Elementy logiki

1

Przykªady zda« w matematyce

Zdania prawdziwe:

• � 13 + 16 = 1

2�, �3|6�, �√2 6∈ Q�,

• �Je±li x = 1, to x2 = 1� (x oznacza dan¡ liczb¦ rzeczywist¡),

• �Je±li a2 + b2 = c2, to trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest

prostok¡tny� (a, b, c oznaczaj¡ dane liczby dodatnie),

Zdania faªszywe: �2+ 2 = 5�, �√2 ∈ Q�, �Q ⊂ Z�.

2

Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie:

Je±li trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok¡tny, to

a2 + b2 = c2?

(a, b, c � dane liczby dodatnie)

3

Zdanie posiadaj¡ce jedn¡ z dwóch warto±ci logicznych: �prawda�

lub �faªsz�, nazywamy zdaniem logicznym.

Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r, . . . .

Zªo»one zdania logiczne s¡ zbudowane z innych zda« logicz-

nych za pomoc¡ spójników logicznych: jednoargumentowego

∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, Y.

4

Negacja

∼ p � �nie p�, �nieprawda, »e p� � negacja zdania p

Zdanie ∼ p jest:

� prawdziwe, gdy p jest faªszywe,

� faªszywe, gdy p jest prawdziwe.

Przykªad: �1 nie jest liczb¡ pierwsz¡�,

dokªadniej: �nieprawda, »e 1 jest liczb¡ pierwsz¡�.

Zdanie ∼ p jest negacj¡ zdania p: �1 jest liczb¡ pierwsz¡�.

5

Koniunkcja

p ∧ q � �p i q� � koniunkcja zda« p i q

Zdanie p ∧ q jest:

� prawdziwe, gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe,

� faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest faªszywe.

Przykªad: �2 jest liczb¡ pierwsz¡ i parzyst¡�,

dokªadniej: �2 jest liczb¡ pierwsz¡ i 2 jest liczb¡ parzyst¡�.

Jest to koniunkcja p ∧ q, gdzie

p oznacza zdanie �2 jest liczb¡ pierwsz¡�,

a q oznacza zdanie �2 jest liczb¡ parzyst¡�.

6

Alternatywa

p ∨ q � �p lub q� � alternatywa zda« p i q

Zdanie p ∨ q jest:

� prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest prawdziwe,

� faªszywe, gdy oba zdania p i q s¡ faªszywe.

Przykªad. Wybierzmy pewn¡ liczb¦ caªkowit¡ x i rozwa»my zda-

nie: �x < 1 lub x > −1�.Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie �x < 1�, a q

oznacza zdanie �x > −1�.W przypadku x = 0 oba zdania s¡ prawdziwe i alterantywa te»

jest zdaniem prawdziwym.

7

Alternatywa rozª¡czna

p Y q � �p albo q� � alternatywa rozª¡czna zda« p i q

Zdanie p Y q jest:

� prawdziwe, gdy jedno ze zda« p, q jest prawdziwe, a drugie

faªszywe,

� faªszywe, gdy oba zdania p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub

jednocze±nie faªszywe.

Przykªad. Rozwa»my dwie (ró»ne) proste na pªaszczy¹nie. Mó-

wimy: �Dane proste si¦ przecinaj¡ albo s¡ równolegªe�. Jest to

alternatywa rozª¡czna pY q, gdzie p oznacza zdanie �Dane proste

si¦ przecinaj¡�, a q oznacza zdanie �Dane proste s¡ równolegªe�.

8

Alternatywy rozª¡cznej (w zdaniu prawdziwym) u»ywamy, gdy

chcemy podkre±li¢, »e oba zdania nie mog¡ jednocze±nie by¢

prawdziwe.

Uwaga. Je±li zdanie p Y q jest prawdziwe, to zdanie p∨ q te» jest

prawdziwe, np.: �Dane proste si¦ przecinaj¡ lub s¡ równolegªe�.

Je±li zdanie p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p Y q nie musi by¢

prawdziwe, np.: �0 < 1 albo 0 > −1�.

9

Równowa»no±¢

p⇔ q � �p wtedy i tylko wtedy, gdy q�, �p dokªadnie wtedy, gdy

q� � równowa»no±¢ zda« p i q.

Zdanie p⇔ q jest:

� prawdziwe, gdy oba zdania p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub

jednocze±nie faªszywe,

� faªszywe, gdy jedno ze zda« p, q jest prawdziwe, a drugie faª-

szywe.

Przykªad. Rozwa»my czworok¡t wypukªy ABCD. Zdanie: �Czwo-

rok¡t ABCD jest opisany na okr¦gu wtedy i tylko wtedy, gdy

AB +CD = AD +BC� jest równowa»no±ci¡ zda« p: �Czworok¡t

ABCD jest opisany na okr¦gu� i q: �AB + CD = AD +BC�.

10

Implikacja

p⇒ q � � je±li p, to q�, �p implikuje q� � implikacja o poprzedniku

p i nast¦pniku q

Jak okre±lamy warto±¢ logiczn¡ implikacji?

11

Przykªad. Zdanie �x = 1 ⇒ x2 = 1� jest prawdziwe dla ka»-

dej liczby rzeczywistej x. Zwró¢my uwag¦ na warto±¢ logiczn¡

poprzednika oraz nast¦pnika tej implikacji dla poszczególnych

warto±ci x.

�x = 1� �x2 = 1�

dla x = 1 prawda prawda

dla x = 0 faªsz faªsz

dla x = −1 faªsz prawda

12

Prawdziwo±¢ implikacji oznacza, »e je±li zdanie p jest prawdziwe,

to zdanie q te» musi by¢ prawdziwe (a je±li p nie jest prawdziwe,

to q mo»e by¢ jakiekolwiek).

Zdanie p⇒ q jest:

� prawdziwe, gdy oba zdania s¡ prawdziwe, gdy oba zdania s¡

faªszywe oraz gdy zdanie p jest faªszywe, a zdanie q jest praw-

dziwe,

� faªszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest faªszywe.

13

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zda« logicznych u»y-

wamy nawiasów, np.:

∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).

Zdania (p∨q)∨r i p∨(q∨r) maj¡ zawsze t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡

(dlaczego?), wi¦c nawiasy mo»emy opu±ci¢: p ∨ q ∨ r. Podobnie

otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.

14

Zdanie p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn jest:

� prawdziwe, gdy ka»de ze zda« p1, p2, . . . , pn jest prawdziwe,

� faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1, p2, . . . , pn jest faª-

szywe.

Zdanie p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ pn jest:

� prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1, p2, . . . , pn jest

prawdziwe,

� faªszywe, gdy ka»de ze zda« p1, p2, . . . , pn jest faªszywe.

15

Zdania (p⇔ q)⇔ r i p⇔ (q ⇔ r) maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡,

ale warto±¢ logiczn¡ zdania p⇔ q ⇔ r okre±lamy inaczej.

Zdanie p1 ⇔ p2 ⇔ . . .⇔ pn jest:

� prawdziwe, gdy wszystkie zdania p1, p2, . . . , pn s¡ jednocze±nie

prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe,

� faªszywe, gdy w±ród zda« p1, p2, . . . , pn s¡ zdania prawdziwe i

zdania faªszywe.

Pytanie. Jak mo»na okre±li¢ prawdziwo±¢ zdania

p1 ⇒ p2 ⇒ . . .⇒ pn?

16

Wa»na wªasno±¢ spójników logicznych:

Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego zale»y jedynie od tego, w

jaki sposób jest ono zbudowane i jakie warto±ci logiczne maj¡

zdania skªadowe. Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego nie zale»y

od konkretnej postaci (tre±ci) zda« skªadowych.

Dlatego mo»emy rozwa»a¢ wyra»enia utworzone poprawnie (za

pomoc¡ spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp.

Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wy-

ra»eniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania lo-

giczne, to otrzymamy zªo»one zdanie logiczne.

Uwaga. Je±li to nie prowadzi do nieporozumie«, to zmienne zda-

niowe i wyra»enia z nich utworzone mo»emy nazywa¢ zdaniami.

17

Wyra»enia logicznie równowa»ne

Wyra»enia nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj¡ rów-

ne warto±ci logiczne dla dowolnego warto±ciowania logicznego

zmiennych zdaniowych.

Przykªady:

• Wyra»enia p i ∼ (∼ p) s¡ logicznie równowa»ne.

• Wyra»enia

p⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, ∼ p ∨ q i ∼ (p∧ ∼ q)

s¡ logicznie równowa»ne.

18

Inny przykªad. Zdanie

∼ (p ∧ q)

jest faªszywe tylko w przypadku, gdy zdanie p∧ q jest prawdziwe,

czyli gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe. Zdanie

∼ p∨ ∼ q

jest faªszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania ∼ p, ∼ q s¡

faªszywe, czyli gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe. Zatem zdania

∼ (p ∧ q) i ∼ p∨ ∼ q

s¡ logicznie równowa»ne.

Analogicznie, zdania

∼ (p ∨ q) i ∼ p∧ ∼ q

s¡ logicznie równowa»ne.

19

Tautologie

Tautologi¡ nazywamy wyra»enie, które ma warto±¢ logiczn¡ �praw-

da� dla dowolnego warto±ciowania zda« prostych.

Przykªady tautologii:

• p⇒ p,

• p∨ ∼ p (prawo wyª¡czonego ±rodka),

• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczno±ci),

• (∼ p⇒ p)⇒ p (prawo Claviusa),

20

• (p ∧ q)⇒ p,

• p⇒ (p ∨ q),

• ∼ p⇒ (p⇒ q),

• ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇒ (p⇔ q),

• (p⇒ (q ⇒ r))⇒ ((p⇒ q)⇒ (p⇒ r)).

21

Wyra»enie postaci P ⇔ Q jest tautologi¡ dokªadnie wtedy, gdy

wyra»enia P i Q s¡ logicznie równowa»ne.

Przykªady.

• Prawo podwójnego przeczenia:

p⇔∼ (∼ p).

• Prawa de Morgana:

∼ (p ∧ q)⇔ (∼ p∨ ∼ q),

∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p∧ ∼ q).

22

• Metoda dowodu �nie wprost� jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔ (∼ q ⇒∼ p).

• Metoda dowodu �przez sprzeczno±¢� jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔∼ (p∧ ∼ q).

23

Metoda zero-jedynkowa

Warto±¢ logiczn¡ �faªsz� oznaczamy symbolem 0, a warto±¢ lo-

giczn¡ �prawda� symbolem 1. Je±li zdanie p jest faªszywe, to

piszemy v(p) = 0, a je±li jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1.

Warto±ci logiczne zda« zªo»onych okre±lili±my nast¦puj¡co:

v(p) v(∼ p)

0 11 0

v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p⇒ q) v(p⇔ q)

0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1

24

Przykªad. Warto±¢ logiczn¡ zdania zªo»onego

((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇒ (p ∧ q)

dla poszczególnych warto±ciowa« zda« prostych mo»emy obliczy¢nast¦puj¡co:

v(p) v(q) v(p⇒ q) v(q ⇒ p) v(p ∧ q)

0 0 1 1 00 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1

v((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) v(((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇒ (p ∧ q))

1 00 10 11 1

25

Szybszy sposób polega na tym, »e nie wypisujemy poszczegól-

nych zda« skªadowych w oddzielnych kolumnach (np. p ⇒ q,

q ⇒ p i p ∧ q); piszemy tylko caªe zdanie zªo»one, a warto±ci

logiczne poszczególnych zda« skªadowych wypisujemy pod tymi

zdaniami (dokªadniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wy-

piszemy np. warto±ci logiczne zda« p ⇒ q i q ⇒ p, to warto±ci

logiczne zdania (p⇒ q)∧(q ⇒ p) wypisujemy pod spójnikiem �∧�.

v(p) v(q) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)

0 0 1 1 1 0 00 1 1 0 0 1 01 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1

26

Przykªad. Zdania

(p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

s¡ logicznie równowa»ne.

v(p) v(q) v(r) (p ∨ q) ∧ r (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 0 01 0 1 1 1 1 1 01 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

27

Przykªad. Zdanie

(p⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

jest tautologi¡.

v(p) v(q) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

0 0 1 1 10 1 1 1 01 0 0 1 11 1 1 1 1

28

Formy zdaniowe

Forma zdaniowa ϕ(x) okre±lona w zbiorze X to wyra»enie, które

jest zdaniem, je±li za x wstawimy dowolny element zbioru X.

Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x).

29

Przykªady.

• ϕ(x) = �x2 < 1�, gdzie x ∈ R,

ϕ(x) jest zdaniem:

� prawdziwym dla x ∈ (−1,1),

� faªszywym dla x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞);

• ϕ(x) = �x2 > 0�, gdzie x ∈ R,

ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R;

30

• ϕ(n) = �n | 6� (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1,

ϕ(n) jest zdaniem:

� prawdziwym dla n = 1,2,3,6

� faªszywym dla pozostaªych n;

• ϕ(n) = �n = n+1�, gdzie n ∈ Z,

ϕ(n) jest zdaniem faªszywym dla ka»dego n ∈ Z.

31

Uwaga. Forma zdaniowa okre±lona w zbiorze X pozwala ka»-

demu elementowi tego zbioru przyporz¡dkowa¢ zdanie. Mo»emy

wi¦c j¡ nazwa¢ funkcj¡ zdaniow¡.

Pytanie. Co jest dziedzin¡, a co zbiorem warto±ci tej funkcji?

32

Kwanty�katory

Je±li ϕ(x) jest form¡ zdaniow¡ okre±lon¡ w zbiorze X, to mo»emy

rozwa»y¢ nast¦puj¡ce dwa zdania.

1. Zdanie

�Dla ka»dego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x)�,

które zapisujemy symbolicznie

∀x∈X ϕ(x).

33

2. Zdanie

�Istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x)�,

które zapisujemy

∃x∈X ϕ(x).

Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy ϕ(x) jest

zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X.

34

Przykªady:

• ∀x∈R x2 < 1 � zdanie faªszywe,

∃x∈R x2 < 1 � zdanie prawdziwe,

• ∀x∈R x2 > 0 � zdanie prawdziwe,

∃x∈R x2 > 0 � zdanie prawdziwe,

35

• ∀n∈N1n | 6 � zdanie faªszywe,

∃n∈N1n | 6 � zdanie prawdziwe,

• ∀n∈Z n = n+1 � zdanie faªszywe,

∃n∈Z n = n+1 � zdanie faªszywe.

36

Zauwa»my, »e:

� je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to

zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ prawdziwe,

� je±li ϕ(x) jest zdaniem faªszywym dla wszystkich x ∈ X, to

zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ faªszywe,

� je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów

zbioru X, a faªszywym dla innych elementów tego zbioru, to

zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest faªszywe, a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdzi-

we.

37

Symbol �∀� nazywamy kwanty�katorem ogólnym, a symbol �∃�nazywamy kwanty�katorem szczegóªowym.

∀ � for All ∃ � Exists

Je±li zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno okre±lony, to

zamiast ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) mo»emy pisa¢: ∀x ϕ(x), ∃x ϕ(x).

38

W matematyce elementarnej popularne s¡ polskie symbole kwan-

ty�katorów:

∧� kwanty�kator ogólny (zamiast ∀),

∨� kwanty�kator szczegóªowy (zamiast ∃).

Kwanty�katory te s¡ uogólnieniami spójników logicznych, gdy»

w przypadku zbioru sko«czonego X mamy:∧x∈{x1,...,xn}

ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∧ · · · ∧ ϕ(xn),

∨x∈{x1,...,xn}

ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∨ · · · ∨ ϕ(xn).

39

Formy zdaniowe wielu zmiennych

Mo»emy rozwa»a¢ formy zdaniowe wi¦kszej liczby zmiennych, np.

ϕ(x, y, z), gdzie x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X.

Przykªady:

• �x < y�, gdzie x, y ∈ N;

• �x · y = 0�, gdzie x ∈ Z, y ∈ R;

• �A ∈ k�, gdzie A ∈ zbiór punktów, k ∈ zbiór prostych;

• �Punkt A le»y mi¦dzy punktami B i C�.

40

Rozwa»my form¦ zdaniow¡ ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X.

Zdanie

∀x∈X ∀y∈X ϕ(x, y)

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi to, »e dla ka»dego y ∈ X

zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:

�dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y)�,

co zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwanty�katora:

∀x,y∈X ϕ(x, y).

41

Zdanie

∃x∈X ∃y∈X ϕ(x, y)

oznacza, »e istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, »e

zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:

�istniej¡ x, y ∈ X takie, »e ϕ(x, y)�,

co te» zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwanty�katora:

∃x,y∈X ϕ(x, y).

42

Niech teraz ϕ(x1, . . . , xn) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x1,. . . , xn, gdzie x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.

Zdanie

�Dla dowolnych x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn (zachodzi) ϕ(x1, . . . , xn)�

zapisujemy

∀x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).

Zdanie

�Istniej¡ x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn takie, »e ϕ(x1, . . . , xn)�,

zapisujemy

∃x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).

43

Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które

faªszywe:

∀x,y∈Z x < y, ∀x,y∈R x · y = y · x, ∃x∈N ∃y∈Z x < y?

44

Niech ϕ(x, y) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x ∈ X, y ∈ Y .

Zdanie

∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, »e istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x, y) zachodzi dla ka»dego

y ∈ Y .

Zdanie

∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , »e zachodzi

ϕ(x, y).

To nie jest to samo!

45

Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które

faªszywe:

∀x∈Z ∃y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x · y = 0?

46

�wiczenie. Utwórz kilka ciekawych zda« z u»yciem kwanty�ka-

torów ∀, ∃ i form zdaniowych:

x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1,

gdzie x, y przebiegaj¡ zbiory: N, N1, Z, Q, R.

Okre±l prawdziwo±¢ utworzonych zda«.

47

Przykªady u»ycia kwanty�katorów

• a ∈ Z, a jest liczb¡ parzyst¡:

∃k∈Z a = 2k.

• a, b ∈ Z, a jest podzielne przez b:

∃k∈Z a = k · b.

• p ∈ N1, p jest liczb¡ pierwsz¡:

(p 6= 1) ∧ ∀a∈N1(a | p⇒ a = 1 ∨ a = p).

48

• b ∈ R, A ⊂ R, b jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∀a∈A a 6 b.

• Mi¦dzy dowolnymi dwiema ró»nymi liczbami rzeczywistymiistnieje liczba wymierna:

∀x∈R ∀y∈R (x 6= y ⇒ ∃w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x))).

• Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ci¡gu (xn) s¡ dodat-nie:

∃N∀n>N xn > 0.

• Zasada indukcji matematycznej:

(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n)⇒ T (n+1)))⇒ ∀n∈N T (n).

49

Prawa rachunku kwanty�katorów

Prawo rachunku kwanty�katorów to wyra»enie utworzone po-

prawnie z symboli kwanty�katorów, funkcji zdaniowych i spój-

ników logicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej

funkcji zdaniowej i dowolnych warto±ci zmiennych.

Prawa de Morgana dla kwanty�katorów:

∼ (∀x∈X ϕ(x))⇔ ∃x∈X (∼ ϕ(x)),

∼ (∃x∈X ϕ(x))⇔ ∀x∈X (∼ ϕ(x)).

50

Przykªad. Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∼ (∀a∈A a 6 b)⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b)⇔ ∃a∈A a > b.

Inne prawa rachunku kwanty�katorów:

(∀x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)),

(∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y)).

51

Metody dowodzenia twierdze«

Metoda dowodu �nie wprost� jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔ (∼ q ⇒∼ p).

Zadanie. Dane s¡ liczby caªkowite a i b. Wyka», »e je±li a · b jestliczb¡ parzyst¡, to a jest parzyste lub b jest parzyste.

52

Metoda dowodu �przez sprzeczno±¢� jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔∼ (p∧ ∼ q).

Zadanie. Dane s¡ liczby rzeczywiste x, y. Wyka», »e je»eli x2 +

y2 < 1, to x+ y <√2.

53

Metoda indukcji matematycznej

Przykªad. Obliczy¢ 1+3+5+ . . .+(2n−1), gdzie n jest liczb¡

naturaln¡.

Dyskusja. Wprowad¹my oznaczenie:

Sn = 1+ 3+ 5+ . . .+ (2n− 1).

Mamy: S1 = 1, S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9, S4 = 16,

S5 = 25, S6 = 36.

Widzimy, »e powinno by¢ Sn = n2. Czy mo»na to jako± uzasad-

ni¢?

54

Trzeba si¦ przyjrze¢, w jaki sposób otrzymujemy kolejne Sn. Na

przykªad, je±li mamy ju» obliczone

S6 = 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11 = 36,

to

S7 = 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11+ 13

nie b¦dziemy liczyli od pocz¡tku, tylko wykorzystamy zale»no±¢

S7 = S6 +13 = 36+ 13 = 49.

Podobnie

S8 = S7 +15 = 49+ 15 = 64

i tak dalej. Zwró¢my uwag¦ na to, co nale»y doda¢ do Sn, »eby

otrzyma¢ Sn+1. Je±li Sn = n2, to

Sn+1 = Sn + (2 · (n+1)− 1) = n2 +2n+1 = (n+1)2.

55

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n > 1

1 · 2+ 2 · 3+ 3 · 4+ . . .+ n · (n+1) =n · (n+1) · (n+2)

3.

Rozwi¡zanie.

I. Baza indukcji.

Dla n = 1 równo±¢ jest oczywista:

1 · 2 =1 · 2 · 3

3.

II. Krok indukcyjny.

Niech k b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. Zaªó»my, »e dana w

zadaniu równo±¢ zachodzi dla n = k:

1 · 2+ . . .+ k · (k +1) =k · (k +1) · (k +2)

3.

56

Wówczas dla n = k +1 mamy:

1·2+. . .+k·(k+1)+(k+1)·(k+2) =k · (k +1) · (k +2)

3+(k+1)·(k+2) =

= (k +1) · (k +2) · (k

3+ 1) =

(k +1) · (k +2) · (k +3)

3,

czyli dla n = k +1 równo±¢ jest speªniona.

Na mocy zasady indukcji matematycznej równo±¢

1 · 2+ 2 · 3+ . . .+ n · (n+1) =n · (n+1) · (n+2)

3zachodzi dla dowolnego naturalnego n.

57

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnego n ≥ 0 liczba 22n+1+3n+7

jest podzielna przez 9.

Zasada indukcji:

(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n)⇒ T (n+1)))⇒ ∀n∈N T (n)

(T (1) ∧ ∀n∈N1(T (n)⇒ T (n+1)))⇒ ∀n∈N1

T (n)

58

Dowie±¢, »e dowoln¡ liczb¦ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 1 mo»na przed-

stawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Je±li n jest liczb¡

pierwsz¡, to iloczyn ten skªada si¦ tylko z jednego czynnika.)

Rozwi¡zanie.

Liczba n = 2 jest liczb¡ pierwsz¡, czyli iloczynem jednej liczby

pierwszej � samej siebie.

Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 2. Zaªó»my,

»e ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ mniejsz¡ od n mo»na przedstawi¢ w

postaci iloczynu liczb pierwszych. Poka»emy, »e n te» mo»na

przedstawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych.

59

Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to teza dla n zachodzi. Je±li n jest licz-

b¡ zªo»on¡, to mo»na j¡ przedstawi¢ w postaci iloczynu dwóch

liczb od niej mniejszych: n = k · l, k, l < n. Na mocy zaªo»enia

zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p1 · . . . ·pi,l = q1 · . . . ·qj, zatem n = k · l te», oczywi±cie mo»na tak przedsta-

wi¢: n = p1 ·. . .·pi ·q1 ·. . .·qj, co ko«czy dowód kroku indukcyjnego.

Schemat powy»szego dowodu:

I) Baza: T (2).

II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (n− 1)⇒ T (n) dla ka»dego n > 2.

60