DYNAMIKA•Zasady dynamiki•Układy inercjalne, zasada bezwładności, zasada względności•Definicje wielkości dynamicznych•Zasady zachowania pędu i momentu pędu•Układy nieinercjalne•Praca•Siły zachowawcze•Energia potencjalna i kinetyczna•Zasada zachowania energii

ZASADY DYNAMIKI

I. Ciało, na które nie działają żadne siły zewnętrzne, lub działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym

II. Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły

III. Względem każdego działania (akcji) siły istnieje równe co do wartości i przeciwnie zwrócone przeciwdziałanie (reakcja) siły.

FrMprdtd

dtLdIM

FdtpdamF

UKŁADY INERCJALNE, ZASADA BEZWŁADNOŚCI

Układ odniesienia, w którym spełniona jest I zasada dynamiki, nazywa się układem inercjalnym

Zasada bezwładności (równoważne sformułowanie I zasady dynamiki)Istnieje przynajmniej jeden układ inercjalny

Wniosek: istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych, poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

FFaaa

vraaa

0,02

0

20

Transformacja siły

ZASADA WZGLĘDNOŚCI (GALILEUSZA)

Wniosek: siła jest niezmiennicza względem transformacji Galileusza (tj.jest jednakowa we wszystkich układach inercjalnych). Jest to szczególny przypadek zasady względności Galileusza.

We wszystkich inercjalnych układach odniesienia, w tych samych warunkach, zjawiska mechaniczne przebiegają jednakowo.

Masa bezwładna

,,,11

,,11

1,,1

1,,

,,

,,,,

11

1

1

VVCM

VVCM

i

N

iiCMi

N

iiCM

i

N

iiCMCMCMCM

V

N

ii

xdxdydzzyxM

xdmM

x

dxdydzrzyxM

dmrM

r

zmM

zxmM

x

rmM

zyxr

dxdydzzyxM

dxdydzzyxdVrdmzyxr

mM

Środek masy

Masa bezwładna jest miarą bezwładności ciała, tzn. oporu, jaki ciało stawia sile, zmieniającej stan jego ruchu

Pęd

amdtvdmvm

dtdFm

dtpdF

vMp

vmMdt

rdmMdt

rdvrmM

r

vmpp

vmp

CM

N

iii

N

i

ii

CMCM

N

iiiCM

N

iii

N

ii

const,

111111

11

Dla punktu materialnego

Dla układu punktów materialnych

II zasada dynamiki dla ruchu postępowego

F jest wypadkową sił zewnętrznych (wypadkowa sił wewnętrznych, działających między częściami składowymi układu, wynosi zero, gdyż znoszą się one na mocy III zasady dynamiki)

Moment bezwładności

dxdydzzyxzyxI

dVrrdmrI

rmI

mrI

V

VV

i

N

ii

,,222

22

2

1

2

Dla punktu materialnego, leżącego w odległości r od osi obrotu

Dla bryły sztywnej

Moment siły

IIMM

IkIkr

arm

kamrFrM

FrM

N

ii

N

ii

iii

iiii

iiiiii

11

2 sinsin

Dla punktu materialnego, leżącego w odległości r od nieruchomej osi obrotu, na który działa siła F

Dla bryły sztywnej

przyspieszenie kątowe

Moment pędu

IILL

IkIkr

vrm

kvmrprL

prL

N

ii

N

ii

iii

iiii

iiiiiii

11

2 sinsin

Dla punktu materialnego o pędzie p, leżącego w odległości r od nieruchomej osi obrotu

Dla bryły sztywnej

prędkość kątowa

dtLdMMI

dtdI

dtLd

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

ZASADY ZACHOWANIA (1)

Zasada zachowania pędu

const00 pFdtpdF

Zasada zachowania momentu pędu

const00 LMdtLdM

Przykład: precesja bąka Ruch precesyjny: ruch wirowy osi symetrii obracającej się bryły sztywnej wokół kierunku pola grawitacyjnego

L - moment pędu bryły sztywnej w ruchu obrotowym wokół osi symetriiI - moment bezwładności bryły sztywnej w ruchu obrotowym wokół osi symetrii - prędkość kątowa bryły sztywnej w ruchu obrotowym wokół osi symetriip - prędkość kątowa precesjim - masa bryły, g - przyspieszenie ziemskie,R - siła reakcji podłoża

0

R

p

M

IL

oś obrotu przechodzi przez punkt podparcia

Imgr

Lmgr

dtd

mgrdtdL

dtdL

dtdLdLdL

mgrdtdLgmrM

dtLd

p

sinsin

sinsin

sin

Przykład: ruch ciał o zmiennej masie

vv+w

w

v=v(t) - prędkość rakietym=m(t) - masa rakietymg=mg(t) - masa spalonego paliwa (= masie wyrzuconych gazów wylotowych) w - prędkość strumienia gazów wylotowych względem rakiety= -dm/dt - szybkość zmiany masy rakiety; > 0; = dmg/dt F - siła zewnętrznap(t) - pęd układu w chwili tp(t+dt) = p(t)+dp - pęd układu w chwili t+dt

dtdmw

dtvdtmF

dtpd

dtwdmvdtmwdmvdtmpd

vdtmvddmdmdm

wtvdmvdtvdmtmpdtpdttptvtmtp

g

g

g

)(

:)()(

)(;

)()()()()()()()(

równanie Mieszczerskiego

pęd rakiety w chwili t+dt

pęd gazów wylotowych w chwili t+dt

Codsrbezw FFFFF

vmrmamamam

vraaa

2

22

0

20

UKŁADY NIEINERCJALNE

Układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I zasada dynamiki, nazywa się układem nieinercjalnym (np. poruszający się z przyspieszeniem względem dowolnego układu inercjalnego)

W układach nieinercjalnych nie jest również spełniona II zasada dynamiki, ponieważ występują w nich siły pozorne, których nie można przypisać oddziaływaniu określonych ciał

siła bezwładności (siła d’Alemberta) siła odśrodkowa siła Coriolisa

Przykład: siła Coriolisa

vmvmFC 22

Przykłady:

• Odchylenie pasatów (wiatrów wiejących od zwrotnika ku równikowi) w prawo na półkuli północnej i w lewo na półkuli południowej względem kierunku ruchu

•Wschodnie odchylenie ciał swobodnie spadających

•Pomiar ruchu wirowego Ziemi: wahadło Foucaulta

PRACA

b

a

b

aii

iii

rdrFdWdWW

rdFdWrdFdW

dr1

driF1

Fi

1

i

a

b

SIŁY ZACHOWAWCZE

Jeżeli praca wykonana przez siłę przy przemieszczaniu ciała po dowolnej drodze zamkniętej wynosi zero, taką siłę nazywamy zachowawczą.Wniosek: w polu siły zachowawczej praca nie zależy od drogi, tylko od punktu początkowego i końcowego

ENERGIA

Energia potencjalna: praca wykonana przeciwko sile zachowawczej i zmagazynowana w ciele

Przykład: energia potencjalna w jednorodym polu sił ciężkości

x

pEmgxmgdxW

mgdxrdFdW

0

Wartość pracy nie zależy od drogi, tylko od różnicy wysokości h

dxdE

xFxEE

dxdE

mgF

ppp

p

)(

g

P=mg

F=-P

m

r

dr

F

dx x

dW=F•dr = mgdx

x

Ogólnie dla przypadku jednowymiarowego

const

2

2222

0,

20

22

00

pk

pk

k

kk

v

v

v

v

b

a

b

a

b

a

b

a

EEE

EEE

mvE

EEmvmvmvvdvmW

vddtrdmdt

dtrd

dtvdmrdamrdFW

�

Energia kinetyczna: praca wykonana przez siłę zachowawczą jest równa zmianie energii kinetycznej

Energia całkowita mechaniczna

ZASADY ZACHOWANIA (2)

Zasada zachowania energii mechanicznej: w polu siły zachowawczej całkowita energia mechaniczna pozostaje stała