalization and Correction of Errors in Analytical Models. Proceedings

of the l Oth International Modal Analisis Conference, San Diego, CA, 1999, pp.1064-1071. 19. Giergiel J., Uhl T.: Identyfikacja układów mechanicznych. PWN, Warszawa, 1990. 20. Giergiel J. : Drgania mechaniczne. AGH, Kraków 2000. 21. Grifin M.J.: Handbook of human vibration. Academic Press, 1990. 22. Gutowski R., Swietlicki W.: Dynamika i drgania układów mechanicznych.

PWN,Warszawa, 1986. 23. Harris C. M.: Shock and Vibration Handbook. Third Edition, McGraw-Hill Book

Company, 1988. 24. Kaczmarek J.: Podstawy teorii drga� i dynamiki maszyn. Wy�sza Szkoła Morska,

Szczecin 1993. 25. Konderla P., Kasprzak T.: Komputerowe metody w teorii spr��ysto�ci. Dolno�l�skie

Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 1997. 26. Kurowski W.: Modelowanie obiektów technicznych. R�kopis opracowania, Płock 2001. 27. Ka�mierczak H., Kromulski J.: Identyfikacja i minimalizacja obci��e� dynamicznych w

maszynach rolniczych metodami eksperymentalnej analizy modalnej. Projekt Badawczy nr 708819101 Raport Ko�cowy, PIMR 1993.

28. Ka�mierczak H., Kromulski J.: Identyfikacja własno�ci dynamicznych i obci��e� eksploatacyjnych maszyn w zastosowaniu do diagnostyki (na przykładzie prasy Z224). Prace PIMR, XXXVIII, Pozna� 1993, Nr 2, str. 70-87.

29. Ka�mierczak H., Kromulski J.: Metody identyfikacji parametrycznej w zastosowaniu do diagnostyki konstrukcyjnej. Problemy Eksploatacji 6/93 MCNEMT Radom 1993.

30. Ka�mierczak H.: Analiza dynamiczno�ci konstrukcji metod� eksperymentalnej analizy modalnej. I Szkoła Analizy Modalnej, AGH Kraków, 11-12 grudnia 1995.

31. Ka�mierczak H.: Zadawanie wymuszenia w eksperymentalnej analizie modalnej w aspekcie minimalizacji bł�dów modelowania. Szkoła Analizy Modalnej, Szczyrk, 1999.

32. Kici�ski J., Materny P.: Symulacyjne katalogi relacji diagnostycznych dla bazy wiedzy systemu. KDT. Warszawa, 2000.

33. Kruszewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w uj�ciu komputerowym. Tom I. Zagadnienia Liniowe, WNT, Warszawa, 1992.

34. Kucharski T.: Metoda obliczania odpowiedzi dynamicznych układów opisanych równaniami o zmiennych w czasie parametrach. I Krajowa Konferencja U�ytkowników MATLAB-a, AGH-Kraków, 1995.

35. Morel J.: Drgania maszyn i diagnostyka ich stanu technicznego. Polskie Towarzystwo Diagnostyki Technicznej, Warszawa, 1994.

36. Morrison F.: Sztuka modelowania układów dynamicznych. WNT, Warszawa, 1996. 37. Muller L., Wilk A.: Teoria podobie�stwa w badaniach modeli fizycznych i

matematycznych. Wydawnictwo Politechniki �l�skiej, Gliwice 1997. 38. Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów sko�czonych w mechanice konstrukcji.

Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1993. 39. Tylicki H.: Optymalizacja procesu prognozowania stanu technicznego pojazdów

mechanicznych. Rozprawa habilitacyjna nr 86, ATR Bydgoszcz, 1999. 40. Uhl T.: Historia i rozwój analizy modalnej. Materiały z obchodów 70-lecia urodzin i 45-

lecia pracy naukowej prof. dr hab. in�. Józefa Giergiela oraz V Szkoly Analizy Modalnej, s. 294-305., Kraków 200.

41. Uhl T., Batko W.: Wybrane problemy diagnostyki maszyn. CCATIE, Kraków, 1996. 42. Uhl T.: Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych.

WNT, Warszawa 1997. 43. Zeigler B.: Teoria modelowania i symulacji. PWN.1984. 44. Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów sko�czonych. Arkady, Warszawa 1972. 45. ółtowski B.: Identyfikacja diagnostyczna obiektów technicznych. Zagadnienia

Eksploatacji Maszyn. Z.1 (105). PAN. 1996. 46. ółtowski B.: Podstawy diagnostyki maszyn. Wyd. ATR, Bydgoszcz, 1996. 47. ółtowski B., wik Z.: Leksykon diagnostyki technicznej. Wyd.ATR,1996. 48. ółtowski B.: Uwarunkowania klasyfikacji stanów w diagnostyce maszyn. Diagnostyka,

niezawodno�� i bezpiecze�stwo. Radom–Krynica. KBM PAN 4’97 (27), (s.37 – 51). 49. ółtowski B.: Vibrodiagnosis experiments of machines. COMADEM. Sheffield'96,UK. 50. ółtowski B.: Diagnostic identification of real objects (part I). COMADEM 97. Helsinki.

Finland. 1997.(Vol.2, s.224-235). 51. ółtowski B.: Diagnosis experiments of machines. LAMDAMAP’97, Huddersfield, UK,

1997. (s.43-55). 52. ółtowski B.: Diagnostic identification of machines (part II). ISROMAC-7. Dynamics II.

vol. B Honolulu. HAWAII. USA. 1998 (s.832-840). 53. ółtowski B.: Application of modal analysis to diagnosis of machines. ISPE. Trynidad.

and Tobago. 2000. 54. ółtowski B.: Badania dynamiki maszyn. ATR, Bydgoszcz 2002.