7.1.1. Przedmiot dynamiki Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych. Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także − po ich odpowiednim przekształceniu − do układu punktów materialnych, ciała sztywnego i bryły sztywnej. Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu a, na który działa siła F, sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona:

Fa =m . (7.1)

Powyższe równanie jest dynamicznym równaniem ruchu punktu materialnego. Jeżeli wektor wodzący rozpatrywanego punktu materialnego poprowadzony z początku O nieruchomego układu współrzędnych x, y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to, jak wiadomo z kinematyki, przyśpieszenie a jest drugą pochodną względem czasu wektora wodzącego. Zatem równanie (7.1) przyjmie postać:

Fr=2

2

tddm . (7.2)

Jest to wektorowe równanie różniczkprostokątnym układzie współrzędnych, przodpowiadają trzy skalarne dynamiczne rów

2

2

x2

2

tdydm,F

tdxdm =

W równaniach tych x, y, z są współwspółrzędnymi punktu materialnego, a przyjętym układzie współrzędnych.

z

y

x

O

F

m

r

Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod działaniem siły

owe ruchu punktu materialnego. W edstawionym na rys. 7.1, równaniu temu nania ruchu punktu materialnego.

z2

2

y Ftdzdm,F == . (7.3)

rzędnymi wektora wodzącego r, czyli Fx, Fy, Fz współrzędnymi siły F w

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które omówimy w następnych punktach.

7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy równanie ruchu punktu materialnego w postaci:

( ),trr = to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy przyśpieszenie tego punktu:

tdd 2 ra =

i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt:

2

2

tddm rF = . (7.4)

Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyźnie xy zgodnie z równaniami ruchu: t4sin=yt,cos23x ππ= , gdzie t jest czasem. Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych punktu x, y. Rozwiązanie. Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny, które wyrażają wzory:

.tdydmF

tdxdmF 2

2

y2

2

x == , (a)

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu otrzymujemy:

.

,

ytsin4dt

yd

x4=tcos212dt

xd

222

2

222

2

π−=ππ−=

π−ππ−=

Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:

.ymF,xm4=F 2y

2x π−=π−

7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod nazwą − zagadnienie odwrotne dynamiki. Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć równanie ruchu punktu ( )trr = przy znanej sile F, należy scałkować równanie różniczkowe (7.2) lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań różniczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, że operacja taka nie jest jednoznaczna i aby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, należy wyznaczyć stałe całkowania. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane warunkami początkowymi) w pewnej chwili t0 (w chwili początkowej):

( ) ( )0

000 td

td,t v

rrr == . (7.5)

Znacznie większe trudności przy poszukiwaniu równania ruchu punktu materialnego mogą wynikać z faktu, że w przypadku ogólnym siła F działająca na punkt może być jednocześnie funkcją czasu t, położenia punktu r i prędkości v punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) należy zapisać w postaci:

( vrFr ,,ttd

dm 2

2

= ) . (7.6)

Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego lub równoważnego mu układu równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych jest bardzo trudne i tylko w nielicznych przypadkach udaje się otrzymać rozwiązanie ścisłe. Jeżeli nie znamy rozwiązania równań różniczkowych, stosujemy metody przybliżone lub numeryczne. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrzenia prostych przykładów, w których siła F będzie stała oraz będzie funkcją tylko jednej zmiennej − czasu, położenia lub prędkości. Przykład 7.2. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem stałej siły F = const. Wyznaczyć jego prędkość v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); jeżeli czas t = 0, to r(0) = r0 i v(0) = v0.

Rozwiązanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) możemy przedstawić w postaci:

.mdt

dlubmtd

d2

2 FvFr==

Po scałkowaniu otrzymamy:

1tm

dtm

CFFv +== ∫ . (a)

Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt oraz ponownym całkowaniu mamy:

.ttm2

dttm 21

21 CCFCFr ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫ (b)

Stałe całkowania C1 i C2 wyznaczamy z podanych warunków początkowych przez podstawienie do równań (a) i (b) r(0) = r0 oraz v(0) = v0 dla t = 0

C1 = v0, C2 = r0. Ostatecznie prędkość punktu oraz równanie ruchu mają postać:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

+=

.

,

200

0

tm2

t

tm

Fvrr

Fvv (c)

Z otrzymanych rezultatów wynika, że gdy siła F będzie równa zeru, to punkt będzie się poruszał zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem jednostajnym po linii prostej. Przykład 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza się po linii prostej wzdłuż osi Ox (rys. 7.2) pod wpływem siły ( ) [ ]F t= −10 1 N , gdzie t jest czasem liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma się i jaką drogę przebędzie w tym czasie, jeżeli w chwili początkowej t = 0 jego prędkość v0 = 20 cm/s.

Rozwiązanie. Ponieważ punkt materialny porusza się wzdłuż osi Ox, dynamiczne równanie jego ruchu możemy zapisać w postaci skalarnego równania różniczkowego .

( )t110tdxdm

,Ftdxdm

2

2

2

2

−=

=

lub

m10

tdxd2

2

=

Po scałkowaniu tego równania otrzymujem2

2tt

m10

dtdxv ⎜⎜

⎝

⎛−==

Po podstawieniu do równania (b) warunwyznaczamy stałą całkowania C1 = v0. Zate

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+==

2tt

m10v

dtdxv

2

0

Czas, po którym punkt się zatrzyma, obliczStąd otrzymujemy równanie kwadratowe z

04,0t2t 2 −−

Po obliczeniu pierwiastków tego równanotrzymujemy czas, po którym punkt się zatpunkt materialny obliczymy, całkując równ

vdt2tt

m10vs 0

t

0

2

0

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∫

Przykład 7.4. Punkt materialny o masio wartości P = αm/x4 (rys. 7.3), gdzie α jepunktu w chwili, gdy jego odległość x = jeżeli w chwili początkowej (dla t = 0) x =

F

x

m

s

x 0

Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu materialnego

( t1− ) . (a)

y prędkość punktu:

1C+⎟⎟⎠

⎞. (b)

ku początkowego v = v0 dla t = 0 m prędkość punktu wyraża wzór:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

sm

2tt102,0

2

. (c)

ymy, podstawiając we wzorze (c) v = 0. e względu na czas t:

0= . (d)

ia i odrzuceniu pierwiastka ujemnego rzyma: t1 = 2,02 s. Drogę przebytą przez anie (b) w granicach od 0 do t1.

.m74,103t

1tm5t 1

11 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

e m jest przyciągany do środka O z siłą st wartością stałą. Wyznaczyć prędkość OM od punktu O będzie równa x0/2,

x0, v = v0 = 0.

Rozwiązanie. Na rozpatrywany punkt działa tylko siła P, wobec tego jego równanie różniczkowe ma postać:

mP

xo

x0

x M Mo

Rys. 7.3. Wyznaczenie prędkości punktu materialnego

,xm

tdxdm 42

2 α−=

czyli

42

2

xtdxd α

−= . (a)

Po podstawieniu w powyższym równaniu:

vdxdv

dtdx

dxdv

dtdv

tdxd2

2

===

otrzymamy:

,xdx

dvv 4

α−=

a po rozdzieleniu zmiennych

4xdxvdv α−= . (b)

Po scałkowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x0 do x0/2 otrzymamy:

.x3

72

v

,xdxvdv

30

2

x21

x4

v

0

0

0

α=

α−= ∫∫

Stąd prędkość punktu

30x3

14v α= . (c)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu.

Przykład 7.5. Ciało o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z prędkością początkową v0 = 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego wartość przy prędkości v [m/s] wynosi 0,4v [N]. Obliczyć, po ilu sekundach ciało osiągnie najwyższe położenie H. Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g =10 m/s2. Rozwiązanie. Na ciało działają siły ciężkości i oporu powietrza i obie są skierowane w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys. 7.4). Zatem równanie różniczkowe ruchu ma postać:

O

x

G

R

V0

H

v=0

m

v

Rys. 7.4. Rzut pionowy z uwzględnieniem oporu powietrza

,v4,0mgtdzdm 2

2

−−=

a po podstawieniu danych liczbowych możemy napisać:

( )v2,010dtdv

+−= . (a)

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy:

dtv2,010

dv−=

+. (b)

Po scałkowaniu tego równania w granicach od v0 do 0 oraz od 0 do t, uporządkowaniu i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu otrzymujemy czas, po którym ciało osiągnie najwyższe położenie:

s.2,35=ln1,65100,2v+10

ln5t

,dtv2,010

dv2,020

1

0

t

0

0

v0

==

−=+ ∫∫,

7.1.4. Zasada d’Alemberta Po przeniesieniu obu wyrazów występujących w dynamicznym równaniu ruchu punktu materialnego (7.1) na jedną stronę otrzymamy:

.0m =− aF Po wprowadzeniu do tego równania zamiast −ma fikcyjnej siły zwanej siłą bezwładności lub siłą d’Alemberta, Pb ma= − , otrzymamy zasadę d’Alemberta dla punktu materialnego:

0b =+ PF , (7.7)

którą słownie wyrażamy następująco: Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny jest w każdej chwili równa zeru.

Z zasady tej wynika, że poprzez formalne wprowadzenie siły bezwładności zagadnienie dynamiczne można sprowadzić do zagadnienia statycznej równowagi sił. Przedstawioną wyżej zasadę d’Alemberta dotyczącą swobodnego punktu materialnego zastosujemy do układu n punktów materialnych. W tym celu rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk i przyśpieszeniach ak. Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać siły zewnętrzne i wewnętrzne. Zgodnie z podziałem wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2) siłami wewnętrznymi ami rozpatrywanego układu materialnego, a siłami zewnętrznymi siły pochodzące od innych punktów lub ciał nie należących do naszego układu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono siły działające na dwa punkty o masach mk i ml. Siły zewnętrzne zastąpiono tutaj siłami wypadkowymi Pk i Pl, a siły wzajemnego oddziaływania między tymi punktami oznaczono przez Fkl i Flk. Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły te są równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty: . F Fkl lk= −

x

z

y

rk

mk

O

-mkak

-mlalrl

Fkl

Flk

ml

Pk

Pl

Rys. 7.5. Siły zewnętrzne, wewnętrzne i bezwładności działające na punkty układu materialnego

Siłę Fk działającą na k-ty punkt możemy przedstawić w postaci sumy siły zewnętrznej Pk i wypadkowej wszystkich sił wewnętrznych Pwk:

wkkk PPF += , (7.8) gdzie

Pwk kl==≠

∑ll k

n

1

F . (7.9)

Po oznaczeniu siły bezwładności działającej na rozważany punkt przez

P abk k km= − zasadę d’Alemberta dla dowolnego punktu układu materialnego możemy przedstawić w postaci równania:

( )n,...,2,1k0bkwkk ==++ PPP . (7.10)

Suma sił zewnętrznych, wewnętrznych oraz siły bezwładności działających na dowolny punkt układu materialnego jest w każdej chwili równa zeru. Jeżeli równanie (7.10) napiszemy dla każdego punktu materialnego i dodamy stronami, to otrzymamy:

∑ ∑∑= ==

=++n

1k

n

1kbk

n

1kwkk 0PPP . (a)

Występująca w tym równaniu suma wszystkich sił wewnętrznych dowolnego układu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:

∑=

=n

1kwk 0P . (7.11)

Zatem równanie (a) przyjmie postać:

∑ ∑= =

=+n

1k

n

1kbkk 0PP . (7.12)

Pomnóżmy teraz wektorowo każde z n równań (7.10) przez wektor wodzący rk i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy równanie momentów:

0n

1kbkk

n

1kwkk

n

1kkk =×+×+× ∑∑∑

===

PrPrPr . (b)

Ponieważ siły wewnętrzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, działają parami

, i wzdłuż jednej prostej, to suma momentów tych sił dla całego układu materialnego względem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru: F Fkl lk= −

0n

1kwkk =×∑

=

Pr (7.13)

i równanie (b) przyjmuje postać:

0n

1kbkk

n

1kkk =×+× ∑∑

==

PrPr . (7.14)

Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiają zasadę d’Alemberta dla układów materialnych, którą można sformułować następująco: Suma sił zewnętrznych i sił bezwładności dla danego układu materialnego oraz sumy momentów tych sił względem nieruchomego bieguna redukcji w każdej chwili są równe zeru. Przykład 7.6. Punkt materialny M o ciężarze G = 10 N, zawieszony w nieruchomym punkcie O na lince o długości OM = s = 30 cm, tworzy wahadło stożkowe, tzn. zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej, przy czym linka tworzy z pionem kąt (rys. 7.6a). Wyznaczyć siłę F w lince oraz prędkość v punktu M.

α = 60o

a

G

BF

x

O

A

y

v

α

O

A M

a) b)

α

Rys. 7.6. Wyznaczenie siły w lince i prędkości punktu Rozwiązanie. Na punkt materialny działa siła ciężkości G, siła w lince F oraz siła bezwładności (odśrodkowa) aB m−= , gdzie a jest przyśpieszeniem dośrodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasadą d’Alemberta (7.10) suma tych sił musi być równa zeru:

0=++ BFG . Z rzutu tych sił na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi:

⎪⎭

⎪⎬⎫

−α=α−=

∑∑

0.=GcosFP,0=ma+sinFP

ky

kx (a)

Z drugiego równania otrzymujemy siłę w lince:

N20cos60

10cos

GF o ==α

= .

Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przyśpieszenie dośrodkowe:

α==

sinsv

AMva

22

otrzymamy równanie:

0=sinsv

gG+sinF

2

αα− .

Stąd prędkość punktu M

sm1,2sin60cos60

0,39,81=sincos

sg=sinsgGFv o

o /=⋅

αα

α= .

7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu sił. Energia potencjalna Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą układu sił do rozpatrywanego układu materialnego w czasie jego ruchu. Celem ogólnego zdefiniowania pracy rozpatrzymy ruch punktu materialnego po torze krzywoliniowym pod wpływem siły P. Punkt przyłożenia A siły P jest opisany wektorem wodzącym r (rys. 7.7). Pracą elementarną siły P na przesunięciu elementarnym ds, równym przyrostowi promienia wodzącego dr, nazywamy iloczyn skalarny siły P i przemieszczenia dr:

rP ddL ⋅=

lub korzystając z definicji iloczynu skalarne

cosdrPdL α=

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul 1 metra:

J = N⋅ m = kg

a w układzie technicznym kilogram siły raz

1 kG ⋅m =

Mimo oznaczenia pracy elementarnej oznaczenie różniczki zupełnej należy pamogół różniczką zupełną żadnej funkcji. Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) mo

a) Pracę wykonuje jedynie składowa sinormalnej jest równa zeru. b) Wartość pracy może być zarówno dododatnia, a dla α> π/2 ujemna. c) Jeżeli na punkt materialny działa u

wypadkowej , to praca tej siły

równa sumie prac elementarnych poszczegó

W P==∑ kk

n

1

x

z

y

O

P A

A1

A2

drα

r

Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy

(7.15) go

( )drcosP α= . (7.16)

równy pracy 1 niutona na przesunięciu

⋅ m2 ⋅ s–2,

y metr:

9,81 J.

symbolem powszechnie używanym na iętać, że praca elementarna nie jest na

żna sformułować poniższe wnioski. ły styczna do toru, a praca składowej

datnia, jak i ujemna: dla /2 jest

kład sił Pk, których suma jest równa

na przesunięciu elementarnym dr jest

lnych sił na tym przesunięciu:

rPrPrPrW dddddL n21 ⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅= .

d) Praca elementarna siły P na przesunięciu wypadkowym jest

równa sumie prac elementarnych tej siły na przesunięciach składowych:

∑=

=n

1kkdd rr

n21 dddddL rPrPrPrW ⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅= .

Jeżeli wektory występujące po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za pomocą współrzędnych:

,dzdydxd,PPP zyx kjirjjiP ++=++=

to pracę elementarną możemy przedstawić w postaci:

dzPdyPdxPdL zyx ++= . (7.17)

Jeżeli punkt przyłożenia A siły P przemieści się po krzywej od punktu A1 do A2, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez siłę P będzie całką krzywoliniową:

( )∫ ∫ ++=⋅=21 21AA A

zyx12 dzPdyPdxPdLA

rP . (7.18)

Występująca w powyższym wzorze siła może w ogólnym przypadku być funkcją czasu t, położenia w przestrzeni punktu A oraz prędkości tego punktu. Współrzędne siły P będą zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich pochodnych względem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) możemy podstawić:

dtdtdzdz,dt

dtdydy,dt

dtdxdx ===

i zamiast całki krzywoliniowej otrzymamy całkę oznaczoną w granicach całkowania od t1 do t2

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2

1

t

tzyx dt

dtdzP

dtdyP

dtdxPL . (7.19)

Ze względu na zastosowania bardzo ważny jest przypadek, gdy siła P jest jedynie funkcją położenia (miejsca):

( )rPP = , a jej współrzędne są wziętymi ze znakiem minus pochodnymi cząstkowymi funkcji U względem współrzędnych x, y, z:

.zUP,

yUP,

xUP zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−= (7.20)

Wykażemy, że funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca elementarna siły o współrzędnych (7.20)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⋅= dzzUdy

yUdx

xUd

zU

yU

xUddL rkjirP .

Wyrażenie występujące w nawiasie po prawej stronie powyższego równania jest różniczką zupełną funkcji U:

dzzUdy

yUdx

xUdU

∂∂

+∂∂

+∂∂

= . (7.21)

Z matematyki wiadomo, że całka krzywoliniowa z różniczki zupełnej jest równa różnicy wartości końcowej i początkowej zróżniczkowanej funkcji. Zatem pracę wykonaną przez siłę P na jej przemieszczeniu z punktu A1 do A2 wyraża wzór:

( ) .UUUUdUL 2112AA

12

21

−=−−=−= ∫ (7.22)

Widzimy, że praca wykonana przez siłę opisaną wzorem (7.20) na przemieszczeniu jej z położenia początkowego do końcowego jest równa ubytkowi funkcji U. Funkcję tę nazywamy potencjałem albo energią potencjalną, siłę P spełniającą warunek (7.20) siłą potencjalną lub zachowawczą, a pole sił polem potencjalnym lub zachowawczym.

Potencjał w określonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, którą wykonują siły potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do punktu, w którym potencjał jest równy zeru. Ponieważ punkt ten może być obrany dowolnie, potencjał jest określony z dokładnością do dowolnej stałej C. Wnika to z tego, że funkcja:

CUU +=′ również spełnia zależności (7.20) i (7.22). Ze wzoru (7.22) wynikają dwie ważne własności sił potencjalnych. a) Praca siły potencjalnej nie zależy od toru jej punktu przyłożenia, lecz jedynie od położenia tego punktu w chwilach początkowej i końcowej.

b) Praca wykonana przez siłę potencjalną jest równa ubytkowi energii potencjalnej wynikającemu z przemieszczania się punktu przyłożenia siły. Wynika stąd również, że praca po torze zamkniętym jest równa zeru.

7.1.6. Przykłady sił potencjalnych

Siły sprężystości Wykażemy obecnie, że siły odkształcenia sprężystego są siłami potencjalnymi.

W tym celu rozpatrzymy sprężynę śrubową, której koniec A jest unieruchomiony, a koniec B może się przemieszczać wzdłuż osi Ox (rys. 7.8). Założymy, że w chwili, gdy sprężyna nie jest napięta, koniec B pokrywa się z punktem O.

x

A O B x

P

Rys. 7.8. Przykład siły sprężystej wykonującej pracę Jeżeli wydłużymy sprężynę o wartość x, to zgodnie z prawem Hooke’a będzie ona działać na punkt B siłą P proporcjonalną do wydłużenia:

iP xk−= , gdzie współczynnik proporcjonalności k jest nazywany stałą sprężyny, a znak minus oznacza, że siła P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia sprężyny. Z powyższego wzoru wynika, że współrzędna siły P jest funkcją tylko współrzędnej x:

xkP −= , zatem potencjał U musi spełniać równanie:

xkPdxdU

xU

=−==∂∂

.

Po scałkowaniu tego równania w granicach od O do x1 otrzymujemy wzór na potencjał siły sprężystej:

21

x

0

xk21xkU

1

== ∫ . (7.23)

Pracę siły sprężystej na skończonym przesunięciu, np. od 0 do x, można obliczyć ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U1 = 0. Zatem

21212 xk

21UL −=−= . (7.24)

Siły ciężkości Jeżeli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobliżu powierzchni

Ziemi o małych wymiarach w porównaniu z promieniem Ziemi, to można przyjąć, że na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się w tej przestrzeni działa stała siła ciężkości:

G = mg, gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim. Przy takim założeniu pole sił jest jednorodnym polem sił ciężkości. Gdy w takim polu sił przyjmiemy układ współrzędnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w górę, to zgodnie z rys. 7.9 współrzędne siły ciężkości G opisują zależności:

.mgG,0GG zyx −=== (7.25) Ze wzoru (7.20) wiadomo, że współrzędne sił potencjalnych są równe pochodnym cząstkowym potencjału U względem współrzędnych wziętych ze znakiem minus:

mgzUG,0

yUG,0

xUG zyx −=

∂∂

−==∂∂

−==∂∂

−= . (7.26)

Z powyższych równań wynika, że potencjał U jest jedynie funkcją zmiennej z. Po podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy różniczkę potencjału pola sił ciężkości:

,dzmgdU =

a po scałkowaniu tego równania potencjał sił ciężkości

CzgmU += , (7.27) gdzie C jest dowolną stałą. Ze wzoru (7.27) wynika, że dla z = const potencjał U jest również stały. Zatem w przypadku sił ciężkości wszystkie punkty każdej płaszczyzny poziomej mają taką samą wartość potencjału. Powierzchnie, których punkty mają te same wartości potencjału, nazywają się powierzchniami ekwipotencjalnymi. Praca siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jest − zgodnie ze wzorem (7.22) − równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym:

( ) hgmzzgmUUL 212112 =−=−= , (7.28)

gdzie h jest różnicą wysokości (rys. 7.9).

x

y

z

O

A1

A2

Gh

A

Rys. 7.9. Praca siły ciężkości

x

z

y

r

P

A

MO

m

Rys. 7.10. Siła wzajemnego przyciągania

Siły wzajemnego przyciągania Wykażemy, że siła, z jaką nieruchomy punkt materialny o masie M działa na

dowolny punkt materialny o masie m, jest siłą potencjalną. Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia (1.2) punkt M działa na punkt m i odwrotnie z siłą P o wartości

2rMmkP = , (7.29)

gdzie k jest stałą grawitacji, a r jest odległością masy m od nieruchomej masy M. Jeżeli masę M umieścimy w początku układu współrzędnych x, y, z, a masę m w punkcie A o wektorze wodzącym r (rys. 7.10), to siłę P można opisać wzorem:

r1P 2rMmk−= , (7.30)

gdzie 1r jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r. Gdy współrzędne wektora wodzącego r oznaczymy przez x, y, z, to współrzędne siły P będą następujące:

rz

rMmkP,

ry

rMmkP,

rx

rMmkP 2z2y2x −=−=−= . (7.31)

Łatwo wykazać, że potencjałem omawianego pola sił jest funkcja

( )U x k Mmr

C k Mm

x y zC, y, z = − + = −

+ ++

2 2 2. (7.32)

przy czym C jest dowolną stałą. Aby siła P była potencjalna, jej współrzędne (7.31) muszą spełniać wzory (7.20). Po zróżniczkowaniu funkcji (7.32) względem x otrzymamy:

( ) x232

3222P

rx

rMmk

rkMmx

zyx

x221kMm

xU

−===++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

∂∂

.

Postępując podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy:

z2y2 Prz

rMmk

zU,P

ry

rMmk

yU

−==∂∂

−==∂∂

.

Pracę wykonaną przez siłę P na przemieszczenie masy m z położenia 1 do 2 zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzględnieniu równania (7.32) zapiszemy w następującej postaci:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

122112 r

1r1kMmUUL . (7.33)

7.1.7. Moc i sprawność Z technicznego punktu widzenia interesuje nas często nie tylko wartość pracy, ale również czas, w jakim została ona wykonana. W tym celu wprowadzono pojęcie mocy. Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.

tdLdN = . (7.34)

Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem (7.15) otrzymujemy wzór na moc siły P.

vPrP⋅=

⋅=

tddN . (7.35)

Zatem moc siły jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu przyłożenia. Ze wzoru (7.34) widzimy, że między pracą elementarną dL i mocą N istnieje prosty związek:

.dtNLd = Jeżeli siła P w chwili t1 znajduje się w punkcie A1, a w chwili t2 w punkcie A2 (rys. 7.6), to praca L12 wykonana przez tę siłę przy przemieszczeniu się po torze od A1 do A2 będzie równa całce z mocy w granicach od t1 do t2:

∫=2

1

t

t12 NdtL . (7.36)

Gdy na układ materialny działa układ n sił, to moc tego układu jest równa sumie mocy poszczególnych sił:

∑=

=n

1kkNN . (7.37)

Podstawową jednostką mocy w układzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc siły, która pracę jednego dżula wykonuje w ciągu jednej sekundy:

1 W = J ⋅ s–1. W praktyce na określenie mocy silników i maszyn są używane większe jednostki − kilowaty (kW) i megawaty (MW):⋅ 1 kW = 1000 W,

1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W. W technicznym układzie jednostek podstawową jednostką mocy jest kilogram siły razy metr na sekundę:

1 kG ⋅ m ⋅ s–1.

Praktyczną jednostką mocy w tym układzie jest koń mechaniczny KM:

1 KM = 75 kG ⋅ m ⋅ s–1. Między jednostkami mocy w układzie technicznym i w układzie SI istnieją zależności: 1 kG ⋅ m ⋅ s–1 = 9,81 W, 1 KM = 75 ⋅ 9,81 W = 0,736 kW, 1 W = 0,102 kG ⋅ m ⋅ s–1, 1 kW = 102 kG ⋅ m ⋅ s–1 = 1,36 KM. Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje się pojęcie sprawności mechanicznej. Wiadomo, że część mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest tracona na pokonanie oporów istniejących w samym silniku (maszynie), a tylko część jest zamieniana na moc użyteczną. Sprawnością mechaniczną nazywamy stosunek mocy użytecznej Nu (lub pracy Lu) do mocy włożonej Nw (lub pracy Lw):

w

u

w

u

LL

NN

η == . (7.38)

Sprawność jest liczbą bezwymiarową spełniającą nierówność: .1η0 ≤≤

7.1.8. Moc układu sił działających na bryłę sztywną W poprzednim punkcie zdefiniowaliśmy moc siły P działającej na punkt materialny. Obecnie obliczymy moc układu n sił zewnętrznych Pk, gdzie k = 1, 2, .... , n, przyłożonych odpowiednio w punktach A1, A2, .... , An bryły sztywnej, poruszającej się znanym ruchem względem nieruchomego układu współrzędnych x, y, z (rys. 7.11). W dowolnym punkcie (biegunie redukcji) umieścimy ruchomy układ współrzędnych

′O′ ′ ′x , y , z poruszający się razem z bryłą.

Układ sił Pk reprezentują wektor główny W i moment główny umieszczone w biegunie redukcji , a ruch bryły jest określony za pomocą prędkości bieguna i prędkości kątowej ω.

M ′O

′O v ′O

′O

x

MOz

x′

z′ y′

y

O′

O

W

kr ′

ω

vO′ Pk

Ak

vk

Rys. 7.11. Wyznaczenie mocy układu sił działających na bryłę sztywną

Zgodnie z definicją moc Nk siły Pk

kkkN vP ⋅= . Prędkość dowolnego punktu Ak zgodnie ze wzorem (5.29) możemy zapisać w następujący sposób:

kOk rωvv ′×+= ′ . Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc Nk siły Pk oraz wykorzystaniu własności iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy:

( ) ( ) ( )kkOkkOkkOkkN PrωvPrωPvPrωvP ×′⋅+⋅=′×⋅+⋅=′×+⋅= ′′′ .

Moc układu sił działających na bryłę sztywną otrzymamy po zsumowaniu − zgodnie ze wzorem (7.37) − mocy poszczególnych sił:

( )[ ] k

n

1kk

n

1kkO

n

1kkkOk

n

1kkNN PrωPvPrωvP ∑∑∑∑

==′

=′

=

×′⋅+⋅=×′⋅+⋅== .

Ostatecznie

ωMvW ⋅+⋅= ′′ OON . (7.39) Zgodnie z zależnościami (3.25) i (3.26) w powyższym wzorze W jest wektorem głównym, a momentem głównym układu sił zewnętrznych zredukowanych do bieguna redukcji .

M ′O

′O Wzór (7.39) można wyrazić słownie:

Moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie iloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż bieguna i prędkości kątowej.

7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły

Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i jego prędkości:

p = mv. (7.40)

Z powyższej definicji wynika, że pęd jest wektorem o kierunku prędkości, a więc jest wektorem stycznym do toru punktu materialnego.

Dla układu n punktów materialnych o masach mk i prędkości vk (rys. 7.12) pęd będzie równy sumie pędów poszczególnych punktów materialnych:

∑=k

p

Wzór (7.41) można przedstawić w po

=p

Widzimy, że występująca pod zn(4.18), jest momentem statycznymwzględem początku nieruchomego uk

∑n

1=k=S

Po podstawieniu wzoru (b) do wzorumożemy zapisać w postaci:

n

1kp = ∑

= gdzie m jest masą całkowitą układu m Z otrzymanego wzoru wynika,iloczynowi masy całkowitej m układPonadto wzór (7.42) pozwala na inne

vn

x

vC

v2

rk

z

y

rCk

rC

mk

C

O

m1

v1

vk

m2

mn

Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego

=

n

1kkm v . (7.41)

staci:

∑n

1=kkkm

dtd r . (a)

akiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem S rozpatrywanego układu materialnego ładu współrzędnych x, y, z :

= Ckk mm rr . (b)

(a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41)

dtdmm Ckk

Svv == , (7.42)

aterialnego. że pęd układu materialnego jest równy u materialnego i prędkości vC środka masy C. zdefiniowanie pędu.

Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu materialnego względem nieruchomego punktu:

dtd Sp = . (7.43)

Ponieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p. 4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru. Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach ∆mk i traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość pędu otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty materialne. Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności

∫∫∫∑ =====

∞→mmm

n

1kkkk

dmdtdm

dtddmmlim rrvvp .

Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:

Cm

mdm rr =∫ .

Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:

( ) CC

C mdt

dmm

dtd v

rrp === . (7.44)

Widzimy zatem, że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.

7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masach mk i prędkości vk. Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego działają siły zewnętrzne i wewnętrzne. Na rysunku 7.13 zaznaczono siły działające na dwa punkty o masach mk i ml. Siły zewnętrzne działające na te punkty zastąpiono siłami wypadkowymi Pk i Pl, siły wzajemnego oddziaływania między tymi punktami oznaczono przez Fkl i Flk.

vk

v2

x

z

y

rCrk

mk

C

O

vc

rl

Fkl

Flk

ml

Pk

Pl

Rys. 7.13. Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na punkty układu materialnego

Wypadkowa sił wewnętrznych działających na punkt o masie mk

∑≠=

=n

kl1l

klwk FP , (7.45)

a wypadkowa wszystkich sił działających na ten punkt

Fk = Pk + Pwk. (7.46) Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punktu rozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu w postaci:

( n,...,2,1ktd

dm wkk2k

2

k =+= PPr ). (7.47)

Po założeniu, że masa mk jest wielkością stałą, lewą stronę tego równania możemy przedstawić w postaci pochodnej względem czasu pędu mkvk punktu:

( )dt

mddt

dm

tdd

m kkkk2

k2

kvvr

== .

Równanie (7.47) można obecnie zapisać następująco:

( ) ( .n,...,2,1kdt

mdwkk

kk =+= PPv ) (c)

Jeżeli dodamy stronami n powyższych równań, to otrzymamy:

( ) ∑∑∑===

+=n

1kwk

n

1kk

n

1k

kk

dtmd

PPv

,

a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, to

∑∑∑===

+=n

1kkz

n

1kk

n

1kkm

dtd PPvk . (d)

Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układu materialnego:

dtdm

dtd n

1kk

pvk =∑=

.

Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym sił zewnętrznych:

∑=

=n

1kkPW ,

a druga sumą wszystkich sił wewnętrznych działających w całym układzie materialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:

.0n

1k

n

kl1l

kl

n

1kwk ∑∑∑

=≠==

== FP

Ostatecznie równanie (d) można zapisać w postaci:

Wp=

dtd

. (7.48)

Równanie to przedstawia zasadę pędu układu punktów materialnych, którą można wypowiedzieć następująco: Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten układ, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:

( ) ( ) ∫=−t

0

dt0t Wpp . (7.49)

Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu. Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. Całkę z prawej strony równania (7.49) nazywamy popędem wektora głównego lub impulsem wektora głównego. Ta druga nazwa ma swoje uzasadnienie zwłaszcza w przypadku sił krótkotrwałych, np. sił zderzeniowych. Łatwo zauważyć, że gdy wektor główny układu sił zewnętrznych jest równy zeru:

W = 0, popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iż pęd końcowy jest równy początkowemu:

( ) ( )0t pp = ,

czyli pęd układu materialnego jest stały:

const=p . (7.50) Jest to zasada zachowania pędu:

Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały. Gdy pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m i prędkości vC środka masy, to z zasady zachowania pędu:

constm C =v wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie nachylenia pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t) (rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P

α = 30o

1 = 250 N zgodnie z wykresem podanym na rys. 7.14b. Współczynnik tarcia między klockiem i równią

. Obliczyć prędkość v= 0 1, 1, jaką osiągnie ciało w chwili t1 = 3 s, jeżeli w chwili t = 0 prędkość początkowa v m s0 10= / .

t

P

P1

t1

x P(t)N

T

α G

a) b)

0

Rys. 7.14. Wyznaczenie prędkości klocka

Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pędu i popędu (7.49). W myśl tej zasady przyrost pędu klocka w czasie od t = 0 do t = t1 będzie równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na niego:

( ) ( ) ∫=−1t

01 dt0t Wpp .

Wektory z tego równania zrzutujemy na oś x równoległą do równi. Po uwzględnieniu zależności (7.44) mamy:

∫=−1t

0x01 dtWmvmv . (a)

Zgodnie z rysunkiem suma rzutów wszystkich sił działających na klocek na oś x

α−α−=−α−= cosmgµsinmg(t)PTsinmg(t)PWx , (b) gdzie α== cosmgµNµT . Po podstawieniu (b) do równania (a) mamy:

( )

( ) .tµcossinmg(t)dtP

dtµcossinmg(t)dtPmvmv

1

t

0

t

0

t

001

1

1 1

α+α−=

=α+α−=−

∫

∫ ∫ (c)

Całka występująca w powyższym wzorze jest równa polu wykresu przedstawionego na rys. 7.14b, czyli

11

t

0

tP21(t)dtP

1

=∫ .

Po podstawieniu tej równości do (c) otrzymujemy wzór na prędkość v1:

( ) 111

01 tµcossingm2tPvv α+α−+= .

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

( ) sm1,2330cos1,0sin3081,9402

325010v oo1 /=+−

⋅⋅

+= .

7.2.3. Twierdzenie o ruchu środka masy Pęd p w wyprowadzonym w poprzednim punkcie równaniu (7.48), wyrażającym zasadę pędu, możemy przedstawić za pomocą iloczynu całkowitej masy m układu materialnego i prędkości vC środka jego masy C. Otrzymamy wówczas:

( )W

vvp===

dtd

mdt

mddtd CC . (e)

Występująca w tym równaniu pochodna prędkości środka masy względem czasu jest przyśpieszeniem środka masy. Mamy więc:

Wa =Cm . (7.51)

Po zapisaniu wektorów aC i W w układzie współrzędnych x, y, z:

⎭⎬⎫

++=+=

kjiWkjia

yyx

CzCyCxC

WWW,aa+a

(f)

wektorowe równanie (7.51) możemy przedstawić w postaci trzech równań skalarnych:

zCzyCyxCx Wma,Wma,Wma === . (7.52) Wektorowe równania (7.51) i równoważne mu trzy równania skalarne (7.52) są dynamicznymi równaniami ruchu środka masy. Pozwalają one na wyznaczenie ruchu środka masy pod wpływem znanych sił zewnętrznych. Otrzymane równania (7.51) lub (7.52) pozwalają na sformułowanie twierdzenia, znanego pod nazwą twierdzenia o ruchu środka masy. Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny o masie równej całkowitej masie układu, na który działa siła równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. Twierdzenie o ruchu środka masy wynika również z pierwszej całki zasady pędu, czyli z zasady pędu i popędu przedstawionej w postaci:

( ) ( ) ∫=−t

0CC dt0mtm Wvv . (7.53)

Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania ruchu środka masy, ale nie pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków co do ruchu punktów należących do układu względem środka masy.

Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić ruchu środka masy ani jego położenia. Twierdzenie to odnosi się nie tylko do układu punktów materialnych, ale również do ciała sztywnego i bryły. Nałożywszy bowiem na układ punktów materialnych warunek, aby odległość dowolnych punktów układu była niezmienna, otrzymujemy model ciała sztywnego.

7.2.4. Ruch układu o zmiennej masie Do tej pory w rozważaniach dotyczących pędu układu materialnego zakładaliśmy, że całkowita masa układu nie ulega zmianie w czasie ruchu. Obecnie zajmiemy się ruchem układu materialnego, którego masa będzie się zmieniać z upływem czasu poprzez odłączanie lub dołączanie elementów masy. Taka zmiana masy układu będzie miała wpływ na jego ruch. Typowym przykładem ruchu układu o zmiennej masie są rakiety, z których w czasie pracy silnika następuje wypływ gazów spalinowych, a tym samym zmniejsza się masa rakiety. Innym przykładem mogą być urządzenia do transportu ciągłego ze zmieniającą się w czasie ilością przenoszonego materiału. W dalszych rozważaniach ze zrozumiałych względów ograniczymy się jedynie do wyprowadzenia równania ruchu ciała o zmiennej masie. Do ułożenia równania ruchu wykorzystamy zasadę pędu (7.48) zapisaną w postaci:

( )W

v=

dtmd C .

(g) Przyjmijmy, ze środek układu materialnego o masie m porusza się względem układu odniesienia z prędkością vC i w pewnej chwili masa układu zaczyna się zmieniać w sposób ciągły. Zakładając, że w czasie dt od układu odrywa się (lub przyłącza do niego) masa elementarna dm z prędkością bezwzględną vb, określimy elementarną zmianę pędu. W chwili początkowej t pęd układu wynosi

Cm v , (h)

a w chwili t + dt ( )( ) bC dmddmm vvv +−− .

(i) Elementarną zmianę pędu otrzymamy przez odjęcie zależności (i) od (h).

( ) ( )( )[ ]

( ) .ddmdmmddmddmdmmdmm

dmddmmmmd

Cb

bCCC

bCCC

vvvvvvvvvv

vvvvv

−−−=

=−−++−=

=+−−−=

Po pominięciu iloczynu różniczek dmdv jako małej wartości drugiego rzędu elementarna zmiana pędu

( ) wC dmmdmd vvv −= , (j)

gdzie

vw = vb – vC i jest prędkością masy dm względem masy m, czyli prędkością względną. Po uwzględnieniu wyrażenia (h) w równaniu (e) otrzymamy równanie ruchu układu o zmiennej masie nazywane równaniem Mieszczerskiego:

Wvv

+=dtdm

dtd

m wC

lub w postaci

WRv

+=dt

dm C ,

(7.54) gdzie

dtdm

wvR =

(7.55) i jest reakcją cząstki elementarnej. Jeżeli występująca we wzorze (7.55) pochodna > 0, czyli masa układu wzrasta z upływem czasu, to wektor R ma zwrot prędkości względnej v

dtdm /w i

jest siłą hamującą. Gdy masa układu materialnego będzie maleć z upływem czasu, czyli dm/dt < 0, to wektor R będzie miał zwrot przeciwny do prędkości względnej vw, a więc będzie siłą napędową. Jeżeli równanie (7.54) zastosujemy do badania ruchu rakiety i założymy, że wektor prędkości względnej vw wypływających z rakiety gazów jest styczny do trajektorii lotu, to wektor R będzie siłą ciągu rakiety (rys. 7.15).

R vCvw W

Rys. 7.15. Ruch układu o zmiennej masie Przykład 7.8. Rakieta o masie początkowej m0 porusza się w przestrzeni międzyplanetarnej z prędkością początkową vC0. Po włączeniu silnika prędkość względna vw wypływających z rakiety produktów spalania paliwa jest stała, a jej wektor jest styczny do trajektorii lotu. Wyznaczyć prędkość rakiety po zmniejszeniu się jej masy do m oraz równanie jej ruchu s = s(t).

Rozwiązanie. Ponieważ rakieta porusza się w przestrzeni międzyplanetarnej, siły zewnętrzne na nią działające można pominąć, zatem W = 0, a dynamiczne równanie ruchu rakiety na podstawie (7.54) po uwzględnieniu (7.55) można zapisać w postaci:

dtdm

dtdm w

C vv= lub

mdmd

w

C =vv

, lub m

dmd wC vv = . (a)

Po scałkowaniu tego równania w granicach wyznaczonych przez warunki początkowe, czyli dla t = 0 vC(0) = vC0 i m(0) = m0, otrzymujemy:

∫∫ =m

mw

v

vC

ocom

dmd vv ,

a po obliczeniu całek

00CC m

mlnwvvv += .

(b) Ponieważ wektory prędkości vC i vw działają wzdłuż jednej prostej i mają zwroty przeciwne (rys. 7.13), wektorowy wzór (b) można zapisać jednym wzorem skalarnym:

v v vC C w= −0 ln mm0

.

(c) Powyższy wzór został po raz pierwszy wyprowadzony przez rosyjskiego uczonego polskiego pochodzenia K. Ciołkowskiego. Wektorowy wzór (b) lub równoważny mu (c) przedstawia prawo zmiany prędkości rakiety. Ze wzorów tych wynika, że prędkość rakiety zależy od stosunku masy końcowej rakiety m do jej masy początkowej m0.

Teraz wyznaczymy równanie drogi rakiety w funkcji czasu. Podstawiwszy do wzoru (c)

dtdsvC = ,

otrzymujemy równanie różniczkowe o postaci:

dtmmlnvdtvds

0w0C −= .

Po scałkowaniu tego równania w granicach od s0 do s i od 0 do t otrzymujemy równanie ruchu rakiety:

dtmmlnvtvss

t

0 Cw0C0 ∫−+= .

(d) Aby obliczyć występującą w tym równaniu całkę, należy znać funkcję zmiany masy w czasie. Załóżmy, że w czasie pracy silnika rakiety jej masa maleje wykładniczo według wzoru:

t0emm α−= ,

gdzie jest stałym współczynnikiem. W tym przypadku

2t

0

t

0

t–t

0 0

t21tdtlnedt

mmln α−=−== ∫∫∫ α .

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (d) otrzymujemy równanie ruchu rakiety w funkcji czasu:

2w0C0 tv

21tvss α++= .

(e)

7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego Krętem kO punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy moment pędu vp m= tego punktu materialnego względem punktu O:

vrprk mO ×=×= . (7.56) Z powyższej definicji wynika, że kręt − zdefiniowany podobnie jak moment siły względem punktu − jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez punkt O i wektor prędkości v (rys. 7.16). Kręt punktu będzie równy zeru, poza przypadkami trywialnymi (r = 0 i v = 0), gdy wektory r i v będą współliniowe. Jeżeli będziemy mieli układ n punktów materialnych o masach mk opisanych wektorami wodzącymi rk i poruszających się z prędkością vk (rys. 7.17), towzględem nieruchomego punktu O będzie rówpędów) nieruchomego punktu O będzie równypędów)

R

∑∑=

=×=k

n

1kkkO prk

ko

m

mv

O

r

ys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktumaterialnego

kręt tego układu materialnego ny sumie krętów (sumie momentów sumie krętów (sumie momentów

=

×n

1kkk m vr . (7.57)

7.3.2. Redukcja krętu do środka masy Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z (rys. 7.17). W tej sytuacji układ

′ ′ ′x , y , z

′ ′ ′x , y , z będzie się poruszał ruchem postępowym względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy vC.

v1

v2

rC

rCk

mk

z

x′

z′

y′

y

x

rk C

O

m1

vk

m2

mn vn

vC

vC

vCk

Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych Przy takim założeniu prędkość bezwzględna vk każdego punktu materialnego względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej prędkości środka masy vC i prędkości względnej vCk wzgędem układu ruchomego

, nazywanej dalej prędkością względem środka masy: ′ ′ ′x , y , z

CkCk vvv += . (a) Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi wzór:

∑=

×=n

1kkCkC m kvrk , (7.58)

gdzie rCk jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie mk w układzie

. Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący r′ ′ ′x , y , z k jest równy sumie promienia wodzącego środka masy rC i promienia rCk:

CkCk rrr += .

Po wyznaczeniu z tej zależności CkCk rrr −=

i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:

( )∑ ∑∑= ==

×−×=×−=n

1k

n

1kkC

n

1kkkCC mmm kkkkk vrvrvrrk . (b)

Pierwsza suma po prawej stronie tego wzoru, zgodnie ze wzorem (7.57), jest krętem kO względem nieruchomego punktu O, druga zaś jest pędem omawianego układu materialnego. Na podstawie wzoru (7.42) możemy zapisać:

C

n

1kk mm vvp k ==∑

=

,

gdzie m jest masą całego układu. Zatem równanie (b) przyjmie postać:

CCOC mvrkk ×−= lub

CCCO mvrkk ×+= . (7.59) Kręt kO układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu O jest równy krętowi kC tego układu względem środka masy powiększonemu o kręt masy całkowitej skupionej w środku masy. CC mvr × Wzór (7.58) przedstawia kręt układu materialnego względem środka masy obliczony dla ruchu bezwzględnego, ponieważ występująca w tym wzorze prędkość vk jest prędkością względem nieruchomego układu odniesienia. Zastanówmy się, czemu będzie równy kręt tego układu materialnego względem środka masy wyznaczony dla ruchu względnego. W tym celu podstawmy do wzoru (7.58) zależność (a).

( )

.mmmm

mmmm

n

1kCkkCk

n

1kkCkC

n

1kCkkCkC

n

1kkCk

n

1k

n

1kCkkCkCkCk

n

1kCkCkCk

n

1kkkCkC

∑∑∑∑

∑ ∑∑∑

====

= ===

×+×−=×+×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=×+×=+×=×=

vrrvvrvr

vrvrvvrvrk

Ale suma

∑=

=n

1kkCk 0mr ,

ponieważ moment statyczny układu względem środka masy jest równy zeru. Ostatecznie mamy:

∑∑==

×=×=n

1kCkkCk

n

1kkkCkC mm vrvrk . (7.60)

Z otrzymanej zależności wynika stwierdzenie: Kręt układu punktów materialnych względem środka masy wyznaczony dla ruchu bezwzględnego jest równy krętowi względem środka masy wyznaczonemu dla ruchu względnego.

7.3.3. Kręt bryły

Wyznaczmy kręt bryły o masie m poruszającej się ruchem dowolnym, a więc bryły swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bryły (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa układy współrzędnych − jeden nieruchomy o początku w nieruchomym punkcie O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno związany z bryłą o osiach (rys. 7.18) i początku nie w dowolnym punkcie

′ ′ ′x , y , z′O , lecz w środku masy C. W

bryle wydzielmy myślowo element masy dm o wektorze wodzącym

rrr ′+= C , (c) gdzie

.zyx,zyx CCCC

kjirkjir′′+′′+′′=′

++=

Znając prędkość vC środka masy C i prędkość kątową ω, możemy obliczyć prędkość v dowolnego punktu bryły (wzór 5.32). Zatem prędkość elementarnej masy dm

rωvv ′×+= C . (d) Zgodnie z definicją kręt elementu masy dm względem nieruchomego punktu O

d dmOk r v= ×

∫ ×=m

O dmvrk

. Kręt bryły będzie równy całce z powyższej zależności rozciągniętej na całą masę m bryły:

.

Po podstawieniu do tego wzoru zależności (c) i (d) otrzymamy:

( ) ( )

( ) .dmdm

dm

mC

m mCC

∫

∫ ∫′×ω×′+×′

=′×ω+×′+=

rrvr

rvrr

m

O

∫+

k

R

v

x

z

x′

z′

y′

y

rC

r′

r

dm

C

O

ys. 7.18. Opis położenia dowolnego elementubryły sztywnej

( )dmdmm

CCC ∫ +′×ω×+× rrvr

Występujące pod całkami wielkości rC, vC i ω nie podlegają całkowaniu i mogą być wyciągnięte przed znaki całek:

( ) .dmdmdmdmmm

Cm

Cm

CCO ∫∫∫∫ ′××′+′×−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′××+×= rωrrvrωrvrk

Dwie środkowe całki są momentami statycznymi bryły względem środka masy, a więc są równe zeru:

,0dmm∫ =′r

a pierwsza całka jest masą całkowitą bryły:

.∫=m

dmm

Ostatecznie kręt bryły możemy zapisać w postaci:

( ) CCm

O mdm vrrωrk ×+′××′= ∫ . (7.61)

Całka występująca w tym wzorze jest krętem bryły w jej ruchu względem środka masy C z prędkością kątową ω.

k C

( )∫ ′××′=m

C dmrωrk . (7.62)

Zatem wzór (7.61) możemy zapisać w postaci:

CCCO m vrkk ×+= . (7.63) Kręt kO bryły względem dowolnego nieruchomego punktu O jest równy krętowi kC bryły względem środka masy C (w jej ruchu względem środka masy z prędkością kątową ω) powiększonemu o kręt r vC m C× masy m bryły poruszającej się z prędkością vC środka masy. Obecnie obliczymy współrzędne wektora kC w ruchomym układzie współrzędnych o początku w środku masy C (rys. 7.18). W tym układzie współrzędnych wektory występujące we wzorze (7.62) mają następujące współrzędne:

′ ′ ′x , y , z

,zyx

,kkk zCyCxCC

kjir

kjik′′+′′+′′=′

′+′+′= ′′′

=ω .zyx kji ′ω+′ω+′ω ′′′ Po rozpisaniu podwójnego iloczynu wektorowego ze wzoru (7.62), zgodnie ze wzorem (2.34) otrzymamy:

( ) ( ) ( ) .dmdmrdmdmm

2

mmC ∫ ∫∫∫ ′⋅′−′=⋅′′−′⋅′=

m

rωrωωrrrrωk

Pierwsza całka występująca po prawej stronie powyższego równania jest biegunowym momentem bezwładności względem środka masy C:

( )∫ ′=m

2C dmrI ,

a więc

( ) dmIm

CC ∫ ′⋅′−= rωrωk . (7.64)

Współrzędne krętu kC otrzymamy po zrzutowaniu tego wektora na osie : ′ ′ ′x , y , z

−ω=′⋅= ′′ CxCxC Ik ik ( ) ,dmxm∫ ′⋅′ ωr

−ω=′⋅= ′′ CyCyC Ik jk ( ) ,dmym∫ ′⋅′ ωr

−ω=′⋅= ′′ CzCzC Ik kk ( ) .dmzm∫ ′⋅′ ωr

Po podstawieniu do tych wzorów iloczynu skalarnego:

=⋅′ ωr zyx zyx ′′′ ω′+ω′+ω′ oraz wyłączeniu przed całki współrzędnych prędkości kątowej otrzymujemy:

( )

( )

( ) .dmzdmzydmxzIk

,dmzydmydmyxIk

,dmxzdmyxdmxIk

2z

my

mxCzzC

mz

m

2y

mxCyyC

mz

my

m

2xCxxC

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

′ω−′′ω−′′ω−ω=

′′ω−′ω−′′ω−ω=

′′ω−′′ω−′ω−ω=

′′′′′

′′′′′

′′′′′

Całki występujące w powyższych wzorach są zdefiniowanymi w p. 6.1.2 momentami bezwładności bryły względem odpowiednich płaszczyzn i momentami dewiacyjnymi. Po wykorzystaniu zależności (6.7) i (6.9) między momentami

bezwładności względem bieguna, płaszczyzn i osi oraz odpowiednim uporządkowaniu wyrazów współrzędne krętu kC bryły opisują wzory:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

ω+ω−ω−=ω−ω+ω−=

ω−ω−ω=

′′′′′′′′′

′′′′′′′′′

′′′′′′′′′

.IDDk,DIDk

,DDIk

zzzyyxzxzC

zyzyyyxxyC

xzzyxyxxxC

(7.65)

Z powyższych wzorów wynika, że do obliczenia krętu kC bryły swobodnej względem środka masy C musimy znać wszystkie osiowe momenty bezwładności i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezwładności. Wzory (7.65) znacznie się upraszczają, gdy osie ′ ′ ′x , y , z są głównymi centralnymi osiami bezwładności. W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne są równe zeru i kręt

kjik ′ω+′ω+′ω= ′′′′′′ zzyyxxC III . (7.66) Jeżeli założymy, że osią obrotu bryły jest np. oś z′ , to prędkość kątowa ω pokryje się z osią obrotu:

ω = kk ′ω=′ω ′z . Wówczas kręt wyznaczony ze wzorów (7.65) ma postać:

kjik ′ω+′ω−′ω−= ′′′′′ zzyxzC IDD , (7.67)

a na podstawie wzoru (7.66)

kk ′ω= ′zzC I . (7.68) Z porównania wzorów (7.67) i (7.68) wynika, że jeżeli oś obrotu jest główną centralną osią bezwładności, to wektor krętu leży na tej osi; gdy tak nie jest, kierunek wektora krętu nie pokrywa się z osią obrotu. Przykład 7.9. Korba OA o masie m m1 = obraca się z prędkością kątową ω0 wokół osi z przechodzącej przez punkt O i prostopadłej do płaszczyzny rys. 7.19.

Na końcu A korby jest osadzona cienka jednorodna tarcza o masie i promieniu r, która toczy się bez poślizgu po nieruchomym kole o promieniu R. Wyznaczyć kręt układu względem osi z. Korbę OA uważać za pręt jednorodny.

m2 2=

m

ω2

O A

r

ω0

R C

vA

Rys. 7.19. Wyznaczenie krętu układu

Rozwiązanie. Kręt układu względem osi z składa się z krętu korby OA poruszającej się ruchem obrotowym wokół osi z oraz krętu tarczy poruszającej się ruchem postępowym środka ciężkości A tarczy z prędkością oraz ruchem obrotowym z prędkością względem osi

k1z

k z2

vA

ω 2 ′z równoległej do osi z i przechodzącej przez środek tarczy:

z2z1z kkk += . (a)

Kręt korby OA względem osi z

0zz1 Ik ω= . (b) Kręt tarczy względem tej samej osi na podstawie wzoru (7.63) możemy wyrazić zależnością:

( ) A22zz2 vmrRIk ++ω= ′ . (c)

We wzorach (b) i (c) I i są odpowiednio momentami bezwładności korby względem osi z przechodzącej przez punkt O i tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek A. Zgodnie ze wzorami (f) i (a) z przykładu 6.2:

Iz z′

′z

( ) ( ) 222z

221z rmrm

21I,rRm

31rRm

31I ==+=+= ′ . (d)

Prędkość środka tarczy

( ) 0A rRv ω+= . (e) Ponieważ punkt C (rys. 7.19) styku tarczy z nieruchomym kołem jest chwilowym środkiem obrotu tarczy, mamy również:

,rv 2A ω= stąd ( )

0A

2 rrR

rv

ω+

==ω . (f)

Po uwzględnieniu w związkach (b) i (c) wzorów (d), (e) i (f) oraz po ich podstawieniu do równania (a) otrzymujemy kręt układu względem osi z.

( ) ( ) ( )( )

( )( ) .r10R7rRm31

rRrRm2r

rRrmrRm31k

0

002

02

z

ω++=

=ω+++ω+

+ω+=

7.3.4. Zasada krętu i pokrętu. Zasada zachowania krętu Załóżmy, że mamy układ materialny składający się z n punktów materialnych o masach mk poruszających się z prędkością vk (rys. 7.17). Na każdy punkt niech działa siła zewnętrzna Pk oraz siły wewnętrzne Fkl. Zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punktu rozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu:

wkPPr+= k2

k2

k dtdm

lub

( )n,2,1ktd

dm k

kk ,...PP

vwk =+=

W powyższym równaniu zgodnie ze wzorem (7.45) Pwk jest wypadkową sił wewnętrznych działających na punkt o masie mk. Pomnóżmy wektorowo każde z n równań obustronnie przez wektor wodzący rk i dodajmy wszystkie równania stronami. Otrzymamy:

( ) ∑∑∑ ∑== =

×+×=+×=×n

1kwkkk

n

1=kk

n

1k

n

1kwkkk

kkk td

dm PrPrPPr

vr . (e)

Druga suma po prawej stronie tego równania jest sumą momentów sił wewnętrznych względem punktu O i jak wykazano w p. 7.1.4 (wzór 7.13), jest równa zeru. Z kolei suma momentów sił zewnętrznych względem punktu O jest równa momentowi głównemu (3.26):

k

n

1=kko PrM ×= ∑ .

Sumę występującą po lewej stronie równania (e) możemy przekształcić:

( )

( ) .dt

dmdtdm

dtd

dtdm

dtdm

dtdm

On

1k

n

1kkkkkkk

kk

n

1kk

n

1k

n

1=k

kkkkk

kkk

kvrvr

vrvrvvvr

=×=×=

=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+×=×

∑ ∑

∑∑ ∑

= =

==

Wynika z tego, że lewa strona równania (e) jest pochodną krętu całego układu materialnego względem nieruchomego punktu O. Ostatecznie otrzymujemy:

OO

dtd

Mk

= . (7.69)

Otrzymana zależność różniczkowa jest zasadą krętu. Pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

Po obustronnym scałkowaniu równania (7.69) w granicach od 0 do t otrzymamy:

( ) ( ) ∫=−t

0OOO dt0t Mkk . (7.70)

Całka występująca w tym równaniu nosi nazwę pokrętu momentu głównego, a samo równanie jest zasadą krętu i pokrętu. Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

Równania (7.69) i (7.70) są słuszne nie tylko dla układu punktów materialnych, ale i dla bryły. Często się zdarza, że moment główny układu sił zewnętrznych względem obranego nieruchomego bieguna redukcji O jest stale równy zeru bądź jest pomijalnie mały, . Wtedy całka po prawej stronie równania (7.70) jest równa zeru i zasada krętu i pokrętu przechodzi w zasadę zachowania krętu:

0O ≡M

( ) ( ) ( ) ( ) const0tczyli00t OOOO ===− kk,kk lub

constto0lijeże OO == k,M . (7.71) Otrzymaną zasadę zachowania krętu można wyrazić słownie: Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą.

7.3.5. Redukcja zasady krętu i pokrętu do środka masy Zastanówmy się, jaką postać przyjmie zasada krętu i pokrętu (7.70), jeżeli za biegun redukcji przyjmiemy nie dowolny punkt O, lecz środek masy układu materialnego C. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie podstawmy do równania (7.69) wzór (7.59):

CCCO mvrkk ×+= oraz twierdzenie o momencie głównym (3.29):

WrMM ×+= CCO i dokonajmy różniczkowania:

( )WrM

vrk×+=

×+ CC

CCC

dtmd

dtd

,

( )WrM

vrv

rk×+=×+×+ CC

CCC

CC

dtmd

mdt

ddt

d. (f)

Drugi wyraz po lewej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ jest to iloczyn wektorowy wektorów równoległych:

0mmdt

dCCC

C =×=× vvvr

,

a pochodna występująca w trzecim wyrazie jest pochodną względem czasu pędu układu materialnego, równą wektorowi głównemu układu sił zewnętrznych (7.48):

( )Wpv

==dtd

dtmd C .

Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniu (f) i uproszczeniu otrzymamy zasadę krętu przy redukcji do środka masy:

CC

dtd

Mk

= . (7.72)

Z kolei po scałkowaniu tego równania od zera do t otrzymamy zasadę krętu i pokrętu zredukowaną do środka masy układu:

( ) ( ) ∫=−t

0CCC dt0t Mkk . (7.73)

Widzimy, że formalna postać otrzymanych równań (7.72) i (7.73) jest taka sama jak równań (7.69) i (7.70), ale równania (7.72) i (7.73) nie opisują ruchu środka masy C. Do opisu ruchu środka masy C należałoby zastosować zasadę pędu (7.48). Jeżeli założymy teraz, że moment sił zewnętrznych względem środka masy C układu materialnego będzie stale równy zeru, MC ≡ 0 , to zasada krętu i pokrętu (7.73) zredukowana do środka masy przejdzie w zasadę zachowania krętu względem środka masy, co można zapisać w następujący sposób:

constto0lijeże CC == k,M (7.74)

lub ująć słownie: Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem środka masy układu materialnego jest równy zeru, to kręt tego układu materialnego względem środka masy jest wielkością stałą. Przykład 7.10. Punkt materialny A o masie m1 zaczął się poruszać wzdłuż cięciwy BC (rys. 7.20a) poziomej jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R i masie m według równania:

sinktbx = , gdzie x oznacza współrzędną odmierzoną jak na rys. 7.20, k pewną stałą, a 2b BC≤ . Tarcza może się obracać bez tarcia wokół osi pionowej z przechodzącej przez środek tarczy O. Wyznaczyć prędkość kątową ω tarczy w funkcji czasu t, jeżeli odległość cięciwy od środka tarczy wynosi b, a tarcza w chwili początkowej

była nieruchoma. t = 0

O

AR

O

AR

vw

r

ω b

A0

αx x

bvu

A0

a) b)α

B

C

Rys. 7.20. Wyznaczenie prędkości kątowej tarczy Rozwiązanie. Na układ działają siły zewnętrzne ciężkości tarczy i punktu materialnego oraz reakcje w łożyskach osi obrotu tarczy. Siły ciężkości są równoległe do osi obrotu, więc ich momenty względem osi obrotu są zawsze

równe zeru. Nie dają momentu względem tej osi również reakcje w łożyskach. Zatem zgodnie z zasadą zachowania krętu (7.71) kręt układu względem osi nie ulega zmianie. Ponieważ w chwili początkowej t = 0 , gdy punkt A był jeszcze nieruchomy, kręt układu był równy zeru, zatem w dowolnej chwili t kręt tego układu również będzie równy zeru. Po rozpoczęciu ruchu punktu A tarcza zacznie się poruszać ruchem obrotowym z prędkością kątową w kierunku przeciwnym do ruchu punktu (rys. 7.20b). Prędkość punktu tarczy, w którym w chwili t znajduje się punkt A, czyli prędkość unoszenia punktu A

ktsin1bxbrv 222u +ω=+ω=ω= .

Prędkość punktu A względem tarczy (prędkość względna)

cosktbkdtdxv w == .

Z kolei prędkość bezwzględna punktu A jest równa sumie wektorowej prędkości unoszenia i prędkości względnej:

wuA vvv += . Rzut wektora prędkości bezwzględnej punktu A na kierunek prostopadły do promienia OA r= jest równy

uw vcosv −α . Kręt układu w chwili t względem osi obrotu z składa się z krętu punktu A i krętu tarczy względem tej osi. Kręt punktu A

k1z

k z2

( ) ( )( ) ( )

( )[ ],ktsin1bcosktkbm

xbktsin1bcosktkbmrktsin1bbvm

rvcosrvmvcosvrmk

2221

22221

2w1

uw1uw1z1

+ω−=

=++ω−=+ω−=

=−α=−α=

a kręt tarczy względem osi obrotu

ω=ω= 2zz2 mR

21Ik .

Ponieważ kręt całkowity układu jest w każdej chwili równy zeru, otrzymujemy:

( )[ ] 0mR21ktsin1bcosktkbm 2222

1 =ω−+ω− .

Z powyższego równania znajdujemy prędkość kątową tarczy:

( ) 2221

21

mR21ktsin1bm

cosktkbm

++=ω .

7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:

2mvE

2

= .

Dla układu n punktów materialnych o masach mk poruszających się z prędkością vk energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów materialnych:

∑∑==

==n

1k

2kk

n

1k

2kk vm

21

2vm

E . (7.75)

Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2), prędkość bezwzględną vk każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość unoszenia vC, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych

o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z, i prędkość względną v′ ′ ′x , y , z

Ck względem układu ruchomego (rys. 7.17):

CkCk vvv += . Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu prędkości w postaci iloczynu skalarnego

kk2kv vv ⋅=

otrzymamy:

( ) ( )

( ) =+⋅+=

=+⋅+=⋅=

∑

∑∑

=

==

n

1k

2CkCkC

2Ck

CkC

n

1kCkCk

n

1kkkk

v2vm21

m21m

21E

vv

vvvvvv

∑∑∑===

+⋅+=n

1k

2Ckk

1CkkC

n

1kk

2C vm

21mmv

21 n

kvv . (a)

Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu względem ruchomego układu współrzędnych ′ ′ ′x , y , z . Wiadomo jednakże, że pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w stosunku do ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′x , y , z jest równa zeru. Zatem

0mn

1kCkk =∑

=

v .

Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu względem ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′x , y , z :

∑=

=n

1k

2Ckkc vm

21E . (7.76)

Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez

∑=

=n

1kkmm

równanie (a) przyjmuje postać: 2CC mv

21EE += . (7.77)

Zależność (7.77) nosi nazwę twierdzenia Koeniga. Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

7.4.2. Energia kinetyczna bryły W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3). W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z prędkością zgodną ze wzorem (5.32):

rωvv ′×+= C . (b) Energia kinetyczna tego elementu

dm21dE vv⋅= ,

a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:

∫ ⋅=m

dm21E vv . (c)

Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:

( ) ( )∫ =′×+⋅′×+=m

CC dm21E rωvrωv

( ) ( ) ( )dm21dmdmv

21

mmC

m

2C ∫∫∫ ′×⋅′×+′×⋅+= rωrωrωv . (d)

Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]rωrωrωrω

rωvrωv′××′⋅=′×⋅′×

′⋅×=′×⋅ ,CC

oraz wyłączeniu przed całki vC i ω, jako wielkości niezależnych od zmiennych całkowania , wzór (d) możemy zapisać: ′ ′ ′x , y , z

( ) ( )∫∫∫ ′××′⋅+′⋅×+=mm

Cm

2C dm

21dmdmv

21E rωrωrωv . (e)

Pierwsza całka jest masą bryły, druga momentem statycznym względem środka masy, a trzecia krętem bryły w ruchu względem środka masy (7.62), czyli

( )∫∫∫ ′×ω×′==′=m

Cmm

dmoraz0dm,dmm rrkr .

Po uwzględnieniu powyższych zależności we wzorze (e) otrzymujemy:

2CC mv

21

21E +⋅= kω . (7.78)

Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest energią kinetyczną bryły w jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy:

.CC 21E kω⋅= (7.79)

Zatem energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci identycznej ze wzorem (7.77):

E EC= +12

mvC2 . (7.80)

Jest to twierdzenie Koeniga dla bryły. Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy. Aby obliczyć energię EC we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za pomocą współrzędnych wektorów ω i kC danych w układzie ruchomym : ′ ′ ′x , y , z

CC 21E kω⋅= = ( )zCzyCyxCx kkk

21

′′′′′′ ω+ω+ω .

Po podstawieniu w tym wzorze współrzędnych krętu danych wzorami (7.65) i uporządkowaniu wyrazów energię kinetyczną bryły w jej ruchu względem środka masy możemy przedstawić w postaci:

( )−ω+ω+ω= ′′′′′′2zz

2yy

2xxC III

21E

( )xzxzzyzyyxyx DDD ′′′′′′′′′′′′ ωω+ωω+ωω− (7.81) Zatem, podobnie jak w przypadku krętu kC, do obliczenia energii kinetycznej bryły w jej ruchu względem środka masy musimy znać wszystkie osiowe i dewiacyjne momenty bezwładności. Gdy osie ′ ′ ′x , y , z są głównymi centralnymi osiami bezwładności, momenty dewiacyjne znikają, a wzór (7.81) upraszcza się do postaci:

( )2zz

2yy

2xxC III

21E ′′′′′′ ω+ω+ω= . (7.82)

Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z prędkością kątową ω, to energia ruchu obrotowego

2lI

21E ω= , (7.83)

gdzie Il jest momentem bezwładności względem osi obrotu l. Przykład 7.11. Kołowrót o masie m1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r toczy się bez poślizgu małym obwodem po poziomej listwie (rys. 7.17). Środek masy C tego kołowrotu znajduje się na osi symetrii obrotowej i ma stałą prędkość vC. Na duży obwód nawinięto linkę, na której końcu zawieszono ciężarek o masie m = m. Promień

bezrysu

Rys

kołpor

Wzz tw

gdz

Ene

ω

v2

vA

vC

vA A

C

R

r

S

vC

m2

. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej

kołowrotu

2władności kołowrotu względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny nku jest równy . Obliczyć energię kinetyczną tego układu. iC

Rozwiązanie. Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej owrotu E1 poruszającego się ruchem płaskim i energii kinetycznej ciężarka E2 uszającego się ruchem postępowym:

21 EEE += .

ór na energię kinetyczną kołowrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikającym ierdzenia Koeniga, po uwzględnieniu zależności (7.83) ma postać:

C12

C1 vm21I

21E +ω= , (a)

ie moment bezwładności kołowrotu względem osi symetrii obrotowej

2C

2C1C mi5imI == . (b)

rgia kinetyczna ciężarka

22

2222 mv

21vm

21E == . (c)

Ponieważ kołowrót toczy się bez poślizgu, chwilowy środek obrotu znajduje się w punkcie S styku kołowrotu z listwą. Korzystając z własności chwilowego środka obrotu, możemy napisać:

( ) CCAC v

25v

rrRrRv,

rv

=+

=+ω==ω . (d)

Zgodnie z rysunkiem prędkość ciężarka v2 jest równa sumie geometrycznej prędkości vC i vA. Stąd kwadrat prędkości v2

2C

2C

2A

22 v

429vvv =+= . (e)

Po dodaniu wzoru (c) do (a) i uwzględnieniu zależności (b), (d) i (e) otrzymujemy całkowitą energię kinetyczną układu:

2C

2C22

C

2C2

C mv849

ri

25mv

829mv

25

rv

mi25E

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= .

7.4.3. Zasada pracy i energii kinetycznej Dla każdego z n punktów materialnych układu omówionego w p. 7.2.2 i przedstawionego na rys. 7.12 napiszemy, tak jak poprzednio, dynamiczne równanie ruchu (7.47):

wkk2k

2

k dtd

m PPr

+=

albo

( )n,...,2,1ktd

dm wkk

kk =+= PP

v.

Pomnóżmy skalarnie każde z tych równań przez prędkość vk i dodajmy je stronami:

( ) ∑∑∑∑====

⋅+⋅=⋅+=⋅n

1kkwk

n

1kkkk

n

1kwkk

n

1kk

kk td

dm vPvPvPPv

v. (e)

Zgodnie z definicją podaną w p. 7.1.7 pierwsza suma w równaniu (e) jest mocą układu sił zewnętrznych:

∑=

⋅=n

1kkkzN vP , (7.84)

a druga podwójna suma mocą wszystkich sił wewnętrznych:

∑=

⋅=n

1kkwkwN vP . (7.85)

Wykażemy, że lewa strona równania (e) jest pochodną względem czasu energii całkowitej układu punktów materialnych:

( ).

dtdEm

21

dtd

dtmd

21

dtd

mdt

dm

21

tdd

m

n

1kkkk

n

1k

kkk

n

1k

kkkk

kk

n

1kk

kk

=⋅=⋅

=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=⋅

∑∑

∑∑

==

==

vvvv

vvv

vv

v

Ostatecznie równanie (e) przyjmuje postać:

wz NNdtdE

+= . (7.86)

Zatem pochodna względem czasu energii kinetycznej układu materialnego jest równa sumie mocy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych. Po scałkowaniu obustronnie równania (7.86) od 0 do t otrzymamy:

( ) ( ) ∫∫ +=−t

0w

t

0z dtNdtN0EtE . (f)

Całki występujące w powyższym równaniu, zgodnie ze wzorem (7.36), przedstawiają odpowiednio pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych:

∫∫ ==t

0ww

t

0zz dtNL,dtNL . (g)

Po wprowadzeniu oznaczeń (g) do równania (f) otrzymujemy zasadę pracy i energii kinetycznej dla układu punktów materialnych:

( ) ( ) wz LL0EtE +=− lub po wprowadzeniu oznaczeń E(t) = E2, E(0) = E1

wz12 LLEE +=− . (7.87) Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne i wewnętrzne. Bez przeprowadzania dowodu metodą analityczną można zauważyć, że praca sił wewnętrznych jest ściśle związana ze zmianą odległości między punktami układu materialnego. Gdy odległości między punktami układu materialnego nie ulegają zmianie, praca sił wewnętrznych będzie równa zeru. Zatem dla bryły sztywnej lub ciała sztywnego praca sił wewnętrznych jest równa zeru, Lw = 0. W tej sytuacji zasadę pracy i energii kinetycznej dla bryły sztywnej można zapisać w postaci:

z12 LEE =− . (7.88) Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne działające na tę bryłę. Przykład 7.12. Do bębna kołowrotu o promieniu r i masie m1 jest przyłożony stały moment obrotowy M. Do końca wiotkiej liny nawiniętej na bęben przymocowano ciężar o masie m2, który przesuwa się po równi pochyłej o kącie nachylenia α(rys. 7.22). Współczynnik tarcia między masą m2 a równią wynosi µ. Jaką prędkość kątową ω osiągnie bęben po obróceniu się o ϕ radianów, jeżeli w

chwili początkowej układ był w spoczynku? Masę liny pominąć, a bęben uważać za jednorodny walec.

rϕ

v2

ϕ,ω

M

N

T

α G2

Or

Rys. 7.22. Wyznaczenie prędkości kątowej bębna Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pracy i energii kinetycznej (7.88):

LEE 12 =− . Z uwagi na to, że układ w chwili początkowej znajdował się w spoczynku, jego energia kinetyczna była równa zeru, E1 = 0. Otrzymujemy więc:

LE 2 = . (a) Energia kinetyczna układu składa się z energii kinetycznej ruchu postępowego masy m2 oraz ruchu obrotowego bębna:

2O

2222 I

21vm

21E ω+= .

Ponieważ moment bezwładności bębna IO względem osi obrotu i prędkość v2 są równe:

rv,rm21I 2

21O ω== ,

mamy:

( ) 2221

221

2222 rm2m

41rm

41rm

21E ω+=ω+ω= . (b)

Pracę L wykonują: moment obrotowy M, składowa siły ciężkości G2 równoległa do równi oraz siła tarcia T. Jeżeli zauważymy, że przy obrocie bębna o kąt ϕ ciężar o masie m2 przesunie się w górę równi o rϕ, możemy napisać:

( )L M m g T r= − +ϕ α2 sin ϕ .

Po podstawieniu do tego wzoru α== cosgmµNµT 2 wykonana praca

( ϕ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α+α−= rcosµsingm

rML 2 ) . (c)

Po podstawieniu zależności (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie:

( ) ( ) ϕ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α+α−=ω+ rcosµsingm

rMrm2m

41

222

21 ,

skąd

( )ϕ

+αα−

=ω21

2

m2mcosµ+sinrgmM

r2

.

7.4.4. Zasada zachowania energii Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. W punkcie 7.1.5 udowodniono, że jeżeli na punkt materialny działa siła potencjalna, to praca wykonana przez tę siłę jest równa ubytkowi energii potencjalnej. Przyjmiemy bez dowodu, że zależność ta jest słuszna nie tylko dla każdego punktu, ale i dla całego układu materialnego. Zatem pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych możemy zapisać w postaci:

⎭⎬⎫

−=−=

,UUL,UUL

2w1ww

2z1zz (h)

gdzie Uz1 i Uz2 oznaczają energię potencjalną sił zewnętrznych w położeniu początkowym i końcowym, a Uw1 i Uw2 energię potencjalną sił wewnętrznych w położeniu początkowym i końcowym. Po podstawieniu wzorów (h) do równania zasady pracy i energii kinetycznej (7.87) otrzymamy:

E2 – E1 = Uz1 – Uz2 + Uw1 – Uw2lub

E2 + Uz2 + Uw2 = E1 + Uz1 + Uw1. (i) Z równania (i) wynika, że suma energii kinetycznej i energii potencjalnej sił zewnętrznych i wewnętrznych jest w każdym położeniu układu wielkością stałą. Po wprowadzeniu do równania (i) oznaczeń:

U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1otrzymamy:

E2 + U2 = E1 + U1albo ogólnie

E + U = const. (7.89)

Jest to zasada zachowania energii mechanicznej. Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą. Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku, gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni. Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem.

Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu. Przykład 7.13. Cienki jednorodny pręt OA o długości L i masie m może się obracać bez tarcia wokół osi poziomej prostopadłej do osi pręta przechodzącej

przez jego koniec O (rys. 7.23). Jaką prędkość należy nadać końcowi A w chwili, gdy pręt jest w spoczynku w położeniu równowagi stałej, aby wykonał on ćwierć obrotu?

R

Rozwiązanie. Na pręt działa siła ciężkości, która jest siłą potencjalną. Zatem do rozwiązania zadania możemy zastosować zasadę zachowania energii mechanicznej (7.89):

UEUE +=+ . (a)

JeżeciężpołoE2

W c

Mokład

Z k

L/2

L

O

ω

A

C mg

vA

U = 0

ys. 7.23. Wyznaczenie prędkości początkowej końca pręta

2211

li poziom zerowej energii potencjalnej przyjmiemy na wysokości środka kości C, jak na rysunku, to U1 0= . Po wykonaniu ćwierć obrotu pręt zajmie żenie poziome i zatrzyma się. Jego energia kinetyczna będzie równa zeru,

. Równanie (a) będzie miało więc postać: 0=

21 UE = . (b) hwili początkowej energia kinetyczna

2O1 I

21E ω= .

ment bezwładności pręta jednorodnego względem jego końca (patrz przy- 6.2)

3mLI

2

O = .

olei prędkość kątowa pręta

LvA=ω .

Energia kinetyczna pręta ma więc postać:

6mv

Lv

3mL

21E

2A

2A

2

1 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= . (c)

Energia potencjalna pręta w położeniu końcowym

2LmgU 2 = . (d)

Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równości (b) otrzymujemy równanie:

2mgL

6mv2

A = .

Stąd prędkość początkowa końca A pręta

Lg3vA = . Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie prędkości, jaką należy nadać końcowi A pręta, aby wykonał on pełen obrót.

7.5.1. Ruch bryły swobodnej Swobodna bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody i do określenia jej ruchu potrzeba sześciu równań ruchu. Ruch bryły możemy rozbić na ruch środka masy, wywołany przez działanie wektora głównego sił zewnętrznych, i obrót bryły względem środka masy, wywołany przez moment główny sił zewnętrznych zredukowany do środka masy. Do ułożenia równań ruchu bryły wykorzystamy wyprowadzone poprzednio zasady pędu i krętu. W punkcie 7.2.3 wykazano, że pochodna pędu względem czasu równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych opisuje ruch środka masy, a w punkcie 7.3.5, że pochodna krętu zredukowanego do środka masy względem czasu równa momentowi głównemu sił zewnętrznych opisuje obrót bryły względem środka masy. Mamy więc dwa równania wektorowe opisujące ruch bryły swobodnej:

CC

dtd

,dtd M

kWp

== . (7.90)

Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym. Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów występujących w powyższych

równaniach na osie prostokątnego układu współrzędnych. Podobnie jak przy obliczaniu krętu bryły przyjmiemy dwa układy współrzędnych: jeden nieruchomy x, y, z o początku w dowolnym punkcie O i drugi ruchomy ′ ′ ′x , y , z sztywno związany z bryłą o początku w środku masy C (rys. 7.24). Ponadto dla uproszczenia obliczeń założymy, że osie z,y,x ′′′ układu ruchomego są głównymi centralnymi osiami

garu

x

z

x′

z′

y′

y

rC

C

O

MC

W

Rys. 7.24. Ruch swobodny bryły sztywnej

bezwładności. Przy takim założeniu zgodnie ze wzorem (7.66) kręt bryły

kjik ′ω+′ω+′ω= ′′′′′′ zzyyxxC III , (a)

dzie są głównymi centralnymi momentami bezwładności, współrzędnymi wektora prędkości kątowej ω w układzie chomym.

zyx I,I,I ′′′

ω ω ω′ ′x , ,y z′

W pierwszej kolejności obliczymy pochodną krętu kC względem czasu z wykorzystaniem podanych w kinematyce bryły wzorów na pochodne względem czasu wersorów układu ruchomego (5.31).

kωkjωjiωi ′×=′

′×=′

′×=′

tdd,

tdd,

tdd

.

+′ω

+′ω

+′ω

=

=′

ω+′

ω+′

ω+

+′ω

+′ω

+′ω

=

′′

′′

′′

′′′′′′

′′

′′

′′

kji

kji

kjik

dtd

Idt

dI

dtd

I

dtdI

dtdI

dtdI

dtd

Idt

dI

dtd

Idt

d

zz

yy

xx

zzyyxx

zz

yy

xx

C

+ ( )kjiω ′ω+′ω+′ω× ′′′′′′ zzyyxx III . Wyrażenie w nawiasie w powyższym wzorze jest krętem bryły względem środka masy. Zatem pochodna krętu kC względem czasu

Cz

zy

yx

xC

dtd

Idt

dI

dtd

Idt

dkωkji

k×+′

ω+′

ω+′

ω= ′

′′

′′

′ . (7.91)

Po obliczeniu iloczynu wektorowego występującego w tym wzorze oraz odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie:

( )

( )

( ) .IIdt

dI

IIdt

dI

IIdt

dI

dtd

yxxyz

z

zxzxy

y

zyyzx

xC

k

j

ik

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ωω−+ω

+

+′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω−+

ω+

+′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ωω−+ω

=

′′′′′

′

′′′′′

′

′′′′′

′

(7.92)

Po zapisaniu występującego w równaniach (7.90) wektora głównego W i momentu głównego MO w ruchomym układzie współrzędnych:

kjiM

kjiW′+′+′=

′+′+′=

′′′

′′′

zCyCxCC

zyx

MMM

,WWW

oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu wyrażeń przy wersorach otrzymamy sześć skalarnych równań ruchu bryły:

( )( )( ) ⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=ωω−+ε=ωω−+ε=ωω−+ε

===

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

′′

′′

′′

,MIII,MIII,MIII

,Wma,Wma,Wma

zCyxxyzz

yCzxzxyy

xCzyyzxx

zzC

xxC

yyC

(7.93)

w których zamiast pochodnych względem czasu współrzędnych prędkości kątowej ω wprowadzono odpowiednie współrzędne przyśpieszenia kątowego ε:

dtd,

dtd

,dt

d zz

yy

xx

′′

′′

′′

ω=ε

ω=ε

ω=ε ,

a są współrzędnymi przyśpieszenia aa a aCx Cy Cz′ ′, , ′ C środka masy C. Powyższe równania różniczkowe wraz z warunkami początkowymi jednoznacznie opisują ruch bryły pod wpływem przyłożonego do niej układu sił. Przy wyprowadzaniu równań ruchu bryły (7.93) za biegun redukcji przyjęto środek masy C bryły. Początek ruchomego układu współrzędnych można przyjąć poza środkiem masy, pod warunkiem że punkt ten jest nieruchomy. Jeżeli w poruszającej się bryle istnieje nieruchomy punkt, np. O, to obierając go za biegun redukcji, otrzymamy równania o postaci (7.93), ale wtedy zamiast współrzędnych

momentu głównego MzCyCxC M,MM ′′′ C zredukowanego do środka masy C

należy podstawić współrzędne momentu MzOyOxO M,MM ′′′ O zredukowanego do tego nieruchomego punktu. Występujące w tych równaniach momenty bezwładności muszą być głównymi momentami bezwładności.

7.5.2. Obrót bryły wokół stałej osi obrotu

Obrót dowolny bryły wokół głównej osi bezwładności Ważnym zagadnieniem w dynamice maszyn jest ruch obrotowy bryły wokół

stałej osi obrotu. Z tym zagadnieniem mamy do czynienia we wszystkich maszynach wirnikowych. Aby taki ruch można było zrealizować, bryła (wirnik) musi być ograniczona więzami. Są nimi najczęściej łożyska, w których w czasie ruchu bryły powstają odpowiednie reakcje.

Z kinematyki wiadomo, że obracająca się bryła wokół stałej osi obrotu ma jeden stopień swobody. Taki ruch bryły można jednoznacznie opisać jednym równaniem ruchu w postaci kąta obrotu w funkcji czasu ϕ = ϕ(t).

x

x′

y

y′

z = z′

O

C

ω

ε

rc

l

Mo

W

ϕ

ϕ

Rys. 7.25. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół głównej osi bezwładności

Dla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bryły założymy, że bryła obraca się ruchem dowolnym, czyli że prędkość kątowa bryły nie jest stała, wokół osi będącej główną osią bezwładności (rys. 7.25). Ponadto przyjmujemy, że początki nieruchomego układu współrzędnych x, y, z i ruchomego znajdują się w nieruchomym punkcie O znajdującym się na osi obrotu l. Poza tym dla uproszczenia wzorów założymy, że środek masy C bryły leży na osi .

z z= ′

′x Ponieważ dla takiego ruchu prędkość kątowa ω i przyśpieszenie kątowe ε leżą na osi obrotu, zatem

0εεi0 yxyx ===ω=ω ′′′′ , (b) a wektory ω i ε można zapisać wzorami:

,dtd

z kkkkω z ′ϕ=′ω=′ω=ω= ′

.dtd

dtdεεε 2

2

z kkkkkε z ′ϕ=′

ω=′=′== ′

Przyśpieszenie aC środka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p. 5.3.4 dotyczącym kinematyki ruchu obrotowego:

( ).CCC rωωrεa ××+×= Po podstawieniu do tego wzoru zależności ir ′= CC r , wynikającej wprost z rys. 7.25, otrzymamy:

( ) ijikkika ′ω−′=′×′ω×′ω+′×′= C2

CCCC rrεrrε , czyli współrzędne przyśpieszenia środka masy wynoszą:

0a,rεa,ra zCCyCC2

xC ==ω−= ′′′ . (c) Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu zależności (b) oraz wzorów (c) redukują się do postaci (7.94):

.MεI

,Wrεm,Wrm

zOzz

yC

xC2

′′′

′

′

=

=

=ω−

(7.94)

Stąd M M WOx Oy z′ ′= ′= =0 0, oraz 0 . (d)

Z zależności (d) oraz z równań (7.94) wynika, że w przypadku obrotu bryły wokół głównej osi bezwładności układ sił zewnętrznych redukuje się do momentu głównego MO leżącego na osi obrotu l i wektora głównego W leżącego w płaszczyźnie ′ ′x y i prostopadłego do tej osi. Trzecie z równań (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bryły i przy znanych warunkach początkowych pozwala na wyznaczenie równania jej ruchu ϕ = ϕ(t). Z dwóch pierwszych równań możemy wyznaczyć siły wywołane tym, że środek masy leży poza osią obrotu, czyli oś obrotu nie jest główną centralną osią bezwładności, albo − używając terminologii z dynamiki maszyn −

bryła jest niewyważona statycznie. Równania te pozwalają na wyznaczenie reakcji więzów (reakcji łożysk). Jeżeli oś obrotu l będzie główną centralną osią bezwładności, czyli środek masy C będzie leżał na osi obrotu (rC = 0), co będzie oznaczało idealne wyważenie bryły, równania (7.94) redukują się do jednego równania:

zOzz MεI ′′′ = , (7.95) a po uwzględnieniu (d) widzimy, że wszystkie współrzędne wektora głównego oraz dwie współrzędne momentu głównego są równe zeru:

0MMoraz0WWW yOxOzyx ===== ′′′′′ . (e) Z dynamicznego równania ruchu obrotowego bryły (7.95) wynika, że jeżeli suma momentów wszystkich sił zewnętrznych (sił czynnych i reakcji łożysk osi obrotu) względem osi obrotu będzie równa zeru, MOz′ = 0 , to również

, zatem prędkość kątowa będzie stała, ω = const, czyli bryła będzie się poruszać ruchem jednostajnie obrotowym. Z takim przypadkiem będziemy mieli do czynienia, gdy bryła będzie się obracać wokół pionowej osi obrotu osadzonej w idealnie gładkich łożyskach. Siłami zewnętrznymi są wówczas siły ciężkości i reakcje gładkich łożysk, których momenty względem osi obrotu są równe zeru.

0dtdε =ω= /

Przykład 7.14. Jednorodna tarcza o masie m i promieniu r obraca się wokół nieruchomej osi przechodzącej przez środek O tej tarczy (rys. 7.26) pod wpływem przyłożonego momentu o stałej wartości, M = const. Na tarczę działa moment oporu proporcjonalny do prędkości kątowej ω (

MO

,kMO ω= gdzie k jest znanym współczynnikiem). Wyznaczyć prędkość kątową tarczy w funkcji czasu, ( )tω=ω , oraz jej wartość maksymalną, . maxω=ω

Ry

Rozwiązanie. Po podstawieniu do dynamicznego rbryły (7.95), zgodnie z treścią zadania,

dtdεε,II zOzω

=== ′′ oraz zOM ′

otrzymamy równanie ruchu obrotowego tarczy w posta

MO

M

O

r

ω

s. 7.26. Wyznaczenie prędkości kątowej tarczy

ównania ruchu obrotowego

OMM −=

ci:

ω−=ω

−=ω kM

dtdIlubMM

dtdI OOO .

Moment bezwładności tarczy względem osi obrotu . Zatem 2rmI 2O /=

ω−=ω kM

dtdrm

21 2 .

Po rozdzieleniu zmiennych powyższe równanie różniczkowe możemy zapisać w postaci:

dtkM

d2rm 2

=ω−

ω

albo

dtkM

dkk2rm 2

=ω−ω−

− .

Scałkujemy to równanie w granicach od 0 do ω oraz od 0 do t:

∫∫ =ω−ω−

−ω t

00

2

dtkM

dkk2rm

.

Po wykonaniu całkowania i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu otrzymamy:

tM

kMlnk2rm 2

=ω−

−

lub

2rmtk2

MkMln −=ω−

.

Stąd prędkość kątowa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ω

−2mr

kt2

e1kM

.

Z otrzymanego wzoru widzimy, że z upływem czasu t do nieskończoności drugi wyraz w nawiasie będzie dążył do zera, czyli prędkość kątowa ω będzie dążyć do wartości maksymalnej równej:

kM

max =ω .

Obrót jednostajny bryły wokół osi dowolnej. Reakcje dynamiczne

Obecnie rozpatrzymy ruch bryły obracającej się ze stałą prędkością kątową ω wokół dowolnej osi podpartej w łożyskach, jak na rys. 7.27. Wskutek działania sił czynnych na rozpatrywaną bryłę w łożyskach powstaną reakcje statyczne, które można wyznaczyć z poznanych w statyce warunków równowagi. Zagadnienia tego nie będziemy tutaj rozpatrywać, zajmiemy się natomiast siłami i momentami wywołanymi przez zadany ruch. Innymi słowy, rozpatrzymy ruch bezwładny bryły poruszającej się ze stałą prędkością kątową bez udziału sił zewnętrznych. Na osi obrotu w punkcie O przyjmiemy początek nieruchomego układu współrzędnych x, y, z oraz początek układu ruchomego ′ ′ ′x , y , z sztywno związanego z bryłą. Założymy przy tym, że osie układu ruchomego są głównymi osiami bezwładności, a środek masy nie leży na osi obrotu, czyli bryła jest niewyważona zarówno dynamicznie, jak i statycznie. Ponieważ prędkość kątowa ω jest stała i jej rzuty ω ω ω′ ′x , ,y ′z na osie ruchomego układu współrzędnych również są stałe, więc współrzędne przyśpieszenia kątowego są równe zeru:

0εεε zyx === ′′′ . (f)

x′

z′

x

y

z

y′

O

Cω rc

Rys. 7.27. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi dowolnej Zatem przyśpieszenie aC środka masy bryły wyrazi wzór:

( ) ( ) 2CCCC ωrrωωrωωa −⋅=××= . (g)

Jeżeli wektor wodzący rC środka masy zapiszemy za pomocą współrzędnych w układzie ruchomym:

,zyx CCCC kjir ′′+′′+′′=

to po zrzutowaniu wektora (g) na osie ′ ′ ′x , y , z i odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy wzory na współrzędne przyśpieszenia aC środka masy:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

′ω−′ωω−′ω−′ωω=

′ω−′ωω−′ω−′ωω=

′ω−′ωω−′ω−′ωω=

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

).yz(zxa),xy(yza),zx(xya

CzCyyCxCzxzC

CyCxxCzCyzyC

CxCzzCyCxyxC

)()()(

(h)

Po podstawieniu zależności (f) oraz wzorów (h) do równań (7.93) i zmianie bieguna redukcji z C na O otrzymamy sześć równań opisujących omawiany ruch bryły:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=ωω−=ωω−=ωω−

=′ω−′ωω−′ω−′ωω=′ω−′ωω−′ω−′ωω=′ω−′ωω−′ω−′ωω

′′′′′

′′′′′

′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

.MII,MII,MII

,Wyzzxm,Wxyyzm,Wzxxym

zOyxxy

yOzxzx

xOzyyz

zCzCyyCxCzx

yCyCxxCzCyz

xCxCzzCyCxy

)()()(

)]()([)]()([)]()([

(7.96)

Po uwzględnieniu we wzorze (7.91) zależności (f) oraz przyjęciu za biegun redukcji zamiast punktu C nieruchomego punktu O pochodna krętu kO względem czasu

OO

dtd

kωk

×= , (i)

a po uwzględnieniu zasady krętu możemy napisać:

OO kωM ×= . (j) Po pomnożeniu skalarnie obu stron powyższego wzoru przez prędkość kątową otrzymamy:

( ) ( ) ( ) 0OOOO =×⋅=×⋅=⋅×=⋅ ωωkkωωωkωωM . (k) Warunek ten można przedstawić w postaci:

=⋅ωM O 0MMM zzOyyOxxO =ω+ω+ω ′′′′′′ . (l) Z powyższego równania wynika, że moment główny MO wywołany przez siły bezwładności jest w czasie obrotu bryły zawsze prostopadły do prędkości kątowej ω, czyli do osi obrotu. Gdy tak nie jest, obrót jednostajny bryły nie jest możliwy.

Ponadto z warunku (l) wynika, iż tylko dwa z trzech ostatnich równań (7.96) są niezależne, czyli z równań (7.96) możemy w układzie ′ ′ ′x , y , z wyznaczyć pięć składowych reakcji spowodowanych omawianym ruchem bryły. Ponieważ układ

wiruje razem z bryłą wokół osi obrotu z prędkością kątową ω, z tą samą prędkością wirują reakcje w łożyskach względem układu nieruchomego x, y, z. Reakcje te nazywamy reakcjami dynamicznymi.

′ ′ ′x , y , z

Gdy środek masy bryły będzie się znajdował na osi obrotu, czyli bryła będzie wyważona statycznie, wtedy 0zy=x CCC =′=′′ i lewe strony trzech pierwszych równań (7.96) będą równe zeru, a tym samym znikną siły wywołane przez niewyważenie statyczne 0WWW zyx === ′′′ . W tym przypadku z trzech ostatnich równań (7.96) wynika, że reakcje dynamiczne w łożyskach będą spowodowane przez moment MO związany z działaniem sił bezwładności. Ponieważ na podstawie warunku (l) moment ten jest prostopadły do osi obrotu, zatem reakcje dynamiczne w łożyskach będą tworzyć parę sił wirującą z prędkością równą prędkości kątowej ω. Mówimy wtedy, że bryła jest niewyważona dynamicznie. Jeżeli oś obrotu będzie główną centralną osią bezwładności, np. oś pokryje się z osią z, to pozostałe osie

′z′ ′x i y układu ruchomego będą do niej prostopadłe,

czyli . Wynika z tego, że trzy pozostałe równania (7.96) znikają, a tym samym znikają reakcje dynamiczne w łożyskach. Na podstawie powyższych rozważań możemy sformułować następujący wniosek:

0yx =ω=ω ′′

Jeżeli oś obrotu bryły jest główną centralną osią bezwładności, czyli bryła jest wyważona statycznie i dynamicznie, to reakcje dynamiczne są równe zeru. Z przeprowadzonych w tym punkcie rozważań wynika, że ruch wirującej bryły wywołuje okresowo zmienne siły działające na łożyska, które przenosząc się na korpus maszyny, a dalej na fundament wywołują drgania. Drgania te powodują przyśpieszone zużycie elementów maszyny, a także niekorzystnie wpływają na otoczenie. Aby temu zapobiec, wirujące części maszyn projektuje się tak, aby oś obrotu była główną centralną osią bezwładności. Jednak np. ze względu na błędy wykonawcze spełnienie tego warunku nie zawsze jest możliwe. Dlatego wirujące części maszyn są sprawdzane po wykonaniu i ewentualnie wyważane przez odpowiednią korektę masy. Przykład 7.15. Cienka jednorodna płyta prostokątna o masie m i bokach h oraz b obraca się wokół przekątnej ze stałą prędkością kątową ω. Obliczyć reakcje dynamiczne łożysk A i B, jeżeli odległość między nimi wynosi L (rys. 7.28).

C

z

ω

RB

RB

x′

L

h bz′

x

α

A B

Rys. 7.28. Wyznaczenie reakcji dynamicznych łożysk Rozwiązanie. Ponieważ środek ciężkości C płyty leży na osi obrotu, która nie jest główną centralną osią bezwładnóści, reakcje w łożyskach A i B będą spowodowane niewyważeniem dynamicznym. W środku ciężkości przyjmiemy ruchomy układ współrzędnych sztywno związany z płytą w ten sposób, że osie

są osiami symetrii płyty, a oś ′x i z′ ′y jest prostopadła do płaszczyzny rysunku. W tym układzie współrzędnych prędkość kątowa ω ma współrzędne:

αω=ω=ωαω=ω ′′′ cos,0,sin zyx . Po podstawieniu tych wzorów do trzech ostatnich równań (7.96) i po zastąpieniu punktu O punktem C otrzymujemy: 0M,0M zCxC == ′′ oraz

( ) ( ) ααω−=ωω−= ′′′′′′′ cossinIIIIM 2zxzxzxyC . (a)

Momenty bezwładności prostokątnej płyty względem osi symetrii otrzymamy ze wzorów (d) wyprowadzonych w przykładzie 6.3:

12mbI,

12mhI

2

z

2

x == ′′ . (b)

Z rysunku wynika, że

2222 bh

h=cos,bh

b=sin+

α+

α . (c)

Po podstawieniu oznaczeń (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy:

( ) 222

22

CyC bhbhbh

12mMM ω

+−

==′ . (d)

Z zależności (d) wynika, że wektor momentu leży na osi , czyli jest prostopadły do płaszczyzny płyty i wiruje razem z nią. Moment ten jest wywołany przez parę sił (reakcji) R

CM ′y

A i RB prostopadłych do osi obrotu. Wartoci momentu i reakcji są równe:

( )( )

222

22C

BABAC Lbhbhbh

12m

LM

RRLRLRM ω+−

===== , . (e)

W czasie obrotu reakcje RA i RB wirują razem z płytą. Ponadto są one proporcjonalne do kwadratu prędkości kątowej i w przypadku zbyt szybko obracającej się bryły mogą osiągać duże wartości.

7.5.3. Ruch płaski bryły W kinematyce ruchu bryły sztywnej ruchem płaskim nazwaliśmy ruch, w czasie którego wszystkie punkty bryły zakreślają tory równoległe do pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu lub płaszczyzną kierującą.

ϕ

y′

z

x′

z′

y

x

rC

O

MC

W

ω

C

Rys. 7.29. Ruch płaski bryły sztywnej

Na rysunku 7.29 przedstawiono przekrój bryły płaszczyzną ruchu przechodzącą przez środek masy C. W dowolnym punkcie O przyjęto nieruchomy układ współrzędnych x, y, z tak, że osie x, y leżą w płaszczyźnie ruchu, a oś z jest do niej prostopadła. Ruchomy układ współrzędnych z,y,x ′′′ o początku w środku masy C przyjęto w ten sam sposób, czyli osie y,x ′′ poruszają się w płaszczyźnie ruchu, a oś jest do niej prostopadła. Wynika z tego, że osie ′z z i z′ są do siebie równoległe. W dalszych rozważaniach dynamiki ruchu płaskiego bryły przyjmiemy następujące założenia:

a) oś jest główną centralną osią bezwładności, ′zb) ruch bryły odbywa się pod wpływem sił działających w płaszczyźnie ruchu.

Bryła poruszająca się ruchem płaskim ma trzy stopnie swobody, a więc do jego opisu wystarczy podać trzy równania ruchu − dwóch współrzędnych środka masy xC i yC oraz kąta obrotu ϕ układu ruchomego względem nieruchomego. Kinematyczne równania ruchu płaskiego (5.51) i (5.52) możemy zapisać w postaci:

( ) ( ) ( )toraztyy,txx CCCC ϕ=ϕ== . (7.97)

Zatem do opisu dynamiki ruchu płaskiego bryły niezbędne są trzy dynamiczne równania ruchu. Do ich wyznaczenia wykorzystamy równania (7.93) opisujące ruch bryły swobodnej. Z założenia b) na podstawie własności płaskiego układu sił (3.8) wynika, że wektor główny W będzie leżał w płaszczyźnie sił, a moment główny MC będzie prostopadły do tej płaszczyzny. Możemy w tej sytuacji zapisać:

0Moraz0 xC === ′′′ yCz MW . (m) Ponadto w ruchu płaskim bryły (p. 5.3.8) prędkość kątowa ω jest prostopadła do płaszczyzny ruchu, czyli

0yx =ω=ω ′′ . (n) Po uwzględnieniu zależności (m) i (n) równania (7.93) redukują się do trzech dynamicznych równań ruchu płaskiego bryły.

zCzzyyCxxC MεI,Wma,Wma ′′′′′′′ === . (7.98) Po wyrażeniu przyśpieszenia aC środka masy oraz wektora głównego W w nieruchomym układzie współrzędnych x, y oraz uwzględnieniu, że (wzór 5.63), równania (7.98) można zapisać następująco:

ε ε′ =z

zCzyCyxCx MεI,Wma,Wma ′′ === . (7.99) Ponieważ współrzędne przyśpieszenia środka masy C w nieruchomym układzie współrzędnych są równe drugim pochodnym względem czasu współrzędnych xC i yC, powyższym równaniom można nadać postać równań różniczkowych po uwzględnieniu drugiego wzoru (5.64):

zC2

2

zyC

2

x2C

2

Mtd

dI,Wtdyd

m,Wtdxd

m ′′ =ϕ

== . (7.100)

Przykład 7.16. Na poziomym szorstkim stole znajduje się szpula, której środek masy C leży na osi symetrii obrotu. Szpula ma masę m oraz dwa promienie R i r. Rysunek 7.30 przedstawia szpulę w rzucie na płaszczyznę prostopadłą do osi symetrii. Moment bezwładności względem tej osi wynosi IC. Z obwodu o promieniu r odwija się nić, do której końca przyłożono stałą siłę poziomą P. Wyznaczyć maksymalną wartość siły P = Pmax, pod wpływem której szpula będzie się toczyć bez poślizgu, jeżeli współczynnik tarcia statycznego między szpulą a stołem jest równy µ, a współczynnik tarcia tocznego f. Dla tego przypadku wyznaczyć przyśpieszenie osi szpuli aC.

Rozwiązanie. Na szpulę działają dwie siły obciążające: siła ciężaru szpuli G oraz siła P powodująca ruch szpuli. Reakcję stołu rozłożono na siłę tarcia T skierowaną w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu oraz reakcję normalną N przesuniętą w kierunku toczenia szpuli o wartość współczynnika tarcia tocznego f (rys. 3.11b). Rozważany ruch szpuli jest ruchem płaskim, zatem na podstawie wzoru (7.99) dynamiczne równania ruchu szpuli będą następujące :

==εI

N0am

C

C

Jeżeli szpula toczy się bez poślizguprzyśpieszeniem kątowym musi być spkinematyczna:

a C = Z drugiego z równań (a) wynika, że re

GN = gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim Maksymalną wartość siły P otrzgraniczną siłą tarcia o wartości (wzór 3

NµT = Jeżeli do pierwszego i trzeciego rówtrzecim uwzględnimy zależność (b), o

y

x O

f

P G

NT

CR

raC

ε

Rys. 7.30. Ruch szpuli z uwzględnieniem oporu toczenia

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−−

−=

.fNrPRT,G

,TP (a)

, to między przyśpieszeniem środka szpuli i ełniona następująca C zależność

εR . (b)

akcja normalna jest równa ciężarowi szpuli:

gm= , (c)

. ymamy, założywszy, że siła tarcia T jest .5):

gmµ= . (d)

nania (a) podstawimy wzory (c) i (d), a w trzymamy dwa równania:

⎪⎭

⎪⎬⎫

−−=

−=

.gmfrPRgmµRa

I

,gmµPamC

C

C (e)

W równaniach tych mamy dwie niewiadome: maxC PPia = . W celu wyeliminowania przyśpieszenia podzielimy równania stronami i otrzymamy: aC

gmfrPRgmµgmµP

IRm

C −−−

= .

Stąd

( )rRmI

gmIµRmfRmµPP

C

C2

max ++−

== . (f)

Po podstawieniu tego wzoru do pierwszego równania (e) wyznaczymy przyśpieszenie osi szpuli.

( )[ ]rRmI

RgmfrRaC

C +−−µ

= . (g)

Z otrzymanego wzoru wynika, że oś szpuli porusza się ze stałym przyśpiesze- niem, czyli ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu ( ) ?txx CC == dla warunków początkowych, np. dla 0vi0x,0t CC === .