ELECTRODINAMICA CLASICAFIM 8650 (5)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

2do. Semestre 2014

Modelo simple de dispersion

Queremos encontrar una expresion para la dependencia de lapermitividad εo de la frecuencia ω. Para esto consideramos unmodelo clasico muy simple de un electron de carga −e ligado porfuerzas armonicas. Por simplicidad no haremos diferencia entre elcampo local y el aplicado. Ası escribimos la ecuacion de movimientopara un electron ligado con una frecuencia propia ω2

o , una constantede amortiguamiento γ, sometido a un campo externo:

m[~x ′′ + γ~x ′ + ω2o~x ] = −e~E(~x , t)

Si ~E(~x , t) es un campo de la forma e−iωt , obtenemos, para elmomento dipolar:

~p = −e~x =e2

m(ω2

o − ω2 − iωγ)−1~E

Si hay N moleculas o atomos por unidad de volumen con Z electrones pormolecula y hay fj electrones por molecula con frecuencias propias ωj yconstantes de amortiguamiento γj , usando ~P = χ~E y ε/εo = 1 + χ,obtenemos:

ε(ω)/εo = 1 +Ne2

εom

∑j

fj (ω2j − ω2 − iωγj )

−1 (1)

donde ∑j

fj = Z

En general γi << ωi . Cuando ω es pequeno ω < ωi y todos los terminos dela suma son positivos. En esta region Re(ε) crece con ω. Eventualmente ωcruza una resonancia ωi , y la parte real toma un valor muy grande positivopara ω . ωi y negativo para ω & ωi y la parte imaginaria toma un valor muygrande.A medida que ω aumenta, al cruzar los puntos ωi , mas y mas terminosnegativos se agregan a la suma, hasta que eventualmente la suma esnegativa y ε(ω) es menor que uno.La region donde Re(ε) crece con ω se llama region de dispersion normal,en caso contrario region de dispersion anomala. la cual se caracterizaporque Im(ε) es grande.Este comportamiento se muestra en las figuras siguientes

Dispersion anomala

ω

Re ε

ω

Im ε

La parte imaginaria esta relacionada con la absorsion de la onda.Esto se puede ver de la siguiente manera.

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell, para ~J = 0

∇× ~E − iω~B = 0 ∇× ~H − iω~D = 0

con ~D = ε~E y ~B = µ~H. Entonces obtenemos:

∇× ~E − iω~B = 0 ∇× ~B − iωµε~E = 0

→ (∇2 + µεω2)~E , ~B = 0

Por lo tanto k2 = µεω2. Despreciando la dependencia de µ en ω,podemos escribir:

k = β + i12α → β2 − 1

4α2 =

ω2

c2Re(ε

εo), βα =

ω2

c2 Im(ε

εo)

En general α << β y por lo tanto:

α =Im(ε)

Re(ε)β

Bajas frecuencias. Conductores. Modelo de Drude

En el caso de muy bajas frecuencias, hay dos posibilidades para lafrecuencia de resonancia mas baja:

ωo 6= 0. Este es el caso de los aisladores:

ε(ω) = εo +Ne2

mfoω2

o

Aquı encontramos que la polarizabilidad (momento dipolarpromedio dividido por εo y por el campo aplicado) es:

γpol o αpol =e2

mεoω2o

ωo = 0. Conductores.

ε(ω) = εb + iNe2fo

mω(γo − iω)(2)

Los electrones con ωo = 0 pueden ser interpretados como electroneslibres (como en un conductor) y εb corresponde al resto de loselectrones ligados (con ωo 6= 0).Esta expresion puede ser interpretada a partir de la ecuacion deMaxwell-Ampere:

∇× ~H = ~J +d ~Ddt

= σ~E + εbd ~Edt

→ ∇× ~H = (σ − iωεb) ~E = −iω(εb + i

σ

ω

)~E (3)

Por otra parte si no insertaramos explicitamente la ley de Ohm~J = σ~E , sino que atribuyeramos todas las propiedades del medio a lafuncion dielectrica ε(ω) tendrıamos:

∇× ~H = −iωε(ω)~E (4)

Ası la comparacion entre (2), (3) y (4) nos da:

σ =foNe2

m(γo − iω)

expresion similar a la obtenida por el modelo de Drude (1900).

Ahora podemos estimar el rango de frecuencias para las cuales σ esreal:

Para el cobre a bajas frecuencias σ ' 5,9× 107 (Ωm). Pero comoN = 8× 1028 atomos/m3, obtenemos γo/fo ' 4× 1013 segundos−1. Comofo ' 1, podemos concluir que hasta frecuencias del rango de microondas(ω ' 1011 segundos−1), σ para metales es real.

Altas frecuencias. Frecuencia de plasma

A frecuencias mucho mayores que la mas alta frecuencia deresonancia, podemos escribir:

ε(ω)

εo= 1−

ω2p

ω2 donde ω2p =

NZe2

mεo(5)

ωp se llama frecuencia del plasma y depende solamente del numerototal de electrones por unidad de volume NZ .

De n(ω) =√ε(ω)/εo y k = ωn/c, la relacion de arriba se puede

expresar como el numero de onda:

k =1c

√ω2 − ω2

p

o como la relacion de dispersion:

ω2 = ω2p + c2k2

En cierta situaciones experimentales (como plasmas tenues), larelacion (5) es valida para un rango muy grande de frecuencias,incluyendo ω < ωp, rango en el cual el numero de onda es imaginariopuro. Entonces una onda que incide sobre un plasma es reflejada ylos campos decaen exponencialmente desde la superficie. En ω = 0la constante de atenuacion es aproximadamente

αplasma '2ωp

c

Para plasmas con densidades del orden de 1018 −−1022

electrones/m3, ωp ' 6× 1010 − 6× 1012 segundos−1, lo que nos dalongitudes de atenuacion α−1 de entre 0.2 a 0.002 cm.

Los metales a frecuencias opticas tienen una alta reflectividad, cuyoorıgen es similar al de los plasmas tenues. Para ω >> γo

ε(ω) = εb(ω)−ω2

p

ω2 εo

donde ω2p = ne2/m∗εo es la frecuencia de plasma adecuada para los

metales. Aquı se introduce la masa electronica efectiva. Paraω << ωp el comportamiento de la luz incidente es similar al caso delplasma tenue. La luz penetra una distancia muy corta en el metal.Pero al crecer ω se llega a un punto donde la reflectividad disminuyerapidamente y el metal puede transmitir la luz. Esto es lo que sellama la transparencia ultravioleta.

Indice de refraccion y absorsion del agua

105

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

1

10

102

103

104

610

210 10 1010 1410 181022106

Frecuencia(Hz)

Coeficiente de absorsiondel agua −1)(cm

Indice derefraccion

Paquetes de onda. Velocidad de grupo

Consideramos un paquete de ondas en el cual las frecuencias seesparcen en un pequeno intervalo alrededor de una frecuenciacentral, con amplitud decreciente. Ya que las ecuaciones son linealesse puede aplicar la superposicion de varias frecuencias, pero hayque tener en cuenta varias consideraciones:

Si el medio es dispersivo, la velocidad de fase no es la mismapara cada frecuencia.

En un medio dispersivo la velocidad del flujo de energıa puedediferir en gran medida de la velocidad de fase, o incluso carecerde un significado preciso.

En un medio disipativo un pulso de radiacion quedara atenuadoal viajar y quedara distorcionado o no, dependiendo de ladependencia en la frecuencia de los efectos de disipacion.

Suponemos una relacion de dispersion ω = ω(k), con ω(k) = ω(−k)y consideramos un caso simple en que la amplitud de onda dependesolo de una coordenada, x .

Escribimos el paquete de ondas como:

u(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞

A(k)eikx−iω(k)tdk

Las amplitudes estan dadas por la transformada de u(x ,0:

A(k) =1√2π

∫ ∞−∞

u(x ,0)e−ikxdx

‘Si u(x ,0) = eikox , i.e. una onda armonica, entonces:

A(k) =√

2πδ(k − ko) i.e. una onda monocromatica

yu(x , t) = eikox−iω(ko)t

Sin embargo si tenemos un paquete de ondas, podemos calcular:

∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2

y

∆k =√〈k2〉 − 〈k〉2

donde,

〈f (x)〉 =

∫f (x)|u(x ,0)|2dx y

〈g(k)〉 =

∫g(k)|A(k)|2dk

entonces:

∆x∆k ≥ 12

Supongamos que podemos aproximar ω(k) a una dependencia linealen k :

ω(k) = ωo +dωdk

∣∣∣ko

(k − ko) + · · ·

entonces podemos aproximar:

u(x , t) =ei[ko(dω/dk)o−ωo]t

√2π

∫ ∞−∞

A(k)eix′k dk

es decir la integral representa la onda u(x ′,0), dondex ′ = x − (dω/dk)ot , i.e.

u(x , t) = u(

x − tdωdk

∣∣∣ko

,0)

ei[ko(dω/dk)o−ωo]t

Ası vemos que el pulso viaja, sin deformarse, con la velocidad degrupo:

vg =dωdk

∣∣∣ko

Para ondas de luz tenemos la relacion:

ω(k) =ck

n(k)

La velocidad de fase es:

vp =ω(k)

k=

cn(k)

mientras que:

vg =c

n(ω) + ω(dn/dω)

n

ω

ωp

gv

v

Causalidad. Relaciones de Kramers-Kronig

RELACION NO LOCAL EN EL TIEMPO

Para una onda monocromatica tenemos la relacion:

~D(~r , ω) = ε(ω)~E(~r , ω)

y una onda con dependencia temporal puede ser construıda con unatransformada de Fourier:

~D(~r , t) =1√2π

∫ ∞−∞

ε(ω)~E(~r , ω)e−iωtdω

Reemplazando ~E(~r , ω) por su transformada de Fourier:

~D(~r , t) =1

2π

∫ ∞−∞

dωε(ω)e−iωt∫ ∞−∞

dt ′~E(~r , t ′)eiωt′

Definiendo G como la transformada de Fourier de χe = ε(ω)/εo − 1

G(τ) =1

2π

∫ ∞−∞

[ε(ω)

εo− 1]

e−iωτdω τ = t − t ′ (6)

obtenemos:

~D(~r , t) = εo

[~E(~r , t) +

∫ ∞−∞

G(τ)~E(~r , t − τ)dτ]

Si ε no depende de ω, obtenemos G(τ) = δ(τ) y la conexion esinstantanea.

MODEL SIMPLE PARA G(τ)

Usaremos una version resonante (un termino) de (1) para ε(ω):

ε(ω)

εo= 1 +

ω2p

ω2o − ω2 − iγω

y por lo tanto:

G(τ) =ω2

p

2π

∫ ∞−∞

e−iωτ

ω2o − ω2 − iγω

dω

El integrando tiene dos polos en:

ω1,2 = − iγ2± νo, donde ν2

o = ω2o −

γ2

4

Plano ω

Escribimos:

ω = ωR + iωI → e−iωt = e−iωRτeωIτ

Para τ < 0 debemos cerrar el contorno por el semiplano superior, yaque por el inferior la integral de contorno diverge. Pero como en esaregion no hay polos, la integral es cero.

Para τ > 0 se debe cerrar el contorno por el semiplano inferior. Laintegral es −2πi veces el residuo de los dos polos:

G(τ) = ω2pe−γτ/2 sin νoτ

νoθ(τ)

Para la constante dielectrica (1) G(τ) es una superposicion determinos como el anterior. Vemos que la nolocalidad en el tiempo esdel orden de γ−1 que es del orden de 107 − 109 segundos−1.Entonces el desvıo de la simultaneidad es del orden de 10−7 − 10−9

segundos.

CAUSALIDAD Y ANALITICIDAD DE ε(ω)

Tomando la transformada inversa de Fourier de (6) obtenemos:

ε(ω)

εo= 1 +

∫ ∞0

G(τ)e−iωτdτ (7)

Si expandimos G(τ) en series de Taylor:

G(τ) = G(0) + τG′(0) +12τ2G′′(0) + · · ·

y reemplazamos en (7) tenemos el comportamiento de ε(ω) parafrecuencias grandes:

ε(ω)

εo− 1 ' iG(0)

ω− G′(0)

ω2 + · · ·

Como G(0−) = 0, tambien debe serlo G(0+) y por lo tanto el primertermino de la serie es cero.Estas integrales se pueden hacer ası (por ejemplo):∫ ∞

0e−iωτdτ = lım

δ→0

∫ ∞0

e−i(ω−iδ)τdτ = lımδ→0

iω − iδ

=iω

Ası concluımos que:

Re[ε(ω)/εo − 1] = O(

1ω2

)Imε(ω)/εo = O

(1ω3

)(8)

RELACIONES DE KRAMERS-KRONIG

Escribamos la permitividad como una funcion de la variable complejaz, expresada como una integral contorno. Para esto usamos elteorema de Cauchy que nos permite escribir para cualquier punto zdentro de un contorno C en la parte superior del plano complejo ω:

ε(z) = εo +1

2πi

∮C

ε(ω′)− εoω′ − z

dω′

donde C incluye el eje real y un gran semicırculo en el infinito.Ya que ε(ω)− εo → 0 suficientemente rapido en infinito, podemosescribir la ultima relacion como:

ε(ω) = εo +1

2π

∫ ∞−∞

ε(ω′)− εoω′ − ω − iε

dω′ (9)

La cantidad iε nos recuerda que el contorno se debe deformar en unpequeno semicırculo debajo del punto ω′ = ω. Ası el denominador sedebe escribir formalmente como:

1ω′ − ω − iε

= P(

1ω′ − ω

)+ πiδ(ω′ − ω)

Reemplazando esta relacion en la ecuacion (9)

ε(ω) = εo + P 12πi

∫ ∞−∞

(ε(ω′)− εoω′ − ω

)+

12πi

∫ ∞−∞

πi[ε(ω′)− εo]δ(ω′ − ω)dω′

= εo + P 12πi

∫ ∞−∞

(ε(ω′)− εoω′ − ω

)+

12

[ε(ω)− εo]

Esto nos permite escribir (9) como:

ε(ω) = εo +1πiP∫ ∞−∞

ε(ω′)− εoω′ − ω

dω′ (10)

Tomando parte real e imaginaria de esta ecuacion obtenemos:

Re[ε(ω)] = εo +1πP∫ ∞−∞

Im[ε(ω′)]

ω′ − ωdω′ (11)

Im[ε(ω)] = −1πP∫ ∞−∞

Re[ε(ω′)]− εoω′ − ω

dω′ (12)

Estas relaciones fueron derivadas por R. de L. Kronig en 1926 y porH.A. Kramers independientemente en 1927.Se pueden escribir en terminos de frecuencias positivas solamente:

Re[ε(ω)/εo] = 1 +2πP∫ ∞

0

ω′Im[ε(ω′)/εo]

ω′2 − ω2 dω′ (13)

Im[ε(ω)/εo] = −2πP∫ ∞

0

Re[ε(ω′)/εo]− 1ω′2 − ω2 dω′ (14)

Estas relaciones se utilizan a menudo en estudios experimentales,por ejemplo se puede deducir la dependencia en la frecuencia delındice de refraccion a partir de medidas del ındice de absorcion.

En el caso de una lınea de absorcion muy delgada, podemosaproximar:

Imε(ω) =πK2ωo

+ η(ω)

donde η(ω) representa el resto de las contribucionesa suaves aImε(ω), ası obtenemos:

Reε(ω) =K

ω2o − ω2

+ ε

donde ε viene de la contribucion de η

REGLAS DE SUMA

Hemos visto que la expresion (5) se obtuvo para frecuencias muyaltas. Por esta razon se puede definir la frecuencia de plasma como:

ω2p = lım

ω→∞[ω2(1− ε(ω)/εo)]

lo que nos permite escribir la regla de suma para ω2p :

ω2p =

2π

∫ ∞0

ωImε(ω)/εodω

Con la suposicicion que:

Re[ε(ω′)/εo − 1]→ −ω2

p

ω2 + O(

(1ω4

)para todo ω > N ′, encontramos que para ω > N

Imε(ω)/εo = −2π

−ω2

p

N+

∫ N

0[Reε(ω′)/εo − 1]dω′

+ O

(1ω3

)

Ademas, de (8), sabemos que para ω →∞, Imε(ω)/εo tiende aO(1/ω3), por lo que el termino en parentesis de llave de la ultimarelacion debe ser cero, y ası obtenemos la segunda regla de suma:

1N

∫ N

0Reε(ω)/εodω = 1 +

ω2p

N2

Reflectancia optica

La reflectancia optica se define a partir del coeficiente de reflectividad:

r(ω) =n + iκ− 1n + iκ+ 1

(15)

donde n(ω) es el ındice de refraccion y κ(ω) es el ındice de extincion.Si tenemos una onda incidente de vector de onda k y frecuencia ω de talmanera que su amplitud es:

Eincidente = Eoei(kx−ωt)

Entonces la reflectancia se define como

R(ω) =|Ereflejado|2

|Eincidente|2= |r(ω)|2

La fase de r(ω) se puede obtener a partir de las relaciones deKramers-Kronig.

Para esto escribamos:

r(ω) = R1/2(ω)eiθ(ω) → ln r(ω) = ln R1/2(ω) + iθ(ω)

Ahora, si utilizamos la relacion (14), obtenemos:

θ(ω) = −ωπP∫ ∞

0

ln R(ω′)

ω′2 − ω2 dω′

Entonces utilizando (15) podemos encontrar n(ω) y κ(ω), de donde seobtiene finalmente la parte real e imaginaria de la constante dielectrica.Para lo cual se usan las relaciones:

Re [ε(ω)] = n2(ω)− κ2(ω) Im [ε(ω)] = 2n(ω)κ(ω) (16)

Los grafico siguientes ilustran como este procedimiento ha sido utilizado enCdS.

k

80

40

0100 200 300

Reflectividad

CdS

Indice de refraccion

8

4

0200 300 k

CdS

2

6

0

4

2

6

8

200 300 k

CdS

Coeficiente de extincion

Re ( constante dielectrica )

100 300200 400 500

−80

−40

80

40

0

CdS

k

constante dielectricaIm( )

200 300100

160

120

80

40

CdS

k

Ejercicio 1.-

Demuestre que la conservacion del momento angular en un campoelectromagnetico esta dada por

∂

∂t(Lmec + LEM) +∇ ·

←→M

o

ddt

∫V

(Lmec + LEM) +

∫S

n ·←→M da = 0

donde la densidad de momento angular del campo electromagneticoes:

LEM = ~r × ~g = µε~r × (~E × ~H)

y el flujo de momento angular esta descrito por el tensor:

←→M =

←→T ×~r

Las componentes←→M estan dadas por

Mijk = Tijxk − Tik xj

Ejercicio 2.-

Una onda circularmente polarizada se mueve en la direccion z ytiene una extension finita en x e y . Suponiendo que la amplitud varıalentamente, es decir que tiene un ancho de muchas longitudes deonda, demuestre que los campos electricos y magneticos estandados aproximadamente por:

~E(x , y , z, t) =

[Eo(x , y)(ı± i ) +

ik

(∂Eo

∂x± ∂Eo

∂y

)k]

eikz−iωt

~B = ∓i√µε~E

Ejercicio 3.-

Para el problema anterior con E(x , y) real, calcule el promediotemporal del momento angular paralelo a la direccion depropagacion.Demuestre que la razon entre esta componente del momento angulary la energıa de la onda en el vacıo es

Lz

U= ±ω−1

Interprete este resultado en terminos de fotones. demuestre que parauna onda plana finita y cilindricamente simetrica, las componentestransversales del momento angular son cero.