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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales “Introducción a la Matemática” Ingreso 2020
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FFF UUU NNN CCC III ÓÓÓ NNN CCC UUU AAA DDD RRR ÁÁÁ TTT III CCC AAA
Definición: Una función IRIR:f tal que cbxax)x(f 2 es una función cuadrática
donde 0aconIRc,b,a
Una función cuadrática se representa gráficamente
mediante una parábola de eje vertical
Forma polinómica: 0aconcbxax)x(f 2
Si 0a las ramas están orientadas hacia arriba. El vértice es un punto mínimo
Si 0a las ramas están orientadas hacia abajo. El vértice es un punto máximo
Coordenadas del vértice vv y;xV :
a2
bxv vv xfy
Ecuación del eje de simetría: vxx
Es la ecuación de la recta vertical que contiene al vértice de la parábola
Ordenada al origen: c0f Raíces o ceros:
Son los valores de x para los cuales 0cbxax2
a2
ac4bbx,x
2
21
(Fórmula resolvente)
Naturaleza de las raíces según el discriminante ac4b2
Si 0ac4b2
.puntosdosenxejealcortaparábolaLa
.asintdistyrealesraícesdostienefunciónLa
Si 0ac4b2
xejealgentetanesparábolaLa
dobleraízigualesrealesraícesdostienefunciónLa
Si 0ac4b2
.xejealcortanoparábolaLa
.realesraícestienenofunciónLa
Propiedades de las raíces:
a
bxx 21 y
a
cxx 21
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1) ¿Cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas?
22222
3322
2
xn2)1n(2)n(f)gh2ah3)h(f)fm2tm)t(f)e
)x6()1x()x(f)dx4
1)x(f)c1x3)x(f)b
x2
1)x(f)a
2) Tomando como referencia la parábola matriz ,xy 2 califica de V o F a cada una de las
siguientes proposiciones relativas a las parábolas de la forma 2axy
a) Si a < 1, las ramas son más abiertas.
b) Si ,3a sus ramas se abren en sentido contrario y son más cerradas.
c) Si ,1a0 sus ramas son más abiertas.
d) Si ,3a sus ramas son más cerradas.
e) Si ,1a la gráfica es simétrica a la parábola matriz con respecto al eje x.
3) Halla las raíces de las siguientes funciones:
4
1
3
1xx3y)i
3xy)h2x3xy)g
9xy)fx2x2
1)x(f)e
4
9x3x)x(f)d5x2x)x(f)c
12x8x2)x(f)b5x4x)x(f)a
22
22
22
22
Forma canónica: 0aconyxxay v2
v
donde yv y;x son las coordenadas del vértice
Forma factorizada: 0aconxxxxay 21 donde 21 x,x son las raíces reales
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4) Completa el siguiente cuadro:
Forma polinómica
Forma canónica
Forma factorizada
Vértice
Eje de simetría
Intervalos
Ceros )y;x( vv
Max o Min
Crec. Dec.
2x6xy 2
x4xy 2
2
9x2xy 2
2x6y
5) Grafica las siguientes funciones cuadráticas cuyas ecuaciones se dan a continuación e indica:
Coordenadas del vértice.
Ecuación del eje de simetría.
Intersección con el eje de ordenadas.
Intersecciones con el eje de abscisas.
Imagen de la función.
Análisis de biyectividad.
2x4x2)x(f)c1x)x(f)b8)5x()x(f)a 222 6) Indica las ecuaciones de las parábolas cuyas gráficas son: a) b)
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7) Califica de V o F:
a) 6)1x(5y 2 corta el eje y en el punto (0 ; 6)
b) 1)2x(3y 2 tiene vértice en (2 ; 1)
c) 8)1x(2y 2 corta al eje x en (3 ; 0) y en (-1 ; 0)
d) 3xy 2 no corta al eje x
e) Toda parábola de la forma IRn,mconnmxxy 2 tiene máximo
f) Para que una parábola de la forma cbxaxy 2 tenga mínimo, debe ser a > 0
8) Halla los valores de IRk tal que la parábola kkx3x2y 2
a) tenga como una de sus raíces a –1;
b) pase por el punto (3 ; -4);
c) corte al eje y en 5;
d) la abscisa de su vértice sea 6;
e) tenga una raíz doble.
9) Dada la función IRmhalla,1xmxmx2)x(f 22 de modo que:
a) el producto de sus raíces sea 5
b) la suma de sus raíces sea 4
c) tenga raíces cuyos valores sean opuestos
d) tenga raíces cuyos valores sean inversos.
10) Encuentra una función cuadrática de raíces 1 y –5, de modo que el punto (2 ; 14) pertenezca a
su gráfica.
11) Halla una función cuadrática de vértice (2 ; -3) tal que 5)2(f 12) Plantea y resuelve:
a) El área de un rectángulo es de 240. Halla sus dimensiones si el largo es cuatro unidades
menor que el doble del ancho.
b) Calcula la longitud de los lados de un triángulo rectángulo si la hipotenusa es el duplo de
uno de los catetos y además mide una unidad más que el otro cateto.
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c) Al arrojar verticalmente hacia arriba una piedra, la relación que existe entre el tiempo t
(seg) que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una altura y (metros) está dada
por la ecuación .t5t2010y 2 ¿Cuándo alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa
altura?
d) Determina, si existen, dos números enteros consecutivos, tales que el cuadrado de su
suma sea igual al cuádruplo del menor de dichos números.
13) Dada la función IRIR:f definida por:
2xsi1x
2x1si2x2
1xsi3
)x(f 2
a) Grafica la función
b) Determina su imagen
c) Halla las raíces de la función
d) Halla todos los IRx tales que .3)x(f
14) Sea
2xsi3x
2x1si21x2)x(f
2
a) Grafica f en un sistema de coordenadas cartesianas
b) Indica la imagen de f
15) Completa las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas. Justifica la respuesta
con el desarrollo analítico de cada inciso.
a) Las coordenadas del punto máximo de la parábola 3x2xy son ......);(...... b) El o los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones
3x2
3)x(gy43x)x(f 2 es o son .....................................
c) El valor de IRk para que la parábola 11kx2x3ky 2 tenga como abscisa del
vértice a 2
5 es ................k
d) La función 1x6x3)x(f 2 expresada en forma canónica es )x(f ........................
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e) Los valores de IRk para que la parábola de ecuación 3x2xy 2 y la recta de
ecuación 1kxy sean tangentes son ....................................
f) La ecuación de la parábola que tiene raíces 3x;1x 21 y ordenada al origen 2 es .......
g) El conjunto de negatividad de la función 3x2x)x(g 2 es C ....................................
h) La ecuación de la parábola que tiene vértice en (-1;3) y cuya gráfica pasa por el punto de
intersección de las rectas 03yx:ryx2y:r 21 es ...........................................
16) El área total de las seis caras de la caja de la
figura es 544 2dm .
a) Calcula el largo, el ancho y el alto de la caja.
b) Halla su volumen.
17) Calcula, en forma exacta y en su mínima expresión, la
medida del perímetro del rectángulo de la figura
sabiendo que su área es 48 cm2.
18) Determina la expresión de la función cuadrática que tiene como raíces a 21y21 y
cuya ordenada al origen es 4.
19) Analiza el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser falsa, modifica lo
subrayado para que resulte verdadera.
Sea 13x)x(f/IRIR:f 2 :
a) El intervalo de decrecimiento de f es ;1
b) 1;fIm
c) La gráfica de f tiene vértice en 1;3V
d) 3)1(f
e) El punto de intersección de la gráfica de f con el eje de ordenadas es 8;0
f) f es biyectiva si 1;IR:f
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20) De un terreno rectangular de 340 metros de
contorno, el municipio ha expropiado una banda de
15 metros de ancho, tal como se observa en la
figura. En compensación, ha cedido al propietario
del terreno otra banda de 10 metros de ancho. En
consecuencia, el terreno cuenta ahora con 250 m2
menos de superficie que antes. ¿Cuáles eran sus
dimensiones iniciales?
21) Calcula, en forma exacta y en su mínima expresión, el perímetro del
rombo ABCD
sabiendo que:
x.2AC
8x.2BD
El área del rombo ABCD es 48
22) La velocidad que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros se puede representar por
la siguiente función: 300xx0005,0)x(v
donde “v” es la velocidad (en m/s) y “x” es la distancia recorrida por el atleta (en m)
a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es ésta
velocidad?
b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo?
c) ¿A qué velocidad llega a la meta?
23) En un comercio se pueden encargar espejos enmarcados a medida.
El precio es de $ 1000 el m2 de espejo y $ 280 el metro lineal de marco. Determina la longitud
del lado de un espejo enmarcado cuadrado por el que se pagó en total $ 5256.
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24) En un cuadrado ABCD de 16 cm. de lado inscribimos otro cuadrado MNOP. Este último
cuadrado se puede dibujar de distintas formas, como muestra la figura.
Se considera la función S(x) donde “S” es el área del cuadrado MNOP y “x” la medida del
segmento AM. Indica el dominio y la imagen de S(x).
¿Cuánto debe valer x para que el área del cuadrado interior sea mínima? ¿Y para que sea
máxima?
Cuando hayas resuelto el problema anterior, puedes visualizar con Geobebra una representación
dinámica de esta situación haciendo click en el vínculo: https://ggbm.at/nytrnrzb
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RESPUESTAS 1) b), c), f)
2) a) F. b) V. c) V. d) V. e) V.
3) a) –1 y 5 b) incompatible c) incompatible
d) 2
3 e) 0 y – 4 f) incompatible
g) 1 y 2 h) 3y3 i) 6
1y
2
1
4) Completa el siguiente cuadro:
Forma canónica
Forma factorizada
Vértice Eje de
simetría
Intervalos
Ceros
(xv ; yv) Max
o Min
Crec. Dec.
73xy 2 73x73xy
7;3
Mín x = 3
;3
3;
73
73
42xy 2 4xxy 4;2
Mín x = 2
;2
2; 4y0
2
71xy 2
2
7;1
Máx x = 1 1; ;1 No tiene
2x6y 2x6y 0;0 Mín x = 0
;0
0; 0 (doble)
5) a)
biyectivaNosuryectivaNoinyectivaNo
;8fIm
17;0:yejeelconciónsecInter
0;225y0;225:xejeelconciónsecInter
5x:simetríadeEje
8;5V
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10
b) c)
6) a) 2x1xy b) 32x2
1y 2
7) a) F. Corta el eje y en el punto (0 ; -11)
b) F. Tiene vértice en (-2 ; 1)
c) V.
d) F. Corta al eje x en los puntos 0;3 y 0;3
e) V.
f) V.
8) a) 2
1k b)
4
11k c) 5k d) 8k e)
9
8ky0k
9) a) m = 11 b) m = 3 o m = -3 c) m = 1 o m = -1 d) m = 3
10) 5x1x2xf
11) 32x2
1xf 2
biyectivaNosuryectivaNoinyectivaNo
1;fIm
1;0:yejeelconciónsecInter
tieneno:xejeelconciónsecInter
0x:simetríadeEje
1;0V
biyectivaNosuryectivaNoinyectivaNo
;0fIm
2;0:yejeelconciónsecInter
0;1:xejeelconciónsecInter
1x:simetríadeEje
0;1V
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12) a) El ancho mide 12 unidades y el largo 20 unidades.
b) La hipotenusa mide 324 unidades y los catetos 32 y 323 unidades
respectivamente.
c) Alcanza la altura máxima a los 2 seg y la misma es de 30 metros.
d) No existen números enteros que cumplan con esa condición.
13)
a) Gráfica:
b) ;6fIm
c) 1C0
d) ;4x
14) a) Gráfica b) ;2fIm
15) a)
4
25;
2
1
b)
4
9;
2
1y)3;4(
c) 7
15k d) 41x3)x(f 2
e) 6k2k f) 3x1x3
2y
g) 3;1C h) 31x4
1y 2
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16) a) Largo: 16 dm ; ancho: 8 dm ; alto: 6 dm
b) Volumen 3dm768
17) El perímetro es cm320
18) 21x21x4)x(f (forma factorizada) 4x8x4)x(f 2 (forma polinómica)
19) a) F. ;3
b) F. 1;
c) F. 1;3
d) V.
e) V. f) F. ;3ó3;
20) Las dimensiones del terreno eran 98 m por 72 m
21) 220Perímetro
22) a) Ha recorrido 150 metros y la velocidad máxima es 11,25 m/s
b) Su velocidad aumenta entre el inicio y los 150 metros. Su velocidad disminuye entre los
150 metros y los 200 metros.
c) Llega a la meta con una velocidad de 10 m/s
23) La longitud del lado del espejo cuadrado es de 1,8 m.
24) Dom S x 0,16 12Im 8 6 S x ,25
El área de MNOP es mínima para x 8 y es máxima para para x 0 o x 16 .