Dynamika punktu materialnego

1. O czasie t1=14.0 s samochd o masie m=1200 kg by w punkcie ~r1=[100,0,25] m i mia pd~p1=[6000,0,-3600] kgm/s. Jaka bya pozycja samochodu w czasie t2=14.5 s?

2. Kierowca prowadzi samochd (o masie m=1000 kg) z prdkoci ~v0=[25,15,0] m/s. Nagle wyko-na manewr skrtu i hamowania w wyniku czego jego prdko zmalaa do ~v1=[10,18,0] m/s.a) Jaki by wektor zmiany pdu podczas trwania manewru?b) Jeeli manewr trwa 3 sekundy, jaka bya wtedy rednia sia dziaajca na samochd?

3. Na ciao o masie m = 500 g dziaa sia F = 10 N przez czas t = 4 s. Jakim ruchem porusza siciao podczas dziaania siy? Jaka bdzie prdko kocowa v ciaa? Ile wynosi droga s przebytaprzez to ciao? Jaka jest prdko rednia?

4. Sia F=50 N dziaa na swobodn mas m=20 kg na drodze s=2 m. Z jak prdkoci bdzieporusza si to ciao, gdy sia przestanie dziaa?

5. Kulka o promieniu r i masiem spada swobodnie w powietrzu. Opr powietrza jest proporcjonalnydo kwadratu prdkoci v kulki i wyraa si wzorem: Fop = asv2, gdzie a jest wspczynnkiemksztatu, s jest maksymaln powierzchni prostopad do kierunku prdkoci. Znajd maksy-maln prdko, do ktrej moe rozpdzi si kulka.

6. Wagon o masie m=16 ton porusza si z prdkoci v=5 m/s. Obliczy rednia si dziaajc nawagon, gdy:a) zatrzymuje si pod wpywem siy tarcia w cigu 1 minuty,b) gdy zostaje zahamowany w czsie 15 s.,c) gdy natrafia na przeszkod i zatrzymuje si w cigu 0.5 s.

7. Samochd o ciarze 13 000 N jadcy z prdkoci 80 km/h zostaje zatrzymany, przy czym jegodroga hamowania jest rwna 61 m. Znale:a) sil hamujc,b) czas potrzebny do zatrzymania samochodu,c) obliczy, jaka byaby droga id) czas hamowania przy takiej samej sile hamujcej, gdyby samochd przed rozpoczciem ha-mowania porusza si z prdkoci 40 km/h.

8. Na samochd o masie 1000 kg, poruszajcy si z prdkoci 72 km/h po prostym torze poziomym,w pewnej chwili zacza dziaa sia hamuca F skierowana przeciwnie do ruchu. Jaka jestwarto siy F , jeeli samochd zatrzyma si po upywie 5 s. Jak odlego przejedzie do chwilizatrzymania?

9. Wagon o masie m = 104 kg odczepi si od poruszajcego si pocigu i przebywajc drog 20 mruchem jednostajnie opnionym zatrzyma si po upywie 20 s. Znale si tarcia, efektywnywspczynnik tarcia oraz poczatkow prdko pocigu.

10. Jak sia naley dziaa na mas 1 kg, aby w cigu 1 s podnie j na wysoko 2 m?

11. Porwnaj siy hamowania samochodu, jeeli zatrzymuje si on w czasie 3 s na suchej powierzchni,a na oblodzonej droga hamowania wynosi 60 m. Prdko w obydwu przypadkach wynosi 60km/h.

12. Krek hokejowy wacy 1.1 N lizga si po lodzie, przebywajc do chwili zatrzymania odlego15 m.a) Jaka jest sia tarcia pomidzy krkiem i lodem, jeli prdko pocztkowa krka wynosia6 m/s?b) czemu jest rwny wspczynnik tarcia kinetycznego?

1

13. Pojazd o masie 854 kg porusza si po poziomej jezdni z prdkoci 57 km/h.a) jaka musi by sia hamujca, aby zatrzyma ten pojazd na drodze 10 m?b) Oblicz czas hamowania pojazdu.

14. Balon opada ze sta prdkoci. Jak mas balastu naley wyrzuci, aby balon zacz si wznosiz t sam prdkoci? Przyj, e masa balonu M i sia wyporu Fw s znane.

15. Prdko samochodu maleje jednostajnie od 45 km/h do 30 km/h na drodze 50 m.a) Jaka jest warto i kierunek przyspieszenia?b) Jak dugo jecha samochd?c) Ile czasu upynie do zatrzymania?d) Jak drog przejedzie do zatrzymania?

16. Dwa odwaniki, kady o masie m=400g, zrwnowaone s na krku nieruchomym na wysokocih=5 m nad powierzchni Ziemi. Po jakim czasie spadnie jeden z odwanikw na Ziemi, jeelipooy si na niego bez pchnicia ciao o masie m1=100 g. Zakadamy, e krek porusza si beztarcia i jego mas mona zaniedba.

17. Na kocach nici przerzuconej przez krek wisz na tej samej wysokoci dwa ciaa o rnychmasach. Po upywie czasu t=2 s od momentu rozpoczcia ruchu pod wpywem siy cikoci,rnica poziomw pomidzy odwanikami wynosia h= 1.0 m. Ile way lejszy odwanik, jeelimasa ciszego wynosi M=0.3 kg.

18. Czowiek wacy 100 kg opuszcza si na ziemi z wysokoci 10 m za pomoc liny przeoonejprzez doskonale gadki bloczek, do ktrej z drugiej strony doczepiony jest worek z piaskiemwacy 70 kg.a) Z jak prdkoci czowiek uderzy w ziemi ?b) Czy sam mgby zmiejszy prdko, z jak uderzy w ziemi ?

19. a) Na nici przerzuconej przez krek zawieszone s nierwne masy M = 200g i M + m = 210g.Znale przyspieszenie mas, napicie nici N i si F dziaajc na o krka. Krek i ni uznaza bardzo lekkie. Pomin tarcie.b) Na nici przerzuconej przez krek A zawieszone s masam1 i o krka B. Na nici przerzuconejprzez krek B zawieszone s nierwne masy m2 i m3 (m2 > m3, m1 > m2 + m3). Znaleprzyspieszenie mas i nacig nici. Tarcie zaniedba, mas krka przyj rwn zeru.

20. Do niewakiej nici przerzuconej przez nieruchomy bloczek przyczepiono klocek o masie 3.5 kg.Jakie przyspieszenie nada temu klockowi fia F= 40 N przyoona do drugiego koca nici iskierowana pionowo w d?

21. Klocek pocztkowo spoczywajcy zsuwa si ze szczytu gadkiej rwni pochyej o dugoci 16 mw cigu 4s. W chwili, gdy zaczyna si zsuwa, inny klocek zostaje pchnity wzdu rwni z doupod gr w ten sposb, e oba klocki jednoczenie osigaj podstaw.a) Znale przyspieszenie kadego z klockw.b) Jaka jest prdko pocztkowa drugiego klocka?c) Jak drog mierzon od podstawy rwni w gr przebdzie drugi klocek?d) Jaki jest kt nachylenia rwni?

22. Ciao zsuwa si bez prdkoci pocztkowej po rwni o nachyleniu 600. Po czasie 2 sekund prdkociaa wynosi 14 m/s. Obliczy wspczynnik tarcia.

23. Ciao porusza si ze sta prdkoci po po rwni o nachyleniu 300 pod dziaaniem siy 10 Nrwnolegej do podoa. Wyznaczy ciar ciaa.

2

24. Na gadkiej rwni pochyej nachylonej do poziomu pod ktem 600 znajduje si ciao o ciarze500 N utrzymywane w rwnowadze przez si R dziaajc w kierunku rwnolegym do podstawyrwni. Obliczy warto tej siy oraz warto siy nacisku dziaajcej na rwni.

25. Chopiec cignie pod gr sanki za sznurek skierowany pod ktem 20o do stoku gry nachylonejpod ktem 30o do poziomu. Ile wynosi sia, z jak chopiec cignie sanki, jeeli wspczynniktarcia wynosi 0.2, a masa sanek wynosi 20 kg? Przyjmij, e chopiec porusza si ruchem jedno-stajnym.

26. Ciao zsuwa si bez prdkoci pocztkowej po rwni pochyej o kcie nachylenia . Po czasie tprdko ciaa wynosi v. Oblicz wspczynnik tarcia.

27. Jak prdko pocztkow naley nada ciau o masiem, aby wjechao na szczyt rwni o dugocil i kcie nachylenia , jeeli wspczynnik tarcia wynosi f? Oblicz czas t trwania ruchu.

28. Samochd wjedajc na wznoszcy si odcinek drogi mia prdko pocztkow v0= 10 m/s.W tym momencie przesta dzia silnik samochodu. Znale drog, jak przeby samochd dochwili zatrzymania si oraz czas ruchu jednostajnie opnionego, jeeli efektywny wspczynniktarcia wynosi 0.5, a kt nachylenia drogi wynosi 100.

29. Szecian majcy ciar W spoczywa na chropowatej rwni pochyej, tworzcej kt z poziomem.a) ile wynosi najmniejsza sia potrzebna do wprowadzenia ciaa w ruch w d rwni?b) ile wynosi najmniejsza sia potrzebna do wprowadzenia ciaa w ruch w gr rwni?c) ile wynosi najmniejsza sia pozioma, ktra spowoduje, zsuwanie si szecianu po rwni? (RH)

30. Jak si naley dziaa w kierunku toru na skrzyni o masie 100 kg, jeeli wspczynnik tarciawynosi = 0.5, aby poruszaa si ona ruchem jednostajnym i przyspieszonym:a) po torze poziomym,b) po pochylni w gr, jeeli jej kt nachylenia wynosi 300 z poziomem,c) po tej samej rwni w d.

31. Sanki zaczynaj si zelizgiwa z grki o wysokoci h=10 m i kcie nachylenia = 300 i z rozpdujad jeszcze po poziomym niegu poza stokiem. Po przebyciu poziomego odcinka drogi s=15 mzatrzymuj si. Oblicz:a) ile wynosi wspczynnik tarcia f,b) jak dugo trwa ruch sanek.

32. Trzy klocki poczone ze sob przesuwaj si po gadkim, poziomym stole pod wpywem siyT3=60 N przyoonej do jednego z klockw. Znale naprenia T1 i T2, jeli m1=10 kg, m2=20kg, m3=30 kg.

33. Trzy klocki poczone ze sob w sposb pokazany na rys. Znale naprenia wszystkich nici iprzyspieszenie ukadu.

2mm

m3

1

34. Dwa ciaa o masach m i M poczone nierozcigliw nici (rys.) znajduj si na rwni pochyejo ktach nachylenia i . Wyznaczy przyspieszenie kadego z cia oraz si nacigu nici.Wspczynnik tarcia pomidzy ciaami a rwni wynosi f.

35. Ciao o masie 20 kg jest pchane przez poziom si F w gr doskonale gadkiej 30o rwnipochyej o dugoci 3 m.a) Jeeli prdko u dou wynosi 0.6 m/s, a u gry 3 m/s, obliczy jak prac wykonaa sia F .

3

mM

m

M

b) Jaka jest warto siy F ?c) Gdyby rwnia nie bya gadka i k= 0.15, to do jakiego punktu rwni dojdzie ciao?

36. Dwa ciaa o masach m i M poczone nierozcigliw nici. Do Drugiego ciaa przyoono si F .Wyznaczy przyspieszenie kadego z cia .

37. Dwa klocki o masach m1 i m2 poczone sznurkiem podnoszone s w gr z si F . Jakie jestprzyspieszenie kadego klocka i napicie sznurka czcego oba klocki?

38. Trzy ciaa (rys) poczone s nimi. Do pierwszego ciaa przyoono si F1, do trzeciego F2.Obliczy przyspieszenie kadego z cia.

F

m

Fm m

1

1 2 32

39. Trzy klocki le na gadkiej paszczynie. Do ostatniego klocka przyoono sie F . Znale przy-spieszenie ukadu.

40. Jak si naley przyoy do masy M (rys.), aby poruszaa si ona z przyspieszeniem a? Siatarcia dziaa tylko midzy mas m a M , a wspczynik tarcia wynosi .

m

MF

41. Wyznaczy wskazania dynamometrw A i B w ukadzie przedstawionym na rysunku, jelim1=300 kg, a m2=100 kg. Masy bloczkw mona zaniedba.

AB

m2

m1

42. Na szczycie rwni pochyej o dugoci l i kcie nachylenia znajduje si ciao o masie m, ktrezaczyna zsuwa si w d.a) Przyjmujc, e wspczynnik tarcia wynosi , obliczy przyspieszenie ciaa oraz prdko ciaaprzy podstawie rwni.b) Po zsuniciu si z rwni ciao przesuwa si na pewn odlego d po takiej samej powierzchni,ale poziomej. Obliczy t odlego.

4

43. Na gadkiej poziomej paszczynie znajduj si trzy ciaa o masach m1, m2, m3, poczone zesob lekkimi nimi. Masa M zawieszona jest na lekkiej nici przerzuconej przez krek. Drugikoniec nici zaczepiony jest do masy M. Znale przyspieszenie z jakim poruszaj si te ciaa.Znale nacig N poszczeglnych nici.

44. Nowy typ nart pozwala na skrcenie czasu zjazdu z agodnego 200-metrowego stoku z 61 s do41 s.a) obliczy rednie przyspieszenie dla obu typw nart.b) Zakadajc, e kt nachylenia stoku wynosi 3o, obliczy dla obu przypadkw wspczynniktarcia kinetycznego.

45. Klocek zsuwa si ze sta prdkoci po rwni pochyej o kcie nachylenia . Nastpnie zostajeon pchnity w gr po tej samej rwni, z prdkoci pocztkow v0.a) Jak daleko przesunie si klocek?b) Czy zacznie si on znowu zsuwa?

46. Pozioma sia F=50 N dociska klocek wacy 2 kg do pionowej ciany. Wspczynnik tarciastatycznego midzy cian a klockiem wynosi 0.60, a wspczynnik tarcia kinetycznego 0.40.Zakadamy, z w chwili pocztkowej klocek jest nieruchomy.a) Czy klocek zacznie si zsuwa?b) Jak si ciana dziaa na klocek?

47. Rwnie pochye o ktach nachylenia i zczono jak na rysunku. Na wysokoci h pooonociao, ktre zaczo si zsuwa z rwni bez tarcia, a nastpnie wznosi si na drug rwni.Korzystajc jedynie z metod kinematycznych wyznacz okres ruchu cia po tych rwniach.

h

48. Z jakim przyspieszeniem powinien porusza si wzek, aby pooenie mas m1 i m2 pozostawaotakie samo? Wspczynnik tarcia midzy masami i wzkiem wynosi k.

m

m

1

2

49. Na paskim podou spoczywa rwnia o masie M i kcie . Pooono na ni ciao o masiem = M/2. Obliczyc przyspieszenie tych cia, pomina wpyw tarcia.

50. Na klocku o masie 5 kg pooono klocek o masie 4 kg. Gdyby dolny klocek by przytwierdzonydo podoa, to przyoenie siy 12 N do grnego klocka spowodowaoby jego lizganie. Przyjnastpnie, e dolny klocek pooony jest na doskonale gadkim stole.a) Znale maksymaln warto poziomej siy F, jak mona przyoy do dolnego klocka, przyktrej klocki bd si porusza razem.b) Znale przyspieszenie nadane klockom.

51. Klocek o masie m lizga si w nachylonej prostoktnej rynnie. Znale przyspieszenie klockajeeli wspczynnik tarcia kinetycznego pomidzy klockiem a rynn wynosi k.

52. Ciao o masie m uwizane jest na nici o dugoci l i porusza si po okrgu w paszczyniepionowej. Oblicz si nacigu nici w najwyszym i najniszym punkcie okrgu.

5

53. Kamie o masie m=5 kg jest przywizany do sznura o dugoci l=50 cm i porusza si w pasz-czynie pionowej. Naprenie sznura w dolnym punkcie okrgu jest rwne Fn=44.1 N. Jak wysokopoleci kamie, jeeli sznur pknie w chwili, gdy prdko jest skierowana pionowo do gry?

54. Szklank napenion wod zawieszamy na sznurku i wprawiamy w ruch w paszczynie pionowej.Przy jakiej prdkoci woda nie bdzie si wylewa ze szklanki, jeeli sznurek ma dugo 1 m.

55. Kula o masie m=810 g zostaje wprowadzona w ruch po okrgu w paszczynie pionowej. Kooma promie r=1.20 m, czstotliwo ruchu f=96 obr/min.Jaka jest prdko i nacig sznurka N, gdy kula przechodzi przez:a) najwyszy punkt na grze,b) najniszy punkt na doleobwodu koa.

56. Jaka moe by najwysza prdko samochodu w najwyszym punkcie wypukego mostu przyktrej nie oderwie si od powierzchni? Promie krzywizny mostu wynosi 100 m.

57. Ciao o masie m porusza si bez tarcia po wewntrznej stronie toru koowego o promieniu Rustawionego w paszczynie pionowej.a) Jaka powinna by najmniejsza prdko ciaa w najwyszym punkcie toru, aby nie oderwaosi ono od toru?b) Po jakim torze poleciaoby ciao, gdyby w najwyszym punkcie toru usunito drug poowtoru?

58. Tor zbudowany z paskiej i gadkiej tamy ma ksztat okrgu o promieniu R i ustawiony jestpionowo. Ciao o masie m porusza si ze sta wartoci prdkoci v po wewntrznej stronietamy. Jaka sia dziaa na tor, gdy ciao znajduje si na wysokociach h oraz 2Rh od podoa?(h < R)

59. Prdko pojazdw jadcych po koowym zakrcie autostrady ma wynosi 60 km/h.a) Jeli promie krzywizny tego zakrtu wynosi 120 m, jaki jest najwaciwszy kt pochyleniaautostrady?b) Jeli autostrada nie jest pochylona, jaki powinien by minimalny wspczynnik tarcia midzyoponami i drog, aby samochody nie lizgay si przy tej prdkoci?

60. Tramwaj jadcy z prdkoci v wjecha na zakrt o prpmieniu R. Przy jakiej wartoci wsp-czynnika tarcia paczka leca na pododze wagonu pozostanie nieruchoma?

61. Na wirujcej tarczy w odlegoci x od jej rodka pooono monet o masie m. Jaka moe bynajwiksza prdko ktowa m tarczy, przy ktrej moneta nie zmieni swojego pooenia ( wsp-czynnik tarcia wynosi )?

62. Bardzo may szecian o masie m znajduje si wewntrz lejka obracajcego si wok pionowejosi, ze sta szybkoci obr/s. ciana lejka tworzy z poziomem kt . Wspczynnik tarciastatycznego pomidzy szecianem a lejkiem wynosi f , a odlego rodka szecianu od osi ob-rotu wynosi r. Jaka jest najwiksza i najmniejsza warto , przy ktrej szecian nie bdzie siporusza wzgldem lejka?

63. Oblicz si dziaania fotela na lotnika o masie 75 kg w grnym i dolnym punkcie ptli, ktrzatacza on w paszczynie pionowej lecc samolotem? Rozwa przypadki, gdy: promie ptliwynosi 400 m i 200 m, a prdko samolotu 360 km/h.

64. Lotnik o masie 78 kg znajdujc si w dolnym punkcie ,martwej ptli naciska na siedzenie si6275 N. Wyznaczy prdko samolotu, jeeli promie ptli wynosi 250 m.

6

65. Kulka o masie m wisi na nici o dugoci l i obraca si wok pionowej osi poruszajc si popoziomym okrgu o promieniu r. a) Jaka jest prdko ktowa kulki? b) Jakie jest naprenienici?

66. Rowerzysta jedzie ze sta prdkoci v=10 m/s po torze koowym. Kt nachylenia paszczyznyroweru do poziomu wynosi 600. Oblicz promie toru.

67. Pod jakim ktem do pionu powinien pochyli si rowerzysta, aby jadc po poziomej paskiejpowierzchni z prdkoci v mg zatoczy koo o promieniu R? Jaki musi by wspczynniktarcia, aby rowerzysta mg bezpiecznie zakrci?

68. Pod jakim ktem powinien by nachylony tor do poziomu na zakrcie o promieniu R, abykolarze jadcy z prdkoci v pozostawali w pozycji prostopadej do niego?

69. Z jak najwiksz prdkoci moe samochd pokona zakrt o promieniu krzywizny 20 m, jeeilwspczynnik tarcia wynosi 0.5?

70. Jaki musiaby by okres obrotu Ziemi, aby na rwniku zostao zniesione przyspieszenie ziemskie?

71. Po rwni pochyej o kcie nachylenia zsuwa si naczynie z wod. Wspczynnik tarcia f < tg .Wyznaczy nachylenie powierzchni cieczy w naczyniu.

72. Klocek (masa m) zsuwa si po gadkiej rwni pochyej, nachylonej pod ktem do podogiwindy. Znale przyspieszenie klocka w nastpujcych przypadkach:a) winda zjeda w d ze sta prdkoci v,b) winda jedzie do gry ze sta prdkoci v,c) winda zjeda w d z przyspieszenim a,d) winda zjeda w d z opnieniem a,e) liny, na ktrych wisi winda urywaj si.f) Jaka sia w przypadku c) jest wywierana na klocek przez rwni? (RH)

73. W wagonie, ktry porusza si z przyspieszeniem a po prostym torze poziomym znajduje sirwnia nachylona pod ktem do poziomu. Na rwni ley ciao o masie m.a) Jakie powinno by przyspieszenie a0 wagonu, aby ciao nie zsuwao si z rwni, jeeli nie masiy tarcia?b) Jak si nacisku ciao dziaa na rwni?c) Jak porusza si ciao wzgldem rwni, jeeli wagon jedzie z przypieszeniem a > a0, a < a0?

74. W nieruchomej windzie rzucono do gry ciao z prdkoci v0. W chwili, gdy ciao znajdowaosi na maksymalnej wysokoci winda zacza si porusza z przyspieszeniem a skierowanym dogry. Po jakim czasie od chwili wyrzucenia ciao powrci do poorzenia pocztkowego?

75. Winda wznosi si do gry z przyspieszeniem a. W chwili, gdy jej prdko wynosi v, z sufitu windyspada obluzowana ruba. Winda ma wysoko h. Obliczy: a) po jakim czasie ruba spadnie napodg windy, b) jak odlego przebdzie on w stosunku do cian domu.

76. Z jak najwiksz sta prdkoci moe wjeda samochd o masie 900 kg pod wzniesienieo nachylenie 300, jeeli maksymalna moc silnika wynosi 50 kW? Wspczynnik tarcia wynosif=0.05.

77. Z jak najwiksz prdkoci moe jecha wagon na zakrcie o promieniu R, aby nie wyskoczyz pionowo uoonych szyn? rodek cikoci wagonu znajduje si na wysokoci h nad torem, wktrym szyny ustawione s na odlego 2s.

78. Na lince przyczepionej do sufitu windy wisi pionowo lampa. Winda zjeda na d hamujc zopnieniem 2.4 m/s2.a) Jaka jest masa lampy, jeeli naprenie linki jest rwne 100 N?b) Jakie byoby naprenie linki, gdyby winda jechaa do gry z przyspieszeniem 2.4 m/s2

7

79. Wahado o masie m wisi na podstawce umocowanej na wzku. Znale kierunek nici wahada,tj. kt nici z pionem oraz jej naprenie T w nastpujcych przypadkach:a) wzek porusza si ruchem jednostajnym po paszczynie poziomej,b) wzek porusza si po paszczynie poziomej z przyspieszeniem a,c) wzek stacza si swobodnie z rwni pochyej, ktra tworzy kt z poziomem.

80. Ile razy zwikszy si czas spadania ciaa w windzie, jeeli ruszya ona w d z przyspieszeniem0.5 g?

81. Przez krek przerzucona jest lina, na ktrej kocach zawieszone s ciary o masach m1=20kg i m2=30 kg. Znajd przyspieszenie kadego ciaru, gdy cay ukad umiecimy w windzieporuszajcej si do gry z przyspieszeniem a = 2m/s2.

82. Na pycie umocowano statyw, na ktrym zawieszono na nici kulk, a nastpnie pozwolono pyciezsuwa si z rwni. Znale nacig nici i kt jaki tworzy z pionem na rwni, gdy:a) ruch odbywa si bez tarcia,b) wspczynnik tarcia wynosi .

83. Obliczy stosunek siy bezwadnoci FB do ciy cikoci dla ciaa umieszczonego w wirwce opromieniu R= 100 cm, wykonujcej n= 10 000 obr/min.

84. Na platformie znajduje si skrzynia. Jaki conajmniej musi by wspczynnik tarcia, aby skrzynianie zmienia pooenia, gdy porusza si ona z przyspieszeniem a= 5 m/s2?

8