Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski

UWAGA OGÓLNA Stata rozróżnia duże i małe litery w poleceniach.

Jeśli polecenie skopiowane z mojej prezentacji nie działa w

Stacie, proszę zwrócić uwagę, czy Powerpoint nie zmienił

pierwszej litery na dużą!

Przypomnienie

Nickell (1981) – w FE nadal występuje korelacja

pomiędzy opóźnioną zmienną zależną i przekształconym

wyrażeniem błędu, która sprawia, że estymatory te mają

pożądane właściwości wyłącznie asymptotycznie, tzn.

gdy liczba obserwacji w czasie zmierza do

nieskończoności.

Nie jest to przypadek typowego modelu wzrostu gdzie z

reguły występuje znacznie mniej niż 50 obserwacji w

czasie (ze względu na uśrednianie z reguły jest to 5-10

obserwacji).

Z samej definicji metoda ta ogranicza analizę do

szukania średniej wewnątrz krajów, pomijając

być może istotne różnice między krajami.

Metoda ta w żadnym stopniu nie pomaga

rozwiązać problemu przyczynowości, błędu

pomiaru oraz pominiętych zmiennych,

zmiennych w czasie.

Nie pozwala również na szacowanie wpływu na

wzrost gospodarczy zmiennych o charakterze

stałym w czasie, jak np. wpływu geografii czy

historii.

Rozwiązanie – metody zmiennych instrumentalnych (i GMM)

Estymatory:

Andersona-Hsiao,

Arellano-Bonda,

Blundella Bonda,

PMG,

Kivietsa.

Rozważmy model w pierwszych różnicach:

itittiit yy β'

1, x

Pozbycie się efektu stałego i niewiele więcej.

Transformacja 1, tiy powoduje endogeniczność, ponieważ

1, tiy w 2,1,1, tititi yyy jest skorelowane z 1, ti w

1, tiitit

Jeżeli nie ma autokorelacji opóźnione zmienne mogą

być egzogeniczne, mogą stanowić instrumenty.

Po zróżnicowaniu efektów stałych, dostępny jest

naturalny estymator Metody Zmiennych

Instrumentalnych.

Możemy skonstruować instrumenty z opóźnionej

zmiennej zależnej, opóźnionej dwa razy, trzy razy itd.

Rozwiązaniem problemu błędu pomiarowego i przeciwnej

przyczynowości jest estymator Metody Zmiennych

Instrumentalnych Andersona i Hsiao (1981)

Zakłada szacowanie modelu na pierwszych różnicach i

użycie przeszłego poziomu PKB w drugim opóźnieniu

jako instrumentu dla opóźnionych pierwszych różnic PKB.

Przy założeniu braku AR() w ,it naturalnymi

instrumentami dla 1, tiy są 2, tiy oraz 2, tiy

Wyrażenia bliskie 1, tiy

2, tiy wydaje się rozsądniejsze: już od t = 3

Niemniej jednak tracimy mnóstwo obserwacji, gdy T

jest małe.

Podobnie w przypadku pozostałych zmiennych

Konieczność instalacji pakietu xtivreg2

net install xtivreg2

xi: xtivreg2 dpkb pop lki i.num5

(lpkb = l.lpkb), fd

Parametr fd wybiera estymator Andersona i Hsiao 1981,

lecz dostępne inne metody.

help xtivreg2

IV (2SLS) estimation

--------------------

Estimates efficient for homoskedasticity only

Statistics consistent for homoskedasticity only

[del]

------------------------------------------------------------------------------

D.dpkb | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lpkb |

D1. | -1.590232 .1577865 -10.08 0.000 -1.899488 -1.280976

|

[del]

Underidentification test (Anderson canon. corr. LM statistic): 225.987

Chi-sq(1) P-val = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------

Weak identification test (Cragg-Donald Wald F statistic): 266.985

Stock-Yogo weak ID test critical values: 10% maximal IV size 16.38

15% maximal IV size 8.96

20% maximal IV size 6.66

25% maximal IV size 5.53

Source: Stock-Yogo (2005). Reproduced by permission.

------------------------------------------------------------------------------

Sargan statistic (overidentification test of all instruments): 0.000

(equation exactly identified)

------------------------------------------------------------------------------

Egzogenicznośd instrumentów – Craig Donald F

Poprawnośd instrumentów – Sargan (o teście na koocu).

Werdykt:

Instrumenty egzogeniczne, ale restrykcje przeidentyfikujące niepoprawne.

Pozwala to na wyizolowanie tej części wariacji zmiennej

objaśnianej, która nie jest związana z przeciwną

przyczynowością, pominiętymi zmiennymi i błędem

pomiarowym.

Metoda ta prowadzi do oszacowań zgodnych, lecz mogą

być one nieefektywne przy niesferyczności składnika

losowego z powodu braku wykorzystania wszystkich

warunków dotyczących momentów (Hansen, 1982).

Konieczność dalszych opóźnień niepożądana.

o Zmniejszenie T.

o Problem dla krótkich paneli

Po zróżnicowaniu, błędy nie i.i.d.

o it i 1, ti skorelowane

o 2SLS nieefektywna

Zasadność wprowadzenia instrumentu w postaci opóźnienia

zmiennej objaśnianej zapisać można w postaci założenia

identyfikującego momenty:

Aby podnieść efektywność estymatora, Arellano i Bond (1991)

wykorzystują wszystkie możliwe instrumenty w postaci

opóźnień i różnic.

Zasadność wprowadzenia tych instrumentów należy zapisać w

postaci warunków dotyczących momentów, założeń

identyfikujących, które służą do zbudowania estymatora

Uogólnionej Metody Momentów.

, 1 , 2it i t i tE u u y

Użycie dużej ilości opóźnień. W przypadku braku w

macierzy zero.

Utworzono instrumenty dla każdego opóźnienia i

okresu.

Instrumenty IV:

2,

1

.

.

Ti

i

y

y

UMM:

.

000

0000

00000

000000

000000

123

12

1

iii

ii

i

yyy

yy

y

Wynik: Arellano-Bond (1991) estymator różnicowy

UMM

Warunki momentów utworzono przy założeniu, że

opóźnione poziomy zmiennej zależnej są ortogonalne do

zróżnicowanego zaburzenia są znane jako warunki

momentów UMM.

Warunki momentów tworzone przy użyciu ściśle

egzogenicznych zmiennych są po prostu standardowymi

warunkami metody zmiennych instrumentalnych( IV),

nazywane są też standardowymi warunkami momentów.

Skund one się wzieły, te instrumenty czy jak?

Każdy regresor traktujemy jako ściśle egzogeniczny.

Każdy regresor daje jeden instrument.

Pozostałe instrumenty pochodzą z p-2 instrumentów

dostępnych w okresach p = 3, 4, …, T

W okresie 3, yi1 jest poprawnym instrumentem dla yi3

W okresie 4, yi1 i yi2 są poprawnym instrumentami dla

yi4

W okresie 5, yi1, yi2 i yi3 są poprawnym instrumentami

dla yi5

W okresie 6, yi1, yi2, yi3 i yi4 są poprawnym

instrumentami dla yi6

i tak dalej

Liczba instrumentów:

p = T − 2 (jeden okres na różnice, jeden na opóźnienie)

k + p ∗ (p + 1)/2

Gdzie k to liczba egzogenicznych zmiennych.

xtabond dpkb l.lpkb pop ki, lags(1) vce(robust) artests(2)

Arellano-Bond dynamic panel-data estimation Number of obs = 1214

Group variable: cty Number of groups = 188

Time variable: num5

Obs per group: min = 1

avg = 6.457447

max = 9

Number of instruments = 49 Wald chi2(4) = 233.09

Prob > chi2 = 0.0000

One-step results

(Std. Err. adjusted for clustering on cty)

------------------------------------------------------------------------------

| Robust

dpkb | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

dpkb |

L1. | -.1297861 .0407782 -3.18 0.001 -.20971 -.0498623

|

lpkb |

L1. | -.2716851 .0271594 -10.00 0.000 -.3249166 -.2184536

|

pop | -2.914595 1.661945 -1.75 0.079 -6.171947 .3427576

ki | .0057089 .0013495 4.23 0.000 .0030639 .008354

_cons | 2.534362 .2645364 9.58 0.000 2.01588 3.052844

------------------------------------------------------------------------------

Instruments for differenced equation

GMM-type: L(2/.).dpkb

Standard: LD.lpkb D.pop D.ki

Instruments for level equation

Standard: _cons

Liczba instrumentów:

p = 12 − 3

4 + 9 ∗ (9 + 1)/2

=49

Porównanie estymatorów jedno i

dwustopniowych:

xi: xtabond dpkb l.lpkb pop ki i.num5,

lags(2)

eststo AB_ONESTEP

xi: xtabond dpkb l.lpkb pop ki i.num5,

lags(2) two

eststo AB_TWOSTEP

esttab

--------------------------------------------

(1) (2)

stopniowa stopniowa

--------------------------------------------

L.dpkb -0.0784** -0.118***

(-3.16) (-4.50)

L2.dpkb -0.176*** -0.112***

(-7.27) (-6.41)

L.lpkb -0.443*** -0.444***

(-25.45) (-19.57)

pop -0.358 -1.103

(-0.63) (-1.84)

ki 0.00468*** 0.00538***

(5.77) (6.05)

cons 3.734*** 3.789***

(23.94) (19.93)

--------------------------------------------

N 1026 1026

--------------------------------------------

Natura problemu wydaje się byd związana z nadmiernym dopasowaniem.

Efektywne UMM daje mniejszą wagę momentom z wysoką wariancją (wysoka waga drugich momentów)

Możliwe, że UMM w małych próbkach może nie brad pod uwagę obserwacji mniej typowych (wysoka waga pierwszych momentów)

Wskazywana jest przypadkowa precyzja.

Oszacowanie jednostopniowe:

Yf1β̂ (warunkowo względem X, Z)

Oszacowanie jednostopniowe błędów do Ω̂ :

))(,()ˆ,(ˆˆˆ '1

''1

'1

''

2 YYΩYYZZΩZZXXZZΩZZX fgg

β

Standardowe oszacowanie 2ˆVar β uznaje Ω̂ za stałą,

obserwowaną i dokładną – pomimo zależności od losowego Y.

Roszerzenie Taylora g wokół prawdziwego β :

ββ

ββ

ββ

1

ˆ

ˆˆ2ˆˆ,

ˆˆ,ˆ,ˆ

1 ΩYΩYΩY ggg

―Korekta‖ bierze się z drugiego wyrazu:

0ˆE 1 ββ zatem

2ˆE β —brak obciążeń współczynników

Wpływ na wariancję - jedynie na błędy.

Porównanie estymatorów jedno i dwustopniowych:

xi: xtabond dpkb l.lpkb pop ki i.num5,

lags(2)

eststo AB_ONESTEP

xi: xtabond dpkb l.lpkb pop ki i.num5,

lags(2) two

eststo AB_TWOSTEP

xi: xtabond dpkb l.lpkb pop ki i.num5,

lags(2) two vce(robust)

eststo AB_TWOSTEP_WIND

esttab

--------------------------------------------------------------

(1) (2) (3)

ONESTEP TWOSTEP TWOSTEP_WIND

--------------------------------------------------------------

L.dpkb -0.0784** -0.118*** -0.118*

(-3.16) (-4.50) (-2.18)

L2.dpkb -0.176*** -0.112*** -0.112***

(-7.27) (-6.41) (-3.41)

L.lpkb -0.443*** -0.444*** -0.444***

(-25.45) (-19.57) (-10.65)

pop -0.358 -1.103 -1.103

(-0.63) (-1.84) (-0.70)

ki 0.00468*** 0.00538*** 0.00538***

(5.77) (6.05) (3.66)

_cons 3.734*** 3.789*** 3.789***

(23.94) (19.93) (11.23)

--------------------------------------------------------------

N 1026 1026 1026

--------------------------------------------------------------

t statistics in parentheses

* p<0.05, ** p<0.01, *** p<0.001

.

Hipoteza zerowa: H0: wprowadzenie restrykcji było uzasadnione.

Statystyka testu określona jest jako: 11~''~1uZZWu

NSar N

gdzie:

WN jest optymalną macierzą wag,

1~u jest wektorem reszt z I stopnia estymacji dla odpowiedniego estymatora.

1

u dla UMM w modelu na pierwszych różnicach

1

1

ˆ

0

0 u

u dla systemowego UMM,

Z jest macierzą instrumentów odpowiadającą danemu estymatorowi.

Hipoteza zerowa: H0: wprowadzenie restrykcji było uzasadnione.

Statystyka testu określona jest jako: 11~''~1uZZWu

NSar N

Statystyka ma asymptotycznie rozkład 2

kp , gdzie p oznacza liczbę wszystkich

wykorzystywanych warunków, natomiast k jest liczbą szacowanych parametrów.

xtabond dpkb l.lpkb pop ki,

lags(2) artests(2)

estat sargan Sargan test of overidentifying restrictions

H0: overidentifying restrictions are valid

chi2(42) = 298.8597

Prob > chi2 = 0.0000

xtabond dpkb l.lpkb pop ki,

lags(5) artests(2)

estat sargan Sargan test of overidentifying restrictions

H0: overidentifying restrictions are valid

chi2(30) = 96.94337

Prob > chi2 = 0.0000

xtabond dpkb l.lpkb pop ki,

lags(7) artests(2)

estat sargan Sargan test of overidentifying restrictions

H0: overidentifying restrictions are valid

chi2(9) = 12.36628

Prob > chi2 = 0.1934

Niby sukces, ale test osłabł od dużej ilości instrumentów!

Spodziewamy się AR() w itiit

Aby sprawdzić AR(1) w it , testujemy AR(2) w

ite porównujemy 1, tiit ee i 3,2, titi ee żeby stwierdzić

2,1, ~ titi ee

Statistyka testu AR(l):

ti

ltiit ee,

,

Normalny rozkład przy H0 o braku AR(l)

Arellano i Bond obliczają odchylenie

test z dla AR()

xtabond dpkb l.lpkb pop ki,

lags(1) artests(2)

estat abond artests not computed for one-step system estimator with

vce(gmm)

Arellano-Bond test for zero autocorrelation in first-

differenced errors

+-----------------------+

|Order | z Prob > z|

|------+----------------|

| 1 |-3.8051 0.0001 |

| 2 |-2.8764 0.0040 |

+-----------------------+

H0: no autocorrelation

Obecność autokorelacji pierwszego rzędu przyrostów

zakłóceń wynika z konstrukcji modelu. Oznacza to, że

obecność autokorelacji pierwszego rzędu nie świadczy

o niezgodności estymatorów UMM.

H0 odrzucona również na drugim poziomie. Tu

problem, autokorelacja drugiego rzędu.

Oszacowania niezgodne.

Zwiększamy liczbę opóźnień.

xtabond dpkb l.lpkb pop ki,

lags(2) artests(2) estat abond

artests not computed for one-step system estimator with

vce(gmm)

Arellano-Bond test for zero autocorrelation in first-

differenced errors

+-----------------------+

|Order | z Prob > z|

|------+----------------|

| 1 |-3.7764 0.0002 |

| 2 | 1.3205 0.1867 |

+-----------------------+

H0: no autocorrelation

ALGORYTM 1. FE>MNK, chociaż w przypadku niektórych obciążeń MNK

bardziej efektywna.

2. FE versus RE, BE - test Hausmanna.

3. Jeżeli FE – test Woolridge’a, czy poprawka na zaburzenie

AR(1)

4. Pozostaje zbadać, czy model FE jednokierunkowy, czy

dwukierunkowy – test F zmiennych zerojedynkowych.

5. Anderson-Hsiao, sprawdzić testem Sargana, czy instrumenty:

Poprawne, testem Craig-Donalda czy egzogeniczne.

6. Arellano-Bond – jedno czy dwustopniowy, czy z korektą na

skończoną próbę – test Sargana i Arellano Bonda.

7. Jak źle wychodzą testy, zwiększamy liczbę instrumentów, z

metody jednostopniowej przechodzimy na dwustopniową,

zwiększamy liczbę instrumentów, ale bez przesady!

Bo to jeszcze nie koniec…

Nie można uzyskad szacunków zmiennych o charakterze stałym. W tych zebranych danych nie ma takiej zmiennej, niemniej jednak pozostaje do wyboru Hausman-Taylor IV estymator, który w Stacie można uzyskad przy pomocy:

help xthtaylor

Który umożliwia takie oszacowanie przy pomocy instrumentów polegających na zmiennych objaśniających z okresów innych niż aktualnie szacowany.

Jeżeli y ma charakter bliski błądzeniu

losowemu, 1, tiy jest słabym instrumentem

dla ity .

Pytanie: które procesy w ekonomii NIE

mają takiego charakteru?

Dziękuję za uwagę.