Dynamika bryły sztywnej
description
Transcript of Dynamika bryły sztywnej
Dynamika bryły sztywnej
Bryła sztywna – zbiór punktów, przy czym dla dowolnych dwóch
punktów A i B ich wzajemna odległość rAB jest stała w czasie,
niezależnie od przyłożonej siły.
A
BrAB
2
2ii
kivm
E i
iik
vmE
2
2
ii rv
i
iii
iik rm
rmE 2
222
22
i
ii rmI 2 moment bezwładności układu punktów materialnych względem danej osi obrotu
2
2IEk
dmrI 2moment bezwładności bryły sztywnej względem danej osi obrotu
Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego
Energia kinetyczna układu punktów materialnych
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
r2
2mrI
124
22 mlmrI
3
2mlI
5
2 2mrI
2mrI r
l
Twierdzenie Steinera
20 mdII
0I
d
I
20 5
2mrI rd
3
2
222
2
45
38
9
4
5
2
3
2
5
2mrmrrmmrI
r
mv
K
prK
Moment pędu (kręt)
prKprrpK,),,(sin
Moment siłyFrM
Zależność między momentem siły i przyspieszeniem kątowym
),(sin FrrFM
IM IM
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wokół stałej osi obrotu
Ogólna postać II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego
Mdt
Kd
Szybkość zmian momentu pędu jest równa momentowi siły
constKdt
KdM
00
r
rrfF
)(
0)(
r
rrrfFrM
zewMdt
Kd
Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły.
Siła centralna
moment siły centralnej
IK
constK
constI
2211
II
Związek pomiędzy krętem a prędkością kątową
Jeśli moment pędu jest zachowany to oznacza, że:
Ruch postępowo-obrotowy bryły sztywnejtoczenie ciał
Jak opisać taki ruch?
Załóżmy, że cylinder toczy się po poziomej powierzchni bez poślizgu
Dowolny punkt toczącego się cylindra obraca się wokół chwilowej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt P, prędkość liniowa każdego punktu jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z punktem P
wartość bezwzględna tej prędkości jest proporcjonalna do odległości między punktami
rv
rv,
r
P
S
Cylinder obraca się wokół punktu P z prędkością kątową w danej chwili – jest to więc czysty ruch obrotowy.Energia kinetyczna takiego ruchu
2
2
1 IEk
Z twierdzenia Steinera wynika
a więc energia kinetyczna cylindra wynosi
2mrII S
222
2
1
2
1 mrIE Sk
Iloczyn jest prędkością liniową środka masy cylindra względem nieruchomego punktu P
r
22
2
1
2
1SSk mvIE
Prędkość środka masy względem punktu P jest taka sama jak prędkość punktu P względem środka masy stąd prędkość kątowa środka masy wokół punktu P jest taka sama jak prędkość kątowa punktu P wokół środka masy
22
2
1
2
1SSk mvIE
energia kinetyczna obracającego się cylindra
energia kinetyczna cylindra poruszającego się ruchem postępowym
P
S
Dowolny punkt znajdujący się na obwodzie walca obraca się z prędkością v i z taką samą prędkością porusza się prostoliniowo