Filtrado de Difusion Anisotropa

2 de octubre de 2007

1. Teorıa de la difusion anisotropa

Se habla de tecnicas de filtrado basadas en la difusion cuando las operacionesde limpieza de ruido, suavizado y realce de bordes se modelan como un procesode difusion entre celdas adyacentes, de manera que con el paso del tiempo laszonas similares se vuelven mas homogeneas y los bordes se realzan. Si la difusionde la que se habla es isotropa entonces la difusion se produce por igual en todaslas direcciones. Si por el contrario, se habla de anisotropa entonces la difusionvariara segun la direccion.

1.1. Evolucion

En los ultimos anos se han definido diversos modelos para el suavizado ymejora de bordes de las imagenes basados tanto en procesos de difusion linealcomo no lineal. Estos intentos surgen de la idea de analizar las imagenes adiferentes niveles de resolucion. El primer modelo fue propuesto por Witkin [1]y posteriormente fue mas desarrollado por Koenderink [2]. En este modelo laimagen resultante se obtenıa a partir de la convolucion de la imagen originalcon un kernel gaussiano de una cierta varianza σt:

I(x, y, t) = I0(x, y) ∗G(x, y;σt) (1)

Cambiando la varianza σt, se obtiene un conjunto de imagenes a distintasresoluciones Fig. (1). El problema de esta tecnica propuesta, es que las image-nes resultantes tenıan normalmente unas resoluciones muy bastas, que impedıandeterminar exactamente la localizacion de las fronteras y bordes de las estruc-turas. Ademas los bordes que se veıan en estas resoluciones estaban cambiadoscon respecto a sus posiciones originales.

Koenderink [2] apunto que esta serie de imagenes obtenidas derivadas de unsolo parametro se podıan ver como la solucion de la ecuacion de difusion delcalor:

It = ∇I = (Ixx + Iyy) (2)

con la condicion inicial I(x, y, 0) = I0(x, y), la imagen original. Koenderinkformulo la ecuacion de difusion debido al planteamiento de dos criterios:

1. Causalidad: Al disminuir la resolucion no pueden generarse espureos en laimagen.

2. Homogeneidad e isotropıa: La borrosidad debe ser invariante en el espacio.

1

Figura 1: Representacion de las senales obtenidas mediante la convolucion dela original (senal de mas abajo) con un kernel gaussiano, cuya varianza se vaincrementando (desde abajo hacia arriba) .

Estos dos criterios conllevan a la formulacion de la ecuacion del calor, peroel segundo criterio se puede sustituir por algo mas util. Esto fue lo que hicieronP. Perona y J. Malik [3], consiguiendo ası desarrollar un modelo de suavizadomultiescala y mejora de bordes, que ha supuesto una herramienta muy util parala limpieza de ruido en la imagen. Perona y Malik [3] enunciaron los criteriosque se debıan cumplir para obtener un buen modelo de descripcion de imagenesmultiescala. Estos criterios son:

1. Causalidad: De la misma manera que establecio Koenderink.

2. Localizacion inmediata: En cada resolucion los lımites de las regiones de-ben ser distinguidos y deben coincidir con los originales.

3. Suavizado segun zona: El suavizado debe ser mayor dentro de una regionque con las regiones vecinas.

1.2. Base matematica

Teniendo en cuenta esto, se definio un nuevo modelo de filtrado de difusionque logicamente tiene como base matematica la ecuacion de difusion del calor.Esta ecuacion expresada para el procesado de imagenes se representarıa delsiguiente modo:

∂I(x, y, t)∂t

= div (c(x, y, t)∇I(x, y, t)) (3)

donde I(x, y) representarıa la funcion de la intensidad de la imagen, I(x, y, t)es la evolucion de la imagen en el tiempo y div es el operador divergencia,definido:

divf(~x) =n−1∑i=0

∂f

∂xi(4)

y el operador ∇ denota el gradiente:

∇f(~x) =(

∂f

∂x0, . . . ,

∂f

∂xn−1

)(5)

2

La funcion c(x, y, t) se conoce con el nombre de coeficiente de difusion y juntocon el gradiente describe el flujo:

Φ = c(x, y, t)∇I(x, y, t) (6)

Koenderink establecio que el coeficiente c debıa de ser una constante in-dependiente de la localizacion espacial. Es este el caso en el que se realiza unfiltrado lineal, dando lugar a un flujo isotropo y es cuando ademas de elimi-nar ruido se eliminan detalles. Perona y Malik establecieron que el coeficiente cdebıa variar segun su localizacion espacial. De esta manera se obtiene entoncesun flujo anisotropo correspondiente a un filtrado no lineal.

1.3. Coeficiente de difusion

La eleccion del coeficiente de difusion debe ser tal que se cumplan los nuevoscriterios establecidos, y que no se deje de cumplir el criterio de causalidad. Comose ha dicho, debe ser preferente el suavizado dentro de una region al suavizadoentre regiones. Esto podrıa llevar a pensar que el coeficiente de difusion debeser 1 en el interior de cada region y 0 en las fronteras. De esta manera se harıanmas diferenciables los bordes y delimitaciones. Por supuesto, no se sabe cual esel lımite de cada region a priori, sino el problema ya estarıa resuelto, pero loque se puede hacer es estimar una localizacion apropiada de los bordes para laescala correspondiente.

Si definimos E(x, y, t) como un estimador, que idealmente debe cumplir lassiguientes propiedades:

1. E(x, y, t) = 0 en el interior de cada region

2. E(x, y, t) = K∆e(x, y, t) en cada punto correspondiente a un borde de laimagen, donde e es un vector unitario normal al borde y K es el contrastelocal del borde, la diferencia existente entre las intensidades de la imagenexistentes a la derecha e izquierda del punto.

Si se puede definir un estimador para la imagen, entonces se puede escoger elcoeficiente de difusion c(x, y, t) como una funcion dependiente de la magnituddel estimador E.

c = g(‖E‖) (7)

g() debe de ser una funcion no negativa y monotona decreciente con g(0) =1. Ası el proceso de difusion se producira principalmente en el interior de lasregiones y no afectara a las fronteras, donde la magnitud de E es grande.

Es intuitivo que el proceso de difusion satisface los tres criterios establecidospreviamente. El grado en que se cumplen viene determinado por la exactitudcon la que el estimador E defina la posicion de los bordes de la imagen. Definirexactamente la posicion de los bordes requiere mucha carga computacional yalgoritmos muy complicados, por tanto es necesario buscar alguna manera sen-cilla que permita estimar aproximadamente dichos bordes. Afortunadamente seobtienen muy buenos resultados si simplemente se define el estimador como elgradiente del brillo de la imagen.

E(x, y, t) = ∇I(x, y, t) (8)

3

En resumen, hay muchas posibilidades para la eleccion de la funcion g, la masobvia es la funcion bivaluada como antes se ha comentado, y de todas ellas unaopcion bastante buena es la de definir g como una funcion del gradiente de laintensidad de la imagen. Y esta funcion debe ser monotona decreciente.

1.4. Propiedades de la difusion anisotropa

Se ha visto que el primer criterio que debe cumplir la difusion anisotropaes el criterio de causalidad. Este criterio establece que no se deben introducirnuevos detalles en la imagen al pasar de una resolucion fina a una menos fina.Tambien se puede definir diciendo que todos los maximos y todos los mınimosde la funcion intensidad de la imagen existentes en las distintas resolucionesdeben pertenecer a la imagen original.

La ecuacion de difusion (3) es un caso particular de ecuacion elıptica. Estasecuaciones satisfacen el principio del maximo, que establece que todos los maxi-mos de la solucion de la ecuacion en el espacio y en el tiempo pertenecen a lacondicion inicial (imagen original). I(x, y, t) obedece este principio debido a queel coeficiente de difusion nunca es negativo y a que es diferenciable. Ademassi las condiciones de frontera son adiabaticas los maximos solo pertenecen a lacondicion inicial. Tambien se puede demostrar sencillamente que se cumple elprincipio del mınimo. Por tanto se cumple el criterio de causalidad.

Con las tecnicas de filtrado convencionales como el filtrado paso bajo y elfiltrado basado en la difusion lineal el precio que se paga por la eliminacion deruido y mejora de resolucion es la difuminacion de los bordes. Esto hace que sudeteccion y localizacion sea mas difıcil. Para la reconstruccion y mejora de losbordes de la imagen difuminada se puede hacer un filtrado paso alto o filtrarmediante el proceso de difusion hacia atras en el tiempo. Esto tiene el problemade que en la mayorıa de los casos se llega a un estado inestable.

En el caso de la difusion anisotropa si se escoge de forma apropiada el coefi-ciente de difusion se puede hacer que la difusion anisotropa mejore los bordes dela imagen, filtrando hacia adelante en el tiempo, con la estabilidad que garantizael principio del maximo.

Si se modela un borde como una funcion escalon convolucionada con unagaussiana y se asume que el borde esta alineado con el eje de coordenadas y, laexpresion del operador divergencia se puede simplificar a:

div(c(x, y, t)∇I) =∂(c(x, y, t)Ix)

∂x(9)

Si segun lo aconsejado se escoge c como una funcion del gradiente de laintensidad de la imagen I:

c(x, y, t) = g(Ix(x, y, t)) (10)

Y si denotamos como ya se ha visto antes el flujo Φ = cIx, entonces la ecuacionde difusion (3) para 1D se escribirıa del siguiente modo:

It =∂Φ(Ix)

∂x= Φ′(Ix)Ixx (11)

Lo que interesa es la variacion en el tiempo de la pendiente del borde:∂Ix

∂t .Si el coeficiente de difusion es mayor que cero (c > 0) la funcion I() se suaviza,

4

y el orden de la diferenciacion debe ser invertido:

∂Ix

∂t=

∂It

∂x=

∂

∂t

(∂Φ(Ix)

∂x

)= Φ′′I2

xx + Φ′Ixxx (12)

Suponiendo que el borde esta orientado de modo que Ix > 0. En el punto deinflexion Ixx = 0, e Ixxx � 0 desde el punto de inflexion correspondiente alpunto de maxima pendiente. Entonces en las vecindades del punto de inflexion∂(Ix)

∂t tiene el signo contrario a Φ(Ix). Si Φ′(Ix) > 0 la pendiente del bordedecrecera con el transcurso del tiempo y si, por el contrario, Φ′(Ix) < 0 lapendiente se incrementara con el transcurso del tiempo. Es decir, es en esteultimo caso cuando los bordes se haran mas diferenciables.

Mediante el desarrollo que se acaba de hacer, se demuestra lo que ante-riormente se habıa dicho: la funcion g debe ser monotona decreciente. Ası seconsigue que los bordes sean mas afilados y por tanto se facilite la realizacion deoperaciones posteriores. Hay que aclarar que aunque en la vecindad a la regionde mas pendiente de un borde quizas se produzca el proceso de difusion haciaatras en el tiempo debido a que Φ′(Ix) es negativa (11), y como se sabe estopodrıa llevar a estados inestables y a la amplificacion de ruido, este hecho noes preocupante, ya que el principio del maximo garantiza que estos fenomenosno se produzcan. Experimentalmente se ha observado que en esas areas en lasqueΦ′(Ix) < 0 el proceso permanece estable.

Perona y Malik [3] propusieron dos funciones para el coeficiente de difusion:

c1(~x, t) = exp(−(|∇I(~x, t)|

K)2) (13)

c2(~x, t) =1

1 + ( |∇I(~x,t)|K )2

(14)

E coeficiente de difusion decrece monotonamente a medida que el gradienteaumenta. Cuando el gradiente es grande la difusion, por tanto, que se va aproducir va a ser pequena, y viceversa.

El comportamiento de estas dos funciones es diferente, la primera (13) vadar preferencia a los bordes con contraste alto frente a los de contraste bajo yla segunda (14) va dar preferencia a las regiones anchas frente a las estrechas.En cuanto al parametro K, este va influir de manera importante en el gradode difusion. A medida que este es mayor la difusion es mayor para el mismogradiente. Su valor va a depender de cual sea la aplicacion concreta, y estesera elegido segun el nivel de ruido y la intensidad de los bordes existentes. Estevalor, para la realizacion del proceso de difusion, puede fijarse de antemano,ası un valor adecuado, por ejemplo, es uno comprendido en el rango 1,5∗σnoise <K < 2,0 ∗ σnoise, o puede calcularse de alguna manera en cada iteracion y portanto ir variando.

El maximo flujo se genera cuando ∇I es igual a K. Cuando decrece pordebajo de K el flujo tiende a cero, ya que en las regiones homogeneas existe unflujo mınimo o nulo. Por encima de K el flujo otra vez decrece a cero, haciendoası que la difusion se pare en aquellas zonas con grandes gradientes.

5

2. Difusion anisotropa. Practica

2.1. Formulacion discreta 1D

Para el tratamiento de imagenes es necesario realizar una reformulacion enforma discreta de la ecuacion de difusion 3 definida anteriormente para los casoscontinuos. En este caso, en vez de calcular los gradientes locales, sus valores sepueden aproximar por las diferencias existentes entre los elementos de datoscercanos. Para proporcionar una mejor apreciacion de lo que significa el procesode difusion no lineal, primero se va a realizar la reformulacion para el caso deuna dimension (1D). Para ello se va a tomar como eje de coordenadas el ejex. Teniendo en cuenta esto, la ecuacion de difusion para 1D se escribirıa delsiguiente modo:

∂I(x, t)∂t

= div (c(x, t)∇I(x, t)) (15)

Considerando que para 1D: div = ∇ = ∂∂x , y sustituyendo en (15):

∂I(x, t)∂t

=∂

∂x

(c(x, t)

∂I(x, t)∂x

)(16)

Si ahora se tiene en cuenta la aproximacion:

∂f(x, t)∂x

≈ 1∆x

(f(x +∆x

2, t)− f(x− ∆x

2, t))

y se aplica en (16):

∂I(x, t)∂t

≈ ∂

∂x[c(x, t) ∗ (I(x +

∆x

2, t)− I(x− ∆x

2, t))] (17)

Si de nuevo se aplica la aproximacion de la diferencial en la anterior ecuacionse obtiene:

∂I(x, t)∂t

≈ 1∆x2

[c(x+∆x

2, t)(I(x+∆x, t)−I(x, t))−c(x−∆x

2, t)(I(x, t)−I(x−∆x, t))]

(18)Esta ultima ecuacion se puede expresar:

∂I(x, t)∂t

≈ Φd − Φi (19)

donde Φd representa el flujo local hacia la derecha y Φi representa el flujo localhacia la izquierda (ver Fig. (2)).

Si ahora, de forma similar, en (19) se aplica:

∂f(x, t)∂t

≈ 1∆t

(f(x, t + ∆t)− f(x, t))

entonces se obtiene:

I(x, t + ∆t) ≈ I(x, t) + ∆t(Φd − Φi) (20)

Despues de haber realizado todo este desarrollo matematico, se puede ob-servar que al discretizar la ecuacion de calor se llega a un proceso iterativo, en

6

Figura 2: Representacion de las contribuciones de los flujos existentes para elcaso 1D.

el que simplemente se indica que el valor de I, para una cierta coordenada x enel siguiente instante de tiempo (en la siguiente iteracion) va a venir dado por elvalor de I en este instante de tiempo mas un cierto valor que va a depender de ladiferencia entre los flujos hacia la izquierda y hacia la derecha existentes entornoal punto considerado. La estabilidad de este proceso iterativo, logicamente, se vaa obtener mediante la eleccion de un valor adecuado para ∆t. Como se vera masadelante, ∆t no va poder superar cierto valor.

2.2. Formulacion discreta 2D

Una vez visto el desarrollo para el caso de una dimension, se puede procedera ver cual serıa el resultado que se obtendrıa en el caso 2D. Para ello vamos atomar como ejes de coordenas los ejes x e y. A priori, visto el resultado anterior,parece que uno puede predecir facilmente cual va a ser la expresion final de laecuacion. Pero para evitar que se hagan predicciones erroneas, veamos comoserıa el desarrollo. La ecuacion de la que se parte, para 2D, tendrıa la siguienteexpresion:

∂I(x, y, t)∂t

= div[c(x, y, t) ∗ ∇I(x, y, t)] (21)

Teniendo en cuenta las aproximaciones de las que se ha hablado para 1D yhaciendo una extension de ellas para 2D, la anterior ecuacion se podrıa expresar:

∂I(x, y, t)∂t

≈ 1∆x2

[c(x +∆x

2, y, t) ∗ (I(x + ∆x, y, t)− I(x, y, t))

− c(x− ∆x

2, y, t) ∗ (I(x, y, t)− I(x−∆x, y, t))]

+1

∆y2[c(x, y +

∆y

2, t) ∗ (I(x, y + ∆y, t)− I(x, y, t))

− c(x, y − ∆y

2, t) ∗ (I(x, y, t)− I(x, y −∆y, t))]

(22)

Se aprecia que el primer sumando en el termino de la derecha de la ecuacion(22) es similar al termino que se tenıa a la derecha de la igualdad en (18),realmente solo se diferencia en la presencia de la coordenada y, por tanto estetermino sera equivalente a la diferencia entre dos flujos locales. Uno de ellossera un flujo hacia la derecha y el otro hacia la izquierda en el eje x, al igual queen el caso de una dimension. El segundo sumando en (22) es igual al primero,salvo que las variaciones se producen en y en vez de en x. Por tanto, tambienequivaldra a la diferencia entre dos flujo locales, uno hacia la derecha y el otro

7

P3P1 P2

P4 P5

P7 P8 P9

P6

Figura 3: Vecindario 3x3.

hacia la izquierda, pero ahora en el eje y. Viendo esto, entonces, se puede yadar la expresion final de la discretizacion para el caso 2D:

I(x, y, t + ∆t) ≈ I(x, y, t) + ∆t ∗ (Φe − Φw + Φn − Φs) (23)

donde Φe y Φw son los flujos hacia el este y hacia el oeste, que se corresponderıancon los flujos hacia la derecha e izquierda en el eje x y Φn y Φs son los flujosnorte y sur que se corresponden con los flujos hacia la derecha e izquierda en eleje y. Como en el caso 1D se obtiene un proceso iterativo en el que en cada nuevopaso temporal t + ∆t una nueva imagen es generada a partir de la imagen delpaso temporal t mas un cierto valor que va a depender de las diferencias entre losflujos locales. Logicamente la estabilidad del resultado va a venir determinadapor el parametro ∆t.

2.3. Aplicacion a imagenes

Puesto que lo que interesa es poder aplicar la ecuacion (23) a imagenes,en concreto a imagenes medicas, se debe expresar dicha ecuacion en funcionde los pıxeles de la imagen. I(x,y,t), para un cierto valor de x y otro de y,hara referencia a la intensidad de un cierto pixel de la imagen en un instantede tiempo. El valor de este en el siguiente paso temporal como se ha dicho yavarıas veces, estara influenciado por los cuatro vecinos situados al norte, sur,este y oeste. Pero para obtener mejores resultados, a la hora de calcular losflujos, no solo se van a tener en cuenta estos cuatro pıxeles, sino que tambiense consideraran los cuatros vecinos diagonales. Por tanto, se va a trabajar conuna matriz de 3× 3 centrada en el pixel de estudio Fig. (3).

Las expresiones de los cuatro flujos, que se deben de poner en funcion de lospıxeles, son las siguientes:

Φe =1

∆x2

[c(x +

∆x

2, y, t) ∗ (I(x + ∆x, y, t)− I(x, y, t))

]Φw =

1∆x2

[c(x− ∆x

2, y, t) ∗ (I(x, y, t)− I(x−∆x, y, t))

]Φn =

1∆y2

[c(x, y +

∆y

2, t) ∗ (I(x, y + ∆y, t)− I(x, y, t))

]Φs =

1∆y2

[c(x, y − ∆y

2, t) ∗ (I(x, y, t)− I(x, y −∆y, t))

]

8

(24)

Ademas el coeficiente de difusion siguiendo la recomendacion de Perona yMalik se expresa como una funcion del gradiente:

c(x, y, t) = f(‖∇I(x, y, t)‖) (25)

Y si se hace la aproximacion del gradiente vista anteriormente, se tiene paraun cierto t :

‖∇I(x, y)‖ ≈

√1

∆x2

[I(x +

∆x

2, y)− I(x− ∆x

2, y)

]2

+1

∆y2

[I(x, y +

∆y

2)− I(x, y − ∆y

2)]2

(26)Tras las operaciones pertinentes (ver apendice A), se pueden obtener los

siguientes gradientes en funcion de los pıxeles de la matriz centrada en P5:

‖∇I(x +∆x

2, y)‖ ≈

√1

∆x2(P6 − P5)2 +

1∆y2

(P9 − P3

2)2

‖∇I(x− ∆x

2, y)‖ ≈

√1

∆x2(P5 − P4)2 +

1∆y2

(P7 − P1

2)2

‖∇I(x, y +∆y

2)‖ ≈

√1

∆x2(P9 − P7

2)2 +

1∆y2

(P8 − P5)2

‖∇I(x, y − ∆y

2)‖ ≈

√1

∆x2(

(P3 − P1

2)2 +1

∆y2(P5 − P2)2

(27)

Estas expresiones permiten ya expresar los flujos en funcion de los pıxeles:

Φe = Φe(P6, P5, P9, P3)Φw = Φw(P5, P4, P7, P1)Φn = Φn(P8, P5, P9, P7)Φs = Φs(P5, P2, P3, P1)

(28)

Se representan de forma esquematica cuales son los pıxeles que intervienenen cada flujo en la Fig. (4). Se aprecia, como ya se dijo antes y se indica en(28), que para calcular el flujo local en una determinada direccion se tienen encuenta ademas los dos pıxeles vecinos en las diagonales, ası, por ejemplo, paracalcular el flujo local hacia el norte no solo se tienen en cuenta P8 y P5, sinoque tambien P9 y P7. Un hecho importante que hay que considerar es que ladistancia existente con los vecinos diagonales logicamente es mayor, por lo quepara tenerlo en cuenta es necesario hacer la siguiente igualacion: ∆x = ∆ =

√2.

La experiencia nos has mostrado que no es necesario buscar esquemas mascomplicados que incluyan mas puntos, con los que se consideran (Fig. (3)) ya seobtienen buenos resultados.

9

������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������

P3P1 P2

P4 P5

P7 P8 P9

P6

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����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

P3P1 P2

P4 P5

P7 P8 P9

P6

P3P1 P2

P4 P5

P7 P8 P9

P6

P3P1 P2

P4 P5

P7 P8 P9

P6

WEST EAST NORTH SOUTH

Figura 4: Pıxeles que intervienen en los distintos flujos locales.

2.4. Calculo de ∆t

Tanto en el caso de formulacion discreta de la ecuacion de difusion para unadimension (19) como en las de dos dimensiones (23) y tres dimensiones (??)aparece el factor ∆t, que como se sabe representa el tamano del paso temporal,del que solo se ha dicho que su valor debe ser escogido correctamente para evitarllegar a resultados inestables, pero no se le ha asignado ningun valor en concreto.

Cuanto menor sea el valor de esta constante de integracion la estabilidad delproceso iterativo sera mayor. Pero escoger un valor muy pequeno requiere unelevado numero de iteraciones. Por tanto, parece importante ver cual es el lımitesuperior de ∆t, para ası, aproximandose a ese lımite, se evitaran inestabilidadesy elevadas iteraciones. Para calcular dicho lımite, logicamente, se parte de laformulacion discreta del proceso de difusion, teniendo solo en cuenta la variabletemporal t :

I(t + ∆t) ≈ I(t) + ∆t ∗ It (29)

donde It representa ∂I∂t . Y si se sustituye It por su valor se obtiene:

I(t + ∆t) ≈ I0 + ∆t ∗n∑

i=1

ci(Ii − I0) = I0 ∗ (1−∆t ∗n∑

i=1

ci) + ∆t ∗n∑

i=1

ciIi (30)

donde Ii representan las intensidades vecinas a I0, que es la que se tiene comoreferencia para hacer los calculos, n representa el numero de vecinos consideradosal calcular los flujos locales para cada caso y ci son los coeficientes de difusion.Para alcanzar una variacion monotona de las intensidades el peso de I0 debe sermayor o igual que los pesos de los vecinos Ii:

(1−∆t ∗n∑

i=1

ci) ≥ ∆t ∗ ck

k ∈ 1, . . . , n

(31)

En el caso de maxima difusion los coeficientes de difusion son iguales a 1(ck = 1). Si se tiene en cuenta esto y desarrollando (31) se obtiene el lımitesuperior de ∆t:

∆t ∗ (ck +n∑

i=1

ci) ≤ 1

∆t ≤ 11 + n

10

ci = 1, i ∈ 1, . . . , n

(32)

Si se consideran las diferentes posibilidades de n se obtiene la Tabla 1.

Dimensiones num. vecinos 1 + n maximo ∆t1D 2 3 1/32D 4 5 1/5

8 7 1/73D 6 7 1/7

26 47/3 3/47

Cuadro 1: Maximo valor de ∆t para las diferentes dimensiones y numero devecinos

Para aclarar posibles dudas acerca de los resultados mostrados en la Tabla1 hay que decir que en los calculos realizados anteriormente se consideraba∆x2 = 1, esto es debido a que no se tienen en cuenta los vecino situados enlas diagonales, etc. En el caso de considerar un mayor numero de vecinos estefactor debe ir tomando otros valores. Ası, por ejemplo, para 2D, considerando 8vecinos, el maximo ∆t es 1/7 (si se considerase ∆x2 = 1 debıa de ser 1/9), estoes debido a que en este caso se tiene:

8∑i=1

ci = 4 ∗ 1 + 4 ∗ 12

= 6

∆t ≤ 11 + 6

=17

(33)

Existen 4 vecinos con ci = 1 y ∆x2 = 1 y otros 4 vecinos, los de las diago-nales, para los que hay que considerar que 1

∆x2 = 12 . Analogamente, en el caso

3D con 26 vecinos se tienen 6 vecinos con 1∆x2 = 1, 12 en las diagonales con

1∆x2 = 1

2 y 8 en las esquinas del cubo con 1∆x2 = 1

3 :

2∑i=1

6ci = 6 ∗ 1 + 12 ∗ 12

+ 8 ∗ 13

= 12 +83

=443

∆t ≤ 11 + 44

3

=347

(34)

3. Principales Papers

3.1. Perona Y Malik

Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, (IEEE PAMI),Julio 1990. [3]

3.1.1. Abstract

A new definition of scale-space is suggested, and a class of algorithms usedto realize a diffusion process is introduced. The diffusion coefficient is chosen tovary spatially in such a way as to encourage intraregion smoothing rather than

11

interregion smoothing. It is shown that the ‘no new maxima should be generatedat coarse scales’ property of conventional scale space is preserved. As the regionboundaries in the approach remain sharp, a high-quality edge detector whichsuccessfully exploits global information is obtained. Experimental results areshown on a number of images. Parallel hardware implementations are madefeasible because the algorithm involves elementary, local operations replicatedover the image

3.1.2. Resumen

La idea basica de su trabajo es la posibilidad de convolucionar con un kernelGaussiano variante con el tiempo (scale-space filtering):

I(x, y, t) = I0(x, y) ∗G(x, y; t) (35)

Esta clase de filtrado presenta ciertas desventajas, fundamentalmente una dis-torsion espacial, fruto del kernel gaussiano. Plantean un nuevo paradigma pa-ra generar imagenes multiescala. Para que las descripciones tengan sentidosemantico deben cumplir:

1. Causalidad: No deben aparece detalles espureos.

2. Localizacion inmediata: A cada resolucion los bordes deben estar biendefinidos.

3. Smoothing basado en elementos: Se da preferencia al smoothing intraregionfrente a interregion.

Plantean un metodo basado en difusion anisotropa. Parten de la siguienteecuacion:

It = div(c(x, y, t)∇I) = c(x, y, t)∆I +∇c · ∇I (36)

El coeficiente de difusion c(x, y, t) lo definen como una funcion decreciente delgradiente:

c(x, y, t) = g(||∇I(x, y, t)||)

Plantean una discretizacion de la ecuacion de difusion basada en cuatro flujos:

It+1i,j = It

i,j + λ[cN · ∇NI + cS · ∇SI + cE · ∇EI + cW · ∇W I]ti,j

donde ∇NIi,j = Ii−1,j − Ii,j y ctNi,j

= g(||(∇I)ti+(1/2),j ||). Para la funcion g(x)

plantea dos posibilidades:

g1(x) = e−(

||x||K

)2

(37)

g2(x) =1

1 +(||x||K

)2 (38)

3.2. Gerig92

Nonlinear anisotropic filtering of MRI data. (IEEE Tr. Medical Imaging).Junio 1992. [4]

12

∂

∂tI(~x, t) =

1∆x2

[c

(x +

∆x

2, y, t

)∗ (I(x + ∆x, y, t)− I(x, y, t))

−c

(x− ∆x

2, y, t

)∗ (I(x, y, t)− I(x−∆x, y, t))

]+

1∆y2

[c

(x, y +

∆y

2, t

)∗ (I(x, y + ∆y, t)− I(x, y, t))

−c

(x, y − ∆y

2, t

)∗ (I(x, y, t)− I(x, y −∆x, t))

]= ΦE − ΦW + ΦN − ΦS (39)

3.2.1. Abstract

In contrast to acquisition-based noise reduction methods a postprocess ba-sed on anisotropic diffusion is proposed. Extensions of this technique support3-D and multiecho magnetic resonance imaging (MRI), incorporating higherspatial and spectral dimensions. The procedure overcomes the major drawbacksof conventional filter methods, namely the blurring of object boundaries andthe suppression of fine structural details. The simplicity of the filter algorithmpermits an efficient implementation, even on small workstations. The efficientnoise reduction and sharpening of object boundaries are demonstrated by ap-plying this image processing technique to 2-D and 3-D spin echo and gradientecho MR data. The potential advantages for MRI, diagnosis, and computerizedanalysis are discussed in detail.

3.2.2. Resumen

Este paper de Gerig es realmente la primera implementacion practica realde la idea planteada por Perona y Malik. Sigue la misma ecuacion de difusion:

∂

∂tu(~x, t) = div(c(~x, t),∇u(vecx, t))

Para c(~x, t),∇u(vecx, t) usa ecuaciones muy similares a las del caso anterior.Plantea una nueva formulacion discreta (ver eq. (39)). De manera mas sencillase puede representar como

I(t + ∆t) ≈ I(t) + ∆t∂

∂tI(t)

= I(t) + ∆t(ΦE − ΦW + ΦN − ΦS) (40)

En este paper se plantea tambien el estudio de algunos parametros, como elparametro K (eqs. (37) y (38)). Si σ2

n es la varianza de ruido en la imagen, unabuena eleccion de K es

1,5σn < K < 2σn

El escalon temporal ∆t debe elegirse para lograr que los flujos que afectan a laimagen no hagan esta inestable. Se elige

∆t ≤ 11 + n

(41)

13

siendo n el numero de nodos del vecindario. (Realmente se toma el numero deflujos que actuan sobre el pixel).

3.3. Catte92

Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion (SIAMJ. Number Anal.) Feb. 1992 [5]

3.3.1. Abstract

A new version of the Perona and Malik theory for edge detection and imagerestoration is proposed. This new version keeps all the improvements of theoriginal model and avoids its drawbacks: it porved to be stable in presence ofnoise, with existence and uniqueness results. Numerical experiments on naturalimages presented.

3.3.2. Resumen

Parten de la ecuacion de difusion∂

∂tu = div(g(|∇u|)∇u), u(0) = u0

Las crıticas que hacen al modelo de Perona y Malik son las siguientes:

En caso de tener una imagen ruidosa, este ruido introduce variaciones noacotadas del gradiente ∇u. El propio modelo no puede con este ruido.

Las funciones g(s) usadas por P-M no son correctas para la ecuacion dedifusion. Para obtener una solucion de la ecuacion y que esta sea unica,debe cumplirse la condicion de que sg(s) sea no decreciente. En la practi-ca esto significa que imagenes muy parecidas pueden producir solucionesdivergentes, y por lo tanto diferentes bordes.

Se trata de un problema “ill-posed”

Para su nueva aproximacion parten de

∂

∂tu = div(g(|DGσ ∗ u|)∇u), u(0) = u0 (42)

La diferencia con PM es que reemplazan el gradiente (∇u) dentro de la funciong por su estimador DGσ ∗u. De este modo no es necesario realizar un smoothingprevio para eliminar ruido y se puede probar que la solucion es unica. (En lapractica se puede reemplazar este estimador por un filtrado pasobajo realizadopor un kernel Gaussiano).

Plantean un esquema iterativo que converge a la solucion

dun+1

dt(t) = div(g(|∇Gσ ∗ un(t)|)∇un+1(t)) (43)

que lleva a una nueva discretizacion del problema de la difusion, concretamentea

un+1 − un

∆t+ Ah(un)un+1 = 0, n ≥ 0 (44)

donde Ah es una matriz tridiagonal por bloques y definida positiva. La matriztotal I + ∆tAh(un) es invertible.

14

3.4. Weickert98

Efficiente and reliable schemes for nonlinear diffusion filtering, (IEEE Tr.Image Proc) Mar. 1998.[6].

3.4.1. Abstract

Nonlinear diffusion filtering is usually performed with explicit schemes. Theyare only stable for very small time steps, which leads to poor efficiency and li-mits their practical use. Based on a recent discrete nonlinear diffusion scale-spaceframework we present semi-implicit schemes which are stable for all time steps.These novel schemes use an additive operator splitting (AOS), which guaran-tees equal treatment of all coordinate axes. They can be implemented easily inarbitrary dimensions, have good rotational invariance and reveal a computatio-nal complexity and memory requirement which is linear in the number of pixels.Examples demonstrate that, under typical accuracy requirements, AOS schemesare at least ten times more efficient than the widely used explicit schemes.

3.4.2. Resumen

El paper presenta una una solucion a la ecuacion de difusion. Parte del esque-ma de difusion no lineal de Catte et al. [5]. Este esquema es una discretizacionde la ecuacion de difusion

∂tu = div[g(|∇uσ|2)∇u]

siendo u(x, t) la imagen a procesar. Al discretizar la ecuacion para 1D el esquemaexplıcito (tras operar) queda

uk+1 = [I + τA(uk)]uk (45)

Los autores proponen un esquema pseudo implıcito que da lugar a la ecuacion

uk+1 = [I − τA(uk)]−1uk (46)

Para dimension m el esquema explıcito sera

uk+1 = [I + τ

m∑l=1

Al(uk)]uk (47)

y el implıcito

uk+1 = [I − τ

m∑l=1

Al(uk)]−1uk (48)

Al ser muy complicado de calcular para m ≥ 2, se opta por un esquema AOS(Additive Operatot Splitting):

uk+1 =1m

m∑l=1

[I −mτAl(uk)]−1uk (49)

Al ser muy com La ventaja de este esquema es que τ (el escalon temporal) noesta sujeto a la restriccion τ ≤ 1/2m, ya que la ecuacion va a ser siempre estable.

15

Autores Discretizacion ComentariosCatte et al. uk+1 = [I + τ

∑ml=1 Al(uk)]uk Ecuacion explıcita

Weickert et al. uk+1 = [I − τ∑m

l=1 Al(uk)]−1uk Ecuacion semi-implıcitauk+1 = 1

m

∑ml=1[I −mτAl(uk)]−1uk AOS

Perona y Malik It+1s = It

s + λ|ηs|

∑p∈ηs

g(∇Is,p)∇Is,p

Cuadro 2: Comparativa entre Discretizaciones

3.5. Fischl97

Learning an integral equation approximation to nonlinear anisotropic diffu-sion in image processing (IEEE PAMI), abril 1997. [7]

3.5.1. Abstract

Multiscale image enhancement and representation is an important part ofbiological and machine early vision systems. The process of constructing this re-presentation must be both rapid and insensitive to noise, while retaining imagestructure at all scales. This is a complex task as small scale structure is difficultto distinguish from noise, while larger scale structure requires more compu-tational effort. In both cases, good localization can be problematic. Errors canalso arise when conflicting results at different scales require cross-scale arbitra-tion. Structure sensitive multiscale techniques attempt to analyze an image ata variety of scales within a single image. Various techniques are compared. Inthis paper, we present a technique which obtains an approximate solution tothe partial differential equation (PDE) for a specific time, via the solution ofan integral equation which is the nonlinear analog of convolution. The kernelfunction of the integral equation plays the same role that a Green’s functiondoes for a linear PDE, allowing the direct solution of the nonlinear PDE for aspecific time without requiring integration through intermediate times. We thenuse a learning technique to approximate the kernel function for arbitrary inputimages. The result is an improvement in speed and noise-sensitivity, as well asproviding a means to parallelize an otherwise serial algorithm

3.6. Black98

Robust anisotropic diffusion. (IEEE Tr. Imag. Proc). Marzo 1998 [8]

3.6.1. Abstract

Relations between anisotropic diffusion and robust statistics are describedin this paper. Specifically, we show that anisotropic diffusion can be seen asa robust estimation procedure that estimates a piecewise smooth image froma noisy input image. The .edge-stopping”function in the anisotropic diffusionequation is closely related to the error norm and influence function in the robustestimation framework. This connection leads to a new .edge-stopping”functionbased on Tukey’s biweight robust estimator that preserves sharper boundariesthan previous formulations and improves the automatic stopping of the diffusion.The robust statistical interpretation also provides a means for detecting the

16

boundaries (edges) between the piecewise smooth regions in an image that hasbeen smoothed with anisotropic diffusion. Additionally, we derive a relationshipbetween anisotropic diffusion and regularization with line processes. Addingconstraints on the spatial organization of the line processes allows us to developnew anisotropic diffusion equations that result in a qualitative improvement inthe continuity of edges

3.7. Black99

Edges as outliers: anisotropic smoothing using local image statistics. (LNCS)Septiembre 1999. [9]

3.7.1. Abstract

Edges are viewed as statistical outliers with respect to local image gradientmagnitudes. Within local image regions we compute a robust statistical measu-re of the gradient variation and use this in an anisotropic difusion frameworkto determine a spatially varying “edge- stopping”parameter σ. We show howto determine this parameter for two edge-stopping functions described in theliterature (Perona-Malik and the Tukey biweight). Smoothing of the image isrelated the local texture and in regions of low texture, small gradient valuesmay be treated as edges whereas in regions of high texture, large gradient mag-nitudes are necessary before an edge is preserved. Intuitively these results havesimilarities with human perceptual phenomena such as masking and “popout”.Results are shown on a variety of standard images.

3.8. Otros papers

4. Filtrado Anisotropo para Reduccion de Spe-ckle

4.1. Filtros para reduccion de Speckle

4.1.1. El filtro de Lee

El punto de partida de este trabajo son los filtros de reduccion de ruidopropuestos por Lee en [10]. En dicho paper utiliza informacion estadıstica de laimagen para estimar la imagen real en presencia de ruido. Para el caso de ruidoaditivo utiliza un estimador que minimice el error cuadratico medio.

El modelo de ruido multiplicatico que sigue Lee es el siguiente:

zs = xsus (50)

donde xs es la imagen original, us es ruido multiplicativo y zs es la imagen conruido con la que se va a trabajar. El subındice s indica un determinado pixel dela imagen (s = (i, j)). Para el ruido suponemos

E[us] = us (51)

Var(us) = σ2u (52)

17

Para calcular un estimador que obtenga xs a partir de zs hace una aproxi-macion lineal de zs mediante una serie de Taylor

zs = usxs + xs(us − us) (53)

De este modo calcula la media y varianza locales a priori de xs:

xs =zs

us(54)

Var(xs) =Var(zs) + z2

s

σ2u + u2

s

− x2s

=Var(zs) + z2

s

σ2u + u2

s

− z2s

u2s

(55)

A la aproximacion lineal (eq. (53)) le aplica un filtro de Kalman con lo queel estimador resulta ser:

xs = xs + ks(zs − usxs)

=zs

us+ ks(zs − zs) (56)

con

ks =usVar(xs)

x2sσ

2u + u2

sVar(xs)(57)

4.1.2. Filtro de Lee: Desarrollos posteriores

La ecuacion (56) puede escribirse de forma mas compacta en funcion de losdatos disponibles, es decir, de la imagen zs:

xs =1us

(zs + k2s(zs − zs)) (58)

siendo k2s = ksus y

k2s = 1− C4u + Cu2

Cu4 + Cs2(59)

donde

Cu2 =σ2

u

u2s

(60)

Cs2 =Varzs

z2s

(61)

4.1.3. Filtro de Lee: Otros autores

Otros autores que usan el filtro de Lee para ruido multiplicativo parten deuna expresion ligeramente distinta. En lugar de usar la ecuacion (58), en queexiste una separacion entre la imagen original (xs) y la imagen observada (zs),estos autores usan la notacion Is para todas las imagenes:

Is = Is + ks(Is − Is) (62)

18

Notese que entre esta ecuacion y la eq. (58) la diferencia esta en que no se dividepor al media de ruido. Como resultado la imagen final estara escalada (lo cuales un problema que se puede subsanar facilmente). En caso de que la media deruido sea uno, las dos expresiones son identicas. Ademas, existe una diferenciacon el parametro ks:

ks = 1− Cu2

Cs2(63)

que en realidad es una aproximacion de k2s cuando Cu2 < 1, C2s < 1, C4

u <<Cu2 y C4

u << Cs2. (Esto ultimo es una suposicion mıa, ya que si no no entindoa que se debe la reduccion de terminos).

Yu y Acton emplean este expresion como punto de partida de su filtroanisotropo para speckle [11]. Lopes et al. [12] describen el filtro siguiendo tam-bien las ecuaciones (62) y (63).

Me resulta curioso que ambos autores usen esta version reducida, pero citendirectamente el artıculo en que sale la version completa. (Existe una version“refinada”del filtro, pero no he podido conseguir el artıculo)

4.2. Filtro de Kuan

En [13], Kuan et al. desarrollan un modelo para filtrar imagenes con dife-rentes clases de ruido. Entre ellos esta el filtro de smoothing adaptativo para elmodelo de ruido multiplicativo. Parte de las mismas premisas que Lee: modelomultiplicativo (eq. (50))

g′s = usfs (64)

y media y varianza de ruido estacionarias (u, σ2u). Normaliza la senal por la

media de ruido, de tal modo que

gs =g′su

(65)

con lo que gs = fs. El modelo para el filtro es el siguiente:

fs = fs + Ks(gs − fs) (66)

con

Ks =σ2

f

σ2f + σ2

u

u2 (f2s + σ2

f )(67)

σ2f =

σ2g −

σ2u

u2 g2

1 + σ2u

u2

(68)

El filtro de Kuan, segun algunos autores, es el desarrollo estadıstico completodel filtro de Lee. No supone linealidad como el anterior.

4.2.1. Filtro de Kuan: Desarrollos posteriores

Para unificar la notacion con el filtro de Lee usaremos xs para la imagen ori-gimal, zs para la imagen observada, y los cocientes C2

u y C2s . Podemos reescribir

el modelo (eq. (66))

xs =1u

[zs + Ks(zs − zs)] (69)

19

que es el mismo modelo que el de Lee, ahora con

Ks =1− Cu2/Cs2

1 + Cu2= 1− 1 + 1/Cs2

1 + 1/Cu2(70)

4.3. Filtrado anisotropo para reduccion de speckle

En [11] Yu y Acton proponen un modelo para filtrar imagenes con speckle.Para ello parten del filtro anisotropo de Perona y Malik [3] y calculan la funcionde difusion de una manera distinta, basandose en los filtros de Lee y Frost. Porlo tanto, basicamente el trabajo consiste en encontrar una nueva funcion dedifusion que se adapte al modelo de ruido existente.

4.4. Filtro de Lee a filtro anisotropo

Los autores parten del modelo del filtro de Lee descrito en la seccion 4.1.3:

Is = Is + ks(Is − Is)

con

ks = 1− Cu2

Cs2

Podemos reescribir este modelo de la siguiente forma

Is = Is + ks(Is − Is)= Is + (1− ks)(Is − Is)

= Is + (1− ks)1|ηs|

∇2Is (71)

siendo |ηs el tamano de la ventana en la que trabajamos. Podemos reescribirlocomo un proceso temporal:

It+1s = It

s + (1− kts)

1|ηs|

∇2Its (72)

con lo que resulta un proceso de difusion isotropa con ∆t = 1. Si asignamosdiferentes difusiones a cada direccion, logramos un filtrado anisotropo, y trascierta matematica llegamos a

Is = Is +1|ηs|

div[(1− ks)∇Is] (73)

lo que en un proceso de difusion serıa

It+∆ts = It

s +∆t

|ηs|div[(c(Ct

s)∇Its] (74)

conc(Ct

s) = 1− kts (75)

20

4.4.1. Funcion de difusion

Segun los autores esto da lugar a una funcion de la forma

c(Cs) =[1 +

C2s − C2

u

C4u + C2

u

]−1

=C4

u + C2u

C4u + C2

s

(76)

Sin embargo esto no es posible partiendo de su modelo, ya que

c(Cts) = 1− ks =

C2u

C2s

Sı lo serıa partiendo del modelo original de Lee, eq. (59). Por lo tanto, partiendode una solucion simplificada, llegan a la solucion a la que deberıan llegar usandoel modelo completo. Extrano.

Para poder calcular C2s en funcion de los datos, y hacerlo anisotropo, es

decir, distinto para casa orientacion, a partir de ciertos desarrollos, llegan a lasiguiente expresion (para 4 direcciones y 4 pixels)

Cts =

√(1/2)(|∇Is|/Is)2 − (1/16)(∇2Is/Is)2

(1 + (1/4)(∇2Is/Is))2; (77)

Para estimar C2u plantean una aproximacion de la forma

Cu(t) ≈ Cu(0) exp(−ρt) (78)

A pesar de la justificacion en el paper, en la practica no da buenos resultados.Los propios autores plantean otros metodos de estimacion. En [14] lo hacen dela siguiente forma:

Cu(t) =(

C√2

)MAD(∇ log It

s) (79)

donde MAD(x) es la desviacion absoluta de la mediana:

MAD(∇ log Its) = med{||∇ log It

s −med[||∇ log Its||]||}

En [15] los autores presentan una mejora a este esquema y a la estimacionde ruido.

4.5. Otros modelos

Basandose en el trabajo de Yu y Acton, Tauber [16] propone un filtroanisotropo robusto para speckle. Lo que hace es conjugar el filtro de Yu conel filtro anisotropo robusto de Black [8], de tal manera que redefine la funcionde difusion:

c(Cs) =

{(1/2)

[1− C2

s−C2u

C2u+Cu4

]2

Si C2s−C2

u

C2u+Cu4 ≤ 1

0 de otro modo

Ofrece mejores resultados que la funcion de Yu, pero es una extension muyinmediata, basandose en el texto de Black. (Aunue podrıa usarse sobre nuestraextension...)

21

Referencias

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[2] J. Koenderink, “The structure of images,” Biological Cybernetics, vol. 50,pp. 363–370, 1984.

[3] J. M. P. Perona, “Scale-space and edge detection using anisotropic diffu-sion,” IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 12, no. 7, pp. 629–639,July 1990.

[4] R. K. G. Gerig, O. Kubler and F. Jolesz, “Nonlinear anisotropic filteringof MRI data,” IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 11, no. 2, pp.221–232, June 1992.

[5] F. Catte, P. Lions, J. Morel, and T. Coll, “Image selective smoothing andedge detection by nonlinear diffusion,” SIAM J. Numer. Anal., vol. 29, pp.182–193, 1992.

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[8] M. J. Black, G. Sapiro, D. H. Marimont, and D. Heeger, “Robust aniso-tropic diffusion,” IEEE Trans. Image Proccess., vol. 7, no. 3, pp. 421–432,Mar. 1998.

[9] M. J. Black and G. Sapiro, “Edges as outliers: anisotropic smoothing usinglocal image statistics,” Lecture Notes on Computer Science, vol. 1682, pp.259–270, Sept. 1999.

[10] J. Lee, “Digital image enhancement and noise filtering using local statis-tics,” IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. PAMI-2, no. 2, pp.165–168, Mar. 1980.

[11] Y. Yu and S. Acton, “Speckle reducing anisotropic diffusion,” IEEE Tran-sactions on Image Processing, vol. 11, no. 11, pp. 1260–1270, Nov. 2002.

[12] A. Lopes, R. Touzi, and E.Nezry, “Adaptive speckle filters and scene he-terogeneity,” IEEE Transaction on geoscience and remote sensing, vol. 28,no. 6, pp. 992–1000, Nov. 1990.

[13] D. T. Kuan, A. A. Sawchuk, T. C. Strand, and P. Chavel, “Adaptive noi-se smoothing filter for images with signal-dependent noise,” IEEE Trans.Pattern Anal. Mach. Intell., vol. PAMI-7, no. 2, pp. 165–177, Mar. 1985.

[14] Y. Yu and S. Acton, “Edge detection in ultrasound imagery using theinstantaneous coefficient of variation,” IEEE Transactions on Image Pro-cessing, vol. 13, no. 12, pp. 1640–1655, Dec. 2004.

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[15] S. Aja-Fernandez and C. Alberola-Lopez, “On the estimation of the coef-ficient of variation for anisotropic diffusion speckle filtering,” IEEE Trans.Image Proccess., vol. 15, no. 9, pp. 2694–2701, Sept. 2006.

[16] C. Tauber, H. Batatia, and A. Ayache, “A robust speckle reducing aniso-tropic diffusion,” in Proceedings of ICIP 2004, 2004.

23