Teoria Sygnałów

II rok Geofizyki

III rok Informatyki Stosowanej

Wykład 2

Układy liniowe i niezmienne w czasie (układy LTI)

Układ

liniowy

x[n] y[n]

gdzie x(y) oznacza sygnał wejściowy do układu zaś y(t) sygnał wyjściowy.

Kilka uwag:• LTI – najpopularniejszy model filtracji• LTI – model procesów fizycznych

Układy liniowe mogą być układami ciągłymi lub dyskretnymi

(spróbkowanymi)

ρ1,v1

ρ2,v2

ρ3,v3

ρ4,v4

ρ5,v5

Rozkład współczynników odbicia r(t)

Rozkład współczynników odbicia r(t) w uproszczonym ośrodku geologicznym może być traktowany jako sygnał zarejestrowany na powierzchni wzbudzony sygnałem impulsowym (deltą Diraca).

δ(t) r(t)

Przykład praktyczny - sejsmika

Splot dwóch sygnałów f(x) i g(x) jest definiowany jako:

Splot jest operacją przemienną, łączną:

oraz rozdzielną względem dodawania:

( )∫∞

∞−

−== '')'()()(*)( dxxxgxfxhxgxf

( ) ( ) )(*)(*)()(*)(*)(

)(*)()(*)(

xfxgxpxfxgxp

xgxfxfxg

=

=

( ) )(*)()(*)()()(*)( xfxpxgxpxfxgxp +=+

Przykład:

Splot dwóch funkcji Π(x) jest równy funkcji trójkątnej:

( ) )()()(*)( xdxxx Λ=−ΠΠ=ΠΠ ∫∞

∞−

τττ

Animacja „Splot.exe” – wykonana w oparciu o aplet z oryginalnej strony

http://www.jhu.edu/~signals/

splot.exe

Splot – dla nieskończonych sygnałów ciągłych

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−⋅=∗=m

mngmfngnfnh

Definicja splotu dla sygnałów dyskretnych:

- nieskończonych

- skończonych (czasami zwany splotem cyklicznym)

∑−+

=

−⋅=∗=1

0

21 NN

m

mnmnnn gfgfh

Delta Diraca to element neutralny operacji splotu, czyli:

( ) ( ) ( )trtrt =∗δ

W tym momencie przykład praktyczny omawiany na pierwszych slajdach staje się jasny.

Ważna uwaga: Jeśli długości nośników sygnałów splatanych f i g wynoszą odpowiednio D1 i D2 , zaś długość sygnałów N (ze względów praktycznych dobrze jest, gdy sygnały splatane są równej długości) to możliwe jest występowanie zakłóceń na brzegach sygnału wynikowego. Zjawisko zakłóceń nie występuje gdy D1+D2-1<N. Eliminacja zakłóceń wystarczy dokleić ciąg zer na końcu sygnału.

N1, N2 – długość sygnałów

Korelacja dwóch sygnałów f(x) i g(x) (czasem – kroskorelacja) jest definiowana jako:

Operacja korelacji nie jest przemienna:

Z kolei autokorelacja jest definiowana jako:

( )∫∞

∞−

∗ −= '')'()( dxxxgxfxfgϕ

Korelacja

Wzajemny związek korelacji i splotu

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

−=∞

∞−

=−=+=−−=− xdvxvgvfdvvgxvfdxgfxgxf fg

xv

ϕττττ

*)()()()(*)(

)()(*

xx hggh −= ϕϕ

( )∫∞

∞−

∗ −= '')'()( dxxxfxfxffϕ

autokorelacja

( )fff Edxxfdxxfxf === ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∗ ')'('')'()0(2

ϕ

( )∫∞

∞−

∗ −= '')'()( dxxxxx δδϕδδ

Autokorelacja dwóch impulsów Diraca

Pamiętając o własności próbkującej delty Diraca ( ) ( ) ( )∫ =−2

1

00

t

t

tfdttttf δ

oraz korzystając z faktu, że sprzężenie delty Diraca nie zmienia jej postaci otrzymujemy:

( ) ( ) )('')'('')'()( xdxxxxdxxxxx δδδδδϕδδ =−=−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

∗

co oznacza brak korelacji.

∑−

=

−=1

0

)()(N

m

mm axbxr δ

Rozważmy ciąg impulsów Diraca (utożsamiany z sekwencją współczynników odbicia) :

{ } ( ))()()(

)()()(

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

nm

N

m

N

n

nmnm

N

m

N

n

nm

N

m

N

n

nnmmrr

aaxbbxdxaxaxbb

xdxaxbaxbx

−−=′−−′−′

=′

−−′⋅−′=

∑∑∫∑∑

∫ ∑ ∑−

=

−

=

∞

∞−

−

=

−

=

∞

∞−

−

=

−

=

δδδ

δδϕ

Autokorelacja wynosi:

( ) ( ) ( )( ) )('')'()( axdxaxxxxaxx −=−−= ∫∞

∞−

∗− δδδϕ δδ

Autokorelacja sygnału harmonicznego:

( )ϕπ += Txaxf 2cos)(

( )

( )[ ] )2cos(2

')2cos()2'22cos(2

')'2cos()'2cos()(

22

2

2

2

2

2

Txa

dxTxTxxT

a

dxTxxTxT

ax

T

T

T

T

ff

ππϕπ

ϕπϕπϕ

=++−

=+−+=

∫

∫

−

−

jest liczona w jednym okresie T. Wynik jak widać nie zależy od fazy sygnału.

Jeśli sygnał składa się z dwóch części – obwiedni (np. funkcji prostokątnej) i składowej nośnej (np. cosinusoidy)

to autokorelacja takiego sygnału wynosi:

( ) ( )ϕπ +⋅Π= Txxxf 2cos)(

( ) )2cos(2

1)( Txxxff πϕ ⋅Λ⋅= gdyż: ( ) ( ) ( )xxxx Λ=ΠΠ )(ϕ

Interpretacja korelacji:

Rozważmy dwa sygnały rzeczywiste f(t) i g(t-τ). Funkcja korelacji φ ma dużą wartość jeśli

sygnały te są do siebie podobne.

Niech na przykład f(t) oznacza sygnał sejsmiczny zarejestrowany w pewnym punkcie zaś

sygnał g(t)= qf(t- a) sygnał pomierzony w innym punkcie opóźniony w czasie o a i

wytłumiony (amplituda zmniejszona q razy).

Korelacja tych sygnałów wynosi:

( ) )()()( aqdtatfqtft fffg +=−−⋅⋅= ∫∞

∞−

τϕτϕ

czyli jest to funkcja autokorelacji przesunięta o –a, tzn. licząc korelację dwóch sygnałów

można mierzyć wzajemne przesunięcie dwóch tras sejsmicznych. Szum jakim są obarczone pomiary nie wpływa na powyższy wynik !

( )[ ] ( ) ( )[ ]

)()(

)()()()()()(

)()(

τϕτϕ

τϕτϕτϕτϕτϕτϕ

ττϕ

gf

gffggf

nnff

nnfggnfnnnfg

gffg

aq

dttntgtntft

++

=+≈+++

=−+−⋅+= ∫∞

∞−

∗∗

gdyż szum i sygnał użyteczny są z reguły wzajemnie niezależne (czyli są nieskorelowane).

Pomiar fazy sygnału:

Przesunięcie fazy dwóch sygnałów również może być mierzone z użyciem funkcji korelacji. Weźmy dwa sygnały:

( ) ( )

+⋅=

⋅= ϕ

ππ

T

tbtg

T

tatf

2cos;

2cos

Korelacja tych sygnałów wynosi:

gdyż szum i sygnał użyteczny są z reguły wzajemnie niezależne (czyli są nieskorelowane).

Jeśli sygnały są skończone i przesunięte o π/2 tj.:

to otrzymamy:

−=

−

=

−⋅

+= ∫

+∞

∞−

TT

ab

T

ab

dtT

t

T

tabfg

π

ϕτ

πϕ

πτ

τπ

ϕπ

ϕ

2

2cos

2

2cos

2

2cos

2cos

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−Π=

⋅−Π=

T

tattg

T

tattf LL

ππ 2cos;

2sin

( )

⋅Λ=

T

atfg

πτϕ

2sin

2

2

Jak można zauważyć obwiednia funkcji korelacji mierzy wzajemne przesunięcie sygnałów (jest ono równe zero w tym wypadku, co widać po zapisie funkcji okna) zaś sama funkcja korelacji (fala nośna) obrazuje różnicę fazową między sygnałami korelowanymi.

Tłumienie szumów z wykorzystaniem korelacji funkcji

Załóżmy, że znamy kształt (sygnaturę) sygnału e(t):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trtetxtntxty ∗=+= ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tetntrttetntetrte

tetntetxtetyt

tete

tety

−∗+∗=−∗+−∗∗

=−∗+−∗=−∗=

ϕ

ϕ

Szum n(t) z reguły nie jest skorelowany z sygnałem wejściowym e(t) stąd ostatni wyraz może

zostać pominięty. Wynikiem jest splot funkcji autokorelacji sygnału wejściowego z sekwencją współczynników odbicia. Po wykonaniu tego typu filtracji (adaptacyjnej) trasa wyjściowa jest obarczona jest znacznie mniejszym szumem niż trasa oryginalna – patrz rysunek. Autokorelacja zarejestrowanego sygnału jest równa splotowi dwóch autokorelacji i energii szumu występującej dla czasu zerowego.

Korelacja zarejestrowanej trasy y(t) z sygnałem wejściowym e(t) wynosi:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tEtttntntt

txtntntxtntntrtetrte

tytyt

ntrtrtetetrtrtete

tyty

δϕϕϕϕ

ϕ

+∗=−∗+∗

≈−∗+−∗+−∗+−∗−∗∗

=−∗=