Scriptionis GeometricaVolumen I (2014), No. 2, 1–21.

Geometria odwzorowan inzynierskichWyk lad 02

Edwin Kozniewski

Zak lad Informacji Przestrzennej

1. Rzuty prostokatne na dwie rzutnie - Monge’a

Rys. 2-01: Rzuty prostokatne na dwie rzutnie: punkt rzutowany jest w kierunku prostopad lym na

dwie rzutnie. Strza lki pokazuja sposob realizacji odwzorowania Monge’a; b) uzupe lnienie rysunku

pogladowego - ilustracja punktow i ich rzutow widzianych z prawej lub z lewej strony (rzut boczny,

profil)

Szczegolne miejsce w zastosowaniach technicznych maja rzuty prostokatne. Zwykle, zuwagi na odwracalnosc odwzorowania, obiekty przedstawia sie za pomoca dwoch lub wiecej(2÷6) rzutow. Jeden rzut, nawet jesli jest to rzut prostokatny, nie wystarcza by na jegopodstawie odtworzyc obiekt. Jak to juz powiedzielismy, oprocz rzutu punktu potrzebna jestjeszcze jakas informacja, np. wzgledna wysokosc punktu. Omawiana tutaj metoda Monge’apolega na do laczeniu drugiego rzutu prostokatnego, ktory zastapi wymagana wysokosc dajacjeszcze cos wiecej, mianowicie drugi obraz - tzw. widok z przodu (widok g lowny, elewacje

Edwin Kozniewski c© 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-02: Odwzorowanie Monge’a: a) kazdemu punktowi przyporzadkowana jest para punktow:

jego rzut poziomy (’) i rzut pionowy (”). Przy przyjetej osi rzutow lub orientacji poziomej (pionowej)

punkty rzut poziomy i rzut pionowy leza na tzw. odnoszacej; b) odwzorowanie Monge’a jest wzajem-

nie jednoznaczne, kazda para punktow lezacych na odnoszacej jest obrazem pewnego punktu; c) dwa

punkty nielezace na odnoszacej nie stanowia obrazu zadnego punktu; d ÷ h) wzajemne po lozenie

rzutow dowolnego punktu wzgledem osi okresla rownoczesnie jego po lozenie wzgledem rzutni.

obiektu, por. rys. 2-03). Rzut prostokatny jest rzutem rownoleg lym o kierunku prostopad lymdo rzutni. Z tego tez powodu nie bedziemy musieli okreslac kierunku rzutowania, ktoryjest wyznaczony przez po lozenie rzutni. Aby dla dowolnego punktu miec jego wysokosc

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 3

wystarczy dla danej rzutni przyjac druga prostopad la rzutnie. W ten sposob otrzymujemydwie prostopad le rzutnie π1, π2 (π1⊥π2) przecinajace sie w prostej x zwanej osia rzutow

(π1 ∩ π2 = x). Kazdy punkt X rzutowac bedziemy na obie rzutnie: pozioma π1 i pionowa π2

(na rys. 2-01a X ∈ {A, B, C, D, E}) i otrzymamy pare punktow: rzut poziomy X ′ (na rys.2-01 X ′ ∈ {A′, B′, C ′, D′, E ′}) i rzut pionowy X” (na rys. 2-01 X” ∈ {A”, B”, C”, D”, E”}).Dla wiekszej czytelnosci rysunku pogladowego 2-01a obok, na rysunku 2-01b, przedstawionojego profilowe uzupe lnienie. Jest to ilustracja tzw. rzutu bocznego punktow przedstawionychna rysunku pogladowym. O rzucie tym bedziemy jeszcze mowic dok ladniej.Uk lad (π1,π2) dwu p laszczyzn (rzutni), stanowiacy aparat rzutujacy dwurzutu Monge’a, rozcinaprzestrzen P3 na cztery czesci (cwiartki). Przyjmujemy, ze punkt A lezy w czesci I, punkt B

- w czesci II, punkt D - w czesci III, punkt C - w czesci IV (rys. 2-01, 2-02). Zwykle obiektumieszczamy w I czesci, jednak w celu rozwiazania roznych zagadnien (np. znalezienia cieni)musimy ”wyjsc” poza te czesc. Rzuty dowolnego punktu leza na prostej prostopad lej do osirzutow. Prosta te nazywamy odnoszaca. Powstaje pytanie, czy kazda para punktow, tj. parapunktow (P1, P2) lezacych na prostej prostopad lej do osi rzutow jest dwurzutem pewnegopunktu P ? Odpowiedz jest twierdzaca. Wynika to z faktu, ze po ”ponownym” roz lozeniuobu rzutni w przestrzeni dwie proste przechodzace przez punkty P1, P2, kazda prostopadledo odpowiedniej rzutni, leza w jednej p laszczyznie a wieec przecinaja sie w punkcie, ktoregorzuty prostokatne stanowi wyjsciowa para punktow (rys. 2-02b, b1, b2). Rozmowanie to niebedzie miec zastosowania do pary punkow, ktore nie leza na odnoszacej (rys. 2-02c, zwrocmyuwage na umieszczany w podobnych przypadkach znak ”Uwaga! Niebezpieczenstwo!”). Takapara nie moze stanowic rzutow zadnego punktu.Metoda Monge’a w zakresie punktu daje pe lna restytuowalnosc (odwracalnosc). Symboliczniezapisujemy to w sposob nastepujacy

X ←→ (X ′, X”) (1)

Oznacza to, ze przy znanym po lozeniu aparatu rzutujacego, na podstawie danych dwochrzutow (dwurzutu-obrazu) punktu jednoznacznie odtwarzamy po lozenie punktu (znajdujemyprzeciwobraz-rzutowany punkt).Na podstawie wzajemnego po lozenia rzutow potrafimy okreslic po lozenie punktu w przestrzeniwzgledem rzutni. Na rys. 2-02d ÷ h) mamy ilustracje po lozenia rzutow punktow w zaleznosciod przynaleznosci punktow do roznych czesci przestrzeni wyznaczonych przez rzutnie w odw-zorowaniu Monge’a, na rys. 2-02d1 ÷ h1 punkty te widziane z profilu. Odleg losc punktu odrzutni pionowej (a wiec takze odleg losc rzutu poziomego tego punktu od osi x) nazywamyg lebokoscia punktu, zas odleg losc punktu od rzutni poziomej (a wiec takze odleg losc rzutu pi-onowego tego punktu od osi x) nazywamy wysokoscia punktu. Dla unikniecia nieporozumienprzyjmujemy umowe: jezeli punkt lezy pod rzutnia pozioma, to ma wysokosc ujemna, jezelipunkt lezy przed rzutnia, to ma g lebokosc dodatnia itd. Orientacje okreslamy za obserwa-torem znajdujacym sie w I czesci przestrzeni, tzn. patrzacego na rzut pionowy z przodu, zasna rzut poziomy z gory.

2. Umowy dotyczace rzutowania: metoda europejska i amerykanska

W wielu sytuacjach punkt (figura, przedmiot) rzutowany jest rownoczesnie na szesc rzutnitworzacych prostopad loscian (szescian). Przyjmuje sie wtedy, ze przedmiot znajduje siewewnatrz prostopad loscianu. Pozostaje ustalenie gdzie znajduje sie obserwator. Konsek-wencja umow dotyczacych wzajemnego po lozenia punktu obserwacji (obserwatora) i przed-

4 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-03: Przyk lad odwzorowania Monge’a wybranych elementow obiektu budowlanego (dom

z dachem z po lszczytem gornym pogladowo przedstawiony w aksonometrii): rzut poziomy (’)

wybranego przekroju poziomego, w rysunku budowlanym nazywany rzutem; rzut pionowy (”)

obiektu (tzw. widok), w wyniku takiego ustawienia obiektu wzgledem rzutni otrzymujemy tzw.

elewacje g lowna; rzut boczny (”’) wybranego przekroju pionowego budynku, w rysunku budowlanym

zwany przekrojem

miotu w uk ladzie rzutni jest rozroznienie dwu zasad rzutowania: zasady europejskiej i zasadyamerykanskiej. W metodzie europejskiej przyjmuje sie, ze przedmiot (punkt, figura) znaj-duje sie miedzy obserwatorem i rzutnia (rys. 2-04). Natomiast w metodzie amerykanskiejprzyjmuje sie, ze rzutnia znajduje sie miedzy obserwatorem a przedmiotem rysowanym (rys.2-05).

3. Rzuty i k lad odcinka

Rzut prostokatny jest rzutem rownoleg lym. Obowiazuja wiec wszystkie niezmienniki rzuturownoleg lego. W szczegolnosci rzutem odcinka jest para odcinkow (rys. 2-06a1). Odcinekbedac jednoznacznie okreslony przez swoje konce jest przez nie rowniez jednoznacznie odw-zorowany w rzutach. W odniesieniu do odcinka metoda Monge’a, podobnie jak w przypadkupunktu daje pe lna restytuowalnosc (odwracalnosc), czyli

[XY ]←→ ([X ′Y ′], [X”Y ”]) (2)

Punkt i odcinek sa podstawowymi obiektami przy tzw. reprezentacji szkieletowej figur (bry l)geometrycznych.

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 5

Rys. 2-04: Ilustracja metody europejskiej: a) przedmiot znajduje sie miedzy obserwatorem i rzutnia.

Elementy niewidoczne zaznaczone sa linia przerywana; a) schemat wizualizacji w programie Auto-

CAD obiektu znajdujacego sie w globalnym uk ladzie wspo lrzednych (WCS-World Coordinate Sys-

tem), uk lady liczb oznaczaja wspo lrzedne wektorow (wersorow) swobodnych okreslajacych kierunek

(i zwrot) obserwacji w WCS; c) oznaczenie graficzne metody (europejskiej) rzutowania

3.1. K lad odcinka

Odcinek w rzucie prostokatnym ulega na ogo l deformacji, dok ladniej skroceniu (w rzucierownoleg lym moze ulec takze wyd luzeniu). W celu ”zmierzenia odcinka” wykonujemy kon-

6 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-05: Ilustracja metody amerykanskiej: a) rzutnia znajduje sie miedzy obserwatorem i przed-

miotem. W uk ladzie rzutow niektore rzuty sa jak gdyby poprzestawiane w porownaniu z uk ladem

rzutni wed lug metody europejskiej; Rysunek schematyczny rzutowania wed lug metody amerykanskiej

- TAP (Third Angle Projection): b) sposob rozmieszczenia rzutni; c) rozwiniecie rzutni; d) oznacze-

nie graficzne metody (amerykanskiej) rzutowania

strukcje k ladu odcinka. K ladem 1 dowolnej figury p laskiej F na dana rzutnie nazywac bedziemyobrot tej figury doko la prostej lezacej w p laszczyznie figury F o taki kat, ze p laszczyzna figuryF uzyskuje po lozenie rownoleg le do rzutni. Otrzymujemy wowczas, z uwagi na niezmiennikN5, naturalne: kszta lt i wielkosc figury F. K lad odcinka przedstawia rysunek 2-06. Na ry-sunkach 2-06a÷a3 zilustrowano k lad trapezowy w ujeciu pogladowym. K lad trapezowy ma

1Do pojecia k ladu jeszcze powrocimy przy okazji dok ladnego omowienia k ladu p laszczyzny.

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 7

Rys. 2-06: Rzuty i k lad odcinka: a) k lad trapezowy; a1÷a3) konstrukcja k ladu trapezowego w

rzutach Monge’a; b) k lad roznicowy; b1÷b3) konstrukcja k ladu roznicowego w rzutach Monge’a.

scis ly zwiazek z po lozeniem rzutni, z tzw. metoda sladowa 2 (w konstrukcji potrzebna jestos rzutow). K lad roznicowy realizowany jest metoda bezsladowa 3, gdzie rzuty chrakteryzujaobiekt bez odwo lywania sie do po lozenia wzgledem rzutni. W zastosowaniach rzutow pros-tokatnych do zapisu konstrukcji mamy do czynienia jedynie z metoda bezsdowa. Co wiecej,rzut poziomy i pionowy (a takze) boczny czesto s wykonywane (drukowane) na roznycharkuszach papieru. Nie usprawiedliwia to wszakze zrezygnowania z zasady przynaleznoscirzutow punktu do wspolnej odnoszacej (przestroga jest rysunek 2-02c). Szczegolnie jesli kon-strukcja (np. tworzenie figury bry ly geometrycznej) wykonywana jest metoda Monge’a.

4. Rzuty i slady prostej

Prosta, podobnie jak punkt i odcinek, odwzorowana jest przez swoje dwa rzuty: poziomy i pio-nowy. Na rysunku 2-07 rzutmi prostej a sa proste a′ i a”. Mamy nastepujaca zaleznosc Czestowygodnie jest pos lugiwac sie, obok rzutow prostej, jej pewnymi punktami szczegolnymi,tzw. sladami prostej. Punkty przebicia prosta obu rzutni nazywac bedziemy sladami tejprostej. Punkt Ha przebicia rzutni poziomej π1 prosta a nazywamy sladem poziomym prosteja, punkt Va przebicia rzutni pionowej π2 prosta a nazywamy sladem pionowym prostej a

(rys. 2-07). Slad poziomy Ha prostej a lezy na rzucie poziomym a′ prostej a i na odnoszacejpunktu przeciecia Ha” rzutu pionowego a” z osia rzutow x, slad pionowy Va lezy na rzu-cie pionowym a” prostej a i na odnoszacej punktu przeciecia V ′

a rzutu poziomego a′ z osiarzutow x (rys. 2-07a). Na rysunkach 2-07a1÷a3 przedstawiono konstrukcje sladow prostej

2Z punktu widzenia teorii konfiguracji rzutowych metoda sladowa zwiazana jest z tzw. konfiguracja Monge’a

omowiona w Dodatku 2.3Z punktu widzenia teorii konfiguracji rzutowych metoda bezsladowa zwiazana jest z tzw. konfiguracja

Veblena-Younga omowiona w Dodatku 2.

8 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-07: Rzuty i slady prostej: a) slady prostej w po lozeniu ogolnym; a1÷a3) konstrukcja sladow

prostej; b) prosta pozioma (warstwowa) i jej slady (slad poziomy jest punktem niew lasciwym);

b1÷b3) konstrukcja sladow prostej poziomej (warstwowej); Rozne po lozenia prostych: c) prosta

pozioma lub warstwowa (w||π1 ⇐⇒ w”||x); d) prosta czo lowa (c||π2 ⇐⇒ c′||x); e) prosta

rownoleg la do obu rzutni (a||x ⇐⇒ a′||x||a”); f) prosta poziomorzutujaca (k⊥π1 ⇐⇒ k”⊥x i k′

jest punktem); g) prosta pionoworzutujaca (k⊥π2 ⇐⇒ k′⊥x i k” jest punktem); h) prosta profilowa

(p⊥x ∧ p¬⊥π1 ∧ p¬⊥π2) (jedyna sytuacja w rzutach Monge’a, gdzie prosta nie jest jednoznacznie

okreslona - stad obok znak ”sowy” informujacy, ze sytuacja wymaga wyjatkowego zastanowienia sie);

i÷k) uk lady prostych nieprzedstawiajace prostej w rzutach Monge’a; l) prosta lezaca w p laszczyznie

dwusiecznej uk ladu rzutni Monge’a

w rzutach Monge’a. Jezeli prosta jest rownoleg la do ktorejs z rzutni, to slad na tej rzutnijest punktem niew lasciwym. Na rys. 2-07b przedstawiono rzuty i slady prostej poziomej(warstwowej). Na rysunkach 2-07b1÷b3 przedstawiono rzuty i konstrukcje sladow prostejpoziomej w rzutach Monge’a. Prosta (odcinek) moze zajmowac rozne po lozenia wzgledem

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 9

uk ladu rzutni (π1, π2), w tym takze wzgledem osi rzutow x. Jezeli prosta(odcinek) niejest rownoleg la ani prostopad la do zadnego z obiektow: π1, π2, x, to mowimy, ze zajmujepo lozenie ogolne. Proste niespe lniajace zadnego z powyzszych warunkow maja wzgedemrzutni po lozenia szczegolne. Proste w po lozeniach szczegolnych zwykle maja takze swojespecjalne nazwy: prosta rownoleg la do rzutni poziomej (czesto oznaczana litera ”w”), czylispe lniajaca warunek: w||π1 ⇐⇒ w”||x, nazywamy prosta pozioma lub warstwowa (rys.2-07c), prosta rownoleg la do rzutni pionowej (czesto oznaczana litera ”c”) czyli spe lniajacawarunek: c||π2 ⇐⇒ c′||x, nazywamy prosta czo lowa (rys. 2-07d), prosta moze byc rownoczesnieprosta pozioma i pionowa, czyli a||x ⇐⇒ a′||x||a” (rys. 2-07e), prosta prostopad la dorzutni poziomej nazywamy poziomorzutujaca (rys. 2-07f), prosta prostopad la do rzutni pi-onowej nazywamy pionoworzutujaca (Rys. 2-07g), prosta, prostopad la do osi rzutow x,nieprostopad la do zadnej z rzutni, nazywamy profilowa (rys. 2-07h). Zwrocmy szczegolnauwage na rysunek 2-07i. Nieprzypadkowo nie zaznaczono tam sladow. Slady - i tym samym -prosta nie sa bowiem wyznaczone jednoznacznie. Jest to jedyny przypadek, gdzie nie zachodzizaleznosc p←− (p′, p”). Mamy tylko p −→ (p′, p”). Dochodzimy, przy okazji, do stwierdzenia,ze restytuowalnosc (odwracalnosc) w odniesieniu do prostych w metodzie Monge’a zachodziz pewnym wyjatkiem, czyli w ograniczonym zakresie. Zachodzi mianowicie implikacja

(p¬⊥x ∨ p⊥π1 ∨ p⊥π2) =⇒ (p←→ (p′, p”)) (3)

Ta niepe lna odwracalnosc dotyczy jedynie bardzo szczegolnego przypadku. Restytucje wodniesieniu do prostej profilowej mozna osiagnac roznymi sposobami. Omowmy dwa z nich:(1) Mozemy na prostej profilowej wybrac dwa punkty i ich rzuty i wtedy mamy odwzorowanyodcinek, ktory jest zawsze restytuowalny. (2) wprowadzamy trzecia rzutnie boczna (rys. 2-01b, 2-03) π3 (π1⊥π3⊥π2) i w nowym uk ladzie rzutni (π2, π3) lub (π1, π3) prosta jest juzrestytuowalna.

5. Cienie w rzutach Monge’a

Stad wyznaczenie cienia sprowadza sie w elementarnych przypadkach do takich zagadnienjak:◦ wyznaczenie punktu przebicia promienia swietlnego z najblizsza napotkana p laszczyzna lubpowierzchnia,◦ wyznaczenie przeciecia plaszczyzny swietlnej, zwykle walca lub stozka swietlnego z na-jblizsza napotkana p laszczyzna,◦ wyznaczenie przeciecia figury p laszczyzna swietlna,◦ wyznaczenie linii przenikania sie figury z walcem lub stozkiem swietlnym,◦ wyznaczenie linii stycznosci walca lub stozka swietlnego z figura. Slad prostej mozemyinterpretowac jako cien pewnego punktu, jezeli prosta te przyjmiemy za promien swietlny arzutnie za t lo, czyli p laszczyzne przedmiotu na ktory ow oswietlony punkt rzuca cien. Jezelina przyk lad rzutnie Monge’a uznamy odpowiednio za pod loge i sciane pokoju, prosta zasprzyjmiemy za promien swietlny pewnego punktu przez ktory ta prosta przechodzi, to jedenz dwoch sladow bedzie cieniem punktu na odpowiednia rzutnie. Bedzie to mianowicie ten zesladow, ktory lezy wczesniej na prostej (promieniu swietlnym) w orientacji wyznaczonej przezpare punktow: punkt swietlny (zrod lo swiat la) i punkt oswietlany. Na rysunkach 2-08 punktS interpretujemy jako punktowe zrod lo swiat la. Punkt A rzuca cien na rzutnie pozioma,gdyz prosta a wczesniej przebija rzutnie pozioma (pod loge) niz rzutnie pionowoa (sciane) worientacji od punktu S (zrod la swiat la) do punktu A (punktu oswietlanego). Strza lka na rys.

10 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-08: Cienie w rzutach Monge’a przy oswietleniu punktowym (S(S′, S”) - zrod lo swiat la): a)

cien punktu A(A′, A”) na rzutnie pozioma; a1÷a3) konstrukcja cienia punktu A(A′, A”) na rzutnie

pozioma; b) cien B(B′, B”) na rzutnie pionowa; b1÷b3) konstrukcja cienia punktu B(B′, B”) na

rzutnie pionowa; Cien odcinka w rzutach Monge’a przy oswietleniu rownoleg lym (K∞(K∞′,K∞”) -

zrod lo swiat la): c) za lozenia; c1) przez punkty A i B rysujemy promienie (proste a(a′, a”), b(b′, b”);

c2÷c3) znajdujemy slady prostych a(a′, a”), b(b′, b”), punkty Va, Vb wyznaczaja cien odcinka na

rzutni pionowej (przy za lozeniu, ze ”chwilowo” nie ma rzutni poziomej) i rownoczesnie punkt XAB

za lamania sie cienia; c4) ostateczny cien odcinka

2-08a3 wskazuje kierunek biegu promienia. Punkt B rzuca natomiast cien na rzutnie pionowa,gdyz prosta b wczesniej przebija rzutnie pionowa (sciane) niz rzutnie pozioma (pod loge) worientacji od punktu S (zrod la swiat la) do punktu b (punktu oswietlanego). Strza lka narys. 2-08b3 wskazuje kierunek biegu promienia. By znalezc cien punktu prowadzimy przez

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 11

Rys. 2-09: Cien ostros lupa przy oswietleniu rownoleg lym: a) ostros lup [ABCDE] i kierunek

oswietlenia (K∞(K∞′,K∞”) - zrod lo swiat la); a1) przez punkt E rysujemy promien (prosta)

e(e′, e”); a2) znajdujemy slady prostej e(e′, e”) a nastepnie cien ostros lupa na rzutni poziomej (przy

za lozeniu, ze ”chwilowo” nie ma rzutni pionowej) jako pow loke wypuk la punktow [AcBcHeDc]; a3)

rownoczesnie otrzymujemy punkty XBE i XDE za lamania sie cieni [BcHe] i [DcHe] odcinkow [BE] i

[DE] pow loki i ostateczny kszta lt cienia ostros lupa rzucony na dwie rzutnie. Punkty XBE i XDE sa

punktami przeciecia sie prostych (BcHe) i (DcHe) z osia rzutow x. Nie zakreskowano czesci cienia

zas lonietego przez ostros lup. Zauwazmy ponadto, ze w praktyce mowienie o tej (zas lonietej) czesci

cienia nie ma sensu

punkt prosta (rys. 2-08a2, 2-08b2) znajdujemy slady (rys. 2-08a3, 2-08b3) i by stwierdzic,ktory slad mozemy uznac za cien ”przesuwamy sie” po osi x w kierunku strza lki i anal-izujemy po lozenie rzutow sladow danej prostej. Ten slad danej prostej jest cieniem, ktory

12 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-10: Cienie w praktyce budowlanej. Obiekty budowlane nie moga pozbawiac sasiadujacych

budynkow ”dostepu” do swiat la s lonecznego. Zgodnie z prawem budowlanym obiekt mieszkalny musi

byc przez okreslony czas w bezposrednim obszarze dzia lania promieni s lonecznych. Stad powsta la

koniecznosc zaprojektowania wysokiego hotelu z ”dziura”: a) wizualizacja modelu komputerowego

3D projektu budynku z symulacja cienia; b ÷ c) hotel w budowie - olbrzymia czesc budynku stoi

na ”nodze” (Hotel Intercontinental w Warszawie u zbiegu ulic Siennej i Emilii Plater - najwyzszy

zelbetowy budynek w Polsce, 2003)

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 13

”spotkalismy” wczesniej. Na rys. 2-08a, 2-08a3 cieniem Ac punktu A jest slad Ha, na rys.2-08b, 2-08b3 cieniem Bc punktu B jest slad Vb.Jezeli omowione wczesniej dwa punkty A i B naleza do tego samego obiektu, to cien takiegoobiektu, rzucony na dwie p laszczyzny, ulegnie za lamaniu. Ograniczajac zagadnienie do od-cinka rozwiazanie zadania znalezienia cienia przedstawia (w kilku ods lonach) rys.2-08c÷c4.Cien odcinka za lamuje sie w punkcie XAB, w ktorym jeden z odcinkow [HaHb], [VaVb] przecinaos rzutow x. Zatem w odniesieniu do obiektow (bry l) o przedstawieniu szkieletowym problemzosta l rozwiazany ca lkowicie. Cien figury o reprezentacji szkieletowej, tj. zawierajacej punktyjako wierzcho lki, odcinki jako krawedzie i wielokaty jako sciany wyznaczamy znajdujac cieniejej wszystkich wierzcho lkow. Nastepnie, jesli jest to figura wypuk la 4, znajdujemy pow loke

wypuk la 5 punktow bedacych cieniami wierzcho lkow oswietlonej figury.

6. Odwzorowanie p laszczyzny

Rzutem prostokatnym p laszczyzny, o ile nie jest ona prostopad la do rzutni, jest p laszczyzna.W takim rozumieniu rzutu odwzorowanie p laszczyzny nie ma sensu. Pozostaje wiec reprezen-tacja p laszczyzny poprzez elementy ja wyznaczajace. P laszczyzne wyznaczaja bowiem: trzypunkty, punkt i prosta, dwie proste przecinajce sie (rownoleg le) (rys. 2-11a ÷ c,e). Jakwiadomo, dwie proste skosne nie okreslaja jednoznacznie p laszczyzny (rys. 2-11f). Pon-adto, jezeli jedna z dwu prostych jest prosta profilowa i nie jest zaznaczony w rzutach pros-tokatnychpunkt przeciecia sie tych prostych, to proste o takich rzutach rowniez nie okreslajap laszczyzny (rys. 2-11d).Czasem wygodnie jest reprezentowac p laszczyzne za pomoca dwu specjalnych prostych, tzw.sladow, czyli takich prostych, w ktorych p laszczyzna przecina rzutnie (rys. 2-11g ÷ g1).Czym charakteryzuja sie slady p laszczyzny? Slady p laszczyzny przecinaja sie na osi rzutow.Z drugiej strony, kazde dwie proste przecinajace sie na osi x, z wyjatkiem przypadku, gdyjedna z prostych pokrywa sie z osia a druga - nie (dlaczego?), sa sladami pewnej p}aszczyzny.Jesli proste (slady) nie pokrywaja sie rownoczesnie z osia x, to p laszczyzna jest okreslonajednoznacznie. Szczegolne znaczenie w konstrukcjach w rzutach Monge’a maja p laszczyznyrzutujace, czyli p laszczyzny prostopad le do jednej z rzutni. P laszczyzne prostopad la dorzutni poziomej nazywamy poziomorzutujaca (rys. 2-11h ÷ j, p laszczyzne prostopad la dorzutni pionowej nazywamy pionoworzutujaca (rys. 2-11k ÷ m. W przypadku p laszczyznrzutujacych rzutem p laszczyzny jest prosta. Jest to przypadek, w ktorym rzut plaszczyznyjednoznacznie ja wyznacza. W tym przypadku rzut jest rownoczesnie sladem i drugi ze sladowjako odpowiednia prosta prostopad la do osi rzutow, jest wtedy jednoznacznie wyznaczony. Wjakim przypadku sladem p laszczyzzny jest prosta niew lasciwa? Wiemy juz jak odwzorowacp laszczyzne za pomoca elementow jednoznacznie ja wyznaczajacych. Jak uzupe lniac rzutypunktow, gdy dany jest jeden z jego rzutow? Otoz jezeli rzutem p laszczyzny (na ktorasrzutnie) jest p laszczyzna, to kazdy punkt tej rzutni jest rzutem pewnego punktu p laszczyzny.Mozna wiec dowolny punkt przyjac jako rzut pewnego punktu p laszczyzny i skonstruowacjego brakujacy rzut. W przypadku, gdy p laszczyzna jest rzutujaca uzupe lnienie brakujacegopunktu jest mozliwe tylko w jedna strone (mamy na mysli jednoznaczne uzupe lnienie rzutowpunktu). Konstrukcje te, fundamentalne w rzutach Monge’a i aksonometrii, zostana omowione

4Figure nazywamy wypuk la, jezeli zawiera wszystkie odcinki, ktorych koncami sa dowolne punkty tej figury.5Pow loka wypuk la zbioru punktow nazywamy najmniejszy (w sensie zawierania) zbior wypuk ly, do ktorego

naleza wszystkie punkty wyjsciowego zbioru. W grafice komputerowej wsrod algorytmow wyznaczajacychpow loke wypuk la warto wymienic algorytmy: Grahama oraz Greena i Silvermana [3].

14 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-11: P laszczyzna w rzutach Monge’a okreslona przez: a) trzy punkty; b) punkt i prosta;

c) dwie proste rownoleg le; e) dwie proste przecinajace sie; d) nie mozemy stwierdzi, czy proste

okreslaja jednoznacznie p laszczyzne: jedna z dwu prostych jest prosta profilowa i nie jest za-

znaczony wspolny punkt tych prostych; f) proste nie okreslaja p laszczyzny poniewaz sa skosne

(punkty przeciecia rzutow nie leza na tej samej odnoszacej); g) slady p laszczyzny w po lozeniu

ogolnym; g1) p laszczyzna w po lozeniu ogolnym okreslona sladami; h) trzy punkty przedstaw-

iajace p laszczyzne poziomorzutujaca; i) p laszczyzna poziomorzutujaca okreslona sladami; j) dwie

proste przedstawiajace p laszczyzne poziomorzutujaca; k) dwie proste rownoleg le przedstawiajace

p laszczyzne pionoworzutujaca; l) p laszczyzna pionoworzutujaca okreslona za pomoca punktu i

prostej; m) p laszczyzna pionoworzutujaca okreslona sladami. We wszystkich przypadkach (h ÷ m)

okreslenia p laszczyzny sa redundantne, do jednoznacznego okreslenia p laszczyzny w przypadkach h

÷ j wystarczy rzut poziomy (jedna linia prosta), w przypadkach k ÷ m wystarczy rzut pionowy

(jedna linia prosta)

w kolejnym paragrafie.

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 15

7. Odwzorowanie powierzchni stozka, walca i sfery

Rys. 2-12: Uzupe lnianie rzutow punktow na p laszczyznie: a) p laszczyzna jest okreslona przez dwie

proste a(a′, a”) i b(b′, b”) i dany jest rzut pionowy C” punktu C lezacego na tej p laszczyznie; b)

p laszczyzna okreslona jest za pomoca rownoleg loboku, znajdujemy rzut pionowy wybranego punktu

za pomoca prostej w po lozeniu ogolnym; c) tu znajdujemy rzut pionowy ”ma lego” prostokata ko-

rzystajac z niezmiennika rownoleg losci, rozwiazanie w tym przypadku moze byc interpretowane jako

konstrukcja uzupe lnienia w lazu na po laci dachowej

Na rys. 2-12 mamy konstrukcje uzupe lniania rzutow punktow na p laszczyznie: a) p laszczyznajest okreslona przez dwie proste a(a′, a”) i b(b′, b”) i dany jest rzut pionowy C” punktu

16 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

C lezacego na tej p laszczyznie; a1) przez punkt C” prowadzimy rzut pionowy w” prostejpoziomej w, ktora lezy na p laszczyznie; a2-a3) zapewniamy przynaleznosc prostej w dop laszczyzny prostych a i b poprzez zagwarantowanie spe lnienia warunku przecinania sie prostejw z prostymi a i b (punkty 1 i 2 sa punkami wspolnymi prostych a i w oraz b i w); a4) zna-jdujemy brakujacy rzut poziomy A′ punktu A. Przyjeta pozioma prosta w przynalenoscielementow moze byc dowolna prosta. Pokazujemy to na drugiej serii rysunkow. Seria b-b4przedstawia sposob uzupe lnienia rzutu pionowego jednego z punktow (wierzcho lkow) ma legoprostokata za pomoca dowolnej prostej (juz niekoniecznie poziomej) na p laszczyznie pros-tokata. Zauwazmy, ze rzutem poziomym prostokata jest prostokat. Zachowanie kata prostegojest konsekwencja zachowania niezmiennika charakterystycznego rzutowania prostokatnego,gdyz jedno z ramion tego kata jest prosta rownoleg la do rzutni poziomej czyli prosta warst-wowa. Seria c-c4 przedstawia sposob uzupe lniania rzutu pionowego prostokatnego wy lazudachowego, jesli rzuty duzego prostokata potraktujemy jako rzuty po laci dachu budynku,ktorej okap i kalenica sa rownoleg lymi prostymi (odcinkami) warstwowymi. Korzystamy tu zniezmiennikow rzutowania rownoleg lego, szczegolnie z niezmiennika rownoleg losci (prostych,odcinkow). Dlatego jest to najbardziej oszczedna droga konstrukcji uzupe lniania rzutu pi-onowego ”ma lego” prostokata. Do znalezienia rzutu pionowego prostej wystarczy bowiemznac jeden punkt wiedzac, ze jest ona rownoleg la do innej prostej. Powierzchnie stozka obro-towego, walca obrotowego i sfery, znane z matematyki szkolnej, obok p laszczyzny, najczesciejwystepuja jako geometryczne elementy obiektow technicznych. W szczegolnosci sa to podsta-wowe elementy kszta ltujace obiekty budowlane. Oczywiscie w architekturze i budownictwieznajduja zastosowanie takze inne, niezwykle interesujace ale i bardziej z lozone, powierzch-nie, ktore omowimy pozniej. Wymienione wyzej powierzchnie w wyniku przekroju pewnymi(nie wszystkimi!) p laszczyznami daja prosta (odcinek) lub okrag. Przekroj p laszczyznydana p laszczyzna jest zawsze prosta. Dotychczasowe obiekty geometryczne (odcinek, trojkat,wielokat, prostopad loscian, ostros lup) mia ly reprezentacje szkieletowa. W celu odwzorowaniapowierzchni stozka, walca i sfery przyjmiemy reprezentacje konturowa, tzn. taka w ktorejrzutem powierzchni jest brzeg rzutu tej powierzchni (figury rozumianej jako zbior rzutowwszystkich punktow powierzchni). Rzutem kazdej z omawianych tu powierzchni jest trojkat,prostokat, ko lo (w reprezentacji konturowej okrag) (rys. 2-13).

8. Istota konstrukcji geometrycznej 2D. Klasyczne konstrukcje ele-

mentarne za pomoca cyrkla i linijki

Do czasow, w ktorych zaczeto wykorzystywac komputer do wykonywania konstrukcji geom-etrycznych jedynym procesem tworzenia rysunkow by l proces realizowany za pomoca cyrklai linijki oparty na metodzie konstrukcji klasycznych (p-o). Jest to proces polegajacy nawykorzystaniu cyrkla (okrag) i linijki (prosta) do wykonania kazdej konstrukcji, w ktorejrealizowany jest ciag konstrukcji elementarnych opisanych ponizej. Procesu tego nie da sieautomatyzowac. Kazdy powtarzajacy sie element rysunku musi byc narysowany takim samymsposobem (za pomoca tego samego algorytmu). Jedynym uproszczeniem, pomijajac specjal-istyczne przyrzady (np. dwie szpilki i sznurek do rysowania elipsy, siatki perspektywiczne,perspektografy), jest zastosowanie ekierki skracajacej proces kreslenia prostej rownoleg lej lubprostopad lej do danej prostej. Elementarne sk ladniki (dzisiaj mowimy entycje od angielskiegos lowa entity - wyodrebniona ca losc, rzecz realnie istniejaca) to prosta (odcinek), okrag ( luk

okregu) i punkt. Kazda wiec konstrukcja wykonana metoda klasyczna sk lada sie z ciagu kon-strukcji utworzonego z elementow wzietych sposrod pieciu konstrukcji elementarnych: (p),

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 17

Rys. 2-13: Rzuty najprostszych powierzchni stopnia drugiego: a) stozka; d) sfery; g) walca;

Uzupe lnianie rzutow punktow: b-b3) na stozku za posrednictwem okregu; c-c4) na stozku za

posrednictwem prostej; e-e3) punktu w po lozeniu ogolnym na sferze; f-f2) punktu na po ludniku

(punkt B), na rowniku (punkt C); g-g1) dowolnego punktu na walcu. W przypadku walca jednoz-

naczne uzupe lnienie jest mozliwe tylko w przypadku, gdy dany rzut pionowy. Nic dziwnego - walec

w takim, jak na rysunku, ustawieniu jest powierzchnia rzutujaca (tu: poziomorzutujaca)

(o), (pp), (po), (oo) (rys. 2-14). Dla przyk ladu konstrukcja symetralnej odcinka wykonywanajest za pomoca algorytmu: (o), (o), (oo), (p), konstrukcja zas srodka odcinka wykonywanajest za pomoca ciagu konstrukcji elementarnych: (o), (o), (oo), (p), (pp) (rys. 2-14). Kon-strukcje kreslenia prostej prostopad lej do danej prostej mozna zautomatyzowac wykorzystujacekierke, tj. ciag: (o), (o), (oo) mozna zastapic jedna czynnoscia polegajaca na ”odpowiednimprzy lozeniu ekierki i linijki”. Jaki ciag czynnosci elementarnych zastepujemy rysujac prosta

18 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-14: Konstrukcje elementarne prosta - okrag (p-o). Przyk lad konstrukcji: symetralnej odcinka

(1-4), srodka odcinka (1-5)

rownoleg la za pomoca ekierki? Wiele konstrukcji geometrycznych nie jest wykonalnych zapomoca cyrkla i linijki. Sa to w szczegolnosci takie konstrukcje jak: podwojenie szescianu 6,trysekcja kata 7, kwadratura ko la 8, rektyfikacja okregu 9.

9. Zastosowania programu CAD w konstrukcji bry l

Ogolnie problem rysowania (konstruowania) za pomoca narzedzi CAD (Computer AIded De-sign) bedzie omowiony w ramach oddzielnego wyk ladu. Jednak w celu oswajania sie z meto-dami komputerowymi w zakresie grafiki inzynierskiej omowimy pewne wiadomosci, ktorepozwola wykonywac pierwsze konstrukcje za pomoca komputera. Przyk lady konstrukcji CADpodane w tym wyk ladzie sa konstrukcjami p laskimi (2D). Oznacza to, ze otrzymany w wynikukonstrukcji wirtualny obiekt jest figura p laska. Obecnie mamy dwie istotnie rozne metodywykonywania konstrukcji geometrycznych (rysowania, kreslenia): klasyczna i druga nazwijmyautomatyczna 10. Automatyzacja konstruowania przejawia sie m.in. poprzez mozliwosc 11:1) kreslenia za pomoca polecen:• rysowanie linii LINE/LINIA (wielolinii PLINE/PLINIA)

6Podwojenie szescianu, to konstrukcja szescianu o dwukrotnie wiekszej objetosci.7Trysekcja kata, to podzia l danego kata na trzy rowne czesci.8Kwadratura ko la, to konstrukcja kwadratu o polu rownym polu danego ko la.9Rektyfikacja okregu, to konstrukcja odcinka o d lugosci rownej d lugosci danego okregu.

10Chodzi tu o roznego rodzaju sposoby realizacji konstrukcji geometrycznych za pomoca programow kom-puterowych. Z oczywistych powodow pos lugiwac bedziemy okreslonym programem komputerowym by uniknackoniecznosci pos lugiwania sie metajezykiem czy metasystemem opisujacym logike edytora graficznego. Bedzieto - najbardziej popularny program - AutoCAD.

11Dok ladny opis polecen programu AutoCAD mozna znalezc w dowolnym opracowaniu dotyczacym systemu(np. [4]) lub w specjalnej instrukcji.

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 19

Rys. 2-15: P laska konstrukcja szkieletu ”domku” w izometrii wojskowej realizowana za pomoca

edytora graficznego typu CAD i jej schematyczny, ideowy opis realizacji. W opisie pominieto niektore

elementy rysunku, na obecnym etapie mniej istotne, np. wstawianie tekstu

Po wywo laniu polecenia LINE/LINIA wskazujemy poczatek linii a nastepnie koniec 12. Wprzypadku wielolinii okreslamy takze grubosc (Width/SZer). Grubosc te mozemy zmienic zapomoca polecenia PEDIT/EDPLIN. Poleceniem tym mozemy nadac grubosc linii (LINE/LINIA),ktora ma, z za lozenia, grubosc zerowa

12Poczatek i koniec rysowanego odcinka moze byc wskazany jako: koniec odcinka (ENDpoint/KONiec),srodek odcinka (MIDpoint/SYMetria), przeciecie sie dwoch obiektow ze zbioru obiektow {linia, wielolinia, luk, okrag}(INTersec/PRZeciecie), srodek okregu lub luku (CENter/CENtrum).

20 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a

Rys. 2-16: Konstrukcja szkieletu ”domku” w rzutach prostokatnych realizowana za pomoca edytora

graficznego typu CAD na bazie rysunku 2-15: a) wymazujemy niepotrzebne linie pozostawiajac

prostokat odnoszaca i dwa odcinki majace d lugosci rowne wysokosci ”domku” i wysokosci sciany

”domku”, tworzymy warstwe z typem linii CENTER2 i rysujemy linie symetrii; a1 ÷ a4) dalsze

elementy rysujemy poprzez kopiowanie (KOPIUJ/COPY) i wyd luzanie (WYD LUZ/EXTEND); a5)

rysujemy odcinek za pomoca polecenia LINIA/LINE; a6) kontymujemy kopiowanie; a7) zmieniamy

warstwe na te z typem linii DASHED i rysujemy dwie linie niewidoczne; b ÷ b3) eksponujemy

(ZMIEN/CHANGE) proste w rzutach Monge’a: w po lozeniu ogolnym (b), poziomorzutujaca (b1),

warstwowe (b2, b3)

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich 2, rzuty Monge’a 21

• rysowanie okregu CIRCLE/OKRAGPo wywo laniu polecenia wskazujemy srodek okregu i promien (liczba lub przez podanie koncapromienia) lub dwa konce srednicy lub trzy punkty.2) powielania obiektow poprzez:• kopiowanie (COPY/KOPIUJ) - geometrycznie przesuniecie rownoleg le z pozostawieniempierwotnego obiektu,• kopiowanie wraz ustawieniem w tablice prostokatna lub biegunowa (ARRAY/SZYK) - ge-ometrycznie przesuniecie rownoleg le lub z lozenie z przesuniecia rownoleg lego i obrotu,• przesuwanie (MOVE/PRZESUN) - geometrycznie przesuniecie rownoleg le z usunieciempierwotnego obiektu,• odbicie zwieciadlane (MIRROR/LUSTRO) - geometrycznie symetria osiowa z pozostawie-niem lub z usunieciem pierwotnego obiektu,• obrot (ROTATE/OBROT) - geometrycznie obrot z usunieciem pierwotnego obiektu,2) modyfikacji obiektow poprzez:• ucinanie (TRIM/UTNIJ),• wyd luzanie (EXTEND/WYD LUZ),Zamieszczone na rysunkach 2-15, 2-16 opisy realizacji komputerowych maja na celu nie tyledok ladne przedstawienie procesu rysowania w programie komputeromym AutoCAD, co za-prezentowanie ogolnej idei tworzenia rysunkow w specjalistycznych programach graficznych.Szczego lowe, pe lne przyk lady rysowania za pomoca edytora graficznego znajduja sie w specjal-nych instrukcjach. Przy okazji dowiadujemy sie jak niewielki udzia l w konstrukcji maja polece-nia kreujace linie proste i luki a jak wielki udzia l maja polecenia powielajace (COPY/KOPIUJ,MOVE/PRZESUN, ROTATE/OBROT, MIRROR/LUSTRO) oraz w znaczacej mierze polece-nia modyfikujace (TRIM/UTNIJ, EXTEND/WYD LUZ). Mozna powiedziec, ze g lowna cechaedytora graficznego jest przetwarzanie istniejacych elementow rysunku, a nie tworzenie nowych.Ta ostatnia cecha nalezy do niezwykle waznych, podstawowych zalet programow typu CAD.

Literatura

[Bry79] M. Brynski, L. W lodarski: Konstrukcje geometryczne. Wydawnictwo Szkolne iPedagogiczne. Warszawa 1979.[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreslna z perspektywa stosowana. WydawnictwoNaukowe PWN. Warszawa 1995.[Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.Warszawa 1990[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrecznik geometrii wykreslnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.Warszawa 1994.[Pik97] A. Pikon: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyzsze. WydawnictwoHELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, 1997.[Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreslna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.