Kolegium Nauczycielskie w Bielsku-Białej

Piotr Szlagor

Gry Penney'a

Praca dyplomowanapisana podkierunkiem naukowymprof. dr hab. Henryka Kąkola

Bielsko-Biała, 2011

Niniejsza praca dyplomowa opracowana została przeze mnie samodzielnie i zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i prawach pokrewnych z dnia 4.02.1994r. (Dz. U. 1994 nr 24 poz. 83) wraz z nowelizacją z dnia 25.03.2003r. (Dz. U. 2003 nr 166 poz. 1610) oraz z dnia 1.04.2004r. (Dz. U. 2004 nr 91 poz. 869).

Bielsko-Biała, dnia................................ …..................................... czytelny podpis studenta

1

OŚWIADCZENIE

Oświadczam, iż wyrażam zgodę na udostępnienie mojej pracy dyplomowej.

Bielsko-Biała, dnia …............................... …..............................podpis

…................................................................ poświadczenie wiarygodności podpisu

przez dziekanat

2

Spis treści

Wstęp ......................................................................................................................... 5

1. Nieskończona, przeliczalna przestrzeń probabilistyczna ...................................... 6

1.1. Definicja nieskończonej przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej ............. 6

1.2. Prawdopodobieństwo w przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej ............. 6

1.3. Przykłady ........................................................................................................ 6

2. Gry losowe Penney'a ............................................................................................ 11

2.1. Przykłady ...................................................................................................... 12

Literatura ................................................................................................................. 22

3

Wstęp

Gry losowe towarzyszą człowiekowi od zarania dziejów. Chińczycy już 3,5 tysiąca lat temu

grali w grę podobną do Multi Lotka. Z kolei w starożytnym Rzymie popularność gier była tak

wielka, że jeden z cesarzy zakazał niższym klasom społeczeństwa ich uprawiania. W średniowieczu

namiętna grę w kości okazała się być tak wielką plagą, że uznano ją za grzech i starano się wytępić.

Obecnie, gry losowe również cieszą się ogromnym zainteresowaniem wśród społeczeństwa.

Jest tak już od dzieciństwa, kiedy to gra się w „marynarza”, czy „kamień-papier-nożyce”. Osoby

dorosłe preferują z kolei takie gry jak Duży Lotek, Jednorękiego Bandytę, czy na przykład grę

w Pokera. Oczywiście, każdy gracz zastanawia się jaką strategię ma przyjąć, by w danej grze

losowej wygrać.

Probabilistyka odgrywa w grach losowych ogromną rolę, gdyż pomaga w oszacowaniu

swoich szans na wygranie oraz zaplanowanie najefektywniejszej strategii gry. Można w ten sposób

unikać grania w gry, w który z góry jesteśmy skazani na porażkę.

W pracy zajmuję się grami Penney'a, które są szczególnym przypadkiem gier opartych na

wielokrotnym rzucie symetryczną monetą. Polegają na oczekiwaniu na serię orłów i reszek.

Rozważane przykłady ilustruję aplikacjami mojego autorstwa: „Ryzykancki hazard” oraz trzema

wersjami programu „Gry Penney'a” (dwoma dla systemu Android i jedną dla systemu Windows).

Programy te symulują przeprowadzanie rozważanych gier i pokazują w przybliżeniu

prawdopodobieństwo wystąpienia odpowiednich wyników.

4

1. Nieskończona, przeliczalna przestrzeń probabilistyczna

Nieskończona, przeliczalna przestrzeń probabilistyczna określa taki rodzaj doświadczeń

losowych, dla których zbiór wyników jest nieskończony i przeliczalny. Przykładem takiego

doświadczenia losowego jest powtarzanie rzutu monetą na płaską powierzchnię do momentu

uzyskania orła.

1.1. Definicja nieskończonej przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej

Niech D będzie doświadczeniem losowym, którego wszystkie możliwe wyniki tworzy

zbiór Ω nieskończony i przeliczalny, taki że Ω={ω1,ω2,ω3, ... } . Jeżeli funkcja p przypisuje

każdemu elementowi ωi zbioru liczbę p(ω i)≥0 i p(ω1)+ p(ω2)+ p(ω3)+ ...=1 , to

funkcję p nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na nieskończonym zbiorze ,

a parę (Ω , p) - nieskończoną przestrzenią probabilistyczną.

Warto zauważyć, że p 1 , p 2 , p3 ,... nie mogą być sobie równe. Gdyby tak było,

to istniała taka liczba a∈[ 0,1 ] , że p 1= p2=p 3=...=a . Wobec tego

∑1

∞

pn=aaa...=∞ , gdyż nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.

Wynika z tego, że w przestrzeni nieskończonej, przeliczalnej nie istnieje rozkład klasyczny.

1.2. Prawdopodobieństwo w przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej

Jeżeli , p jest przestrzenią probabilistyczną opisującą doświadczenie D. To zdarzeniem

A tej przestrzeni nazywamy każdy podzbiór zbioru , a prawdopodobieństwem zdarzenia

A nazywamy funkcję P określoną następująco:

P( A)=∑ω i∈A

p(ωi)

1.3. Przykłady

Przykład 1

Doświadczenie losowe D polega na rzucaniu symetryczną monetą, tak długo, aż wypadnie

orzeł. Z jakim prawdopodobieństwem stanie się to w dziesiątym rzucie monetą? Z jakim

najpóźniej w piątym rzucie? Z jakim po trzecim rzucie?

Zbiór wyników tego doświadczenia ma postać:

Ω={o , ro ,rro , rrro ,rrrro ,...}

5

Każdemu elementowi zbioru Ω przypisujemy liczbę w sposób przedstawiony w poniższej tabeli.

n 1=o 2=ro 3=rro ... n

pn12 1

2 2

=14 1

2 3

=18

... 12

n

Każda liczba pn jest nieujemna. Obliczmy sumę ich wszystkich.

Elementy szeregu ∑1

∞

pn tworzą wyrazy ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym a1=12

i ilorazie q=12

. Wówczas:

∑1

∞

pn=a1

1−q=

12

1−12

=12⋅2=1

Rozkład prawdopodobieństwa został więc dobrze określony.

Określmy zdarzenie A jako wylosowanie orła w dziesiątym rzucie. Wówczas:

A={rrrrrrrrro}

Stąd zgodnie z definicją prawdopodobieństwa:

P A= p rrrrrrrrro= 12

10

=1

1024

Określmy zdarzenie B jako wylosowanie orła najpóźniej w piątym rzucie. Wówczas:

B={r , ro , rro , rrro , rrrro}

Stąd zgodnie z definicją prawdopodobieństwa:

P B= pop ro p rro p rrrop rrrro=12

14

18

116

132

=3132

Określmy zdarzenie C jako wylosowanie po trzecim rzucie. Wówczas:

C={rrro , rrrro , rrrrro , ...}

Stąd zgodnie z definicją prawdopodobieństwa oraz twierdzeniu o prawdopodobieństwie zdarzenia

przeciwnego:

P(C)=1−P(C ' ) , gdzie C '={o , ro ,rro }

Wówczas:

P(C)=1−( p(o)+ p(ro )+ p(rro))=1−( 12+

14+

18 )=1−

78=

18

6

Przykład 2

Masz jednego dolara, a potrzeba ci pięć. Możesz to osiągnąć w sprawiedliwej grze.

Decydujesz się na „ryzykancką strategię”: w każdej rundzie stawiasz tyle ze swojego

dotychczasowego majątku, aby w razie wygranej być najbliżej osiągnięcia celu tj. zdobycia

pięciu dolarów. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w tej grze?

Doświadczeniem losowym będzie tu udział w sprawiedliwej grze, w której zawodnik może

albo wygrać postawioną przez siebie kwotę, albo ją przegrać. Gra będzie się toczyć do momentu

wygrania przez zawodnika pięciu dolarów lub przegrania wszystkich pieniędzy.

Zauważmy, że tę grę możemy przedstawić jako losowe błądzenie po grafie stochastycznym,

przedstawionym na rysunku 1.1, które zaczyna się w stanie 1, a kończy w 0 (przegrana) lub

5 (wygrana).

Rys. 1.1. Graf stochastyczny przedstawiający grę Ryzykancki Hazard

Do symulacji tego doświadczenia można użyć programu „Ryzykancki Hazard” stworzonego

przez autora w środowisku programistycznym Scratch. Program pozwoli w przybliżeniu obliczyć

prawdopodobieństwa wygrania pięciu dolarów i przegrania wszystkich pieniędzy.

Program po uruchomieniu ukazuje problem postawiony w treści Przykładu 2. Aby rozpocząć

grę, należy wpisać literę „t” i nacisnąć klawisz „Enter”. Ilość wygranych (pionek na polu 5)

i przegranych (pionek na polu 5) jest zliczana w polach u góry ekranu (rys. 1.2).

7

Rys. 1.2. Ekran startowy programu „Ryzykancki hazard”

Po ukończeniu losowania program zadaje pytanie, czy ma rozpocząć kolejne. W ten sposób

można przeprowadzić dowolną liczbę losowań, obserwując jednocześnie drogi, jakimi pionek

podąża do pola 0, czy 5. Przeprowadźmy dwadzieścia losowań (rys. 1.3).

Rys. 1.3. Wynik dwudziestokrotnego przeprowadzenia losowania

Po przeprowadzeniu dwudziestu losowań widać, że częstości wygranych i przegranych nie są

do siebie zbliżone. Spróbujmy przeprowadzić sto losowań (rys. 1.4).

8

Rys. 1.4. Wynik stukrotnego przeprowadzenia losowania

Sto przeprowadzonych losowań (wynik na rysunku 1.4) pozwala zauważyć, że częstości

wciąż nie są do siebie zbliżone. Można w tym momencie postawić hipotezę, że

prawdopodobieństwo wygrania w „Ryzykanckim hazardzie” jest cztery razy mniejsze niż

prawdopodobieństwo przegrania. Warto zauważyć jednak, że ze względu na niewielką liczbą

losowań, hipoteza może być postawiona błędnie. Należy ją w takim razie potwierdzić lub

zaprzeczyć na drodze rozumowania matematycznego.

Z grafu przedstawionego na rysunku 1.1 łatwo można odczytać, iż rozważamy doświadczenie

losowe z nieskończonej, przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej, a zbiór wyników tego

doświadczenia ma postać:

={10,120,1245,12435,124310,1243120,12431245,124312435, 1243124310... }

Zauważmy, że w kolejnych wynikach gry powtarza się cykl 1243.

Określmy zdarzenie A jako wygranie pięciu dolarów. Wówczas zdarzeniu A możemy

przyporządkować następujący zbiór zdarzeń mu sprzyjających:

A= {1245,12435,12431245,124312435, ... }

Stąd:

P A= p1245p 12435p 12431245p 124312435...

Korzystając z rozkładu prawdopodobieństwa przedstawionego na grafie stochastycznym, mamy:

P A=12

3

12

4

12

7

12

8

...=∑1

∞

12

4n−1

∑1

∞

12

4n

9

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy:

P A=

18

1−12

4

116

1− 12

4 =18⋅

1615

116

⋅1615

=15

Hipoteza wysunięta po analizie wyniku przedstawionego przez program została

potwierdzona. Aplikacja nawet dla tak małej liczby przeprowadzonych prób podała częstości

wystąpień poszczególnych wyników z dobrym przybliżeniem.

2. Gry losowe Penney'a

Innymi przykładami doświadczeń losowych są gry Penney'a, nazwane tak od nazwiska

Waltera Penney'a. W owej grze uczestniczy dwóch graczy A i B, nazywanych dalej jako Arek

i Bartek. Toczą ze sobą potyczkę polegającą na rzucaniu symetryczną monetą tak długo aż

wypadnie seria orłów i reszek przypisana do któregoś z graczy. Doświadczenie losowe danej gry

Penney'a jest czekaniem na jedną z dwóch serii orłów i reszek: a lub b. Oznaczamy je jako a−b .

Model tego doświadczenia losowego jest nieskończoną przestrzenią probabilistyczną.

Z doświadczeniem losowym δa−b zwiążemy dwa zdarzenia, wzajemnie przeciwne, których

zbiór wyników jest zbiorem nieskończonym i przeliczalnym:

• A – uzyskanie serii a,

• B – uzyskanie serii b.

W grze losowej Penney'a zwycięży Arek, gdy zajdzie zdarzenie A, a Bartek, gdy zajdzie

zdarzenie B. Rozstrzyganie sprawiedliwości danej gry losowej sprowadzi się wówczas do

obliczenia prawdopodobieństw zdarzeń A i B w nieskończonej, przeliczalnej przestrzeni

probabilistycznej.

O problemach związanych z grami losowymi, w których mamy do czynienia z serią orłów lub

reszek długości 2, można przeczytać w interesującym artykule Macieja Majora i Barbary

Nawolskiej pt.: „Gry Penney'a jako źródło pojęć probabilistycznych dla uczniów”. W swojej pracy

rozpatruję gry losowe, w których serie złożone są z z trzech orłów lub reszek.

10

2.1. Przykłady

Przykład 1

Rzut monetą będzie powtarzany tak długo, aż po reszce dwa razy pod rząd wypadanie orzeł

(...roo) – i wtedy zwycięża Arek, albo gdy po dwu orłach pod rząd wypadnie reszka (...oor) –

i wtedy zwycięża Bartek. Czy jest to gra sprawiedliwa?

Warto zauważyć, iż jest to gra Penney'a. Doświadczeniem losowym będzie rzut symetryczną

monetą. Doświadczenie powtarzamy tak długo, aż uzyskamy serię oor albo roo. Z faktu iż wyniki

oor i roo są symetryczne, można intuicyjnie wnosić, że prawdopodobieństwo wygrania gry przez

Arka będzie identyczne, jak Bartka, a więc, że gra będzie sprawiedliwa.

Problem postawiony w zadaniu możemy zilustrować aplikacją przeprowadzającą

odpowiednie doświadczenie losowe. Wykorzystamy w tym celu program „Gry Penney'a”

stworzony przez autora i przeznaczony dla systemu Android. Program pozwala na ustalenie

dowolnych dwóch, ale różnych od siebie, kombinacji orłów (O) i reszek (R) – możliwych wyników

danego doświadczenia losowego. Robi się to naciskając na guziki z literami „O” i „R” umieszczone

przy wybranym wyniku przeprowadzanej gry. Kliknięcie guzika „Czyszczenie” sprawi, że pole

z wpisywanym wynikiem stanie się puste.

Dla zilustrowania przykładu ustalamy wyniki na roo i oor (rys. 2.1).

Rys. 2.1. Aplikacja z wpisanymi seriami oor i roo, kończącymi daną grę.

Aplikacja pozwala na ustalenie liczby gier jaka zostanie przez nią przeprowadzona. Robimy

to, wpisując w polu oznaczonym jako „Liczba gier” wybraną przez siebie wartość. Ustalimy

11

przeprowadzenie stu gier losowych. Po dokonaniu tej czynności należy wcisnąć przycisk „Graj”, by

przeprowadzić żądaną liczbę gier losowych Penney'a. Wynik powinien pojawić się po chwili (rys.

2.2), która będzie uzależniona od wielkości wpisanej liczby.

Rys. 2.2. Wynik stukrotnego przeprowadzenia zaplanowanej gry

Program zapisuje wyniki w tabeli. Przedstawia zarówno liczbę wylosowanych serii

kończących daną grę Penney'a, jak i częstość występowania owych wyników. Pod tabelą znajduje

się diagram obrazujący graficznie częstość występowania danych wyników (kolor niebieski –

wynik nr 1, kolor czerwony – wynik nr 2).

Po przeprowadzeniu stu gier widać, że częstości występowania wyników nie są do siebie

zbliżone. Spróbujmy powtórzyć grę tysiąc razy (rys. 2.3).

12

Rys. 2.3. Przeprowadzenie tysiąca gier

Tysiąc przeprowadzonych gier losowych pozwala zauważyć, że częstości wciąż nie są do

siebie zbliżone i rozkładają się podobnie jak po przeprowadzeniu stu prób. Może to jednak ciągle

być spowodowane dość niewielką liczbą gier. Spróbujmy zagrać sto tysięcy razy, by zobaczyć, czy

coś zmieni się w częstości występowania poszczególnych serii (rys. 2.4).

Rys. 2.4. Przeprowadzenie stu tysięcy gier

Po przeprowadzeniu stu tysięcy gier widać, że częstość serii roo jest około trzy razy większa

niż oor – podobnie jak miało to miejsce w przypadku stu i tysiąca gier. Na tej podstawie można

wysunąć hipotezę, iż Arek ma trzy razy większe szanse na wygraną niż Bartek. Jest to jednak tylko

13

przypuszczenie, które należy potwierdzić lub zaprzeczyć na drodze rozumowania matematycznego.

Zauważmy, że tę grę możemy przedstawić jako losowe błądzenie po grafie stochastycznym,

przedstawionym na rysunku 2.5, które zaczyna się w stanie s, a kończy w oor albo roo.

Rys. 2.5. Graf stochastyczny przedstawiający daną grę losową Penney'a

Z grafu na można zauważyć, iż przestrzeń probabilistyczna dla tego doświadczenia losowego

jest nieskończona, przeliczalna. Zbiór wyników tego doświadczenia możemy zapisać jako:

={oor , roo , ooor , rroo , oroo , oooor , rrroo , orroo , roroo , ... }

Określmy zdarzenia A i B następująco:

• A – grę wygra Arek (gra zakończy się serią roo),

• B – grę wygra Bartek (gra zakończy się serią oor).

Zdarzenia A i B można odpowiednio zapisać:

• A= {roo ,oroo , rroo ,ororoo ,orrroo , rroroo , rorroo , rrrroo , ... } ,

• B= {oor ,ooor ,oooor , ... } .

Zaczniemy od obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia B. Z definicji prawdopodobieństwa

w nieskończonej, przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej mamy:

P(B)=ω(oor )+ ω(ooor )+ ω(oooor )+ ... =18+

116

+132

+ ...

14

Korzystając, ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego o wyrazie początkowym 18

i ilorazie

12

otrzymujemy:

P B=

18

1−12

=18⋅

21=

14

Ponieważ zdarzenia A i B są przeciwne, to korzystając z odpowiedniego twierdzenia mamy:

P( A)=1−P(B)=1−14=

34

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest trzy razy większe niż zdarzenia B. Gra nie jest więc

sprawiedliwa, wbrew temu co podpowiadała intuicja. Okazało się natomiast, że stworzony przez

autora program był przydatny, gdyż na podstawie wyników przeprowadzonych przez niego

symulacji poprawnie odczytaliśmy prawdopodobieństwo zakończenia gry serią oor lub roo.

Przykład 2

Rzut monetą będzie powtarzany tak długo, aż wypadnie seria oor – i wtedy zwycięża Arek, roo

– zwycięża Bartek, albo oro – zwycięży Czarek. Który gracz będzie miał największe szanse, na

wygranie, a który najmniejsze?

Problem postawiony w powyższym zadaniu jest rozwinięciem idei gier Penney'a,

polegającym na zwiększeniu liczby serii kończących grę z dwóch do trzech. Doświadczeniem

losowym będzie rzut symetryczną monetą. Będzie on powtarzany tak długo, aż uzyskamy serię oor,

roo lub oro.

Zagadnienie, analogicznie jak we wcześniejszym przykładzie, można zilustrować aplikacją

przeprowadzającą odpowiednie doświadczenie losowe. Wykorzystamy w tym celu program „Gry

Penney'a” stworzony przez autora, lecz tym razem przeznaczony dla systemu Windows (rys. 2.6).

15

Rys. 2.6. Ekran startowy programu Gry Penney'a dla systemu Windows

Na początek przeprowadźmy sto gier. W tym celu należy wpisać liczbę 100 w polu „Liczba

gier” i wcisnąć przycisk „Graj” (rys. 2.7). Wynik, po chwili, pojawi się w tabeli w prawej części

okna aplikacji. Częstość wystąpień poszczególnych serii zostanie odwzorowana w diagramie

słupkowym. Kolory słupków – czerwony, zielony i niebieski – odpowiadają odpowiednio częstości

wystąpień pierwszego, drugiego i trzeciego wyniku.

Rys. 2.7. Wynik stukrotnego przeprowadzenia gry losowej

Po przeprowadzeniu stu gier widać, że częstości wystąpień poszczególnych wyników nie są

do siebie zbliżone. Spróbujmy powtórzyć grę sto tysięcy razy (rys. 2.8).

16

Rys. 2.8. Wynik przeprowadzenia doświadczenia losowego sto tysięcy razy

Sto tysięcy przeprowadzonych gier pozwala zauważyć, że częstości wciąż nie są do siebie

zbliżone. Widać jednak, że wyniki prezentują się zupełnie inaczej niż po przeprowadzeniu stu gier.

Zobaczmy jak będą wyglądały częstości po przeprowadzeniu dziesięciu milionów gier (rys. 2.9).

Rys. 2.9. Wynik przeprowadzenia dziesięciu milionów gier losowych

Po przeprowadzeniu dziesięciu milionów gier widać, że wyniki oor, roo występują częściej

niż wynik oro. Mając na uwadze Przykład 1. zauważmy, że częstość serii oor powinna była wynieść

14

. Możemy więc podejrzewać, że program źle losuje orły i reszki. Sprawdźmy to, wykonując

sto milionów rzutów monetą (rys. 2.10).

17

Rys. 2.10. Sto milionów rzutów monetą.

Test sprawdzający napisaną przez autora aplikację pozwala zauważyć, że częstości wystąpień

orła i reszki nie są sobie równe, ani nawet bliskie. Zafałszowane wyniki tego doświadczenia są

najprawdopodobniej winą generatora liczb pseudolosowych, z którego aplikacja korzysta. Stąd też

częstość wystąpień serii oor nie pokrywa się z tą wyliczoną w Przykładzie 1.

Powróćmy teraz do aplikacji stworzonej dla systemu Android, z której korzystaliśmy

w Przykładzie 1., gdyż jej wyniki pokrywały się z późniejszymi wyliczeniami matematycznymi

(rys. 2.11).

Rys. 2.11. Okno aplikacji stworzonej dla systemu Android z wpisanymi seriami kończącymi grę.

18

Ustalmy przeprowadzenie stu gier losowych (rys. 2.12). Analogicznie jak we wcześniejszych

przykładach, wciśnięcie przycisku „Graj” rozpoczyna proces losowania.

Rys. 2.12. Wynik stukrotnego powtórzenia gry losowej z trzema seriami.

Wyświetlony wynik stukrotnego losowania jest zupełnie inny niż analogiczny, w aplikacji

przeznaczonej dla systemu Windows (rys. 2.7). Spróbujmy powtórzyć grę tysiąc razy (rys. 2.13).

Rys. 2.13. Wynik tysiąckrotnego powtórzenia gry losowej z trzema seriami

Tysiąc przeprowadzonych gier losowych pozwala zauważyć, że częstości poszczególnych

serii nie są do siebie zbliżone. Spróbujmy zagrać sto tysięcy razy, by zobaczyć, czy coś zmieni się

w częstości występowania poszczególnych serii (rys. 2.14).

19

Rys. 2.14. Wynik po stu tysiącach losowań

Po przeprowadzeniu stu tysięcy gier widać, że częstość serii oor jest około trzy razy mniejsza

niż suma częstości serii roo i oro. Zgadza się to z wyliczeniami dokonanymi w Przykładzie 1.

Mając na uwadze to, że stworzona aplikacja dla systemu Android posiada dobry generator liczb

pseudolosowych, możemy odpowiedzieć na pytanie postawione w treści zadania, że największe

szanse na wygranie ma Bartek, a najmniejsze Arek. Jest to jednak hipoteza, którą należałoby

potwierdzić lub zaprzeczyć na drodze rozumowania matematycznego.

Obliczenie dokładnego prawdopodobieństwa wygrania gry przez Bartka i Czarka jest jednak

bardzo kłopotliwe i praktycznie nie do wykonania. Można w tym przypadku korzystać

z odpowiednich twierdzeń dotyczących procesów stochastycznych, ale to wykracza poza ramy

niniejszej pracy.

20

Literatura

Major. M, Nawolska B., 2003, Gry Penney'a jako źródło pojęć probabilistycznych dla uczniów, [w:]

http://math.ku.sk/data/konferenciasub/pdf2003/MajorNawolska.pdf [dostęp: 03.05.2011].

Płocki A.: 2004, Prawdopodobieństwo wokół nas. Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach

i problemach, Dla szkoły, Wilkowice.

Engel A.: 1976, Abak probabilistyczny, [w:] Matematyka.

21