Funkcje logiczne –układy kombinacyjne · 2017. 11. 4. · 04.11.2017 TCiM Wydział EAIiI Katedra...
Transcript of Funkcje logiczne –układy kombinacyjne · 2017. 11. 4. · 04.11.2017 TCiM Wydział EAIiI Katedra...
-
Część 2
Funkcje logiczne – układy kombinacyjne
Zapis funkcji logicznych – układ funkcjonalnie pełny
Arytmetyka Bool’a – najważniejsze aksjomaty i tożsamości
Minimalizacja funkcji logicznych
Układy kombinacyjne – realizacja funkcji logicznych w układach cyfrowych
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 1
-
Układ cyfrowy
• Podstawowe informacje
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 2
Układ
cyfrowy
x1
x2
xn
y1
y2
ym
X = (x1, ... , xn) – sygnały wejściowe (wektor)
Y = (y1, ... , yn) – sygnały wyjściowe (wektor)
10,B – jednowymiarowy zbiór Boole’a (boolowski)
𝒙𝒊 ∈ 𝑩
𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒏
𝒚𝒊 ∈ 𝑩
𝒋=𝟏,𝟐,…,𝒎
-
Układ cyfrowy
• Podstawowe informacje
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 3
{X} – zbiór wartości (stanów) sygnału wejściowego
Zmienna boolowska 1-no wymiarowa – zmienna przyjmująca wartości (stany) ze zbioru Boole’a B
nBXX
mBYY {Y} – zbiór wartości (stanów) sygnału wyjściowego
Sygnały X, Y przyjmują różne wartości w dyskretnych chwilach tWtedy można stosować oznaczenia Xt , Yt
Wyróżnia się dwa przypadki:
Yt = f(Xt) – układ kombinacyjny
Yt = f(Xt, Xt-t1, Xt-t2 ... ) – układ sekwencyjny
𝒕 ∈ 𝒕 = 𝒕𝟏, 𝒕𝟐,…
-
Układy kombinacyjne
• Podstawy - Opis
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 4
Układ kombinacyjny opisuje się określając funkcję f przekształcającą zbiór stanów wejściowych w zbiór stanów wyjściowych tj.
Y = f(X), gdzie X{X}, Y{Y}
YX:f
mffff ,...,, 21
BX:fi yi = fi(X), gdzie X{X}, yiB
Funkcję fi nazywamy funkcją przełączającą bo przyjmuje tylko 2 wartości 0 lub 1 ( można te stany interpretować jako stany załączenia/wyłączenia, stany zwarcia/rozwarcia styków, lub jako prawda/fałsz. Funkcje przełączającą nazywa się także często funkcją logiczną lub funkcją boolowską.
-
Układy kombinacyjne
• Algebra Boole’a
Funkcje logiczne – funkcje Boole’owskie mogą być określone przy pomocy:
• tablicy prawdy (tablicy funkcyjnej),
• formuły boolowskiej – zapis kanoniczny i dziesiętny,
• tabeli Karnaugh’a
• lub w formie graficznej (przy pomocy odpowiednich symboli graficznych).
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 5
W algebrze Boole’a zdefiniowane są operacje:
– sumy i iloczynu jako operacje dwuargumentowe,– negacji jako operacji jednoargumentowej,– stałe 0,1 jako operacje zero argumentowe.
Algebra Boole’a (zerojedynkowa)
10,,,,,B Np. w matematycefunkcja y=2
-
Układy kombinacyjne
• SUMA
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 6
Symbole operatora sumy dwuargumentowej:np
or,,
21 xxy 21 xxy 21 xorxy
Tablica prawdy:
x1,x2
00 0
01 1
10 1
11 1
21 xxy
-
Układy kombinacyjne
• ILOCZYN
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 7
Symbole operatora sumy dwuargumentowej:np
Tablica prawdy:
and,,&,
21 xxy 21 xxy
21 xandxy 21 x&xy
21xxy
x1, x2
00 0
01 0
10 0
11 1
21xxy
-
Układy kombinacyjne
• NEGACJA
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 8
Symbole operatora negacji: not,~,
np. x~y xy )x(noty
xx
0 1
1 0
-
Układy kombinacyjne
• Prawa algebry Boole’a – aksjomaty i tożsamości
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 9
(idempotentność)
(rozdzielność)
(łączność)
(przemienność)
xxx xxx
1221 xxxx 1221 xxxx
321321 xxxxxx 321321 xxxxxx
3121321 xxxxxxx
3121321 xxxxxxx
-
Układy kombinacyjne
• Prawa algebry Boole’a – aksjomaty i tożsamości
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 10
1211 xxxx 1211 xxxx (pochłanianie)
xx 0 xx 1 operacje ze stałą
1 xx 0xx operacja z negacją
xx operacje podwójnej negacji
2121 xxxx 2121 xxxx (prawa de Morgana)
-
Układy kombinacyjne
• Prawa algebry Boole’a – aksjomaty i tożsamości
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 11
Operacje na stałych:
10 01 111
111 11001 01001
-
Układy kombinacyjne
• Prawa algebry Boole’a – aksjomaty i tożsamości
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 12
Operacje na stałych:
10 01 111
111 11001 01001
-
Układy kombinacyjne
• Symbole graficzne funkcji Boole’a – bramki logiczne
• System funkcjonalnie pełny • AND
• OR
• NOT
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 13
-
Układy kombinacyjne
• Bramka – funkcja Exclusive OR – alternatywa rozłączna, wykluczająca
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 14
y = x1 x2= 2121 xxxx
21 xxy x1, x2
00 0
01 1
10 1
11 0
-
Układy kombinacyjne
• Zapis form/funkcji boolowskich • Forma boolowska i tabela prawdy
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 15
Liczba Argumenty𝒙 𝒚 𝒛
𝒙 ∙ 𝒚 𝒛 ∙ ഥ𝒙 𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛)
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1 1
7 1 1 1 1 1
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧 ҧ𝑥
Przykład funkcji:
-
Układy kombinacyjne
• Zapis form/funkcji boolowskich • Korzystając z tabeli prawdy udowodnić tożsamość:
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 16
Argumenty𝒙 𝒚
ഥ𝒙 + 𝒚 𝒙(ഥ𝒙 + 𝒚) 𝒙 ∙ 𝒚
0 0 1 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1
𝑥 ҧ𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦
Te dwie kolumny są sobie równe cbdu.
UWAGA:Zrobić jeszcze przykład - udowodnienie jednej z reguł pochłaniania
-
Układy kombinacyjne
• Zapis form/funkcji boolowskich • W oparciu o znajomość tablicy prawdy
można sformułować dwie podstawowe formuły:
• Dla skrócenia zapisu tych form – stosuje się też powszechnie postaci dziesiętne form sumacyjnych i iloczynowych
• Kanoniczna forma (postać) sumacyjna – dysjunkcja: • Na podstawie wierszy tabeli prawdy gdzie funkcja przyjmuje wartość 1 – prawda;
• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ҧ𝑥 ത𝑦𝑧 + ҧ𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 ҧ𝑧 + 𝑥𝑦𝑧
• Kanoniczna forma (postać) iloczynowa – koniunkcja:• Na podstawie wierszy tabeli prawdy gdzie funkcja przyjmuje wartość 0 – fałsz;
• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + ത𝑦 + 𝑧 ҧ𝑥 + 𝑦 + ҧ𝑧
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 17
=∪ (1,3,6,7)
=∩ (0,2,4,5)
Dla poprzedniego przykładu funkcji:
-
Układy kombinacyjne
• Zapis form/funkcji boolowskich • Kanoniczną postać sumacyjną funkcji uzyskuje się tworząc
sumę iloczynów pełnych odpowiadających kombinacjomargumentów we wszystkich punktach, w których funkcjaprzyjmuje wartość jeden.
• Kanoniczną postać iloczynową funkcji uzyskuje się tworząciloczyn sum pełnych odpowiadających kombinacjomargumentów we wszystkich punktach, w których funkcjaprzyjmuje wartość zero.
• Minimalizacja funkcji/form boolowskich • W praktycznej realizacji funkcji logicznych, w szczególności w formie cyfrowych układów
kombinacyjnych, dąży się do tego aby minimalna forma sumacyjna (iloczynowa): >>> zawierała minimalną liczbę iloczynów (sum), >>> żaden z iloczynów (żadna z sum) nie mógł być zastąpiony przez inny o mniejszej liczbie literałów.
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 18
-
Układy kombinacyjne
• Podstawowe metody minimalizacji układów jednowyjściowych: • Tablica Karnaugha,
• Metoda Quine’a – Mc Cluskey’a
• Tablica Karnaugha – prezentacja tablicy prawdy funkcji boolowskiej/logicznej w specyficznej, uporządkowanej formie
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 19
Tablica dla funkcji 3 argumentowej
x2,x3
x1
00 01 11 10
0
1
KOD Gray’a !!! >>> WAŻNE !!!
-
Układy kombinacyjne
• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 20
Tablica dla funkcji 4 argumentowej
WAŻNE!!! Warto spojrzeć na kolejne komórki tablicy jak na macierz z przypisanymi spółrzędnymikolejnymi numerami …
POLECAM… Dobre wyjaśnienie tablic Karanugh’ai metody minimalizacji z ich wykorzystaniem na kanale ElektroPrzewodnik YOUTUBE:
x3,x4
x1,x2
00 01 11 10
00
01
11
10
0 1 23
4 5 67
8 9 1011
12 13 1415
https://www.youtube.com/watch?v=ns4GHC-KdwI
https://www.youtube.com/watch?v=ns4GHC-KdwI
-
Układy kombinacyjne
• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 21
Tablica dla funkcji 5 argumentowej >>> przeanalizować współrzędne komórek – odbicia, symetrie …
x3,x4,x
5
x1,x2
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
-
Układy kombinacyjne
• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a• Algorytm – zasady:
• W tablicy zaznaczmy grupy 1 -ek lub 0 -er – sąsiadujących ze sobą w wierszach lub kolumnach
• Staramy się objąć w jednej grupie jak największą liczbę elementów – 1 lub 0
• Elementy grup 1 lub 0 – mogą być pokrywane grupami wielokrotnie, jeśli to prowadzi dopowiększenia poszczególnych grup
• Liczba elementów w grupie – musi być kolejną potęgą liczby 2 – zatem: 2,4,8,16 … (nie może być 6 !!!)
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 22
-
Układy kombinacyjne
• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a• Przykład – funkcja z trzema argumentami (z wcześniejszego przykładu):
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 23
Dla poprzedniego przykładu funkcji:
y, z
x
00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 0 1 1
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧 ҧ𝑥Liczba Argumenty𝒙 𝒚 𝒛
𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛)
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
W tym wypadku grupa żółta – nie potrzebna !!!
𝑓𝑚𝑖𝑛1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ҧ𝑥𝑧 + 𝑥𝑦
𝑓𝑚𝑖𝑛0 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ( ҧ𝑥 + 𝑦) 𝑥 + 𝑧
Funkcja minimalna: - przez jedynki
- przez zera
-
Układy kombinacyjne
• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a• Przykład – funkcja z czterema argumentami:
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 24
𝑓𝑚𝑖𝑛1 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑎 ҧ𝑐 + 𝑎𝑑 + ത𝑏 ҧ𝑐 + ത𝑎 ത𝑏 ҧ𝑑
𝑓𝑚𝑖𝑛0 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = (𝑎 + ത𝑏) 𝑎 + ҧ𝑐 + ҧ𝑑 ത𝑎 + ҧ𝑐 + 𝑑
c, d
a, b
00 01 11 10
00 1 1 0 1
01 0 0 0 0
11 1 1 1 0
10 1 1 1 0
𝑓 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 =∩ (3,4,5,6,7,10,14)
-
Układy kombinacyjne
• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych
• System funkcjonalnie pełny • AND
• OR
• NOT
• Jednak … • Układy realizuje się
w praktyce na bramkach NAND lub NOR…
• A współcześnie – na matrycach bramek PLA i FPGA…
• Dlaczego… ???
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 25
-
Układy kombinacyjne
• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych • Bramka NAND – najmniej tranzystorów !!! PLA – Programable Logic Array
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 26
-
Układy kombinacyjne
• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych • FPGA – Field-Programmable Gate Array
• Dla projektanta ma funkcjonalność taką samą jak specjalizowany układ scalony, jednak może być wielokrotnie programowany bez demontażu, po jego wytworzeniu i zainstalowaniu w urządzeniu docelowym
• Bezpośrednio programowalne macierze bramek są zazwyczaj wolniejsze od odpowiadających im specjalizowanychukładów scalonych i pobierają więcej mocy. Mają natomiast wiele innych zalet takich jak krótszy czas projektowania, niższe koszty produkcji (dla małych serii)
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 27
-
Układy kombinacyjne
• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych • Bramki AND, OR, NOT - realizacja na NAND-ach i na NOR-ach
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 28
POKAZAĆ… Symulacja w Digital Works …
Wyjaśnić – na tablicy – dlaczego OR za pomocą NAND – prawa de Morgana >>> NAND z zaprzeczeniem sygnałów wejściowych
-
Układy kombinacyjne
• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych
• Tu skorzystać z materiału – notatek odręcznych – plik PDF z notatkami …
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 29
POKAZAĆ… Przykłady, wyjaśnienia – plik PDF
KLIKNIJ!!!
PDF-notatki-synt-ukl-kombinac.pdfPDF-notatki-synt-ukl-kombinac.pdf
-
Koniec Części 2
Kontynuacja materiałów wykładowych
w pliku cz-3
04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 30