FUNKCJAFUNKCJA

JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE

FUNKCJAFUNKCJA

FUNKCJA LINIOWA

FUNKCJA LINIOWAI JEJ WŁASNOŚCI

I JEJ WŁASNOŚCI

CO TO JESTCO TO JEST

FUNKCJAFUNKCJA??WŁASNOŚCI

FUNKCJIFUNKCJI

PRZYKŁADY FUNKCJI

PRZYKŁADY FUNKCJI

NIELINIOWYCH

NIELINIOWYCH

Co to jest funkcjaCo to jest funkcja

??

BA

a

b

c

d

e 1

23

4

5

Definicja:Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją ze zbioru A do zbioru B.

Dane są dwa zbiory A i B

A - dziedzina funkcji

elementy zbioru A- argumenty

B - przeciwdziedzina funkcji

elementy zbioru B - wartości

Przykład funkcji I

Każdy samochód, ma dokładnie jeden numer rejestracyjny.

WRZ 2435

KRB 18003

CEK 2112

CZS 4503

A dziedzina B przeciwdziedzina

5

7

12

19

21

Przykład funkcji II

Każdy uczeń ma dokładnie jeden numer w dzienniku

Jola K.

Kasia B.

Jacek Z.

Tomek D.

Zbyszek W.

A

A - DZIEDZINA

B

B - PRZECIWDZIEDZINA

Każdy ma jeden numer

Różne sposoby opisywania funkcji

SŁOWNIE

WZOREM

TABELĄ

GRAFEMWYKRESEM

Uwaga: Z każdego opisu musi jednoznacznie wynikać sposób przyporządkowania, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji.

Przeciwdziedzina

Przeciwdziedzina

Przeciwdziedzina

Dziedzina

Dziedzina

Dziedzina

zbiór liczb naturalnych.

Przykład II - Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą.

Przykład I - Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia.

O P I S O P I S S Ł O W N YS Ł O W N Y

Przykład III - Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną.

zbiór uczniów danej klasy. zbiór liter

zbiór Y = {0,1,2,3,4,5,6} zbiór X = {-3,-2,-1,0,1,2,3}

zbiór liczb całkowitych

Przykład IPrzykład I

Jola Kasia Tomek Waldek Bogdan Basia Wiesiek Marta Mariusz Paweł Kamil

J K T W B B W M. M. P K

TABELA

WZÓR

GRAF

WYKRES

J

K

T

W

B

M

P

Jola

Kasia

Tomek

Waldek

Bogdan

BasiaWiesiek

Marta Mariusz

Paweł

Kamil

Uwaga! Tej funkcji nie da się opisać wzorem ani wykresem ponieważ nie jest to funkcja liczbowa

Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imieniapierwszą literę imienia..

f:x x+3

f(x) = x+3

y = x+3

lub

lub

dla x € {-3,-2,-1,0,1,2,3}

Przykład IIPrzykład II

TABELĄ

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6

WZOREM

WYKRESEM

Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą.przyporządkowujemy liczbę o 3 większą.

y

(-3;0)

(-2;1)

(-1;2)

(0;3)

(1;4)

(2;5)

(3;6)

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10

-10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

WZÓR

TABELA WYKRES

Przykład IIIPrzykład III Każdej liczbie naturalnej

przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną.

Uwaga! Ponieważ dziedziną tej funkcji jest nieskończony zbiór liczb naturalnych, nie można sporządzić tabeli ani grafu. Możemy się ograniczyć do tabeli częściowej (tzn. dla kilku wybranych elementów).

x 0 1 2 3 4 5

y 0 -1 -2 -3 -4 -5

f:x - x

f(x) = - x

y = - x

dla x € N

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

WYKRESWYKRES -jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga wartością funkcji dla tego argumentu. (x, f(x))(x, f(x))

y=2xjeżeli x = 1, to y = 2

jeżeli x = 2, to y = 4

jeżeli x = -2, to y = - 4

x

y

1

2

2

4

(1,2)

(2,4)

(-2,-4)

x

y

- 2

- 4

f(x) = y= 2xwartość jest dwa razy większa od argumentu

*

y=2x+1

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y=2x+1

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

yy=2x+1

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

Dziedzina funkcjix € {1, 2, 3}

Dziedzina funkcjix € R

Dziedzina Funkcjix € C

f(x) = y = 2x+1x-argumenty-wartość

Przykłady wykresów funkcji y = 2x+1 dla różnych dziedzin

WŁASNOŚCI

FUNKCJI

w

a

r

t

o

ś

c

i

a r g u m e n t y

Wraz ze wzrostem argumentów, rosną wartości funkcji.

y

xX1 X2 X3 X4 X5

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Jeżeli X1 < X2, to Y1 < Y2.

FUNKCJA jest ROSNĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości.

* Funkcja liniowa jest rosnąca dla a > 0.

rosn

ą

rosną

Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości

funkcji.

a r g u m e n t y

w

a

r

t

o

ś

c

i

FUNKCJA jest MALEJĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości.

Y

x0

x1 x2

y1

y2

Jeżeli x1 < x2, to y1 > y2.

* Funkcja liniowa jest malejąca dla a < 0.

rosną

maleją

Różne argumenty, równe wartości funkcji.

a r g u m e n t y

w a r t o ś c i

FUNKCJA jest STAŁA jeżeli wszystkim argumentom odpowiada ta sama wartość.

Y

x0

x1 x2

* Funkcja liniowa jest stała dla a =0.

x3 x4

y y y y yJeżeli x1< x2,

to y = y ( jest stały )

różne argumenty

te same wartość

-5-4-3-2-1012345678

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Uwaga ! Nie wszystkie funkcje są monotoniczne (tzn. rosnące, malejące lub stałe) w całej dziedzinie.

Ta funkcja jest przedziałami monotoniczna.

Dla x (- 6 ; - 4) - rosnąca

Dla x (- 4 ; -1) - stała

Dla x (-1 ; 0) - malejąca

Dla x (4 ;6 ) - stała

Dla x ( 0 ; 4 ) - rosnąca

DE

FIN

ICJA

Miejscem zerowym funkcji jest argument,

dla którego wartość funkcji wynosi 0.

Liczymy argument

x = ?

Wartość funkcji wynosi 0 y = 0

Przykłady obliczania miejsc zerowych dla funkcji określonych wzorami:

Funkcja liniowa y = 2x - 5 0 = 2x - 5

2x = 5 xo = 2,5

Funkcja kwadratowa y = x2 - 9 0 = x2 - 9 x2 = 9 xo = 3 lub xo = - 3

A B

xo 0

x1

x2

x3

y1

y2

y3

f(x)

f(xo) = 0.

xo y

*

Miejsce zerowe funkcji odczytujemy z wykresu, określając odciętą punktu przecięcia z osią OX.

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Dwa miejsca zeroweXo = - 2 i Xo = 2

Jedno miejsce zeroweXo = 1

Brak miejsc zerowych

Miejsca zerowe można także odczytać z tabeli i wykresu.

x -1 1 2 3 4 5

y -3 -1 0 -3 -4 -5

y = 0 dla xo = 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

DODATNIE

UJEMNE

++

+

++

+

+++

--

-- -

-

- -- -

Y

Wartości funkcji

Wartości funkcji odczytujemy na osi Y. Dla argumentu x = - 3, wartość wynosi y = -2,5,dla argumentu x = 3, wartość wynosi y = 1.

WARTOŚCI

f(x) =

y

X

(- 3;-2.5)

(3,1)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

DODATNIE

UJEMNE

++

+

++

+

+++

--

-- -

-

- -- -

JAKIE WARTOŚCI ?

JAKIE

ARGUM

ENTY?

Dla x ( -1.5; 2) wartości funkcji wynoszą 0.

Dla x ( -6; -1,5) wartości funkcji są ujemne.

Dla x (2; 6) wartości funkcji są dodatnie.*

FUNKCJA LINIOWAFUNKCJA LINIOWA

I JEJ WŁASNOŚII JEJ WŁASNOŚI

FUNKCJA LINIOWA y =a x+b

Jest to funkcja opisana wzorem y = ax+b, gdzie a i b są stałymi współczynnikami liczbowymi. x jest argumentem, y wartością funkcji, x R.

-Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.

- a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wskazuje on kąt nachylenia prostej do osi OX.

- współczynnik b określa punkt przecięcia prostej z osią OY. -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

a = tgb=2

*

Jak rysujemy wykres funkcji liniowej?

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Żeby narysować prostą trzeba mieć co najmniej 2 punkty

jeżeli x=1 to y=3*1+2=5

punkt ( 1, 5 )

(1,5)

x = -2 to y=3*(-2)+2 = - 4

punkt (- 2, -4 )

y = 3x+2

(-2, -4 )

x

y=3x+2

1-2

-4 5

OBLICZENIA

TABELA

WYKRES

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.

*

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

Wykresy funkcji y = ax w zależności od współczynnika kierunkowego a. (b=0)

y = 2x

a=2

y = 5 x

a=5

a=1/2y= -2 x

a= -2

y= -5 x

a= -5

Różne współczynniki a,różne kąty nachylenia do osi OX

a > 0 wykres leży w I i III ćwiartce

a < 0 wykres leży w II i IV ćwiartce

I

III

II

IV

-30-28-26-24-22-20-18-16-14-12-10-8-6-4-202468

1012141618202224262830

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

Wykresy funkcji liniowych

y=ax+b

Współczynnik b - wskazuje punkt

przecięcia z osią OY (0,b)

b=10

b=2

b= -4

b= -10

b=0y=2x+10

y=2x+2

y=2x

y=2x- 4

y=2x-10

Współczynnik kierunkowy a=2 wskazuje kąt nachylenia prostej

do osi OX.(ten sam kąt - proste są

równoległe)

Monotoniczność funkcji liniowej y = ax+b

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -2 0 2 4

x

y Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni. np. y=2x+2

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest ujemny. np. y= -2x+2

Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy a wynosi 0. np. y=0x -2=-2

y = ax+b

rosnąca a>

0

malejąca a<0

stała a=0

*

Miejsce zerowe funkcji liniowej y = ax+b

Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.

Liczymy argument

xo = ?

Wartość funkcji wynosi 0 y = 0

y = 4x - 5 0 = 4x - 5

4x = 5 x = 5/4

x = 1,25

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

y = 4x

+5

A= ( 1,25; 0)

1,25

X0 = 1,25miejsce zerowe

*

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

DODATNIE

UJEMNE

Wartości funkcji liniowej y = ax+b

++

+

+

+

++ + +

--

- -- -

JAKIE WARTOŚCI ?

JAKIE

ARGUM

ENTY?

Dla x< -1 wartości funkcji są ujemne.

Dla x > -1 wartości funkcji są dodatnie.

y = x + 1

xo = -1 jest miejscem zerowym funkcji.

*

Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych• y=4x, x-długość boku y-obwód kwadratu• y=¶x, x-średnica okręgu y-długość okręgu• y=nx, x-długość boku wielokąta foremnego y-obwód wielokąta n- liczba boków• y=kx, x-ilość towaru y- wartość towaru k- cena towaru• s=vt, t-czas, s-droga, v prędkość w ruchu jednostajnym

Wielkości x i y nazywamy wprost proporcjonalnymi

Przykładem funkcji liniowej jest proporcjonalność prosta

y = ax, b=0 Wykres jest prostą przechodzącą przez początek układu

współrzędnych

*

PRZYKŁADYPRZYKŁADY FUNKCJIFUNKCJI

nieliniowychnieliniowych

FUNKCJA KWADRATOWAFUNKCJA KWADRATOWA

Jest to funkcja opisana wzorem y = axy = ax22 + b + b,, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi

i ao.

PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNAPROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA

Jest to funkcja opisana wzorem y = a /xy = a /x gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

MODUŁ LICZBYMODUŁ LICZBY

Jest to funkcja opisana wzorem y = | ax+ b |y = | ax+ b |gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbolaWykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola

y = —y = —aaxx a = x•ya = x•ywspółczynnik współczynnik

proporcjonalnościproporcjonalności

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

xx

yy

aa00 x i y nazywamy wielkościamix i y nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.odwrotnie proporcjonalnymi.

Przykładem wielkości Przykładem wielkości odwrotnie proporcjonalnychodwrotnie proporcjonalnychsą długości zmieniających sięsą długości zmieniających sięboków prostokąta przy stałym boków prostokąta przy stałym polu.polu.

P =x•yP =x•yx,y -długości boków.x,y -długości boków.

*

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabolaWykresem funkcji kwadratowej jest parabola

y= 2x2

y = -2xy = -2x22

y = 2xy = 2x2 2 +10+10

y = 2xy = 2x2 2 -5-5

0

10

20

30

40

50

60

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

a>0a>0

11

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

22

a<0a<0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

33

b=10b=10

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

b=-5b=-5

44

*

Moduł liczby to inaczej jej wartość bezwzględna.Moduł liczby to inaczej jej wartość bezwzględna.Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemnąModuł liczby jest zawsze liczbą nieujemną..

Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję to otrzymujemy funkcję y = y = xx

-5

-3

-1

1

3

5

7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y = y = xx

-5

-4-3

-2

-10

1

2

34

5

67

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y = y = xx +2+2 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = y = x+2 x+2

Dziękuję za uwagęKoniec pokazu

D owiedzie liśm y sięco to jest funkcja .

U trwaliliśm ywłasności funkcji

P rzypom nie liśm y wiadom ościo funkcji lin iowej

i innych funkcjach

Powtórzyliśm y wiadom ościo fonkcji