Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

11
Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem nieskierowanym. Drogą Eulera w grafie nazywamy drogę prostą, która zawiera wszystkie krawędzie grafu. Cyklem Eulera w grafie nazywamy cykl prosty, który zawiera wszystkie krawędzie grafu. Graf, w którym istnieje cykl Eulera, nazywamy grafem eulerowskim. Graf, w którym istnieje droga Eulera, ale nie cykl Eulera, nazywamy grafem półeulerowskim.

description

Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych. Niech G = ( V , E ) będzie spójnym grafem nieskierowanym . Drogą Eulera w grafie nazywamy drogę prostą, która zawiera wszystkie krawędzie grafu. Cyklem Eulera w grafie nazywamy cykl prosty, który zawiera wszystkie krawędzie grafu. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Page 1: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Drogi i cykle Euleraw grafach nieskierowanych

Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem nieskierowanym.

Drogą Eulera w grafie nazywamy drogę prostą, która zawiera wszystkie krawędzie grafu.

Cyklem Eulera w grafie nazywamy cykl prosty, który zawiera wszystkie krawędzie grafu.

Graf, w którym istnieje cykl Eulera, nazywamy grafem eulerowskim.

Graf, w którym istnieje droga Eulera, ale nie cykl Eulera, nazywamy grafem półeulerowskim.

Page 2: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Problem mostów królewieckich

Mosty na Pregole Rysunek odpowiedniego grafu

Page 3: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Drogi i cykle EuleraWarunki istnienia

Graf spójny G ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy stopień każdego z jego wierzchołków jest parzysty. (Euler, 1736)

Graf spójny, który ma dokładnie dwa wierzchołki stopniu nieparzystego albo nie ma wcale takich wierzchołków, ma drogę Eulera.

Graf nie eulerowski Graf półeulerowski Graf eulerowski

Page 4: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Drogi i cykle Euleraw grafach skierowanych

Graf skierowany spójny ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka grafu jego stopień wejściowy jest równy stopniowi wyjściowemu.

Graf skierowany spójny ma drogę Eulera w przypadkach, gdy albo dla każdego wierżchołka jego stopień wejściowy jest równy stopniowi wyjściowemu, albo istnieją dokładnie dwa wierzchołki nie spełniające tego warunku, przy czym stopień wejściowy jednego z tych wierzchołków jest o jeden wyższy niż jego stopień wyjściowy, a równocześnie dla drugiego z tych wierzchołków stopień wejściowy jest o jeden niższy niż jego stopień wyjściowy.

Page 5: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Drogi i cykle Hamiltonaw grafach nieskierowanych

Drogą Hamiltona w grafie G nazywamy drogę elementarną, która zawiera wszystkie wierzchołki grafu.

Cyklem Hamiltona nazywamy cykl elementarny, który zawiera wszystkie wierzchołki grafu.

Page 6: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Cykle Hamiltonaw grafach pełnych

Graf pełny Kn dla n ≥ 3 zawiera dokładnie ½(n-1)! cykli Hamiltona.

Wszystkie możliwe cykle Hamiltona w grafie K4

Page 7: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Cykle HamiltonaWarunki istnienia

Jeśli graf nieskierowany ma n wierzchołków, gdzie n≥3, oraz dla każdej pary wierzchołków niezależnych v, w zachodzi nierówność d(v) + d(w) ≥ n, to graf ten jest hamiltonowski. (Ore, 1960)

Jeśli graf ma n wierzchołków, gdzie n≥3, oraz stopień każdego z wierzchołków jest równy co najmniej n/2, to graf ten jest hamiltonowski. (Dirac, 1952)

Jeśli dla n≥3 graf ma n wierzchołków i co najmniej ½(n-1)(n--2)+2 krawędzi, to graf ten jest hamiltonowski.

Page 8: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

v1

v2

vi-1

vn

vi d(1)=4

d(2)=4

d(3)=4

d(4)=3

d(5)=4d(6)=3

d(7)=4

Ilustracje twierdzenia Ore’a

Page 9: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Cykle Hamiltonaw grafach skierowanych

Jeśli graf D jest silnie spójnym grafem skierowanym bez pętli, mającym n wierzchołków, gdzie n≥2, i dla dowolnej pary wierzchołków niezależnych suma ich stopni jest równa co najmniej 2n-1, to graf ten zawiera cykl Hamiltona. (Meynel, 1973)

Jeśli graf skierowany o n wierzchołkach nie zawiera pętli i dla każdego wierzchołka v zachodzą nierówności d-(v)≥n/2 oraz d+(v)≥n/2, to graf ten zawiera cykl Hamiltona. (Nash-Williams, 1969)

Page 10: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Drzewa

Lasem nazywamy dowlony graf nieskierowany, który nie zawiera cykli.

Drzewem nazywamy dowlony graf nieskierowany spójny, który nie zawiera cykli.

Page 11: Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych

Drzewa

Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas następujące stwierdzenia są równoważne:

• Graf G jest drzewem.

• Graf G nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi.

• Graf G jest spójny i każda krawędź jest mostem.

• Dowolne dwa róźnie wierzchołki grafu G są połączone dokładnie jedną drogą.

• Graf G nie zawiera cykli, lecz dołączenie dowolnej nowej krawędzi do G tworzy dokładnie jeden cykl elementarny.