Midzyszkolne Zawody MatematyczneKlasa I LO, I Technikum zakres podstawowyEtap II 15.12.2007 rokCzas rozwizywania zada 150 minutZadanie 1 ( 2 pkt)Wyznacz liczb naturaln n tak, e 1062 n jest dwucyfrow liczb pierwsz mniejsz od 20.Zadanie 2 ( 2 pkt)Sprawd, czy liczba postaci 555 2 6 jest liczb cakowitZadanie 3 ( 3 pkt)Na trzech drzewach siedziao razem 36sikorek. Kiedy z pierwszego drzewa przeleciao na drugiedrzewo 6 sikorek, a z drugiegona trzecie 4 sikorki, to na kadym drzewie siedziaa jednakowa liczba sikorek. Ile sikorek siedziao pocztkowo na kadym drzewie?Zadanie 4 ( 3 pkt) Na zabawie byo 12 osb (chopcw i dziewczt). Jeeli jeden chopiec opuci zabaw, to liczba sposobw doboru par taczcych zmniejszy si o 7. Ile byo dziewczt na tej zabawie?Uwaga:tacz jedynie pary dziewczynka - chopiec.Zadanie 5 (4 pkt) Wyznacz wszystkie moliwe wartoci m, n dla ktrych liczba 213m54n jest podzielna przez 36. Odpowied uzasadnij.Zadanie 6 ( 4 pkt)Zastp harcerzy mia do przebycia pewn tras. W pierwszym dniu harcerze przebyli 179trasy, w drugim 154pozostaej trasy, a w trzecim pozostae 35,2 kilometra. Ile kilometrw przebyli harcerze po dwch dniach?Zadanie 7 (4 pkt)Czy trjkt o bokach:2132161,252525202020,16854551683433 + + c b a jest prostoktny?Zadanie 8 ( 4 pkt)Wysoko trjkta rwnobocznego jest krtsza od jego boku o 1. Oblicz pole trjkta.Zadanie 9 (5 pkt)Jeeli liczb dwucyfrow podzielimy przez sum jej cyfr, to otrzymamy 6 i reszt 3. Jeeli natomiast podzielimy t liczb przez sum cyfr powikszon o 2, to otrzymamy 5 i reszt 5. Jaka to liczba?Zadanie 10 (5 pkt)W trapezie rwnoramiennym wysoko ma dugo 14 cm, a jego przektne przecinaj si pod ktem prostym i dziel si w stosunku 2:5. Oblicz pole tego trapezu.yczymy powodzenia1Kryteria oceniania dla klasy I zakres podstawowy2NrzadWykonana czynnoP1Zauwaenie, e 1062 n=11 lub 1062 n=13 lub1062 n= 17 lub1062 n=19, czyli 196 lub 176 lub 136 lub 1162 2 2 2 n n n n1Zauwaenie, e tylko 196 jest kwadratem liczby naturalnej mianowicie liczby 14.0,5Udzielenie odpowiedzi: szukan liczb jest liczba 14. 0,52Zapisanie liczby w postaci : ( ) 5 1 52 1Zapisanie liczby w postaci 5 1 5 0,5Zapisanie liczby w postaci : 1 5 1 5 i udzielenie odpowiedzi to jest liczba cakowita.0,53 Zauwaenie, e po lotach na kadym z drzew siedziao po 12 sikorek 1Obliczenie liczby sikorek, ktra siedziaa na pocztku na poszczeglnych drzewach: 18, 10, 824 Pierwszy sposb: Analiza zadania: 12-x - liczba chopcw, x - liczba dziewczt 0,5Zapisanie rwnania: x(12-x) = x(12-x-1)+7 1Rozwizanie rwnania: x = 7 1Udzielenie odpowiedzi: Na zabawie byo 7 dziewczt. 0,5Drugi sposb: Skoro liczba sposobw doboru taczcych par zmniejszya si po odejciu jednego chopca o 7, to znaczy, e byo 7 dziewczt.35 Zauwaenie faktu, e liczba jest podzielna przez 36 jeeli jest podzielna przez 4 i 9 1Wyznaczenie wartoci n dla ktrej liczba jest podzielna przez 4 : n = 0lub n=4 lub n=81Wyznaczenie wartoci m przy uwzgldnieniu, e liczba ma by podzielna przez 9 dla wyznaczonych wartoci n1Udzielenie odpowiedzi: n = 0 , m = 3 lub n =4, m= 8, lub n=8, m= 4 16 Analiza zadania: x -dugo trasy, ktr przeby zastp harcerzy w cigu trzech dni 0,5Uoenie rwnania : 2 , 35 )178154179( + x x x1,5Rozwizanie rwnania : x= 102 km 1,5Obliczenie dugoci trasy, ktr harcerze przebyli w I i II dniu: 66,8 km. 0,57Obliczenie wartoci podanych wyrae: 1 ,54,53 c b a2,5Znajomo twierdzenia odwrotnego do Twierdzenia Pitagorasa 0,5Wykazanie, e 22 215453 ,_

+ ,_

i udzielenie odpowiedzi: trjkt o bokach a, b, c jest trjktem prostoktnym18 Analiza zadania : a dugo boku trjkta rwnobocznego , h dugo wysokoci trjkta rwnobocznego0,5Zapisanie dugoci trjkta w postaci : 23 ah 0,5Uoenie rwnania:123 aa1Rozwizanie rwnania : ) 3 2 ( 23 22+ a czyli a1Obliczenie pola trjkta: 12 3 7 + P 19 I sposb: Analiza zadania: x - cyfra dziesitek, y cyfra jednoci 0,53Zapisanie ukadu rwna:'+ + + ++ + +5 ) 2 ( 5 1 03 ) ( 6 1 0y x y xy x y x2Rozwizanie ukadu: '57yx2Udzielenie odpowiedzi: Jest to liczba 75 0,5II sposb: Analiza zadania: x - cyfra dziesitek, y cyfra jednoci 0,5Zapisanie ukadu rwna:'+ + + ++ + +5 ) 2 ( 5 1 03 ) ( 6 1 0y x y xy x y x2Zauwaenie, e liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 3 i przez 5 a wic jest podzielna przez 15. 2Podanie liczby dwucyfrowej podzielnej przez 15 i speniajcej warunki zadania: to jest liczba 75.0,510 Wykonanie rysunku z oznaczeniami: O h DE b CD a AB , 14 , , - punkt przecicia si przektnych.1Zauwaenie, e trjkty ABO i CDO s prostoktne, rwnoramienne oraz podobne w skali podobiestwa 25.1Obliczenie wysokoci w trjktach ABO i CDO: 4 , 102 1 h h 1Obliczenie dugoci podstaw: 8 , 20 b a1Obliczenie pola trapezu: P = 196 1Za poprawnie rozwizane zadania metod inn anieli opisana w schemacie punktowania naley przyzna maksymaln liczb punktw.Jeeli ucze rozwiza zadanie inn metod i popeni bdy to naley okreli i oceni czynnoci rwnowane do wymienionych w schemacie.Mona przyznawa powki punktw.4 Midzyszkolne Zawody MatematyczneKlasa II LO, II, III Technikum - zakres podstawowyEtap II 15.12.2007 rokCzas rozwizywania zada 150 minutZadanie 1 (2 pkt )Liczby dodatnie a, b, c, ds takie, e pierwiastek trzeciego stopnia zc b a rwna si 4, a pierwiastek czwartego stopnia zd c b a wynosi10 2 . Oblicz warto liczby d.Zadanie 2 ( 2 pkt )Pan Jakub zauway, e iloczyn jego wieku i sumy lat jego trjki dzieci jest rwny liczbie 128.Wiek kadego dziecka jest liczb naturaln, a wiek ojca jest liczb naturaln, o sumie cyfr rwnej 5. Oblicz wiek pana Jakuba i jego dzieci.Zadanie 3 ( 3 pkt )Proste o rwnaniach y = ax+b iy =bx+a+1 przecinaj si w punkcie A(2,3). Wyznacz punkty przecicia si tych prostych z osi x.Zadanie 4 ( 3 pkt )Siedemnastu szachistw naley podzieli na dwie druyny tak aby kady zawodnik z pierwszej druynrozegra mecz z kadym zawodnikiem drugiej druyny. Jak dokona podziau, aby liczba wszystkich meczw bya jak najwiksza?Zadanie 5 ( 4 pkt)W trjkcie prostoktnym ABC przyprostoktne maj dugoci 10 cm i 20 cm. Na krtszej przyprostoktnej jako na rednicy zbudowano okrg. Oblicz dugoci odcinkw, na ktre ten okrg podzieli przeciwprostoktn.Zadanie 6 ( 4 pkt ) Dany jest trjkt ABC w ktrym BC AC. Punkt D jest spodkiem wysokoci poprowadzonej z wierzchoka C,punkt E jest rodkiem boku BC a DE CD.Udowodnij, e trjkt CDE jest rwnoboczny.Zadanie 7 ( 4 pkt )Funkcja f okrelona jest w zbiorze wszystkich liczb cakowitych i przyporzdkowuje kadej liczbiecakowitej reszt z dzielenia tej liczby przez 7.a) oblicz f( -124) oraz f(90)b)opisz wzorem wszystkie miejsca zerowe tej funkcjic)Czy dla kadego C x prawdziwa jest rwno ) 7 ( ) ( + x f x f. Odpowied uzasadnij.Zadanie 8 ( 4 pkt ) Na zewntrz trzech bokw trjkta prostoktnego rwnoramiennego o przyprostoktnej dugoci b zbudowano kwadraty. rodki tych kwadratwpoczono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego trjkta KLM, gdzie K, L, M s rodkami kwadratw zbudowanych odpowiednio na bokach AC, BC i AB. Zadanie 9 ( 5 pkt )Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcji] 0 , 3 [ 3 52 + x dla x x yDla jakich argumentw funkcja osiga w tym przedziale redni arytmetyczn najwikszej i najmniejszej wartoci?Zadanie 10 ( 5 pkt )Janek postanowi kupi rower grski. W chwili podjcia decyzji mia 500 zotych oszczdnoci, kwot niewystarczajc do zakupu wymarzonego roweru. Postanowi wic odkada swoje comiesiczne kieszonkowe w kwocie 50 zotych, ale cena roweru wzrastaa co miesic o 20 zotych. Gdyby cena roweru nie zmienia si to Janek uzbieraby na niego 5pienidze o 4 miesice wczeniej. Jaka bya pocztkowa cena roweru i po ilu miesicach Janek uzbiera potrzebn kwot?yczymy powodzenia 6Kryteria oceniania dla klasy II LO, II,III Technikum zakres podstawowy7NrzadWykonana czynnoP1Zapisanie rwna: 10 2 44 3 abcd i abc 0,5Zapisanie rwna w postaci: abc =64 i abcd= 1600 1Obliczenie d i udzielenie odpowiedzi: d = 25 0,52 Wypisanie liczb dwucyfrowych, ktrych suma cyfr wynosi 5: 14, 23,32,41,50 0,5Dokonanie wyboru liczby przez ktr jest podzielna liczba 128: to jest liczba32 0,5Obliczenie sumy lat dzieci pana Jakuba: 4 0,5Podanie wieku pana Jakuba i jego dzieci: Pan Jakub ma 32 lata a jego dzieci 1 rok, 1 rok i 2 lata0,53Zapisanie ukadu rwna: ' + + +3 1 23 2a bb a1Rozwizanie ukadu rwna: 31,34 b a0,5Zapisanie rwna prostych: 31231,3134+ + x y x y0,5Wyznaczenie wsprzdnych punktw przecicia si prostych z osi x: ( ) 0 , 7 , 0 ,41 ,_

14 Analiza zadania: x - liczba szachistw I druyny, 17-x - liczba szachistw II druyny, gdzie +N xi x