Andrzej Torój - Lato 2013/20141

Ekonometria stosowana

Wykład 5WSPÓŁLINIOWOŚĆWSPÓŁCZYNNIKI BETA

Porównywalność współczynników regresji

2

iiiii śpiewkobietywinostałtcuzytecznos 1,50,46,0

[l] [szt.] [min] jak interpretujemy poszczególne współczynniki? który z trzech czynników wpływa na użyteczność najbardziej? a jeżeli śpiew zaczniemy mierzyć w godzinach, a wino w liczbie

półlitrowych butelek? wartość współczynnika wynika z:

– siły oddziaływania na zmienną objaśnianą– skali zmienności regresora, przy którym stoi

[deklarowane j]

Współczynniki beta (1)

3

standaryzujemy zmienne (wystarczy podzielić przez odchylenie standardowe):

szacujemy równanie za pomocą MNK:

)(*

ysyy

)(*

k

kk xs

xx dla każdego k = 1, …, K

iKiKii xxy **110

* ...

iKi

KiK

i

i

xsx

xsx

ysy

)(...

)()( 1

110

iKiKi

Kii

i xxsysx

xsysy

)()(...

)()(

11

10

Współczynniki beta (2)

4

WNIOSEK: równoważną metodą jest skorygowanie współczynników zwykłej regresji o iloraz odchyleń standardowych zmiennej objaśnianej i objaśniających

iKiKii xxy ...110

iKiKi

Kii

i xxsysx

xsysy

)()(...

)()(

11

10

)()(

)()(

ysxs

xsys k

kkk

kk

Ćwiczenie

Plik powiaty.Rozważamy czynniki wpływające na

wysokość dochodów samorządów.Który z nich ma największy wpływ?

nie obliczymy

ze względu na nieodwracalność XTX

Czym jest współliniowość?

regresory nie są niezależne

niektóre kombinacją liniową pozostałych

niektóre wysoko skorelowane

yXXX TT 1ˆ

XTX będzie macierzą osobliwą (-> Matematyka)

elementy diagonalne XTX blisko 0

elementy diagonalne (XTX)-1 i s2(XTX)-1 wysokie, a więc wysokie także błędy standardowe oszacowań i precyzja szacunku niska

Diagnostyka współliniowości

1. macierz korelacji– Gretl: widok – macierz korelacji– pokazuje tylko bilateralne związki– brak jasnej granicy, powyżej której uznajemy problem za poważny

2. czynnik inflacji wariancji dla j-tego regresora

gdzie R2j to R2 z regresji j-tego regresora względem pozostałych (ze stałą)

umowna wartość graniczna: 10, powyżej - współliniowość3. indeks warunkowy

gdzie l to wartości własne macierzy powstałej z macierzy XTX przez podzielenie każdej jej komórki (i,j) przez iloczyn pierwiastków jej elementów diagonalnych (i,i) i (j,j)

umowna wartość graniczna: 20, powyżej - współliniowość

jj R

VIF 211

2/1

min

max

Gretl: testy – test współliniowości w oknie modelu

Ćwiczenie

czy w naszym modelu dochodów samorządów skala współliniowości jest znacząca?

Co robić?

wzmocnić precyzję szacunku przez rozszerzenie próby, usunięcie zmiennej, nałożenie warunków na parametry lub rezygnację z estymacji parametru (wyniki innych badań itp.)

„ręcznie” zwiększyć wartości diagonalnych elementów macierzy XTX (regresja grzbietowa)

ze współliniowych zmiennych „wycisnąć” wspólną zmienność i zapisać ją w mniejszej liczbie nowych, niezależnych zmiennych (metoda głównych składowych)

Metoda głównych składowych

n silnie skorelowanych regresorów jeżeli silnie skorelowane, to wśród nich istnieje pewien obszar

wspólnej zmienności znaczną część wariancji n skorelowanych zmiennych można

wyrazić za pomocą mniejszej liczby zmiennych niezależnych od siebie

te niezależne zmienne (główne składowe) można potem wykorzystać w regresji, eliminując problem współliniowości

zmienne będą kombinacjami liniowymi wyjściowych zmiennych; współczynniki tych kombinacji będą dobierane tak, aby w jak najmniejszej liczbie składowych zawrzeć jak największy procent wariancji zmiennych wyjściowych– szczegóły na Metodach statystycznych (część prof. Rószkiewicz)

Ćwiczenie

Spróbujmy zastosować metodę głównych składowych do naszego modelu.

Widok – główne składowe. Naciskamy znak „+”, aby zapisać składowe w bazie danych. Decyzja o ich liczbie jest arbitralna, ogólna zasada jest taka, aby jak najmniejsza ich liczba obejmowała jak najwięcej wariancji zmiennych wyjściowych.

Obserwujemy, jak skonstruowane są główne składowe. Jak je interpretować?

Spróbujmy zastąpić 14 regresorów trzema składowymi. Czy wyniki są satysfakcjonujące?

Regresja grzbietowa

skoro estymator MNKtraci efektywność ze względu na niskie wartości diagonalne macierzy XTX...

to powiększmy je wszystkie o g:

ten estymator jest efektywniejszy od MNKale:

– jest za to obciążony – coś za coś...– skąd wziąć g?

yXXX TTOLS

1ˆ

yXgIXX TTORR

1ˆ

Ćwiczenie

korzystając z przygotowanego pliku powiaty.xls, porównaj wyniki regresji grzbietowej dla różnych g, w tym dla estymatora MNK (g=0)

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 14

Literatura do wykładu 5

Welfe, rozdział 5 (cały!)

Dla chętnych:– Maddala, rozdział 7