Drgania, dynamika nieliniowa i chaos...

Drgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny

Katarzyna Weron

Polecana literatura

Polecam też skrypt:David Morin, Waveshttp://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves

Liniowość: Oscylator harmonicznyPrawo Hooke’a: 𝐹𝑥(𝒙) = −𝑘𝑥

𝑥0

𝑥0𝑥 < 0

𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 > 0

𝑥0 𝑥 > 0

𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 < 0

𝑥 = 0: położenie równowagi

𝑥 < 0: wychylenie z położenia równowagi

𝑥 > 0: wychylenie z położenia równowagi

Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦, 𝐹𝑧 = (−𝑘𝑥, 0,0)

Ruch harmoniczny – małe wychylenia

Z II zasady Newtona:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

= 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = 0

Jakie 𝑥 𝑡 spełnia to równanie?

𝑊 = න

𝑃1

𝑃2

Ԧ𝐹 ∙ 𝑑Ԧ𝑙

Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦, 𝐹𝑧 = (−𝑘𝑥, 0,0)

Ruch harmoniczny – rozwiązanie

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = 0 (∗)

Spróbujmy: 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙ሶ𝑥 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 , ሷ𝑥 = −𝐴𝜔2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

Wstawiamy do ∗ :

−𝐴𝜔2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 +𝑘

𝑚𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 = 0

−𝜔2 +𝑘


Ruch harmoniczny – rozwiązanie

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = 0

Spróbujmy: 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

−𝜔2 +𝑘


Spełnione dla każdego 𝑡 jeśli:

𝜔2 =𝑘

𝑚→ 𝜔 =

𝑘

𝑚

Częstość kątowa

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = 0, 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑥 𝑡 +2𝜋

𝜔= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡 +

2𝜋

𝜔+ 𝜙

= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 2𝜋 + 𝜙 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 = 𝑥(𝑡)

𝑇 =2𝜋

𝜔okres

Amplituda (𝐴) i faza (𝜙)

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = ሷ𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0, 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑥 0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 0 + 𝜙 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜙)

𝜙 = 0 → 𝑥 0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙 = 𝐴

David Morin, http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves

Inne formy rozwiązań

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = ሷ𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0,

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙= 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙′= 𝐵𝑐𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡

= 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐶∗𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝐵𝑐= 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙, 𝐵𝑠 = −𝐴𝑠𝑖𝑛𝜙

Wiesz skąd te inne formy?

Wzór Eulera i rozwiązanie ogólne

𝑒𝑖𝜙 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜙 wzór Eulera𝑒−𝑖𝜙 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜙Stąd:

2𝑐𝑜𝑠𝜙 = 𝑒𝑖𝜙 + 𝑒−𝑖𝜙, 2𝑖𝑠𝑖𝑛𝜙 = 𝑒𝑖𝜙 − 𝑒−𝑖𝜙

Szukamy zwykle ogólnego rozwiązania w postaci:𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒𝑟𝑡 , ሶ𝑥 = 𝐶𝑟𝑒𝑟𝑡 , ሷ𝑥 = 𝐶𝑟2𝑒𝑟𝑡

ሷ𝒙 +𝒌

𝒎𝒙 = 𝟎

𝐶𝑟2𝑒𝑟𝑡 +𝑘

𝑚𝐶𝑒𝑟𝑡 = 0 → 𝑟2 +

𝑘

𝑚= 0 → 𝑟 = ±𝑖𝜔

równanie charakterystyczne

Rozwiązanie ogólne

Szukamy zwykle ogólnego rozwiązania w postaci:𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒𝑟𝑡

Otrzymaliśmy: 𝑟 = ±𝑖𝜔

Mamy dwa rozwiązania:𝑥1 𝑡 = 𝐶1𝑒

𝑖𝜔𝑡 , 𝑥2 𝑡 = 𝐶2𝑒−𝑖𝜔𝑡

Zasada superpozycji w układach liniowych:

𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 = 𝐶1𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝑖𝜔𝑡

Rozwiązanie musi być rzeczywiste

𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 = 𝐶1𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝑖𝜔𝑡

Żeby 𝑥 𝑡 było rzeczywiste to 𝐶1 = 𝐶2∗

Czyli: 𝐶1 = 𝐶 = 𝐶0𝑒𝑖𝜙, 𝐶2 = 𝐶∗ = 𝐶0𝑒

−𝑖𝜙

𝑥 𝑡 = 𝐶0𝑒𝑖𝜙𝐶0𝑒

𝑖𝜔𝑡 + 𝐶0𝑒−𝑖𝜙𝐶0𝑒

−𝑖𝜔𝑡

= 2𝐶0cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

Czyli faktycznie tożsame formy

W równaniach liniowych obowiązuje zasada superpozycji

• 𝑥1 𝑡 i 𝑥2 𝑡 - rozwiązania liniowego równania różniczkowego

• Rozwiązaniem jest też dowolna kombinacja liniowa 𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑥1 𝑡 + 𝐶2𝑥2(𝑡)

• Liniowe jednorodnego równania różniczkowego rzędu 𝑛: 𝑛 liniowo niezależnych rozwiązań.

• Każda kombinacja liniowa tych 𝑛 rozwiązań jest rozwiązaniem.

• Liniowa niezależność funkcji: żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej pozostałych.

UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Wahadło matematyczne – układ nieliniowy

𝐹𝑥 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

Druga zasada dynamiki:𝑚ax = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

ax = −𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

Długość łuku: 𝑥 = 𝐿θ

Równanie ruchu:

ሷ𝜃 +𝑔

L𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

• nieważki pręt• punktowa masa

Jak to rozwiązać?

ሷ𝜃 +𝑔


𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜃 −𝜃3

3!+

𝜃5

5!−⋯

Jeśli założysz, że 𝜃 → 0, wtedy 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜃

ሷ𝜃 +𝑔

L𝜃 = 0

Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny

• Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny:

ሷ𝜃 +𝑔

𝐿𝜃 = 0 ሷ𝑥 +

𝑘

𝑚𝑥 = 0

• Częstość własna wahadła(kątowa):

𝜔02 =

𝑔

𝐿

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝜈 → 𝑇0 =

2𝜋

𝜔0= 2𝜋

𝐿

𝑔

Okres nie zależy od masy ani wychylenia?!

Okres drgań prawdziwego wahadła

𝑇0 =2𝜋

𝜔0= 2𝜋

𝐿

𝑔

By Alessio Damato, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1415324

Tego się uczymyw szkole

Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

5

10

t

, d/d

t

Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

d/d

t

Każdy punkt w tej przestrzeniokreśla stan układu

Przestrzeń położeń i pędów

𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧

Dla układu wielu cząstek𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, …

𝑝𝑥1, 𝑝𝑦1, 𝑝𝑧1, 𝑝𝑥2, 𝑝𝑦2, 𝑝𝑧2, …

A jeśli interesują nas duże kąty?

ሷ𝜃 +𝑔


• Jak to rozwiązać?

• A co jeśli jakieś dodatkowe siły?

– Tłumienie

– Wymuszanie cykliczne

• Wahadło może zadziwić!

Oscylator tłumiony i wymuszany

𝑚 ሷ𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 oscylator harmoniczny (liniowe jednorodne)

𝑚 ሷ𝑥 + 𝑏 ሶ𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 tłumienie (liniowe jednorodne)

𝑚 ሷ𝑥 + 𝑏 ሶ𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) wymuszanie (liniowe niejednorodne)

ሷ𝑥 +𝑏

𝑚ሶ𝑥 +

𝑘

𝑚𝑥 =

𝐹 𝑡

𝑚= 𝑓 𝑡 = 𝑓0sin(𝜔𝑡)

• Liniowe równania różniczkowe dla położenia klocka 𝑥

• Brak niespodzianek

• Liniowe jednorodne – bardzo łatwe do rozwiązania

Inne równanie nieliniowe: Prawo Newtona powszechnej grawitacji

Każda masa 𝑀 przyciąga inną masę 𝑚 z siłą:

−𝐺𝑚𝑀Ƹ𝑟

𝑟2𝑅𝑁

𝑚 ሷԦ𝑟 = −𝑚𝐺𝑀Ƹ𝑟

𝑟2

Stała grawitacji: 𝐺 = 6.67428 67 × 10−11𝑁𝑚2/𝑘𝑔2

Przykład:𝑀𝑧 ≈ 5.9736 × 1024𝑘𝑔𝑟𝑧 ≈ 6373.14𝑘𝑚

𝐹𝑧 = 𝐺𝑀𝑧

𝑟𝑧2𝑚, 𝐺

𝑀𝑧

𝑟𝑧2≈ 9.81

𝑚

𝑠2𝑴

𝑭𝒓

𝒎

Czy układ słoneczny jest stabilny?

• 1887 król Szwecji Oscar II: nagroda

• H. Poincare (1854-1912), francuski matematyk

• Za co?

(c) Wikipedia

Co zrobił Poincare?

• “Problem 3 ciał i równaniadynamiki”, 1890 (270 stron)

• Zaskakująco skomplikowane zachowanie

• Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś

• Podwaliny teorii chaosu

Równanie logistyczne – dynamika populacji

nnnnn

nnnn

n

n

nn

xxrxcr

rx

crccc

crc

cc

1)1(1

1

1

1

1

1

a

P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 1845:

Dynamika populacji

Populacja fok na wyspieŚwiętego Pawła, Alaska

Populacja Pantofelków w labolatorium

Popularny skorupiak („pchła wodna”)

Iteracja równania logistycznego

𝑐𝑡+1 = 𝑎𝑐𝑡(1 − 𝑐𝑡)

Przykład: 𝑎 = 0.5, 𝑐0= 0.5

𝑐1 = 𝑎𝑐0 1 − 𝑐0 =1

2∙1

2∙ 1 −

1

2=

1

2

3

=1

8= 0.125

𝑐2 = 𝑎𝑐1 1 − 𝑐1 =1

2∙1

8∙ 1 −

1

8=

1

16∙7

8=

7

128= 0.05

𝑐0 > 𝑐1 > 𝑐2 > ⋯

Przykład: 𝑎 = 0.5, 𝑐0= 1𝑐1 = 𝑎𝑐0 1 − 𝑐0 = 𝑎 ∙ 1 ∙ 0 = 0𝑐2 = 𝑎𝑐1 1 − 𝑐1 = 𝑎 ∙ 0 ∙ 1 = 0

Przykłady: 𝒄𝒕+𝟏 = 𝒂𝒄𝒕(𝟏 − 𝒄𝒕)

0 < 𝑎 < 1

0 5 10 15 20t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

c t

a=0.7

1 < 𝑎 < 2

0 5 10 15 20t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

c t

a=1.45

0 5 10 15 20t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

c t

a=2.75

0 5 10 15 20t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

c t

a=3.2

2 < 𝑎 < 3 3 < 𝑎 < 4

Co możemy otrzymać?

• Punkty stałe

• Cykle

• Chaos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

𝑐𝑡

a=1.45

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a=3.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a=4

𝑐 𝑡+1

𝑐𝑡 𝑐𝑡

Punkty stałe

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a=2.75

𝑐 𝑡+1

𝑐𝑡

𝑐𝑡+1 = 𝑓 𝑐𝑡 = 𝑎𝑐𝑡(1 − 𝑐𝑡)

Punkt stały:𝑐𝑡+1 = 𝑓 𝑐𝑡 = 𝑐𝑡 = 𝑐∗

Czyli:𝑎𝑐∗ 1 − 𝑐∗ = 𝑐∗

𝑎𝑐∗ − 𝑎𝑐∗2 = 𝑐∗

𝑐∗ 𝑎 − 1 − 𝑎𝑐∗ = 0

𝑐∗ = 0, 𝑐∗ =𝑎 − 1

𝑎

Co to znaczy, że punkt stały jest stabilny? Atraktor

Punkt stałystabilny

Punkt stałyniestabilny

Układy dynamiczne Fizyka

Punkt stały Równowaga

Punkt stały stabilny Równowaga trwała

Punkt stały niestabilny Równowaga nietrwała

Kryterium stabilności

𝑥𝑡 = 𝑥∗ + 𝜖𝑡 , 𝑥𝑡+1 = 𝑥∗ + 𝜖𝑡+1, 𝑓 𝑥∗ = 𝑥∗

Niech odległość 𝜖𝑡 od punktu stałego mała:𝑥𝑡+1 = 𝑓 𝑥𝑡 = 𝑓 𝑥∗ + 𝜖𝑡 ≈ 𝑓 𝑥∗ + 𝑓′ 𝑥∗ 𝜖𝑡

= 𝑥∗ + 𝜆𝜖𝑡Czyli:𝑥𝑡+1 = 𝑥∗ + 𝜖𝑡+1𝑥𝑡+1 ≈ 𝑥∗ + 𝜆𝜖𝑡

→ 𝜖𝑡+1 ≈ 𝜆𝜖𝑡 , 𝜆 = 𝑓′ 𝑥∗

• Odległość od punktu stałego rośnie z czasem: 𝜆 > 1• Odległość od punktu stałego rośnie z czasem: 𝜆 < 1

Typy punktów stałych

1'

0'1

1'0

'1

1*)('

1*)('

f

f

f

f

xf

xf przyciągający (stabilny)

odpychający (niestabilny)

odpychający schodkowo

przyciągajacy schodkowo

przyciągający spiralnie

odpychający spiralnie

Typy punktów stałych równanialogistycznego

aa

afafxaf

2

1',)0('),21('

a

axx

xxfxaxf

1*,0*

**,1

0 < 𝑎 < 1 odpychający schodkowo

1 < 𝑎 < 2 przyciągający schodkowo

2 < 𝑎 < 3 przyciągający spiralnie

3 < 𝑎 < 4 odpychający spiralnie

Zachowanie dla a<1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

𝑡

𝑐 𝑡

𝑐 𝑡+1

𝑐𝑡0 < 𝑎 < 1 odpychający schodkowo




a=1.45

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

𝑡

𝑐 𝑡

𝑐 𝑡+1





a=2.75

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

𝑡

𝑐 𝑡

𝑐 𝑡+1





a=3.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

𝑡𝑐 𝑡

𝑐 𝑡+1





a=3.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

43

32

21

10

a

a

a

a odpychający schodkowo

przyciągający schodkowo

przyciągający spiralnie

odpychający spiralnie

𝑡

𝑐 𝑡

𝑐 𝑡+1

𝑐𝑡

a=4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Chaos deterministyczny: • mieszanie w przestrzeni fazowej• Nieregularna trajektoria• wrażliwość na warunki początkowe

𝑡𝑐 𝑡𝑐 𝑡+1

𝑐𝑡

Drzewo podwajania okresu,diagram Feigenbauma, diagram bifurkacyjny

(c) 2017 Zuzanna JędrzejewskaMatematyka Stosowana

𝑐∗ = 0, 𝑐∗ =𝑎 − 1

𝑎

43

32

21

10

a

a

a

a odp

przyc

przyc

odp

𝑐∗ =𝑎 − 1

𝑎

Okienka okresowe

3.828,3.857

(c) 2017 Dawid SzarekMatematyka Stosowana

Intermitencje, EX: 𝑎 = 3.828, 𝑐0 = 0.5przełączanie pomiędzy fazami cyklicznymi i chaosem

Iteracja równania logistycznego

ttt cacc 11

function[c,t]=logist(c0,a,n)

t=0:1:n;

c(1)=c0;

for i=1:n

c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i));

end

koncentracja

początkowaliczba iteracji

Diagram Feigenbauma

for i=1:1000

a=0.004*i;

n=500;

[c,t]=log(0.1,a,n);

x=ones(100,1)*a;

plot(x,c(n-99:n),'.');

hold on;

end function[c,t]=log(c0,a,n)

t=0:1:n;

c(1)=c0;

for i=1:n

c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i));

end

Opady deszczu

Konwekcja

• Gorące powietrze unosi się do góry • chmury burzowe powstają w wyniku konwekcji• 1962, Saltzman – równania dla prostej konwekcji

(c) http://www.satirnet.com (c) http://www.satirnet.com

Model pogody wg. Lorenza

• Edward Lorenz, MIT w 1961 (w wieku 44 lat)

• Przypadek a może lenistwo?

• Odkrycie – małe zmiany warunków początkowych prowadzą do zupełnie innych prognoz pogody.

• Punkt wyjścia – uproszczone równania konwekcji

Układ Równań Lorenza – jeszcze więcej uproszczeń

( )dx

y xdt

dyx y xz

dt

dzxy z

dt

3

8

28

10

Wielkości wybrane przez Saltzmana

„Lenistwo” Lorenza i jego „Królewska Pszczoła”

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

t

x

Narysujmy to w przestrzeni …

Cechy atraktora Lorenza

• Trajektorie są przyciągane przez ograniczony obszar przestrzeni fazowej

• Ruch jest nieregularny

• Wrażliwość na warunki początkowe (sekwencja pętli)

• Ten atraktor jest dziwny!

atraktor Roesslera (1976)

7.5,2.0,2.0

'

'

)('

cba

czxzbz

ayxy

zyx

Wzorzec chaosu – wyrabianie ciasta

rozciąganie

składanie

Gdzie są rodzynki?

Odległość

rośnie

wykładniczo

Chaos i losowość

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Data: Dr. C. Ting

Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który losowy?

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

xn+1 = 1.4 - x2n + 0.3 yn

yn+1 = xn

Biały szum

Odwzorowanie

Henona

Mapa powrotów prawdę ci powie: x(t+1)od x(t)

Pomyśl o tym

Ćwiczenie: Drgania tłumione

• Opór powietrza, wody itd. tłumi oscylacje

• Załóżmy, że siła oporu:

𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 = −𝑏𝑑𝑥

𝑑𝑡• II zasada dynamiki:

𝑚𝑎𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 − 𝑘𝑥 → 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑘𝑥

𝑚 ሷ𝑥 + 𝑏 ሶ𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

ሷ𝑥 +𝑏

𝑚ሶ𝑥 +

𝑘

𝑚𝑥 = 0

ሷ𝑥 + 2𝛽 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0


• Rozwiąż równanie:𝑚 ሷ𝑥 + 2𝛽 ሶ𝑥 + 𝜔0

2𝑥 = 0

• Rozwiązania szukaj w postaci:𝑥 𝑡 = 𝑒𝛼𝑡

• Otrzymasz rozwiązanie:

𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒𝛼1𝑡 + 𝐶2𝑒

𝛼2𝑡 , gdzie 𝛼1,2 = −𝛽 ± 𝛽2 − 𝜔02

𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛽𝑡 𝐶1𝑒𝛽2−𝜔0

2𝑡+ 𝐶2𝑒

− 𝛽2−𝜔02𝑡



2𝑡+ 𝐶2𝑒

− 𝛽2−𝜔02𝑡

• Drgania nietłumione: 𝛽 = 0

𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒−𝜔0

2𝑡+ 𝐶2𝑒

− −𝜔02𝑡

= 𝐶1𝑒𝑖 𝜔0

2𝑡+ 𝐶2𝑒

−𝑖 𝜔02𝑡= 𝐶1𝑒

𝑖𝜔0𝑡 + 𝐶2𝑒−𝑖𝜔0𝑡



2𝑡+ 𝐶2𝑒

− 𝛽2−𝜔02𝑡

• Drgania słabo tłumione 𝛽 < 𝜔0 → 𝛽2 − 𝜔02 < 0

𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛽𝑡 𝐶1𝑒𝑖 𝜔0

2−𝛽2𝑡+ 𝐶2𝑒

−𝑖 𝜔02−𝛽2𝑡

𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛽𝑡 𝐶1𝑒𝑖𝜔1𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝑖𝜔1𝑡 , 𝜔1 = 𝜔02 − 𝛽2

• Drgania krytyczne 𝛽 = 𝜔0

𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒−𝛽𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒

−𝛽𝑡

W zależności od tłumienia 𝛽/𝝎𝟎

• Małe tłumienie (a)

• Krytyczne tłumienie (b)

• Silne tłumienie (c)


2𝑡+ 𝐶2𝑒

− 𝛽2−𝜔02𝑡

Drgania wymuszone

• Siła okresowa wymuszająca: 𝑓 𝑡 = 𝑓0 cos 𝜔𝑡

• Rachunek bardziej skomplikowany – patrz Taylor

– Częstość drgań własnych 𝜔0 =𝑘

𝑚

– Częstość z tłumieniem 𝜔1 = 𝜔02 − 𝛽2

– Częstość rezonansowa 𝜔 = 𝜔2 = 𝜔02 − 2𝛽2 ≈ 𝜔0

𝑚 ሷ𝑥 + 𝑏 ሶ𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹 𝑡ሷ𝑥 + 2𝛽 ሶ𝑥 + 𝜔0𝑥 = 𝑓 𝑡

Drgania wymuszone i rezonans

• Drgania swobodne – przykłady?• Drgania wymuszone

Częstość siły wymuszającej/częstość własna

Am

plit

ud

a d

rgań

małe tłumienie

Równania różniczkowe rzędu pierwszego

• Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥),

𝑝 𝑥 , 𝑓(𝑥) funkcje ciągłe na przedziale 𝑎, 𝑏 :

• jednorodne: 𝑓 𝑥 = 0

• niejednorodne: 𝑓 𝑥 ≠ 0

• Rozwiązanie równania jednorodnego𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 →

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑝 𝑥 𝑦 →

𝑑𝑦

𝑦= −𝑝 𝑥 𝑑𝑥

ln 𝑦 = −𝑃 𝑥 + 𝑙𝑛𝐶 → 𝑦 = Cexp(−P(x))

𝑃 𝑥 - funkcja pierwotna 𝑝 𝑥

Dlaczego 𝜔 to częstość?

𝑥 0 = 𝐴, 𝑣 0 = 0𝑥 𝑡 = 𝐴cos(𝜔𝑡)𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇 , 𝑇 to okrescos 𝜔𝑡 = cos𝜔 𝑡 + 𝑇

z własności cosinusa:cos 𝜔𝑡 = cos(𝜔𝑡 + 2𝜋)cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 = cos(𝜔𝑡 + 𝜔𝑇)

2𝜋 = 𝜔𝑇 → 𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑓

Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: 𝑓 lub 𝜈

Drgania, dynamika nieliniowa i chaos...

Documents

Transcript of Drgania, dynamika nieliniowa i chaos...