Wykład 3: Jak wygląda dźwięk?

Katarzyna Weron

Matematyka Stosowana

Fala dźwiękowa

• Podłużna fala rozchodząca się w ośrodku – Powietrzu – Wodzie – Ciele stałym

(słyszycie czasem sąsiadów?)

Źródło: http://www.konkurs-ekologiczny.pl

Prędkość dźwięku: stal - 5100 m/s beton - 3800 m/s woda - 1490 m/s powietrze - 343 m/s

Fala dźwiękowa

• W pobliżu źródła fala jest kulista • Dalej przybliżamy przez płaszczyzny (proste)

– fala płaska

Źródło dźwięku

Czoła fali (powierzchnie, na których drgania mają tą samą fazę)

promień

Źródło: University Physics

Promienie ⊥ czół fali, wskazują kierunek ruchu czół

Prędkość fali

• Prędkość zależy od własności ośrodka – inercyjnych (gromadzących energię kinetyczną) – sprężystych (gromadzących energię potencjalną)

• Przykład – fala poprzeczna w napiętej linie

𝑣 =𝐹𝜇

=𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑚𝑏𝑏𝑠𝑠𝑠𝑚

Naprężenie liny

gęstość linowa

Źródła dźwięków w muzyce

• Drgające ciała: – Struny: gitara, skrzypce, fortepian, … – Membrany: kocioł, werbel,… – Słupy powietrza: flet, obój, organy,… – Drewniane lub metalowe płytki: ksylofon, marimba

Warunki brzegowe i odbijanie się fal

Fale stojące i rezonans

• Struna w dwóch zaciskach (gitara)

• Wytwarzamy falę o pewnej częstości

• Fala odbija się od końca, itd.

• Interferencja wielu fal • Przy pewnych

częstościach rezonans

http://www.physics.ucla.edu/demoweb/demomanual/unique_ucla_demos/fuorescent_motor_driven_string.html

Fala stojąca

• Dwie fale sinusoidalne o takiej samej: – Amplitudzie – Długości – Przeciwnym kierunku rozchodzenia

• Jaka będzie fala wypadkowa?

• Superpozycja: 𝑠′ 𝑥, 𝑠 = 𝑠𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑠 + sin 𝑘𝑥 + 𝜔𝑠

= 2𝑠𝑚 sin 𝑘𝑥 𝑠𝑠𝑠𝜔𝑠

𝑠1 𝑥, 𝑠 = 𝑠𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑠 𝑠2 𝑥, 𝑠 = 𝑠𝑚 sin 𝑘𝑥 + 𝜔𝑠

Fala stojąca i strzałki

𝑠′ 𝑥, 𝑠 = 2𝑠𝑚 sin 𝑘𝑥 𝑠𝑠𝑠𝜔𝑠 Maksymalna amplituda dla |sin 𝑘𝑥| = 1,

𝑘𝑥 = 𝜋2

, 3𝜋2

, 5𝜋2

, … , 𝑘 = 2𝜋𝜆→ 𝑥 = 𝜆

2𝑏 + 1

2,𝑏 = 0,1,2, …

𝑥 = 𝜋2𝑘

, 3𝜋2𝑘

, 5𝜋2𝑘

, … , = 𝜋2∗ 𝜆2𝜋

, 3𝜋2∗ 𝜆2𝜋

, … = 𝜆2∗ 12

, 𝜆2∗ 32

, …

Fala stojąca i węzły

𝑠′ 𝑥, 𝑠 = 2𝑠𝑚 sin 𝑘𝑥 𝑠𝑠𝑠𝜔𝑠

Zerowa amplituda dla: 𝑥 = 𝑏 𝜆 2

, 𝑏 = 0,1,2, …

Grzbiety i doliny nie przemieszczają się Odbicie fali od granicy: fala pierwotna i odbita interferują

Rezonans

• Przy pewnych częstościach – fala stojąca (częstości rezonansowe lub własne)

• Niech odległość między zaciskami L • Znajdź częstości rezonansowe

– Na końcach węzły (nie mogą drgać)

– 2W+1S: 𝜆2

= 𝐿 → 𝜆 = 2𝐿

– 3W+2S: 𝜆 = 𝐿

– 5W+3S: 𝜆 = 2𝐿3

𝜆 =2𝐿𝑏

,𝑏 = 1,2,3, … , f = v/λ

Restnik, Halliday, Walker, Podstawy Fizyki tom 2, rozdział 17 (Fale I)

Fala stojąca w rurze

• Poznaliśmy już falę stojącą w strunie • Analogicznie fala stojąca w wypełnionej

powietrzem rurze • Możliwe nawet w rurach otwartych – częściowe

odbicie • Zaleta fali stojącej

– duża, niezanikająca amplituda – dźwięk wychodzący z rury o częstości tej samej co

drgania w rurze

Fala stojąca w rurze otwartej na obu końcach • Na każdym końcu mamy strzałkę

– pierwsza harmoniczna (n=1): L = 𝜆2→ 𝜆 = 2𝐿 = 2𝐿

1

– druga harmoniczna (n=2): L = 𝜆 → 𝜆 = 𝐿 = 2𝐿2

– trzecia harmoniczna (n=3) : 𝐋 = 𝟑𝝀

𝟐→ 𝝀 = 𝟐𝟐

𝟑

𝝀 =𝟐𝟐𝒏

,𝒏 = 𝟏,𝟐,𝟑, …

𝒇 = 𝒗𝝀

= 𝒏𝒗𝟐𝟐

częstości rezonansowe

Źródło: www.edukator.pl

Fala stojąca w rurze otwartej na jednym końcu – częstości rezonansowe • Na zamkniętym końcu węzeł, na otwartym strzałka, n-

harmoniczne:

– n=1: L = 𝜆4→ 𝜆 = 4𝐿

– n=2: L = 34𝜆 → 𝜆 = 4

3𝐿

– n=3: L = 5𝜆4→ 𝜆 = 4𝐿

5

𝜆 =4𝐿

2𝑏 − 1,𝑏 = 1,2,3 …

𝜆 =4𝐿𝑏

,𝑏 = 1,3,5 …

𝒇 = 𝒗𝝀

= (𝟐𝒏−𝟏)𝒗𝟒𝟐

częstości

Fala stojąca w rurze zamkniętej i strunie

• Na końcach strzałki

– n=1: L = 𝜆2→ 𝜆 = 2𝐿

– n=2: L = 𝜆 → 𝜆 = 𝐿

– n=3: L = 3𝜆2→ 𝜆 = 2𝐿

3

𝜆 =2𝐿𝑏

,𝑏 = 1,2,3, …

𝒇𝒏 = 𝒗𝝀

= 𝒏𝒗𝟐𝟐

częstości rezonansowe

𝒗 =𝐹𝜇

=𝑏𝑚𝑠𝑚𝑠𝑠𝑏𝑏𝑚𝑏𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑔

Źródło: www.edukator.pl

Dźwięki na gryfie gitary

A1

E1

E6

E6

𝒇𝒏 =𝒗𝝀

=𝒏𝒗𝟐𝟐

=𝒏𝟐𝟐

𝑭𝝁

Częstość zależy od: 1. Długości struny 𝐿 2. Naciągu struny 𝐹 3. Gęstości 𝜇 4. A co to jest 𝑏?

Kolejne częstotliwości dźwięku A (220 Hz) i akordy

1. 220 Hz (ton podstawowy) 2. 440 Hz (pierwsza harmoniczna, dźwięk o oktawę wyższy) 3. 660 Hz (druga harmoniczna, dźwięk E) 4. 880 Hz (trzecia harmoniczna, dźwięk wyższy o dwie oktawy) 5. 1100 Hz (czwarta harmoniczna, dźwięk wyższy o 28 półtonów,

dźwięk Cis/Des) 6. Akord A-dur:

A: ton podstawowy E: druga harmoniczna Cis: czwarta harmoniczna

Dźwięk A1(440Hz) na różnych instrumentach

Kamerton, dźwięk a1 w stroju wiedeńskim 𝑓 = 440 𝐻𝑏.

𝑇 =1

440 𝐻𝑏= 0.002𝑠

0.002𝑠 ∗ 10 = 0.02𝑠

Ton

Gitara

Skrzypce

Nagrania studentów matematyki stosowanej Pwr, semestr letni 2015/16

Dźwięk A1(440Hz) na różnych instrumentach

Kamerton, dźwięk a1 w stroju wiedeńskim 𝑓 = 440 𝐻𝑏.

𝑇 =1

440 𝐻𝑏= 0.002𝑠

0.002𝑠 ∗ 10 = 0.02𝑠

Ton

Flet

Saksofon

Nagrania studentów matematyki stosowanej Pwr, semestr letni 2016/17

Suma fal o różnych częstościach

𝑠𝑖 𝑠 = cos 𝜔𝑖𝑠

Suma fal o różnych częstościach

𝑠𝑖 𝑠 = cos 𝜔𝑖𝑠

Czy można uzyskać na gitarze dźwięk czysty?

• Chcemy mieć tylko jedną częstość • Specjalna technika gry: flażolet • Delikatnie przytrzymaj strunę opuszkiem palca • W ½, ⅓ lub ¼ długości – węzeł fali stojącej • Szarpnij strunę w miejscu strzałki

Źródło: Michał Krupiński, „I gra gitara”, czyli o fizyce gitary, FOTON 99, Zima 2007

Fala stojąca w rurze

• Poznaliśmy już falę stojącą w strunie • Analogicznie fala stojąca w wypełnionej

powietrzem rurze • Możliwe nawet w rurach otwartych – częściowe

odbicie • Zaleta fali stojącej

– duża, niezanikająca amplituda – dźwięk wychodzący z rury o częstości tej samej co

drgania w rurze

Fala stojąca w rurze zamkniętej i strunie

• Na końcach strzałki

– n=1: L = 𝜆2→ 𝜆 = 2𝐿

– n=2: L = 𝜆 → 𝜆 = 𝐿

– n=3: L = 3𝜆2→ 𝜆 = 2𝐿

3

𝜆 =2𝐿𝑏

,𝑏 = 1,2,3, …

𝒇𝒏 = 𝒗𝝀

= 𝒏𝒗𝟐𝟐

częstości rezonansowe

𝒗 =𝐹𝜇

=𝑏𝑚𝑠𝑚𝑠𝑠𝑏𝑏𝑚𝑏𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑔

Źródło: www.edukator.pl

Fala stojąca w rurze otwartej na obu końcach • Na każdym końcu mamy strzałkę

– pierwsza harmoniczna (n=1): L = 𝜆2→ 𝜆 = 2𝐿 = 2𝐿

1

– druga harmoniczna (n=2): L = 𝜆 → 𝜆 = 𝐿 = 2𝐿2

– trzecia harmoniczna (n=3) : 𝐋 = 𝟑𝝀

𝟐→ 𝝀 = 𝟐𝟐

𝟑

𝝀 =𝟐𝟐𝒏

,𝒏 = 𝟏,𝟐,𝟑, …

𝒇 = 𝒗𝝀

= 𝒏𝒗𝟐𝟐

częstości rezonansowe

Źródło: www.edukator.pl

Fala stojąca w rurze otwartej na jednym końcu – częstości rezonansowe • Na zamkniętym końcu węzeł, na otwartym strzałka, n-

harmoniczne:

– n=1: L = 𝜆4→ 𝜆 = 4𝐿

– n=2: L = 34𝜆 → 𝜆 = 4

3𝐿

– n=3: L = 5𝜆4→ 𝜆 = 4𝐿

5

𝜆 =4𝐿

2𝑏 − 1,𝑏 = 1,2,3 …

𝜆 =4𝐿𝑏

,𝑏 = 1,3,5 …

𝒇 = 𝒗𝝀

= (𝟐𝒏−𝟏)𝒗𝟒𝟐

częstości

Dla zainteresowanych muzyką od strony fizyki polecam