1. Definicja przestrzeni euklidesowej i jej własności.

Przestrzenią euklidesową n-wymiarową nazywamy zbiór wszystkichuporządkowanych układów n liczb rzeczywistych, wraz z odległościąokreśloną wzorem:

, gdzie

i .

Innymi słowy jest n-krotnym iloczynem kartezjańskim . Elementy

nazywamy punktami, a liczby - współrzędnymi punktu .Ponadto, wzór na odległość dwóch punktów (odległość euklidesowa) jest uogólnieniemtwierdzenia Pitagorasa (gdzie n=2).

2. Pojęcie współrzędnych wektora - trzy interpretacje.

a) różnice odpowiednich współrzędnych początku i końca

Dla punktów:

otrzymujemy wektor postaci:

.

b) współczynniki rozkładu wektora względem bazy przestrzeni

Przyjmując oznaczenia z a) i połóżmy:

oraz , wówczas mamy:

, gdzie .

c) miary rzutów wektora na odpowiednie osie układu

3. Nierówność Cauchy-Schwartz i jej konsekwencje.

Dla dowolnych wektorów zachodzą następujące warunki:1. .2. .3. .

Dowód: dla lub , pkt 1. i 2. są spełnione. Załóżmy, że .

1. Dla dowolnego (na podstawie własności iloczynu skalarnego) otrzymujemy:

prawa strona równania to trójmian kwadratowy zmiennej , a jego wyróżnik jest:

,

co jest równoważne tezie.

2. Wnosimy, że istnieje takie, że . (z tw. o liniowej przestrzeni

euklidesowej oraz przestrzeni unormowanej otrzymujemy równość

.

Jeżeli

, to .

Tym samym mamy trójmian kwadratowy

ma pierwiastek (dwukrotny).

,

a za tym idzie .

3. Dowodzimy analogicznie jak w pkt. 2., korzystając z tego, że zachodzirówność .

Analogicznie, jak w pkt. 2. otrzymujemy, że istnieje takie , że .

Korzystamy z założenia i dostajemy

, skąd .